El documento trata sobre conceptos básicos de análisis numérico como números en máquina, errores absolutos y relativos, cotas de error, fuentes de error como redondeo y truncamiento, cálculos estables e inestables, y condicionamiento. Explica que el análisis numérico se ocupa de diseñar algoritmos para simular procesos matemáticos complejos mediante cálculos numéricos y aproximaciones, considerando los errores introducidos en los cálculos.

1. Alumno: David Alejandro Singer
CI: 21.048.686
Sección: SAIA-B
Profesor: Domingo Méndez
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERECTORADO ACADÉMICO
SISTEMA DE APRENDIZAJE INTERACTIVO A DISTANCIA
CABUDARE
Análisis Numérico y
Teoría de Errores
Noviembre 2015

2. ANÁLISIS NUMÉRICO
El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se
encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas
simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del
mundo real. Consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan
cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales
de los instrumentos de cálculo que nos ayudan en la ejecución de las
instrucciones del algoritmo con el fin de calcular o aproximar alguna cantidad o
función, para el estudio de errores en los cálculos.

3. NÚMERO MÁQUINA
Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de
base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa
que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de
menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se
relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras
digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica
abierta/cerrada.

4. ERROR ABSOLUTO
Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y su
valor calculado o redondeado, o sea el valor exacto menos el valor calculado";debido
a que la ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es
negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos,
sin reducirse.
Cuando se utiliza 0.6 como aproximación de 0.613, el error equivale a (0.6-0.613),
que es - 0.013 (algunos definen el error como 0.613-0.6). En este caso, el error
absoluto es |0.6-0.613|, que es 0.013.

5. ERROR RELATIVO
Error relativo es el que nos indica la calidad de la medida. Es el cociente entre el
error absoluto y el valor que damos como representativo (la media aritmética).
Se puede dar en % de error relativo. En efecto, si cometemos un error absoluto de
un metro al medir la longitud de un estadio de fútbol de 100 m y también un metro al
medir la distancia Santiago-Madrid, de aproximadamente 600.000 m, el error relativo
será 1/100 (1%) para la medida del estadio y 1 /600.000 para la distancia Santiago-
Madrid.Tiene mucha más calidad la segunda medida.

6. COTAS DE ERROR
Para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, el error
cometido debe estar controlado o acotado de manera que:
Los números k y k' se llaman cotas del error absoluto o relativo,
respectivamente. Al redondear, podemos dar una cota del error
absoluto de la siguiente manera:
donde c = 5 unidades del orden de la primera cifra no utilizada en el
redondeo.Y una cota del error relativo:

7. Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y
error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se
representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario
conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas
dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la
fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea
para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde
aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por
ejemplo, truncando los términos de una serie).
FUENTES BÁSICAS DE ERRORES

8. ERROR DE REDONDEO
Es aquel error en donde el numero significativo de dígitos despues del punto decimal, se ajusta a un
numero especifico, provocando con ello un ajuste en el ultimo digito que se tome en cuenta.
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y después truncar para que resulte un número de
la forma
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1)
a d k para obtener a fl; esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después de los
primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo

9. Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará
ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de
términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se
supone es exacta).
En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose
a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se
asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo "n" veces.
ERROR DETRUNCAMIENTO

10. Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se
representará por fl , se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales. Existen dos formas
de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para
obtener
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
ERROR DETRUNCAMIENTO

11. ERROR DE SUMAY RESTA
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la computadora. Como
cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se
acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos
interiores. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que
más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que
los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la
exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande
entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco
relevantes.
Sean: x ± Dx y z ± Dz
x + z = (x + z) ± (Dx + Dz)
x – z = (x – z) ± (Dx + Dz)

12. CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLES
Otro tema de frecuente aparición en el análisis numérico es la distinción entre los procesos
numéricos que son estables y los que no lo son. Un concepto muy relacionado es el de problema bien
condicionado o mal condicionado.
Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus
etapas se agrandan en etapas posteriores y degradan la calidad de los resultados.
Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos de entrada pueden dar lugar
a grandes cambios en las respuestas.

13. CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLES
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos
de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los
valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico es
inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en
etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.
El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los
errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento , lo cual significa que
un cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio
relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una fórmula puede ser inestable sin
importar con qué precisión se realicen los cálculos.

14. CONDICIONAMIENTO
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuan sensible
es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un
problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios
en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un número
condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos".
Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal condicionado; se debe
tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de condición, es decir para la evaluación de
una función se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se
establece otro tipo de número de condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta
qué punto la incertidumbre aumenta.