Este documento describe los sistemas de coordenadas polares, los cuales definen la posición de un punto en un plano mediante un ángulo y una distancia en lugar de coordenadas cartesianas. Explica cómo graficar ecuaciones y calcular el área de una región usando coordenadas polares. También cubre la conversión entre sistemas de coordenadas polares y cartesianas.

1. Coordenadas Polares
En este tema veremos que los puntos del plano también se pueden representar
usando otro sistema de referencia, que denominamos coordenadas polares.
Sistemas de Coordenadas
Es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de
cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado
origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a
partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto, constituyen
lo que se denomina sistema de referencia.

2. Sistemas de Coordenadas Polares
Las coordenadas polares son un sistema que definen la posición de un punto en un
espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir
unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un
punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el
origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto constituyen
lo que se denomina sistema de referencia.
En el plano podemos usar las coordenadas polares, que permiten expresar ciertas curvas
en forma mucho más simple que las ecuaciones que ligan sus coordenadas cartesianas.
En el espacio, en lugar de usar las cartesianas, podemos usar las coordenadas cilíndricas
o esféricas.
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la
distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes.
Conversión de Coordenadas
La representación de un punto en el plano o el espacio, se puede hacer mediante
diferentes sistemas de coordenadas. En estos momentos nos ocupan los sistemas de
coordenadas rectangulares y polares

3. Graficas de Ecuaciones en Coordenadas Polares
Las calculadoras dibujan gráficas de r = f (θ) al hallar el valor de f (θ) para numerosos
valores de θ a intervalos espaciados regularmente, y dibujando luego los puntos
resultantes (x,y).
Cuando se dibujan gráficas en coordenadas polares, debe identificarse algunos valores
mostrados de θ correspondientes a r = 0 o donde r alcanza un máximo o un mínimo.
Además, debe identificar el rango de valores de θ que producen una copia de la curva
polar, cuando ésta es apropiada.
Grafica de una Ecuación Polar
La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos (x,y) para los
cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En otros términos, la gráfica de una
ecuación polar es una gráfica en el plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas
polares satisfacen la ecuación dada.
El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la función r =
r (θ) en coordenadas rectangulares y a partir de esa gráfica trazamos la correspondiente
en polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto a θ.

4. Intersección de Graficas
Puesto que un punto puede representarse de formas diferentes en coordenadas polares,
debe tenerse especial cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas
polares, por lo que se sugiere realizar el dibujo de las ecuaciones, inclusive cuando más
adelante calculemos el área de una región polar.
Calculo del área de una región plana en coordenadas polares
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en
sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de
rectángulos como elementos básicos de dicha área.
Podemos decir que usar la fórmula para hallar el área de una región limitada por la
gráfica de una función continua no negativa. Sin embargo, no es necesariamente válida si
f toma valores positivos y negativos en el intervalo [ a, b ] .
Algunas veces lo más difícil a la hora de hallar el área de una región polar es determinar
los límites de integración. Un buen dibujo de la región puede ayudar mucho en estos
casos.