Multiplicadores de Lagrange

1. Optimización
Multiplicadores de Lagrange
Yoe Herrera
UNAB
yherrera743@unab.edu.co
October 4, 2017
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2. Optimización
Ejemplos de optimización
Ejemplo 1
Hallar el punto de la superficie y2 = 9 + xz más cercano al origen.
El ejercicio equivale a minimizar f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sujeto a y2 − xz = 9
Resolvemos el sistema
fx = 2x = −λz = λgx (1)
fy = 2y = 2λy = λgy (2)
fz = 2z = −λx = λgz (3)
y2
− xz = 9 (4)
Notemos que si λ = 0, x = y = 0, pero la ecuación (4) no se cumpliría. Luego λ = 0.
De (2), tenemos que a) y = 0 o b) λ = 1.
Supongamos a). Ahora, de (1) ÷ (2) obtenemos
x
z
=
z
x
⇒ z = ±x.
Si z = x, luego −x2 = 9, lo cual es imposible.
Si Si z = x, luego 9 = x2, por tanto, x = ±3. En consecuencia, (3, 0, −3) y
(−3, 0, 3), son soluciones del sistema.
Ahora, si b) λ = 1. Tenemos de (1) que 2x = −z = −(±x), luego x = z = 0. En
consecuencia, de (4) concluimos que y2 = 9, es decir, y = ±3. Así, (0, 3, 0) y
(0, −3, 0) son soluciones.
Finalmente, f(3, 0, −3) = 18 = f(3, 0, −3) y f(0, 3, 0) = 9 = f(0, −3, 0).
Conclusión. Los puntos más cercanos al origen son (0,3,0) y (0,-3,0). 2 / 5

3. Optimización
Ejemplos de optimización
Ejemplo 2
Se busca diseñar una caja de 48 cm3. Si el material para los lados lateras cuesta $ 10
por cm2 y el de la base y tapa $ 5 por cm2, hallar el las dimensiones de la caja más
barata.
Sean x e y las dimensiones de la base de la caja, y z su altura.
La función a minimizar es C(x, y, z) = 5(2xy) + 10(2xz + 2yz) sujeto a xyz = 48,
x, y, z > 0. Luego, obtenemos el sistema
Cx = 10y + 20z = λyz = λgx (5)
Cy = 10x + 20z = λxz = λgy (6)
Cz = 20(x + y) = λxy = λgz (7)
xyz = 48 (8)
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4. Optimización
Ejemplos de optimización
De (5) ÷ (6), obtenemos
10y + 20z
10x + 20z
=
y
x
⇒ 10xy + 20xz = 10xy + 20yz ⇒ x = y.
Luego, de (7), 40x = λx2, por tanto, x = y = 40/λ.
En consecuencia, en (6), 10(40/λ) + 20(40/λ) = λ(40/λ)z. De donde, z = 30/λ.
Finalmente, en (8),
(40/λ)(40/λ)(30/λ) = 48 ⇒ 1000 = λ3
⇒ λ = 10.
Por tanto, x = y = 40/10 = 4 y z = 30/10 = 3.
Conclusión. Las dimensiones de la caja que minimizan el costo son: largo
y ancho de la base 4 cm y altura 3 cm. El costo de fabricación es de
5(2(4)(4))+10(2(4)(3)+2(4)(3))=424.
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5. Optimización
Ejemplos de optimización
Ejemplo 3
Hallar los puntos sobre la superficie x2 + y2 = z2 más cercano al punto (4, 2, 0).
El objetivo es minimizar f(x, y, z) = (x − 4)2 + (y − 2)2 + z2, restringido a
x2 + y2 − z2 = 0.
Resolvemos el sistema
fx = 2(x − 4) = λ(2x) = λgx (9)
fy = 2(y − 2) = λ(2y) = λgy (10)
fz = 2z = λ(−2z) = λgz (11)
x2
+ y2
− z2
= 0 (12)
De (11), a) z = 0 o b) λ = −1.
De a) en (12), x2 + y2 = 0, luego, x = y = 0. Por tanto, (0, 0, 0) es una solución.
De b) en (9), 2(x − 4) = −2x, luego, x = 2, y de (10), y = 1. Por tanto,
22 + 12 = z2, implica que z = ±
√
5. Así, las soluciones son (2, 1,
√
5) y (2, 1, −
√
5).
Finalmente, f(2, 1, ±
√
5) = 10 y f(0, 0, 0) = 20. Entonces, los puntos más cercanos a
(4, 2, 0) son (2, 1,
√
5) y (2, 1, −
√
5), su distancia es
√
20 = 2
√
5 unidades de
distancia.
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