Sistemas de ecuaciones lineales 2 x2
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El documento presenta dos sistemas de ecuaciones lineales 2x2. En el primer sistema, resuelve las ecuaciones igualándolas y obtiene que x=1 y y=2. En el segundo sistema, utiliza el método de determinantes para resolver tres ecuaciones de tres incógnitas, obteniendo x=2, y=0 y z=-3.
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- 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2 1) 𝟓 𝑿 + 𝟒 𝒀 = 𝟕 𝟕 𝑿 − 𝟔 𝒚 = 𝟒 (1) Multiplicar todo por: xy 𝒙𝒚 ( 𝟓 𝒙 + 𝟒 𝒚 = 𝟕) → 𝟓𝒚 + 𝟒𝒙 = 𝟕𝒙𝒚 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏 𝒙𝒚 ( 𝟕 𝒙 − 𝟔 𝒚 = 𝟒) → 𝟕𝒚 − 𝟔𝒙 = 𝟒𝒙𝒚 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐 (2) Método de igualación: Despejar “y” en ambas ecuaciones 𝒚 = 𝟕𝒙𝒚 − 𝟒𝒙 𝟓 𝒚 = 𝟒𝒙𝒚 + 𝟔𝒙 𝟕 𝟕𝒙𝒚 − 𝟒𝒙 𝟓 = 𝟒𝒙𝒚 + 𝟔𝒙 𝟕 7(7xy – 4x) = 5(4xy + 6x) 49xy – 28x = 20xy + 30x 49xy – 20xy = 30x + 28x 29xy = 58x Despejar “y” 𝒚 = 𝟓𝟖𝒙 𝟐𝟗𝒙 y = 2 Sustituir el valor de “y” en cualquier ecuación: 5y + 4x = 7xy 5(2) + 4x = 7x(2) 10 + 4x = 14x 10 = 14x – 4x 10 = 10x Despejar x 𝒙 = 𝟏𝟎 𝟏𝟎 x = 1
- 2. Comprobación 𝟓 𝑿 + 𝟒 𝒀 = 𝟕 𝟕 𝑿 − 𝟔 𝒚 = 𝟒 𝟓 𝟏 + 𝟒 𝟐 = 𝟕 → 𝟓 + 𝟐 = 𝟕 → 𝟕 = 𝟕 𝟕 𝟏 − 𝟔 𝟐 = 𝟒 → 𝟕 − 𝟑 = 𝟒 → 𝟒 = 𝟒 2) 5x + 4y + 3z = 1 2x – y – z = 7 3x + y = 6 ∆𝒔 | 𝟓 𝟐 𝟑 𝟒 −𝟏 𝟏 𝟑 −𝟏 𝟎 𝟓 𝟐 𝟑 𝟒 −𝟏 𝟏 | + ( – 12 + 6) – ( – 9 – 5) + ( – 6) – ( – 14) – 6 + 14 = 8 ∆𝒔 = 𝟖 ∆𝒙 | 𝟏 𝟕 𝟔 𝟒 −𝟏 𝟏 𝟑 −𝟏 𝟎 𝟏 𝟕 𝟔 𝟒 −𝟏 𝟏 | + ( – 24 + 21) – ( – 18 – 1) + ( – 3) – ( – 19) – 3 + 19 = 16 ∆𝒙 ∆𝒔 = 𝟏𝟔 𝟖 = 𝟐 x = 2 ∆𝒚 | 𝟓 𝟐 𝟑 𝟏 𝟕 𝟔 𝟑 −𝟏 𝟎 𝟓 𝟐 𝟑 𝟏 𝟕 𝟔 | + ( – 3 + 36) – ( 63 – 30) + ( 33 ) – ( 33) 33 – 33 = 0 y = 0 ∆𝒛 | 𝟓 𝟐 𝟑 𝟒 −𝟏 𝟏 𝟏 𝟕 𝟔 𝟓 𝟐 𝟑 𝟒 −𝟏 𝟏 | + ( – 30 + 84 + 2) – ( – 3 + 35 + 48) + ( 56 ) – ( 80 ) 56 – 80 = – 24 ∆𝒛 ∆𝒔 = − 𝟐𝟒 𝟖 = −𝟑 z = – 3
- 3. Comprobación: x = 2, y = 0, z = – 3 5x + 4y + 3z = 1 2x – y – z = 7 3x + y = 6 5(2) + 4(0) + 3(– 3) = 1 2(2) – 0 – (–3) = 7 3(2) + 0 = 6 10 + 0 – 9 = 1 4 + 3 = 7 6 = 6 10 – 9 = 1 7 = 7 1 = 1 3) 𝒙 − 𝒚 − 𝟏 𝒙 + 𝒚 + 𝟏 = − 𝟑 𝟏𝟕 𝒙 + 𝒚 − 𝟏 𝒙 − 𝒚 + 𝟏 = −𝟏𝟓 17(x – y – 1) = – 3(x + y + 1) 17x – 17y – 17 = – 3x – 3y – 3 17x + 3x – 17y + 3y = – 3 + 17 20x – 14y = 14 Simplificar: 𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟒𝒚 𝟐 = 𝟏𝟒 𝟐 10x – 7y = 7 Ecuación 1 x + y – 1 = – 15(x – y + 1) x + y – 1 = – 15x + 15y – 15 x + 15x + y – 15y = – 15 + 1 16x – 14y = – 14 Simplificar: 𝟏𝟔𝒙 − 𝟏𝟒𝒚 𝟐 = − 𝟏𝟒 𝟐
- 4. 8x – 7y = – 7 Ecuación 2 ∆𝒔 = | 𝟏𝟎 −𝟕 𝟖 −𝟕 | + (−𝟕𝟎)− (−𝟓𝟔) → −𝟕𝟎 + 𝟓𝟔 = −𝟏𝟒 ∆𝒔 = −𝟏𝟒 ∆𝒙 = | 𝟕 −𝟕 −𝟕 −𝟕 | + (−𝟒𝟗)− ( 𝟒𝟗) → −𝟒𝟗 − 𝟒𝟗 = −𝟗𝟖 ∆𝒙 = −𝟗𝟖 −𝟏𝟒 = 𝟕 ∆𝒙 = 𝟕 ∆𝒚 = | 𝟏𝟎 𝟕 𝟖 −𝟕 | + (−𝟕𝟎)− ( 𝟓𝟔) → − 𝟕𝟎 − 𝟓𝟔 = −𝟏𝟐𝟔 ∆𝒚 ∆𝒔 = − 𝟏𝟐𝟔 −𝟏𝟒 = 𝟗 ∆𝒚 = 𝟗 x = 7, y = 9 Comprobaciones: Ecuación 1 𝟕 − 𝟗 − 𝟏 𝟕 + 𝟗 + 𝟏 = − 𝟑 𝟏𝟕 𝟕 − 𝟏𝟎 𝟏𝟕 = − 𝟑 𝟏𝟕 − 𝟑 𝟏𝟕 = − 𝟑 𝟏𝟕
- 5. Ecuación 2 𝟕 + 𝟗 − 𝟏 𝟕 − 𝟗 + 𝟏 = −𝟏𝟓 𝟏𝟔 − 𝟏 𝟖 − 𝟗 = −𝟏𝟓 𝟏𝟓 −𝟏 = −𝟏𝟓 − 𝟏𝟓 = −𝟏𝟓 4) En un cine, 10 entradas para adultos y 9 entradas para niños costaron $512.00 pesos; 17 entradas para niños y 15 de adultos costaron $831.00 pesos. Encontrar el costo unitario de los boletos de entrada tanto para adultos, así como para niños. A = Adultos. N = niños. 10A + 9N = 512 Ecuación 1 15A + 17N = 831 Ecuación 2 Método de determinantes o Cramer. ∆𝒔 = | 𝟏𝟎 𝟗 𝟏𝟓 𝟏𝟕 | + ( 𝟏𝟕𝟎)− ( 𝟏𝟑𝟓) = 𝟏𝟕𝟎 − 𝟏𝟑𝟓 = 𝟑𝟓 ∆𝒔 = 𝟑𝟓 ∆𝑨 = | 𝟓𝟏𝟐 𝟗 𝟖𝟑𝟏 𝟏𝟕 | + ( 𝟖𝟕𝟎𝟒)− ( 𝟕𝟒𝟕𝟗) = 𝟖𝟕𝟎𝟒 − 𝟕𝟒𝟕𝟗 = 𝟏𝟐𝟐𝟓 ∆𝑨 ∆𝒔 = 𝟏𝟐𝟐𝟓 𝟑𝟓 = 𝟑𝟓 ∆𝑨 = 𝟑𝟓 ∆𝑵 = | 𝟏𝟎 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟓 𝟖𝟑𝟏 | + ( 𝟖𝟑𝟏𝟎) − ( 𝟕𝟔𝟖𝟎) = 𝟖𝟑𝟏𝟎 − 𝟕𝟔𝟖𝟎 = 𝟔𝟑𝟎 ∆𝑵 ∆𝒔 = 𝟔𝟑𝟎 𝟑𝟓 = 𝟏𝟖 El costo de los boletos es: Adultos $35, Niños $18.
- 6. Comprobaciones: A = 35, N = 18 Ecuación 1. Ecuación 2. 10A + 9N = 512 15A + 17N = 831 10(35) + 9(18) = 512 15(35) + 17(18) = 831 350 + 162 = 512 525 + 306 = 831 512 = 512 831 = 831