Este documento presenta los conceptos de fuerza cortante y momento flector en vigas. Explica la relación entre la carga, fuerza cortante y momento flector, y cómo se pueden usar diagramas para mostrar su distribución. También describe el uso de funciones de Macaulay para derivar ecuaciones generales de fuerza cortante y momento flector para vigas con diferentes cargas.
Viga simplemente apoyada, viga en voladizo, solicitaciones del tipo: carga puntual, carga uniformemente distribuida, distribuida triangularmente. Reacciones en apoyos. Diagrama de fuerzas cortantes. Diagramas de momentos flexionantes. Flexión. Esfuerzo normal de flexión. Esfuerzo cortante horizontal. módulo de la sección. Momento de Inercia
Esfuerzo en Vigas en Materiales.
Una estructura se encuentra en equilibrio si cada una de sus partes obtenidas mediante seccionamiento arbitrario se encuentra también en equilibrio.
Viga simplemente apoyada, viga en voladizo, solicitaciones del tipo: carga puntual, carga uniformemente distribuida, distribuida triangularmente. Reacciones en apoyos. Diagrama de fuerzas cortantes. Diagramas de momentos flexionantes. Flexión. Esfuerzo normal de flexión. Esfuerzo cortante horizontal. módulo de la sección. Momento de Inercia
Esfuerzo en Vigas en Materiales.
Una estructura se encuentra en equilibrio si cada una de sus partes obtenidas mediante seccionamiento arbitrario se encuentra también en equilibrio.
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RESISTENCIA DE MATERIALES: FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
1. UNIVE R S IDA D NACIO NA L DE INGE NIE R ÍA
FACULTA D DE INGE NIE R IA GE O L O GICA
M INE R A Y M E TA LURGICA
RESISTENCIA DE MATERIALES
P RO F E S O R : D U R A N D P O R R A S J UA N C A R L O S
A LU M N O S :
G U E R R A L OYO L A A A RO N N E L S O N
N E Y R A RO D R IG U E Z J E A N C A R L O S
Q U IS P E C AC E R E S JA S S O N A RT U RO
2015
LIM A 10 DE JU NIO DEL 2013
FUERZA CORTANTE Y
MOMENTO FLECTOR
2. 1. RELACIÓN ENTRE CARGA, FUERZA
CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Facultad de Ingenier ía
Geológica, Minera y
Metalúr gica
Los miembros ligeros que soportan cargas aplicadas de forma
perpendicular y/o paralela a sus ejes longitudinales se llaman
vigas.
A menudo se pueden clasificar según el modo en que estén
soportadas.
Viga simplemente apoyada Viga en voladizo
Viga con voladizo
3. 1. RELACIÓN ENTRE CARGA, FUERZA
CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Facultad de Ingenier ía
Geológica, Minera y
Metalúr gica
Las vigas se presentan en gran variedad de estructuras (armazones de
edificios, chasis de automóviles, etc.). En muchos casos, pueden hallarse gran
variedad de cargas aplicadas sobre las mismas. Esto hace que determinar la
sección transversal crítica (aquella en la que se producen los esfuerzos de
mayor magnitud) no sea un procedimiento sencillo, de un solo paso.
Se recurre entonces a los diagramas de fuerza cortante y momento flector.
Estos diagramas son representaciones gráficas que muestran cómo se
distribuyen dichas cargas sobre la viga, revelando dónde se encuentra la
sección transversal crítica.
En la mayoría de las vigas, los esfuerzos provocados por momentos flectores
son más relevantes que aquellos producidos por fuerza cortante. Debido a
esto, suele ocurrir que la sección crítica sea aquella en la cual esté aplicado el
momento flector de mayor magnitud. Sin embargo, por seguridad, debe
hacerse también una evaluación de esfuerzos en la sección donde ocurra la
mayor fuerza cortante.
4. 1. RELACIÓN ENTRE CARGA, FUERZA
CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Facultad de Ingenier ía
Geológica, Minera y
Metalúr gica
Convención de signos
Se consideraráncon signo positivo:
Las cargas variables y/o fuerzas cortantes que generen rotación horaria
del segmento de viga.
Los momentos flectores que generen compresión en la parte superior de la
sección transversal de la viga.
5. 1. RELACIÓN ENTRE CARGA, FUERZA
CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Facultad de Ingenier ía
Geológica, Minera y
Metalúr gica
Relación entre Fuerza Cortante y Momento Flector
Consideremos una viga en sometida a una carga distribuida a lo largo de
la misma, como se muestra.
El término ‘q(x)·Δx’ representa la fuerza resultante.
6. 1. RELACIÓN ENTRE CARGA, FUERZA
CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Facultad de Ingenier ía
Geológica, Minera y
Metalúr gica
Al aplicar la primera condición de la
estática, obtenemos:
Fv V q(x) Δx (V ΔV) 0
Al despejar el término referido a la
variación de fuerza cortante, tenemos:
V q(x) x
Finalmente, al despejar ‘q(x)’ y aplicar el
límite cuando ‘Δx→0’ nos queda:
7. 1. RELACIÓN ENTRE CARGA, FUERZA
CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Facultad de Ingenier ía
Geológica, Minera y
Metalúr gica
Análogamente, al aplicar la segunda condición de la
estática, obtenemos:
Mo M V x q(x) x2
/ 2 (M M ) 0
Despejando tenemos: M V x q(x) x2
/ 2
Luego, al despejar V, tomando la aproximación
‘Δx2≈0’ y aplicando el límite cuando ‘Δx→0’ nos
queda:
Podemos observar entonces que el diagrama de
fuerza cortante nos indica cómo se comportan las
rectas tangentes a la curva que describe la variación
del momento flector sobre la viga.
8. 2. ECUACIONES GENERALES DE FUERZA
CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Facultad de Ingenier ía
Geológica, Minera y
Metalúr gica
n
En muchos casos puede resultar de interés disponer de
Expresiones analíticas que describan cómo varían la fuerza
Cortante y el momento flector.
Para ello, utilizaremos la función de Macaulay, que se define de la
siguiente forma:
f (x) x a
0 si ‘x < a’
( x – a )n si ‘x > a’
Respecto a esta función, podemos acotar lo siguiente:
•La expresión encerrada en los corchetes agudos es nula hasta
que “x” alcanza el valor de “a”.
•Para ‘x > a’, la expresión se convierte en un binomio ordinario.
•Cuando ‘n = 0’ y ‘x > a’, la función es igual a la unidad.
9. 2. ECUACIONES GENERALES DE FUERZA
CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Facultad de Ingenier ía
Geológica, Minera y
Metalúr gica
Para determinar las ecuaciones generales de fuerza cortante y
momento flector de una viga cargada, se recomienda seguir los
siguientes pasos:
1. Hacer un corte imaginario en un extremo de la viga, a la
izquierda o a la derecha, según convenga.
2. Determinar las reacciones en apoyos ó empotramientos.
3. Describir cada carga, utilizando para ello una función de
Macaulay.
4. El plano de corte imaginario debe coincidir con el final de las
cargas distribuidas; de no ser así, las mismas deberán
proyectarse hasta dicho corte. Se recomienda entonces
agregar y quitar tantas cargas como sea necesario.
10. 2. ECUACIONES GENERALES DE FUERZA
CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Facultad de Ingenier ía
Geológica, Minera y
Metalúr gica
0
0
1
A continuación presentamos algunos ejemplos de cargas
expresadas utilizando funciones de Macaulay:
V(x) 0
M (x) M x a
V(x) P x a
M (x) P x a
11. 2. ECUACIONES GENERALES DE FUERZA
CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Facultad de Ingenier ía
Geológica, Minera y
Metalúr gica
1 1
2 2
Como se mencionó anteriormente, al presentarse cargas
variables debe procurarse que éstas terminen en el corte
imaginario realizado en un extremo de la viga; se procedería
entonces como sigue para una carga uniformemente
distribuida:
V(x) W x a W x b
M (x) W
1
2
x a W
1
2
x b
12. 2. ECUACIONES GENERALES DE FUERZA
CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Facultad de Ingenier ía
Geológica, Minera y
Metalúr gica
Con una carga que varía linealmente, se tendría:
K
K b a
x a
K
b a
x b
13. 2. ECUACIONES GENERALES DE FUERZA
CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Facultad de Ingenier ía
Geológica, Minera y
Metalúr gica
Que método es usado en este problema?
