Este documento describe operaciones con polinomios. Explica que un polinomio es una suma de monomios y define monomios, binomios y trinomios. Detalla cómo sumar y restar polinomios mediante la adición o sustracción de los coeficientes de términos semejantes. También cubre el concepto de opuesto de un polinomio y cómo usarlo para restar polinomios.

1. UNIDAD 4UNIDAD 4
OPERACIONES CONOPERACIONES CON
POLINOMIOSPOLINOMIOS

2. 1.)1.)
2.)2.)
3.)3.)
( ) 5P x x=
2 1
( ) 6 4
2
Q x x x= − +
4 32 1
( ) 7 5
3 2
f x x x x= − + −
Los siguientes son ejemplosLos siguientes son ejemplos
de polinomios en x:de polinomios en x:

3. Un polinomio con un solo término es unUn polinomio con un solo término es un
monomio. Un binomio es un polinomio conmonomio. Un binomio es un polinomio con
dos términos y un trinomio es undos términos y un trinomio es un
polinomio con tres términos.polinomio con tres términos.
Lo polinomios con más de tres términos noLo polinomios con más de tres términos no
tienen un nombre especial. Poli es untienen un nombre especial. Poli es un
prefijo griego que significa “muchos”.prefijo griego que significa “muchos”.
De acuerdo con lo anterior, un polinomioDe acuerdo con lo anterior, un polinomio
es una suma de monomios.es una suma de monomios.

4. TrinomiosBinomiosMonomios
Ejemplos:Ejemplos:
4x + 2
2 1x x− +
6x 2
6x x− 2 2
6 3 2x xy y+ −
31
5
xyz
2 2
x y y− 2 21
3 6
2
x y x y+ −
4

5. Objetivos

6. Dos polinomios se sumanDos polinomios se suman
reduciendo los términos que seanreduciendo los términos que sean
semejantes en ambos.semejantes en ambos.
EJEMPLO:EJEMPLO:
1.)1.) Para sumar el polinomio: 2Para sumar el polinomio: 2xyxy33
– 3– 3xx22
yy22
++
44xx33
yy + 2+ 2xyxy22
– 5– 5xx22
yy + 7+ 7xyxy
con el polinomio:con el polinomio: xyxy33
+ 3+ 3xx22
yy22
+ 4+ 4 xyxy22
– 2– 2xx22
yy ––
99xyxy , se procede así:, se procede así:
(2 + 1)(2 + 1)xyxy33
+ (– 3 + 3)+ (– 3 + 3) xx22
yy22
+ 4+ 4xx33
yy + (2 + 4)+ (2 + 4)xyxy22
+ (– 5 – 2)+ (– 5 – 2)xx22
yy + (7 – 9)+ (7 – 9)xyxy
= 3= 3xyxy33
+ 4+ 4xx33
yy + 6+ 6xyxy22
– 7– 7xx22
yy – 2– 2xyxy ..

7. Cuando los polinomios son de una sola variable,Cuando los polinomios son de una sola variable,
para realizar la suma la operación se efectúapara realizar la suma la operación se efectúa
sumando o restando los coeficientes (según susumando o restando los coeficientes (según su
signo) de los términos de igual grado.signo) de los términos de igual grado.
Para sumar:Para sumar: PP((xx) = 3) = 3xx44
– 5– 5xx22
+ 7+ 7xx con:con: QQ((xx) =) =
xx33
+ 2+ 2xx22
– 11– 11xx + 3, se procede+ 3, se procede así:así:
PP((xx) +) + QQ((xx)) = (3= (3xx44
– 5– 5xx22
+ 7+ 7xx) + () + (xx33
+ 2+ 2xx22
––
1111xx + 3)+ 3)
= 3= 3xx44
++ xx33
+ (– 5 + 2)+ (– 5 + 2)xx22
+ (7 – 11)+ (7 – 11)xx + 3+ 3
= 3= 3xx44
++ xx33
– 3– 3xx22
– 4– 4xx + 3 .+ 3 .

8. Para sumar varios polinomios, en
la práctica, se acostumbra colocar
unos debajo de los otros de
manera que los términos
semejantes queden en la misma
columna. A continuación se
reducen los términos semejantes
separando unos de otros con sus
signos correspondientes.

9. 1.)1.) Sumar:Sumar:
Para efectuar la suma se tiene:Para efectuar la suma se tiene:
3 2 2 2 2 3 3 2 2
4 2 3 , con: 6 2 4 , ycon: 7 6x x y xy x y xy x x x y xy+ − + − − +
3 2 2
3 2 2
3 2 2
3 2 2
4 2 3 ,
4 6 2
7 6
______________________
5
x x y xy
x x y xy
x x y xy
x x y xy
+ −
− + +
− +
+ +

10. 2.)2.) Sumar:Sumar: PP(x) = 3(x) = 3xx44
+ 3+ 3xx22
– 5– 5xx +7, con:+7, con:
QQ(x) = 2(x) = 2xx55
–– xx44
++ xx33
– 2– 2xx22
++ xx –3, y con:–3, y con:
RR(x) = – 3(x) = – 3xx55
+ 2+ 2xx44
+ 2+ 2xx33
– 4– 4xx –5.–5.
Para efectuar la suma se tiene:Para efectuar la suma se tiene:
4 2
5 4 3 2
5 4 3
5 4 3 2
3 3 5 7
2 2 3
3 2 2 4 5
__________________________
4 3 8 1
x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
+ − +
− + − + −
− + + − −
− + + + − −

11. Todo polinomio tiene unTodo polinomio tiene un opuestoopuesto, que, que
se obtiene cambiando el signo dese obtiene cambiando el signo de
todos sus términos.todos sus términos.
Ejemplo:Ejemplo:
1.)1.) Para el polinomio:Para el polinomio: PP((xx) =) = xx22
+ 3+ 3xx – 4– 4
su opuesto es el polinomio: –su opuesto es el polinomio: – PP((xx) = –) = –xx22
––
33xx + 4.+ 4.

12. Se llamaSe llama restaresta oo diferenciadiferencia de dosde dos
polinomios,polinomios, PP – – QQ, a la suma de, a la suma de PP con el con el
opuesto deopuesto de QQ. Al polinomio. Al polinomio PP se le llamase le llama
minuendominuendo y al polinomioy al polinomio QQ se le llamase le llama
sustraendosustraendo. Así, para restar dos. Así, para restar dos
polinomios se suma al minuendo elpolinomios se suma al minuendo el
opuesto del sustraendo.opuesto del sustraendo.

13. Ejemplo:Ejemplo:
1.)1.) Para restar del polinomio:Para restar del polinomio: PP((xx) = 3) = 3xx44
––
55xx22
+ 7+ 7xx,,
el polinomio:el polinomio: QQ((xx) =) = xx33
+ 2+ 2xx22
– 11– 11xx + 3, se+ 3, se
procede así:procede así:
PP((xx) –) – QQ((xx)) = (3= (3xx44
– 5– 5xx22
+ 7+ 7xx) – () – (xx33
+ 2+ 2xx22
– 11– 11xx
+ 3)+ 3)
= (3= (3xx44
– 5– 5xx22
+ 7+ 7xx) + (–) + (– xx33
– 2– 2xx22
+ 11+ 11xx – 3)– 3)
= 3= 3xx44
–– xx33
+ (– 5 – 2)+ (– 5 – 2)xx22
+ (7 + 11)+ (7 + 11)xx – 3– 3
= 3= 3xx44
–– xx33
– 7– 7xx22
+ 18+ 18xx – 3 .– 3 .

14. En forma parecida al caso de la suma,
para restar dos polinomios puede resultar
cómodo escribir el opuesto del sutraendo
debajo del minuendo de manera que los
términos semejantes queden en la misma
columna y a continuación se reducen los
términos semejantes.

15. Ejemplo:Ejemplo:
1.)1.)Restar:Restar:
Solución:Solución:
Se escribe el sustraendo con los signosSe escribe el sustraendo con los signos
cambiados (para tener su opuesto) debajo delcambiados (para tener su opuesto) debajo del
minuendo, ordenándolos ambos en ordenminuendo, ordenándolos ambos en orden
descendente con respecto a la variabledescendente con respecto a la variable xx, y se, y se
suma:suma:
4 3 2 2 4 3 2 2
4 2 5 , de 8 5 3x x y x y x x y x y− + − +
4 3 2 2
4 3 2 2
4 3 2 2
8 5 3
4 2 5
______________________
4 3 2
x x y x y
x x y x y
x x y x y
− +
− + −
− −