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UNIVERSIDAD DE GRANADA
DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA
DE LA MATEMÁTICA
MATERIALES Y RECURSOS EN EL
AULA DE MATEMÁTICAS

Flores, P., Lupiáñez, J. L., Berenguer, L., Marín, A. y Molina, M. (2011). Materiales y
recursos en el aula de matemáticas. Granada: Departamento de Didáctica de la
Matemática de la Universidad de Granada.
Edición:
Mario García Serrano
Autores:
Pablo Flores
José Luis Lupiáñez
Luis Berenguer
Antonio Marín
Marta Molina
ISBN: 978-84-694-7480-8
Granada, 2011

Materiales y Recursos en el aula de Matemáticas
ÍNDICE
Tema 1. Enseñanza de las Matemáticas en el Aula 5
1. Enseñar y aprender 6
1.1 Un material: El Libro de Fracciones 10
2. Enseñanza y aprendizaje: Actividades y tareas 13
2.1 Tipos de actividades y tareas 17
2.2.Materiales para la enseñanza de las fracciones 22
3. Los medios: el aula como laboratorio y el aula como taller de
matemáticas.
35
4. A modo de síntesis 37
5. Actividades de evaluación del tema 39
Tema 2. Análisis y Clasificación de los Materiales 41
1. Necesidad de Clasificación. Criterios de clasificación. 42
2. Clasificación a partir del contenido matemático 45
2.1. Materiales para la enseñanza de la Geometría 45
2.2 Geoplano 48
2.3 Mecano 50
3. Recursos materiales versátiles: El papel doblado. 53
3.1 Papel Plegado 54
4 El profesor y los materiales/recursos didácticos.
Aprovechamiento y construcción.
65
4.1 Aprovechamiento del entorno 66
4.2 El profesor artesano 68
4.3. Compra de materiales y recursos didácticos 69
4.4 Libros de matemática divulgativa 70
5 A modo de síntesis. 71
6 Actividad obligatoria de evaluación Tema 2. 72
Tema 3. Los Materiales para la Enseñanza de los Bloques Temáticos
del Currículo.
73
1 Materiales para el bloque de números 74
1.1 Fichas de colores 74
1.2 Dominó fracciones 77
1.3 Suma 15 78
1.4 Tablero de decimales 78
1.5 Puzzles numéricos 79
1.6 Círculo de fracciones 81
1.7 Tiras de fracciones 81

2 Materiales para el bloque de geometría 82
2.1 Círculo de ángulos 82
2.2 Varillas y vértices 83
2.3 Teselas 83
2.4 Mecano 84
2.5 Puzzles 2D 85
2.6 Puzzles 3D 87
2.7 Libro de espejos 90
3 Materiales para el bloque de álgebra 92
3.1 Tabla 100 92
3.2 Liga de campeones 94
3.3 Pista de álgebra 95
3.4 Subir al 0 96
4 Materiales para el bloque de estadística y probabilidad 97
4.1 Fichas de colores 97
4.2 Juegos para introducir la probabilidad 98
5 Actividades de evaluación 103
Tema 4. Nuevas Tecnologías y Medios Audiovisuales en el Aula de
Matemáticas.
105
1 Ordenadores e Internet. 107
1.1 Software específico de matemática 109
1.2 Materiales y recursos a través de Internet 112
2 Calculadoras en clase de matemáticas ¿Sí ó no? ¿Cómo? 118
3 Medios audiovisuales: la fotografía, el cine y la televisión 120
3.1 Fotografía: "capturando" la matemática 121
3.2 Un guiño al séptimo arte 128
4 A modo de síntesis… 134
5 Actividades para profundizar 135
Tema 5: Planificación de Tareas Empleando Materiales y Recursos 137
1.Elementos de la planificación en matemáticas 137
1.1 Los marcos de referencia. 137
1.2. Centrándose en un marco curricular: El marco PISA 139
2. Selección, secuenciación y diseño de tareas escolares con
materiales y recursos
147
2.1 Análisis de materiales y recursos en el marco de la
U.D.
147
2.2 Análisis de tareas en el marco de la U.D. 150
3 Organizadores curriculares para la planificación de tareas en
unidades didácticas
157
4. Organización y estructura de una unidad didáctica. 161
5. Diseño de unidades didácticas en matemáticas 164

5.1 El Currículo oficial 165
5.2 Organización cognitiva de los contenidos 166
5.3 Las representaciones 168
5.4 Análisis fenomenológico de los conocimientos
matemáticos
169
5.5 Los errores y dificultades. Datos sobre el aprendizaje. 171
5.6 La secuencia de aprendizaje 173
5.7 Materiales y recursos 174
5.8 El análisis didáctico 175
5.9 La perspectiva histórica. 176
6. Materiales y recursos en la planificación de una unidad
didáctica.
184
ANEXOS: 193
Anexo A 194
Anexo B 197
Anexo C 207
Anexo D 228
Anexo E 254
Referencias Bibliográficas. 261

5
Tema 1.
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN EL AULA
Este tema sirve de introducción al libro. En él se justifica el interés educativo
de emplear materiales y recursos en la enseñanza de las Matemáticas. Para
ello comenzamos por distinguir entre enseñar y aprender, argumentando que
para aprender hay que “hacer” y los materiales y recursos permiten que el
alumno haga. Más adelante, en este apartado distinguimos entre materiales y
recursos.
A lo largo de este capítulo utilizamos la enseñanza y aprendizaje de las
fracciones para poner ejemplos de materiales. El primero es el Libro de
Fracciones.
En correspondencia a la diferencia entre enseñar y aprender hay que
distinguir entre actividades de enseñanza y actividades de aprendizaje.
Proponemos organizar actividades relacionadas entre sí, formando tareas
que afrontan problemas concretos relacionados con el contenido que se
pretende enseñar, y que están compuestas por actividades relativas a una
misma situación de aprendizaje.
Según el tipo de actividades de enseñanza y aprendizaje se estará realizando
un modelo de enseñanza u otro. Clasificamos las actividades de acuerdo con
varios criterios y ponemos el ejemplo de una tarea de opinión.
Antes de introducir nuevos conceptos presentamos algunos materiales
didácticos para la enseñanza y aprendizaje de las fracciones. Agrupamos los
materiales en dos categorías, los que pretenden el aprendizaje de conceptos
y los que promueven la ejercitación de destrezas de manera lúdica.
Presentamos los materiales conceptuales para la enseñanza y el aprendizaje
de las fracciones. Tres de estos materiales son fáciles de construir a partir de
unas imágenes que pueden fotocopiarse (Círculo de Fracciones, Diagrama
de Freudenthal y Transparencias de Cuadrados). Posteriormente se
presentan los materiales para ejercitar.

Tema 1: Enseñanza de las Matemáticas en el aula
6
La enseñanza que utiliza materiales didácticos tiene que cambiar la
disposición del aula, convertirla en taller o laboratorio de Matemáticas, con
mayor protagonismo de la enseñanza indirecta, en la que el alumno
desarrolla conocimientos a partir de su trabajo con materiales.
Finalmente sintetizamos el contenido del tema y las ideas más importantes y
enunciamos actividades para profundizar en lo aportado en este capítulo.
1. ENSEÑAR Y APRENDER.
Como aparece en la historieta de Bud Blake (1987), enseñar y aprender son
cosas diferentes. El profesor enseña para que el alumno aprenda. Para
aprender, el alumno escucha, copia, resuelve, actúa, y finalmente memoriza.
Además tiene que ponerle nombre y saber cuándo debe usar lo aprendido,
para utilizarlo cuando la situación lo requiera. Si lo emplea para resolver
problemas reales, el alumno será competente para emplear lo aprendido. Si
sólo las emplea cuando el profesor le pregunta, estará desarrollando
aprendizaje meramente escolar.
En la viñeta se ejemplifica un aprendizaje escolar, en el que Tigre, el niño,
dirá que el perro ha aprendido a hacer trucos si:
- Stripe hace gestos que no son habituales en un orden determinado
- Justamente cuando se lo sugiera él (Tiger).
El aprendiz hace gestos si mueve los músculos necesarios siguiendo una
secuencia completa. Para responder a la llamada de Tigre, Stripe tiene que
Figura 1. A: Bud Blake

7
asociar su respuesta con los gestos de Tiger que lo reclaman (el estímulo).
El aprendizaje de las Matemáticas es más complejo que el del perro Stripe,
tanto por la cualidad de ser racional del aprendiz humano, como por la
complejidad del conocimiento matemático. Aprender Matemáticas no consiste
sólo en memorizar una serie de destrezas sino en tener ideas, comprender
conceptos para saber en qué ocasiones y con qué problemas se utilizan.
Para llegar a esto el que aprende tiene que llegar a crear la siguiente cadena
de conductas:
Hacer – Interiorizar – Organizar – Retener – Identificar las condiciones – Recuperar
Por tanto para aprender hay que hacer. Desde lo más elemental que es
repetir, a lo más complejo que consiste en enfrentarse a problemas y tratar
de resolverlos. Tanto para recordar como para comprender, identificar, etc.,
es importante que el que aprenda haga. Un proverbio chino dice:
Oigo y olvido
Veo y recuerdo
HAGO Y APRENDO
Los educadores han inventado medios que facilitan que los alumnos actúen,
hagan (primer eslabón de la cadena). Unos medios son específicos
(programas informáticos didácticos, como el CABRI Géomètre o el más
actual GEOGEBRA, o los Bloques Multibase de Dienes). Otros son
instrumentos que se han empleado en algún momento histórico (como la
regla de cálculo, hoy en desuso, que se puede emplear para la enseñanza de
la aritmética), o con otras funciones (como el ábaco, que aún se utiliza para el
cálculo aritmético). Estos medios que facilitan el hacer, son lo que llamamos
MATERIALES Y RECURSOS para la enseñanza.
Carretero, Coriat y Nieto (1955), los definen de la siguiente forma:

8
RECURSOS:
Se entiende por recurso cualquier material, no diseñado específicamente
para el aprendizaje de un concepto o procedimiento determinado, que el
Profesor decide incorporar en sus enseñanzas.
MATERIALES:
Se distinguen de los recursos porque, inicialmente, se diseñan con fines
educativos (Si bien, en general, un buen material didáctico transciende la
intención de uso original y admite variadas aplicaciones; por ello, no hay una
raya que delimite claramente qué es un material y qué es un recurso).
Los mismos autores ponen ejemplos:
RECURSOS:
La calculadora, la fotografía y diapositiva, la prensa, los programas y
anuncios de radio y TV, los vídeos, programas de ordenador de propósito
general (procesadores de texto, hojas de cálculo, editores de gráficos,
gestores de bases de datos), los juegos, el retroproyector y la historia de las
matemáticas
MATERIALES
Las hojas de trabajo preparadas por el profesor, los programas de ordenador
de propósito específico (paquetes de estadística elemental, por ejemplo),
materiales manipulativos, etc.
Cascallana (1988) llama materiales estructurados a los que estamos
llamando materiales, y no estructurados a lo que llamamos recursos.
La historia de los materiales didácticos para la enseñanza de las Matemáticas
no es reciente. El muy recomendable capítulo de Szendrei, en el Handbook
(Bishop et all., 1996), hace un recorrido por el papel que han desempeñado los
materiales en la enseñanza de las matemáticas. El artículo de Thompson,
(1994) nos da una idea sobre el papel y las cualidades de los materiales.

9
Es recomendable mirar libros clásicos para darse cuenta de materiales
específicos que fueron propuestos por sus autores, o que han sido adaptados
por profesores creativos. Es de destacar el libro de D. Pedro Puig Adam
(1958), en el que se muestran una gran cantidad de materiales para la
enseñanza y aprendizaje de conceptos matemáticos. Puig Adam perteneció a
la Comisión Internacional para el Estudio y Mejora de la Enseñanza de las
Matemáticas, en cuyos simposium presentó el material que aparece en su
libro. Dicha Comisión editó las actas del segundo simposiun, en versión
española de Gonzalo Medina (1964), donde se nos da una idea de los
materiales que se estaban proponiendo en los años 60 del pasado siglo y que
deberíamos retomarlos. En el texto se recogen las intervenciones de
especialistas de siete países que estudiaron en conjunto el tema del material
de enseñanza. Como se señala en el prólogo, la simple cuestión de la historia
de la pizarra, útil fundamental de la enseñanza tradicional y moderna, es de
tal magnitud que merecería un estudio por sí sola. Ello nos llama la atención
sobre la importancia de los recursos, pues la pizarra es, junto al lápiz y papel
y los útiles de dibujo, recursos tan extendidos para el estudio de las
Matemáticas, que nos lleva a pensar en cómo sería la enseñanza sin su
empleo.
La Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas
organizó en Granada en el año 1998, un seminario sobre el empleo de
materiales y recursos para la enseñanza de las matemáticas. Sus materiales
de trabajo muestran un amplio abanico sobre este campo.
En la situación actual se nos abren nuevos recursos que tenemos que
considerar en nuestra tarea docente. El artículo de Manolo Alcalá, de una de
sus exposiciones en el Movimiento Cooperativo de Escuela Popular:
http://www.quadernsdigitals.net/datos_web/hemeroteca/r_7/nr_111/a_1343/1343.htm,
da un barrido interesante sobre el papel de los materiales. Puede ser
ampliado con los textos de la colección síntesis (Hernán y Castillo, 1988 y
Burgués y otros, 1988).
La pizarra es un recurso para exponer que debemos separar de recursos
para hacer. Castelnuovo (1970) en otro libro fundamental para comprender el

10
papel de los materiales de enseñanza, distingue entre materiales colectivos,
cuya función es mostrar, de materiales individuales que permiten al niño
hacer. Hay que reconocer que muchos materiales de los destacados en el
texto de la Comisión Internacional son materiales colectivos. Entre ellos es de
destacar la amplia muestra de filmes didácticos que ya existían en su época,
para la enseñanza de las Matemáticas, y que se han ampliado notablemente
en la actualidad, con la explosión de las nuevas tecnologías.
Los materiales y recursos permiten al profesor plantear tareas para que los
alumnos utilicen los conceptos matemáticos. Así, por ejemplo, los alumnos
ponen en juego su idea de polígono cuando tienen que resolver la tarea de
construir el polígono de mayor perímetro con el TANGRAM. Fruto de esta
tarea se replantean qué es un polígono, cuáles son aceptables, etc., lo que
les obliga a acudir a la definición para poder llegar a resolver la tarea.
Por último destaquemos que los materiales y recursos sirven de soportes
para que los alumnos actúen de manera práctica frente a los problemas que
componen la tarea.
Actividades
1.1.A: Recordar recursos y materiales para la enseñanza de las Matemáticas.
Distinguir cuáles son recursos y cuáles materiales.
1.1.B: Buscar en la red informática páginas de enseñanza de las Matemáticas
y materiales y recursos.
1.1 UN MATERIAL: EL LIBRO DE FRACCIONES.
Para aclarar lo que es un material didáctico veamos un ejemplo relacionado
con la enseñanza de las fracciones: El Libro de Fracciones. El más conocido
está comercializado por Nardil SL.

11
El libro está formado por páginas divididas en partes mediante dibujos y
cortes (figura 1.1.A) que representan fracciones. La hoja completa es la
unidad. Debajo de estas hojas hay
un segmento en el que se han
representado las fracciones
correspondientes. Tiene dos juegos
de hojas que corresponden a
fracciones con denominador
potencias de 2 y las ligadas a las
divisiones en tres partes.
Recomendamos al lector que
reproduzca el libro de fracciones,
busque formas de obtener
fracciones equivalentes y operar
con fracciones empleando el libro
de fracciones. A continuación aparece una página que se puede fotocopiar y
recortar, para hacer un Libro de fracciones (figura 1.1.C).
Ejemplos de actividades con el libro de fracciones son:
LF1- Obtener fracciones equivalentes.
LF2- Descomponer fracciones en varios sumandos, como:
6
5
3
2
,
2
1
y .
LF3- Estudiar cuántas veces una fracción contiene a otra. Por ejemplo,
cuántas veces
2
1
contiene a
4
1
. Cuántas veces
4
1
contiene a
2
1
. Qué porción
de
3
1
es
6
4
. Cuántos sextos se necesitan para cubrir
3
2
etc.
Figura 1.1.B: Tercios
Figura 1.1.A: Libro de Fracciones, Medios

12
Figura 1.1.C: Páginas para hacer el Libro de Fracciones

13
2. ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE: ACTIVIDADES Y TAREAS
Al diferenciar enseñanza y aprendizaje hemos distinguido lo que hacen los
dos sujetos que intervienen, el alumno (aprende) y el profesor (enseña). En la
figura 2.A reproducimos la situación que aparecía en la historieta de Blud
Blake, distinguiendo lo que hacen uno y otro:
Mientras el “profesor” explica, hace, dice, el “alumno” escucha, atiende, mira.
Vamos a llamar ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA a las acciones del profesor,
y ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE a las del alumno. Ponte y otros (1997)
Figura 2.A

14
señalan que: La naturaleza de la actividad de los alumnos en el aula de
Matemáticas es una cuestión central en la enseñanza de esta disciplina. Un
aprendizaje de las Matemáticas es siempre el producto de actividades, y si
éstas se reducen, por ejemplo, a la resolución repetitiva de ejercicios para
aplicar ciertas fórmulas, eso será lo que aprenderán, y ello va a perdurar, es
decir, aprender de memoria las fórmulas. Por tanto esta será la imagen que
adquirirán de las Matemáticas.
¿Cómo organizar las actividades para que los alumnos comprendan las
matemáticas y las apliquen a resolver problemas, es decir, sean
competentes? Ponte y otros (1997) sugieren organizar las actividades en
TAREAS DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE que utilicen las Matemáticas
para resolver problemas con sentido.
La enseñanza de un
contenido matemático por
tareas, busca situaciones en
la que se aplique el
contenido. Por ejemplo,
situaciones sobre el
consumo del agua, como la
de la viñeta de Ferreres (Figura 2.B), sirve para diseñar una tarea de
enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad. El estudio del consumo de
agua en distintos países, sería la “situación de aprendizaje”.
Cada tarea de enseñanza se compone de:
- Un contenido matemático
- Una situación de aprendizaje
Por ejemplo, para enseñar el Teorema de Pitágoras se puede explicar
desarrollándolo en la pizarra (actividad de enseñanza), mientras los alumnos
escuchan, atienden y anotan (actividades de aprendizaje). Una enseñanza
basada en tareas propone secuencias de enseñanza y aprendizaje
compuestas de varias actividades relacionadas que sean problemas
Figura 2.B: Ferreres en El Periódico de Cataluña

15
significativos en los que se aplica. Es por ello que hay que añadir al contenido
matemático la situación de aprendizaje. Se buscan las situaciones de
aprendizaje entre las situaciones cotidianas, científicas o técnicas en las que
se aplica el Teorema de Pitágoras. Como sabemos el Teorema de Pitágoras
es una condición métrica necesaria y suficiente para que tres segmentos
formen un triángulo rectángulo, por lo que se puede aplicar para:
- Determinar la longitud de un lado de un triángulo rectángulo, conocidos los
otros dos lados
- Averiguar si tres segmentos forman un triángulo rectángulo
- Construir ángulos rectos
También se puede interpretar el Teorema de Pitágoras como una relación
métrica entre las áreas de figuras semejantes construidas sobre los lados de
un triángulo rectángulo. En estas condiciones se puede emplear para
determinar el área de una figura conocidas las de otras, estudiar si son
semejantes, etc. Analizar las funciones del Teorema de Pitágoras es
establecer la fenomenología del concepto (Rico, 1997). Al estudiar la
fenomenología completamos el análisis de concepto con la búsqueda de
situaciones y contextos en que se utiliza. En el caso del Teorema de
Pitágoras, determinar longitudes y ángulos son funciones útiles para la
construcción y carpintería (dibujar una planta rectangular, estudiar si forman
ángulo recto paredes, o un estante con la pared), topografía (determinar
distancias entre puntos, en un plano, alturas inaccesibles, etc.), y otros
campos científicos (composición de fuerzas, por ejemplo).

16
En la figura 2.C, aparece un mapa conceptual elaborado por alumnos de la
asignatura Didáctica de la Matemática, en el que se aprecia un estudio
fenomenológico del Teorema de Pitágoras.
Ejemplo de tarea para enseñar el Teorema de Pitágoras es la siguiente:
EJEMPLO: Dibujar una cancha de tenis en el patio del colegio.
- El contenido matemático es el Teorema de Pitágoras
- La situación de aprendizaje se sitúa en el ambiente escolar, con una
intención técnico-práctica, afectando, por ejemplo, a los alumnos o al
profesor de Educación Física: dibujar de una cancha de tenis en el
patio del colegio. Para precisar la situación hay que aclarar en qué
condiciones se va a realizar: con qué materiales contamos, cómo está
el suelo sobre el que se va a construir, etc.
A partir de ahí podemos diseñar las actividades de enseñanza y aprendizaje.
Las de enseñanza comenzarán con la introducción para presentar la tarea.
Posteriormente se plantea la situación. Actividades de aprendizaje son las
Figura 2.C. Fenomenología T. Pitágoras

17
que realizan los alumnos de manera real sobre el suelo (medir con cinta
métrica, buscar propiedades que permitan construir líneas rectas en el suelo,
líneas paralelas y perpendiculares, manejar los utensilios para dibujar la línea
de partida, aplicar las propiedades para obtener la longitud de diagonales de
algunos rectángulos para que guarden cierta perpendicularidad, buscar
propiedades prácticas para estudiar si las líneas son razonablemente rectas,
paralelas y perpendiculares, aplicarlas, etc.). Se completan con actividades
de aprendizaje en las que los alumnos redactan un informe final describiendo
el proceso seguido, las propiedades matemáticas empleadas y las
conclusiones que han extraído.
Por tanto para indicar la tarea necesitamos precisar el contenido
matemático y la situación de aprendizaje.
Pero además necesitamos clarificar y decidir las actividades que va a realizar
el alumno como consecuencia de dicha tarea.
En resumen:
Nos parece que la enseñanza debe basarse en TAREAS DE ENSEÑANZA.
Una Tarea de Enseñanza consiste en una secuencia organizada de
actividades encaminadas a un fin, que tienen sentido completo, presentando
situaciones en las que el aprendizaje cobra sentido.
Las Tareas de Enseñanza se componen de una serie de Actividades de
Enseñanza. Cada actividad de enseñanza provoca una serie de Actividades
de Aprendizaje en los alumnos.
2.1 TIPOS DE ACTIVIDADES Y TAREAS.
Lo que diferencia el modelo de enseñanza que desarrollamos es el tipo de
aprendizajes que pretendemos, y con ello las actividades de enseñanza y
aprendizaje que tienen lugar en nuestra clase (Flores, 2001).
Vamos a clasificar las actividades de enseñanza atendiendo a lo que
pretendemos que los alumnos aprendan. Para ayudarnos a clarificar el tipo
de aprendizaje vamos a diferenciar tipos de actividades de enseñanza:

18
Tipos de actividades de enseñanza
De memoria: Su fin es promover que los alumnos realicen actividades de
aprendizaje que le lleven a almacenar, reconocer y/o reproducir información
De rutina o de procedimientos: Su fin es promover que los alumnos
aprendan a aplicar procedimientos estandarizados o algoritmos
De comprensión o entendimiento: Su fin es que los alumnos:
Transformen versiones de la información
Organicen la información y la relacionen con otra
Decidan sobre qué procedimientos se pueden aplicar
Apliquen procedimientos a nuevos problemas
De resolución de problemas: Su fin es que los alumnos desarrollen
destrezas para resolver problemas, identifiquen datos e incógnitas, los
organicen, relacionen con procedimientos conocidos, seleccionen estos
procedimientos y los apliquen, además de interpreten el resultado
De opinión: Su fin es promover que los alumnos examinen sus preferencias
y posiciones sobre algo, las expresen, las relacionen con las preferencias de
otros y extraigan conclusiones más fundamentadas
Las actividades de enseñanza y aprendizaje que utilizan materiales y
recursos pueden ser de cualquiera de los tipos anteriores.
Ejemplos de Tipos de actividades de enseñanza y aprendizaje
empleando materiales y recursos
De memoria: En un reproductor de música suena la canción de las tablas
de multiplicar del grupo Parchís, y los alumnos la cantan con el grupo
De rutina o de procedimientos: Los alumnos juegan al dominó de
fracciones, efectuando mentalmente o con papel y lápiz los algoritmos de las
operaciones con fracciones.

19
De comprensión o entendimiento: Con el diagrama de Freudenthal los
alumnos encuentran relaciones entre fracciones, las escriben en forma de
operación y con palabras.
De resolución de problemas: Los alumnos estudian qué porción de
4
3
de
litro es
5
1
de litro, comparan capacidades, buscan modelos para
representarlas, las comparan, traducen a operaciones e interpretan el
resultado
De opinión: Los alumnos examinan viñetas humorísticas sobre las
fracciones, en ellas buscan las unidades de referencia y estudian la situación
que se plantea. Posteriormente elaboran una narración sobre la situación
planteada y la cuentan a sus compañeros
En este libro presentamos materiales y recursos válidos para muchas clases
de actividades de enseñanza y aprendizaje, deteniéndonos especialmente en
las que buscan que los alumnos comprendan un concepto.
La enseñanza en la que predominan tareas de enseñanza mecánicas (de
memoria y rutina), es más formal, dirigida a aprender destrezas mecánicas,
produciendo un aprendizaje basado en la memoria.
Una enseñanza para hacer alumnos matemáticamente competentes, esto es,
que aprendan a tomar decisiones, generen hábitos de aprendizaje, se
capaciten para desenvolverse en situaciones nuevas, etc., utilizará
actividades de enseñanza que promuevan que el alumno participe, con
actividades de aprendizaje abiertas, que aborden contenidos complejos, que
tengan que formularlos verbalmente para compartirlos con sus compañeros.
Para ello sugerimos que la enseñanza esté basada en Tareas de Enseñanza,
centradas en situaciones problema en las que sea necesario el contenido
matemático, como una herramienta para resolverlas. Las actividades estarán
organizadas en un todo, mostrando la matemática como actividad humana.

20
En el ejemplo siguiente la situación de aprendizaje es la utilización del conteo
para marcar un tiempo de espera. El contenido matemático son las
características de los números racionales. Se ha empleado como recurso una
viñeta humorística.
EJEMPLO: Una tarea de opinión con viñetas humorísticas
Contar para no llegar nunca
En grupos de 4 alumnos, responder por escrito a las siguientes cuestiones.
a) Descripción de lo que ocurre:
a.1: Relatar situaciones que hayáis vivido en la que se utilice un número para
esperar, con una frase similar a la de la historieta.
a.2. Describir brevemente la historia que se presenta
a.3: Describir las intenciones del protagonista de la historieta y la estrategia
que utiliza para conseguirlo.
a.4: Indicar qué es lo que sorprende de la viñeta, lo que la hace graciosa.
b) Explotación didáctica:
Estudiar cuántos números tiene que decir Chiripa antes de atacar. Analizar
estos números (tipo, características, etc.). Estudiar qué números tendría que
decir para alargar el tiempo de espera. Determinar el tiempo que se emplea
en decir cada número y con ello calcular el tiempo que tardarán en atacar.
Buscar o inventar otras viñetas humorísticas que traten el problema del
conteo. Analizar las propiedades que tienen que tener los números para
poder contar con ellos.
Figura 2.1.A: Chris Brown, El Correo de Andalucía

21
Indicaciones para el profesor
Realizar una puesta en común de las respuestas de los alumnos a la
explotación didáctica, profundizando en las características de los números
racionales. Poner de manifiesto las cualidades de los “números para contar”,
intercalando preguntas como ¿se pueden emplear los números racionales
para contar las páginas de un libro? ¿Por qué? Aludir a la densidad de los
racionales, la inexistencia de “siguiente de”, la diferencia entre conjuntos
continuos y discretos, inexistencia de primer elemento ..etc..
Si disponemos de un grupo de alumnos adecuado, podemos detenernos en
el subconjunto de racionales que aparece en la viñeta, que puede utilizarse
para contar utilizando como unidad 1/8. En este subconjunto se puede sumar
y restar como en N. Estudiar conjuntos como este permite llegar a interpretar
los racionales como naturales con una unidad distinta (como si nuestro
sistema monetario no necesitara los números racionales, ya que se expresa
con cantidades naturales de céntimos).
En la Enseñanza Secundaria Obligatoria se puede utilizar la progresión de
términos enunciados por Chiripa, analizar su correspondencia con los
naturales, estudiando la relación entre una progresión aritmética y sus
subíndices (el número de términos, término de lugar…, etc.).
En fin, se puede cerrar la tarea estimulando a que los alumnos encuentren
semejanzas y diferencias entre los conjuntos numéricos respecto al hecho de
contar (existencia de primer elementos, existencia de siguiente, densidad,
referencia a una unidad, etc.).
Para completar la explotación matemática y didáctica del humor, sugerimos a
los alumnos que busquen otras viñetas humorísticas sobre contar y sobre los
números racionales.
Después de la puesta en común, cada grupo de alumnos elaborará un
informe final, resumiendo la historia y estudiando propiedades de los
números con los que se puede contar.

22
En los siguientes artículos y documentos se amplia la visión sobre el papel
del humor en la enseñanza de las matemáticas (Flores, 2003a y b, 2004a y b,
Guitart- Coria y Flores, 2011 y Guitart-Coria, 2010, entre otros).
2.2. MATERIALES PARA LA ENSEÑANZA DE FRACCIONES.
Para ejemplificar los conceptos tratados en este capítulo nos hemos centrado
en la enseñanza y el aprendizaje de los números racionales y las fracciones.
Los hemos elegido por tratarse de un concepto complejo, que acarrea
fracaso escolar y que se extiende a lo largo de toda la enseñanza obligatoria.
Para facilitar su comprensión comenzamos por plantear un problema. Su
resolución lleva a distinguir el concepto de operación con fracciones de los
procedimientos algorítmicos para obtener su resultado.
Problema
Se dispone de 4 pasteles y se le quiere dar a cada niño 3/5 de pastel. ¿A
cuántos niños se les dará pastel? ¿Cuánto sobra?
La resolución puede hacerse de dos maneras:
i) 4 = 20/5 3/5 ii) 4 : 3/5 = 20/3 = 6 + 2/3
2/5 6
Cada operación genera una respuesta que no son iguales:
i) Se da pastel a 6 niños y sobran 2/5
ii) Se da pastel a 6 niños y sobran 3/5
Buscar explicaciones para resolver esta discrepancia en las soluciones
Identificar los conceptos matemáticos que se utilizan en el problema y
estudiar sus propiedades, hasta llegar a interpretar el problema y las
soluciones, así como las operaciones realizadas.
Recomendamos tratar de resolver el problema antes de seguir leyendo y
buscar una explicación satisfactoria al mismo.
Si se estudia el problema planteado empleando sólo los conceptos formales
implicados, habrá que analizar qué papel juegan los dos algoritmos de la
división que aparecen, cuál es adecuado y en qué condiciones.
Sólo si al resolverlo mediante acciones sobre representaciones plásticas de
las cantidades se llegará a comprender mejor en profundidad el dilema

23
creado y a dar una mejor interpretación del mismo. En estas condiciones se
pueden abordar cuestiones más profundas, como por qué no se lleva a cabo
una división entera entre números racionales, cuáles son las unidades de los
factores de una división, cómo se calcula el resto en una división entre
racionales, etc.
Esperamos que esta reflexión haya servido al lector para reflexionar sobre el
papel clarificador que pueden desempeñar las representaciones y materiales
didácticos en la enseñanza de los números racionales. Una vez hecha esta
primera reflexión, podemos avanzar hacia el estudio de estos materiales y
recursos.
Cuando el profesor afronta la enseñanza de las fracciones tiene que revisar,
en primer lugar, las directrices que se plantean en los decretos de
enseñanza, sabiendo qué corresponde a cada ciclo educativo.
A continuación se examinan los materiales y recursos adecuados para
desarrollar los currículos. Para la enseñanza de las fracciones, requerimos
materiales y recursos para examinar qué representan las fracciones, cómo
relacionarlas con situaciones cotidianas, estudiar qué significan sus
operaciones y cómo se hacen de manera práctica. Diversos documentos nos
dan ideas sobre la enseñanza de las fracciones (Alcalá 1986 y 2001, Llinares
y Sánchez, 1991 y Grupo del APMA, 1984), y sobre materiales Coriat (1989).
Para la enseñanza de los números racionales se pueden emplear recursos
clásicos que tienen otras finalidades, como el TANGRAM, o Los Números en
Color o Regletas de Dienes que fueron muy utilizadas en Educación Infantil.
En este capítulo vamos a referirnos a recursos específicos para la enseñanza
y el aprendizaje de las fracciones, distinguiéndolos en dos tipos:
- Los materiales y recursos conceptuales, que permiten expresar fracciones
y comparar, relacionar y realizar operaciones de manera manipulativa.
- Otros materiales para ejercitarse, que crean condiciones lúdicas para
motivar a los alumnos a trabajar con fracciones, aunque tiene que realizar
aparte, por otros medios, los cálculos que requieren.

24
Entre los materiales conceptuales nos detenemos en el Círculo de
Fracciones, Diagrama de Freudenthal o Muro de fracciones y las
Transparencias de Cuadrados (y Demostración Fracciones).
Entre los materiales para ejercitarse vamos a ver el Dominó de Fracciones
y la Baraja de Fracciones.
Actividades
1.2.2.A. Identificar los términos que no son familiares en el Currículo de
Matemáticas del Ministerio referidos a fracciones, y buscar documentos para
profundizar en ellos.
1.2.2.B. Examinar las lecciones dedicadas a fracciones en libros de texto de
Matemáticas de la ESO y estudiar si se adaptan al Currículo del MEC.
1.2.2.C. Hacer una búsqueda informática de materiales y recursos para la
enseñanza y el aprendizaje de las fracciones.
Círculo de fracciones
En el anexo A.1 aparecen las dos piezas que componen el Círculo de
Fracciones. Recomendamos al lector fotocopiar y recortar los dos círculos
(amarillo y azul), cortar el radio que aparece en blanco en cada uno e
insertarlos, de manera que se puedan girar. Con este sencillo instrumento se
pueden representar fracciones del círculo unidad.
Con el Círculo de Fracciones se realizan las actividades siguientes:
CF1: Identificar qué fracciones aparecen indicadas en el Círculo y qué
fracciones corresponden a las marcas sin nombre
CF2: Identificar qué fracciones equivalentes aparecen en el Círculo
CF3: Representar diferentes fracciones empleando el Círculo
CF4: Estimar una fracción determinada de manera directa o inversa. Para ello
colocar los círculos de manera que no veas los números:

25
a) Pensar en una fracción y tratar de construirla sin emplear las marcas.
Contrastar posteriormente la estimación mirando los números
b) Colocar (o dar a alguien para que lo haga) una porción y tratar de
identificar la fracción a la que corresponde. De nuevo se puede
comprobar la precisión de la estimación dándole la vuelta al Círculo
CF5: Realizar operaciones empleando el Círculo de Fracciones.
Materiales conceptuales: Diagrama de Freudenthal (Muro de fracciones) y
Puzzle de Fracciones
El Diagrama de Freudenthal o Muro de Fracciones, consiste en un rectángulo
dividido en franjas, cada una de ellas representando una unidad, que se
encuentran divididas en distintas porciones. Con él se pueden comparar
fracciones, estudiar la relación que existe entre ellas y realizar operaciones.
En el Anexo A.2 aparece el Muro de Fracciones. Recomendamos fotocopiarlo
para realizar las siguientes actividades:
DF1: Identificar cada trozo
DF2: Buscar fracciones equivalentes
DF3: Pensar en formas de ordenar fracciones
DF4: Buscar estrategias para realizar operaciones con fracciones.
Veamos por ejemplo, cómo se puede hacer la multiplicación:
a) Con numeradores unitarios, por ejemplo
3
1
2
1
× :
3
1
2
1
× = mitad de
3
1
.
Por tanto se divide por la mitad una de los rectángulos que representan
tercios y se busca con qué otra división coincide.

26
b) Numeradores no unitarios, por ejemplo
4
1
3
2
× :
4
1
3
2
× = 2 veces la tercera parte de
4
1
.
Habrá que obtener la tercera parte del rectángulo de los cuartos, repetirlo dos
veces y buscar con qué división coincide.
DF5: Buscar estrategias para demostrar igualdades y desigualdades con
sumas y restas de fracciones, empleando el Muro.
El Puzzle de Fracciones
Una variante del Muro de Fracciones es el Puzzle de Fracciones, que
consiste en un Diagrama de Freudenthal en madera, con los trozos divididos
(figura 2.2.A).
La ventaja de este puzzle es que se pueden mover las piezas y así realizar
físicamente la suma y resta de fracciones.
Por ejemplo se pueden buscar todas las combinaciones de fracciones que, al
sumarlas dan lugar a otro trozo o fracción, tal como aparece en la figura
2.2.B.
Figura 2.2.A: Puzzle de Fracciones Figura 2.2.B: Sumas

27
Recomendamos al lector estudiar otras actividades que pueden plantearse
con este material. Es interesante identificar qué se está haciendo en las
figuras 2.2.C, D, E y F.
Con el Muro y el Puzzle podemos abordar la siguiente tarea:
EJEMPLO: Establecer relaciones entre fracciones y expresarlas por medio
de operaciones con fracciones.
Tomemos el Muro de Fracciones. Si queremos obtener las mitades de
cuartos podemos ir buscando en las bandas inferiores para ver cuál de ellas
hace que las divisiones de los cuartos queden divididas en dos partes. Así
identificaremos la Tabla de octavos.
Figura 2.2.C: Desigualdades Figura 2.2.D: Igualdades
Figura 2.2.E: Estimación Figura 2.2.F: Desigualdad

28
Este resultado lo podemos expresar por medio de varias operaciones.
- Obtener la mitad es dividir por 2, luego
8
1
2
:
4
1
=
- “Hacer la mitad” es “hacer un medio de”, luego la operación es:
8
1
4
1
2
1
=
×
- Si uno es la mitad del otro, su división es 2, es decir: 2
8
1
:
4
1
=
- O sea uno es doble del otro:
4
1
8
1
2 =
×
Recomendamos ejercitarse, utilizando el Muro o el Puzzle de Fracciones
para encontrar fracciones que están en una relación dada con otra, para
traducir estas relaciones en operaciones y por medio de frases, en los
siguientes ejercicios de fracciones.

29
Expresión verbal Representación en Muro
de Fracciones
Expresión con
operaciones
Frases derivadas
(Ejemplo)
La mitad de
4
1
es __
4
1
8
1
·
2
2
8
1
:
4
1
8
1
4
1
·
2
1
8
1
2
:
4
1
=
=
=
= La mitad de
4
1
es
8
1
2
1
de
4
1
es
8
1
8
1
cabe 2 veces en
4
1
4
1
contiene 2 veces a
8
1
4
1
es el doble de
8
1
La cuarta parte de
8
3
es ________
2
1
contiene ___
veces a
6
1
____ está contenido
4 veces en
2
1
12
4
es esquivalente a
____
__________ es
equivalente a
4
3
La suma de
4
1
2
1
+ equivale a
_______

30
Materiales conceptuales: TC: Transparencias de Cuadrados y Demostración
Fracciones
Las Transparencias de Cuadrados consisten en dos hojas con el mismo
dibujo, una impresa en transparencia y la otra en papel opaco. En ellas se
han dibujado cuadrados divididos en diferentes porciones iguales.
En el anexo se encuentra el archivo con las Transparencias de Cuadrados.
Recomendamos al lector imprimirlo en transparencia y en papel opaco, para
realizar las siguientes actividades:
TCD1: Identificar las fracciones que aparecen en las hojas y todas las que
puedes obtener en ellas.
TCD2: Buscar estrategias para obtener fracciones equivalentes empleando
las Transparencias.
TCD3: Realizar operaciones con fracciones empleando las Transparencias:
suma, resta, multiplicación de una fracción por un natural, multiplicación de
fracciones, división de una fracción entre un natural y división de fracciones.
TCD4: Hacer un esquema con todas las operaciones que se pueden realizar
empleando las Transparencias, describiendo los procesos realizados.
Con el Muro de Fracciones y los materiales similares se puede llevar a cabo
la multiplicación de fracciones concebida como fracción de fracción. En ella la
primera fracción actúa como operador, tras aplicar la segunda (“
3
1
2
1
× ” se
identifica como “
2
1
de lo que resulta de
3
1
”).
Con las Transparencias de Fracciones se emprende la multiplicación
combinatoria, que es la que lleva a obtener el área de un rectángulo de lados
fraccionarios. Así “
3
1
2
1
× ” sería “el área de un rectángulo de lados
2
1
y
3
1
”.
Para calcularla se toma el cuadrado dividido en medios y se cruza con el
dividido en tercios. Aparece un cuadrado dividido en sextos, en el cual es

31
posible identificar el rectángulo pedido y darse cuenta de qué porción es del
original, tal como se aprecia en la figura 2.2.G.
Figura 2.2.G: Multiplicación de un medio por un tercio con Transparencias
Sugerimos al lector buscar estrategias para hacer divisiones de dos tipos:
- Comparar partes
¿Cuántas veces
2
1
contiene a
3
1
?
- Operación inversa de la multiplicación que obtiene el área
¿Qué mide el lado de un rectángulo que tiene de área
6
1
si uno de sus
lados mide
2
1
?
Demostración Fracciones
Una variante de las Transparencias de Cuadrados es el juego comercializado
por Nardil SL, Demostración Fracciones, que aparece en formato de baraja.
Figura 2.2.H: Demostración Fracciones
2
1
3
1
1/3
3
1
2
1
×

32
Cada carta de la baraja es un cuadrado dividido en fracciones. Unas cartas
son opacas mientras que otras son transparentes. En las opacas se
representa la división del cuadrado con segmentos verticales, mientras que
las transparentes las representa por segmentos horizontales. En la figura
2,2,H aparecen algunas de ellas.
La utilidad es muy parecida a las Transparencias, por lo que dejamos a la
imaginación y estudio del lector discriminar estos dos materiales.
Materiales para ejercitarse en las fracciones: BF: Baraja de Fracciones
Hay diversas barajas de fracciones. En todas ellas las cartas tienen dibujadas
fracciones mediante alguna forma de representación. Unas mediante áreas o
longitudes. Otras mediante porciones de conjuntos discretos (un conjunto de
canicas, por ejemplo). Otras las representan de forma numérica
(numerador/denominador), o en forma de porcentajes y decimales. Están
comercializadas por diversas firmas, entre ellas Nardil SL, y Proyecto Sur. Es
fácil fabricarse una baraja, sin más que decidir los palos (las formas de
representación - áreas de rectángulos, longitudes, representación
fraccionaria, porcentajes- ) y las 10 cartas de cada palo. Y … a jugar. Se
pueden adaptar los juegos clásicos de baraja: buscar parejas, escoba-
arrastre, juntar familias, etc. Con una baraja comprada sugerimos las
siguientes actividades:
BF1: Identificar las fracciones que aparecen en la baraja, comparar las cartas
con las de una baraja española o francesa y organizarlas.
BF2: Jugar a la “escoba” empleando la baraja. Para ello repartir 5 cartas por
jugador dejando 4 cartas en la mesa boca arriba. Por turnos, un jugador echa
carta a la mesa y se puede llevar (barrer) las de la mesa cuando entre la que
echa y las que retire suman exactamente la unidad. Si no logra barrer
simplemente echa una carta en su turno. Cada vez que se echa una carta se
retira otra del mazo. Gana el que consigue barrer más cartas, una vez
terminado el mazo. Se pueden plantear variaciones, primando algunas

33
características, como conseguir la unidad por más de dos cartas, por
ejemplo.
BF3: Inventar otros juegos que requieran utilizar otras operaciones con
fracciones.
Como se puede comprobar, al jugar con estas barajas hay que efectuar las
operaciones mentalmente o calculando con lápiz y papel. Los alumnos que
juegan con ella tienen que saber obtener las operaciones mediante otros
procedimientos. Para ello pueden completarse empleando otros materiales
conceptuales que le permitan realizar las operaciones.
Estos materiales sirven para que los alumnos realicen operaciones de una
manera lúdica, aunque puedan limitarse a resolverlas de manera algorítmica.
Existen otros juegos de barajas de fracciones. Recomendamos las que
aparece en uno de los primeros números de la revista Suma, en un artículo
de Moisés Coriat [Coriat, M. (1989). Baraja de Fracciones. SUMA 3, 69-72].
En cada naipe de esta baraja aparecen varias representaciones de una
fracción. La baraja se enriquece con el aporte de cartas en blanco que puede
rellenar el alumno, con lo que trabaja la equivalencia entre las formas de
representación. En el artículo se sugieren juegos.
Materiales para ejercitarse en las fracciones: Dominós de Fracciones
El Dominó de fracciones se diferencia del dominó clásico en que las caras de
las fichas contienen fracciones representadas de diversas formas. Sugerimos
al lector diseñar uno específico para cada finalidad. En sus caras pueden
presentarse operaciones con fracciones, representaciones de las fracciones,
nombres de las fracciones e incluso enunciados de ejercicios de operaciones
con fracciones (por ejemplo, la mitad de un tercio).
Existen dominós de fracciones que están comercializados, pero no todos
guardan la estructura de dominó. Es recomendable trabajar con los que
guarden la misma estructura del dominó clásico, es decir aquellos que tengan
la misma cantidad de números distintos (fracciones en este caso)

34
combinadas entre sí. En el dominó clásico hay siete caras diferentes (0, 1, 2,
3, 4, 5 y 6) combinadas de dos en dos todas ellas, hasta completar 28 fichas.
Cada número está representado por el mismo dibujo. Sin embargo en el
dominó de fracciones es conveniente utilizar diferentes representaciones de
las fracciones con objeto de hacerlo más instructivo.
Recomendamos al lector construir un dominó o conseguir uno y realizar las
siguientes tareas:
DF1: Identificar las piezas y las fracciones. Compárarlo con un dominó
clásico.
DF2: Clasificar las piezas como en un dominó de números
DF3: Jugar al dominó con otros compañeros, utilizando las reglas clásicas del
dominó
DF4: Jugar al solitario con el dominó. Se invierten las piezas y se barajan. Se
colocan ahora en filas decrecientes (7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1). Utilizando como
referencia esta representación, se coloca la pieza que ha quedado suelta (la
última) en el lugar que le correspondería, sabiendo que las 7 de la primera fila
están ordenadas desde la menor a la mayor, las 6 de la segunda igual, etc.
Levantar para ello la que ocupa su lugar y buscar el de ésta, y así
sucesivamente. Se gana el solitario cuando se consigue colocar todas las
piezas antes de que salga la correspondiente a la última ficha.
DF5: Inventar otros juegos que requieran utilizar otras operaciones con
fracciones.
Igual que sucedía con la baraja, para jugar con el dominó hay que realizar las
operaciones mediante procedimientos ajenos al juego (aplicar el algoritmo,
cálculo mental, calculadora, etc.). Por tanto puede complementarse
empleando otros materiales conceptuales con los que hacer las operaciones.
Los materiales presentados en este epígrafe sirven para que los alumnos
realicen operaciones de una manera lúdica, aunque puedan limitarse a
resolverlas de manera algorítmica.

35
3. LOS MEDIOS: EL AULA COMO LABORATORIO, TALLER DE
MATEMÁTICAS
En los apartados anteriores hemos presentado algunas actividades para
manejar las fracciones empleando materiales didácticos. En ellas se observa
que hemos enfatizado los materiales conceptuales, proponiendo actividades
para que los alumnos manejen los conceptos (fracción, operaciones con
fracciones, orden, equivalencia), utilizando diversas formas de representarlas.
Hemos dado menos importancia a las actividades dirigidas a aprender los
algoritmos.
Al emplear materiales y recursos en la enseñanza de las matemáticas se
altera el modelo habitual de clase, dando lugar a nuevas características.
Resumamos algunas:
- La clase adquiere el modelo de laboratorio: los alumnos actúan para
resolver situaciones problemáticas, pueden moverse, manipulan, etc.,
según las características del material empleado.
- Las únicas limitaciones se establecen por el propio material y las
condiciones del grupo clase.
- Manipular el material tiene una intención didáctica que es provocar el
aprendizaje matemático. Para ello el material tiene que ir
acompañado de unas actividades bien diseñadas que los alumnos
tienen que realizar.
- La enseñanza y el aprendizaje comienzan por la resolución de
problemas prácticos (no siempre del mundo cotidiano). Sólo después
de la resolución se puede llegar a formular las definiciones y
propiedades de los conceptos matemáticos. Por tanto se trata de una
enseñanza y aprendizaje indirectos, pues los alumnos aprenden al
hacer, cuando van generando destrezas para resolver los problemas,
organizando esas destrezas de una manera sistemática que le permita
afrontar problemas más complejos.

36
- Cuando trabajan con los materiales para realizar las actividades los
alumnos tienen libertad de actuación. Sólo se corrigen aquellas
conductas que pueden deteriorar el material, que molestan a los
compañeros o que pueden distraer la atención. Por tanto no se evitan
los errores o los caminos infructuosos.
- Como la actuación se presta a interpretaciones individuales el trabajo
se complementa con una puesta en común de los resultados
obtenidos, con lo que se obliga a que justifiquen, validen y formulen
las apreciaciones que se han realizado.
El laboratorio de matemáticas tiene que ser similar a otros laboratorios, es
decir, en él se plantean y resuelven situaciones interesantes, empleando
medios adecuados y permitiendo la creatividad. En el laboratorio el
conocimiento formal se utiliza cuando se necesita, pues lo más importante es
el problema que se quiere resolver. Al utilizarlo el alumno se familiariza con
él, lo interpreta, le da sentido y de ahí surge aprendizaje. Por tanto en un
laboratorio se enseña y aprende, siendo este aprendizaje una consecuencia
de la acción. Decimos que se promueve un aprendizaje indirecto, que se
opone al modelo tradicional directo, en el que se presenta el contenido antes
de resolver las situaciones para las que se ha creado.
El aprendizaje directo se asocia con la memorización de definiciones y
procedimientos. En el indirecto se aprende haciendo, aunque después haya
que memorizar de manera sistemática, para recordar el procedimiento.
Partimos de que el que aprende es el alumno. Pero cada alumno tiene unos
hábitos particulares e interpreta las instrucciones de manera diferente. Por
todo ello las tareas propuestas con materiales y recursos están menos
reguladas que cuando tiene protagonismo el profesor. Se puede interpretar
que muchas de estas tareas son de investigación y opinión, por lo que
tenemos que establecer algún tipo de control que ayude a compartir lo
aprendido, dándole los límites que establezcan su formulación, justificación y
fundamentación. Por ello deben completarse mediante la realización de
puestas en común para obligar a expresar lo aprendido y darle forma que

37
permita su retención y recuperación, cuando sea necesario.
Esperamos que estos conceptos se vayan afianzando conforme avancemos
en el libro.
Actividades
1.3.A: Estudiar algunas características que tiene que tener el aula de clase en
una enseñanza que utilice los materiales trabajados en este tema:
- Círculo de Fracciones
- Diagrama de Freudenthal
- Transparencias de cuadrados divididos
- Baraja de Fracciones
- Dominó de Fracciones
1.3.C. Hacer una búsqueda informática sobre páginas relacionadas con el
laboratorio de matemáticas.
4. A MODO DE SÍNTESIS
- Enseñar no es lo mismo que aprender. El profesor enseña y el alumno
aprende.
- Para aprender el alumno debe generar ideas, y para ello se requiere actuar,
hacer.
- Para facilitar la enseñanza y el aprendizaje se utilizan recursos y materiales.
Su intención es tanto mejorar la comunicación como facilitar la acción del
alumno.
- Recursos y materiales son instrumentos para enseñar. Se diferencian en
que los materiales han sido diseñados con intención educativa, mientras que

38
los recursos existen con otras finalidades, y el profesor decide emplearlos en
su enseñanza.
- Se llama actividad de enseñanza a la que realiza el profesor. Actividad de
aprendizaje es la que realiza el alumno como respuesta a las actividades de
enseñanza.
- Al contextualizar las actividades formando tareas se promueve un
aprendizaje significativo.
- Las tareas se componen de un contenido matemático y una situación de
aprendizaje.
- Una enseñanza que utiliza materiales y recursos da mayor protagonismo al
alumno, manipulando los materiales y resolviendo problemas.
- Los modelos de enseñanza de las Matemáticas cambian según el tipo de
actividades de enseñanza que predominan.
- Las actividades de enseñanza se diferencian principalmente por el tipo de
actividades de aprendizaje que promueven y en función del aprendizaje que
pretenden lograr.
- Hay actividades de enseñanza y aprendizaje de: memoria, rutina o
procedimiento, comprensión o entendimiento y opinión
- Una enseñanza en la que prevalezcan las actividades de memoria y rutina
promoverá aprendizajes mecánicos. Una enseñanza que enfatice las
actividades de comprensión y opinión da mayor autonomía al alumno.
- La enseñanza que emplea recursos y materiales tiene que adaptar el
espacio y el tiempo.
- Materiales y recursos tienen que emplearse con finalidad didáctica,
formando parte de tareas bien definidas, basadas en problemas
comprensibles por los alumnos y haciendo funcionales los materiales.
- El empleo de materiales hace concebir el aula como un laboratorio.

39
- La puesta en común de lo aprendido obliga a expresar con palabras,
argumentar y justificar lo aprendido, dándole mayor fundamento y facilitando
su recuerdo y recuperación.
5. ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN DEL TEMA
Actividad 1: Resolución de situaciones utilizando el material
Utilizando materiales, revisar la siguiente situación y responder a las
cuestiones planteadas:
Juanito dice que para hacer una división de fracciones hay que dividir el
numerador del dividendo por el del divisor, y el denominador del dividendo por
el del divisor:
3
2
3
:
9
2
:
4
3
2
:
9
4
=
=
Antoñito le dice a Juanito que la división se hace multiplicando en cruz:
3
2
18
12
2
9
3
4
3
2
:
9
4
=
=
×
×
=
Estudiar cuál de los dos tiene razón. Justificar si ambos procedimientos valen
para todas las fracciones o sólo para algunas. Buscar otra forma de hacer la
división de fracciones que sea válida para todas las fracciones.
Ante la duda, Juanito y Antoñito le preguntan a su vecino Pepe cómo se hace
la división de fracciones, quien les dice que para poder dividir fracciones
primero hay que igualar denominadores, y luego se dividen los numeradores
de las fracciones obtenidas:
6
4
9
6
9
4
3
2
9
4
3
2
:
9
4
=
=
=

40
Analizar si el procedimiento propuesto por Pepe vale para dividir dos
fracciones cualesquiera.
Enunciar un problema de división de fracciones y razonar como Pepe.
Actividad 2. Propuesta de enseñanza
Diseñar una tarea para la enseñanza de la división de fracciones, compuesta
por una situación de aprendizaje que de sentido a la división, y un conjunto
de 5 actividades de aprendizaje que utilicen materiales didácticos.

41
Tema 2.
ANÁLISIS Y CLASIFICACIÓN DE LOS MATERIALES
En este libro presentamos materiales y recursos para la enseñanza de las
Matemáticas. Sólo vamos a estudiar una pequeña parte de ellos. Para poner
orden en el conjunto de materiales y recursos que presentamos, en este tema
vamos a clasificarlos, es decir, vamos a establecer criterios que permiten
agruparlos. Comenzamos el tema presentando varios de estos criterios. Nos
centraremos en dos de los criterios más útiles para el profesor: el contenido
matemático que se puede trabajar con dicho material o recurso, y su
versatilidad.
Siguiendo el primero de estos criterios, en los apartados 2 presentamos
materiales y recursos para la enseñanza de la geometría. Esta información se
completará en el tema 5. En el apartado 3 nos centramos en un recurso de
gran versatilidad el papel doblado.
Ante la escasez de materiales y recursos (no informáticos) en la mayoría de
los centros, proponemos que el profesor utilice lo que le ofrece el entorno
como recurso didáctico para la enseñanza de las matemáticas y construya él
mismo algunos materiales para el aula (o plantee a los alumnos dicha
construcción a modo de actividad). Ambas ideas, junto a otras como el uso
de libros divulgativos, se desarrollan en el apartado 4.
Finalmente en el último apartado hacemos una síntesis del contenido del
tema y de las ideas más importantes y proponemos unas actividades para la
puesta en práctica de las ideas trabajadas en el tema.

Tema 2: Análisis y Clasificación de los Materiales.
42
1. NECESIDAD DE CLASIFICACIÓN. CRITERIOS DE
CLASIFICACIÓN.
Para poner orden en el conjunto de materiales y recursos para la enseñanza
de las Matemáticas que presentamos en este libro, vamos a clasificarlos, es
decir, a establecer criterios que permiten agruparlos.
Ya en el tema 1 hemos distinguido, como hacen Carretero y otros (1995),
entre materiales y recursos según si han sido diseñados con intención
educativa o con otras finalidades y es el profesor quién decide emplearlos en
su enseñanza. De forma paralela, Cascallana (1988) distingue entre
materiales no estructurados y materiales estructurados. Especialmente en
educación infantil, los juguetes, objetos de embalaje, material de desecho,
etc., constituyen recursos para la captación de cualidades matemáticas
siendo útiles para que los niños se relacionen con las formas, posiciones,
posibilidades de movimiento, practiquen el conteo, midan, etc.. A estos
objetos son a lo que Cascallana llama materiales no estructurados. Los
materiales estructurados, en cambio, son específicos para la enseñanza, han
sido diseñados con este fin.
En nuestro libro estamos tratando materiales y recursos en general, aunque
con frecuencia nos centramos en materiales estructurados.
Entre los criterios para clasificar los materiales y recursos que pueden
interesar al profesor conviene destacar las intenciones educativas, el
contenido matemático que permiten trabajar, las cualidades educativas que
tengan, o su interés para que estén en el departamento de Matemáticas del
centro de enseñanza.
En la figura 2.1 presentamos algunos criterios para clasificar los materiales o
recursos, agrupados en dos apartados: utilidad y formato.

Materiales y Recursos en el aula de Matemáticas.
43
En primer lugar nos ocupamos de para qué sirve (utilidad). Según la posición
que adoptemos en la enseñanza, consideraremos unas finalidades y unas
utilidades de los materiales o recursos. Así podemos diferenciar el contenido
matemático al que se refiere (ej. aritmética, álgebra, geometría, funciones,…)
y el nivel educativo para el que es más adecuado (ej. primer ciclo de
Educación Primaria, Bachillerato,…).
También conviene distinguir el papel que desempeñan en la enseñanza, es
decir, en qué momento es más adecuado que se utilicen, qué actividades
reclaman de los alumnos y que aprendizaje provocan.
Según
la
utilidad
Contenido
Aritmética
Álgebra
Geometría
Funciones
Estadística y Probabilidad
Nivel
Educativo
Educación Infantil
Educación Primaria
ESO
Bachillerato
Momento en que se utiliza
(Corbalán, 1994)
Pre-instruccional
Co-instruccional
Post-instruccional
Tipo de tarea y
actividad
Mostrar – Observar
Proponer - Manipular
Plantear – Resolver problemas
Buscar – Desarrollar estrategias
Tipo de aprendizaje
Memorizar (retener, recuperar)
Comprender (relacionar)
Resolver problemas
Aplicar algoritmos
Ejercitarse (dominar técnica)
Según
el
formato
Soporte
Informático
Material plástico
Papel
Accesibilidad
Fácil de encontrar en mercado
Solamente en comercio especializado
Grado de
difusión
Muy conocido y difundido
Muy específico, poco difundido
Figura 2.1

44
Según si el material o recurso sirve para introducir un concepto, para
trabajarlo o para repasar algo ya tratado, se distingue entre materiales y
recursos pre-instruccionales, co-intruccionales y post-instruccionales,
respectivamente (Corbalán, 1994). También se puede analizar si el material o
recurso ayuda a memorizar algo (ej. programas de ordenador, fichas de
términos y definiciones), comprenderlo y aplicarlo (ej. materiales
manipulativos para resolver problemas y realizar actividades), o ejercitarse
en algoritmos (ej. dominós, barajas, etc).
Además puede distinguirse si los materiales y recursos sólo sirven para
mostrar y observar, o permiten manipulación, si ayudan a plantear y resolver
problemas y/o si crean condiciones para desarrollar estrategias para
resolverlos.
El segundo criterio que consideramos se refiere a cómo es el material, cuál
es su formato, cómo se consigue, etc. (ver figura 2.1).
En la actividad que te proponemos al final del tema te pedimos que
consideres estos criterios para caracterizar diferentes materiales y recursos.
Al hacer la ficha de cada uno de ellos conviene analizar el máximo de sus
cualidades, lo que enriquecerá la caracterización que hagas y su empleo
futuro. Esta caracterización te permitirá identificar rápidamente el más
adecuado según los intereses educativos de cada momento.
La clasificación debe ser útil al profesor. Por ello en los siguientes apartados
vamos a usar sólo dos de criterios: el contenido matemático y la extensión de
su utilidad, es decir, su versatilidad.
Un criterio importante para decidir qué materiales y recursos adquirir es la
amplitud de su campo de utilidades. Hay materiales o recursos que valen
para más de un contenido, son más versátiles. En la segunda parte de este
tema presentaremos materiales versátiles que se utilizan para diversos
contenidos y promueven aprendizajes diversos. El tangram, por ejemplo, se
emplea en la geometría plana, fracciones, superficies, medida de longitudes,
etc. Otro recurso de gran versatilidad que exploraremos en el apartado 3 es
el papel doblado.

45
2. CLASIFICACIÓN A PARTIR DEL CONTENIDO MATEMÁTICO
Cuando el profesor va a enseñar un contenido matemático se debe plantear
qué pretende que aprendan sus alumnos, es decir, qué competencias quiere
que adquieran respecto a este contenido. Una vez clarificado este punto,
debería conocer qué recursos y materiales tiene a su disposición para lograr
esos objetivos.
CONTENIDO  MATERIAL DIDÁCTICO
En este tema vamos a continuar el barrido iniciado en el tema anterior por los
materiales y recursos existentes para la enseñanza de las matemáticas. Para
ello vamos a completar la presentación que hemos hecho en el primer tema,
en el que hemos analizado algunos materiales para la enseñanza de las
fracciones, mediante un recorrido breve por otro contenido importante de las
Matemáticas: la Geometría.
En los temas 4 y 5, donde también se consideran otros bloques temáticos del
currículo, completaremos la lista de materiales y recursos para la enseñanza
de la geometría, incluyendo materiales informáticos.
Como hicimos en el tema 1 para las fracciones, recomendamos que se
analicen las recomendaciones legales sobre la enseñanza de un tema antes
de estudiar la conveniencia de emplear cada material o recurso.
2.1. MATERIALES PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA.
Para trabajar algunos materiales para la enseñanza de la Geometría tenemos
que comenzar por analizar qué y cómo hay que enseñar la geometría en el
nivel educativo que nos interese. Para ello revisamos lo que dicen los
Decretos de Mínimos sobre la enseñanza de la Geometría
(http://www.educacion.es/educacion/sistema-educativo/politicas/desarrollo-
loe.html).
El anexo del desarrollo de las enseñanzas mínimas para la Educación
Primaria así como el de las enseñanzas mínimas para la Educación
Secundaria comienza definiendo unas competencias básicas que deben

46
alcanzar los alumnos de dicha etapa. La segunda de ellas es la competencia
matemática, que desarrolla la idea de “alfabetización matemática” de la que
se hablaba en la evaluación PISA (OCDE, 2004). Esta competencia insiste en
la funcionalidad del conocimiento, es decir, en que el alumno tiene que ser
competente para resolver situaciones del entorno, empleando para ello las
matemáticas. Por tanto, las matemáticas se convierten en un medio, más que
un fin. Esto es especialmente novedoso respecto a la geometría, pues su
enseñanza ha pretendido siempre más el conocimiento de términos y
propiedades que la resolución de situaciones del entorno, pese a que en los
principios de los desarrollos de la LOGSE se empezara a plantear esta
cuestión.
En el segundo anexo de ambos documentos se presentan las orientaciones
específicas para la asignatura de Matemáticas. Conviene diferenciar las
recomendaciones que hace, analizando sus partes y examinando los
términos, conceptos, procedimientos y actitudes que enfatiza.
El énfasis en la funcionalidad de los aprendizajes, junto con las competencias
y capacidades destacadas, nos lleva a realzar que la enseñanza de la
geometría pretende favorecer que los alumnos se sitúen en el espacio, en su
entorno físico, disponiendo de una buena visión geométrica. Para lograr esto
nos planteamos los otros objetivos parciales de la enseñanza de la
geometría, es decir, que aprendan nombres, propiedades y principios de la
geometría. Pero, además, el Decreto de Mínimos da una serie de
recomendaciones sobre lo que hay que proponer en clase, insistiendo en que
los alumnos deben construir, dibujar, modelizar, medir y clasificar con
criterios libres, procurando además relacionar las matemáticas con otros
ámbitos, como el arte.
En los estándares curriculares del NCTM americano (NCTM, 2003) se indica
que los programas de enseñanza de todas las etapas deberían capacitar a
los estudiantes para:
- Analizar las características y propiedades de figuras geométricas y
desarrollar razonamientos matemáticos sobre relaciones geométricas.

47
- Localizar y describir relaciones espaciales mediante coordenadas
geométricas y otros sistemas de representación.
- Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones
matemáticas.
- Utilizar la visualización, el razonamiento matemático y la modelización
geométrica para resolver problemas.
Marjorie Senechal, en el texto de Steen (1998), nos da unas instrucciones
para estructurar los temas relacionados con las formas distinguiendo tres
niveles de competencia: elemental, intermedio y avanzado. En documento
B.1 que se incluye en el anexo B muestra una copia del cuadro que propone
Senechal. De él destacamos que las etapas que propone son:
- Identificación y clasificación
- Análisis
- Representación y visualización
Concretamos estas dimensiones generales en las siguientes competencias
geométricas que tiene que adquirir el alumno (Alsina y otros, 1988):
- Identificar figuras en el entorno (observar),
- Caracterizar estas figuras (buscar regularidades, propiedades),
- Buscar criterios que permitan clasificar las formas y aplicarlos a
clasificarlas,
- Utilizar estos criterios para definir las formas con precisión,
aprendiendo sus nombres correspondientes y los términos que se
utilizan para ello,
- Medir todas las magnitudes que interesan en las figuras (longitudes,
superficies, volúmenes, amplitud de ángulos, etc.), de manera directa
e indirecta,

48
Figura 2.2
- Analizar las cualidades obtenidas, y llegar a establecer propiedades
que las relacionen,
- Demostrar algunas de las propiedades encontradas.
Para hacer que los alumnos realicen actividades de estos tipos,
examinaremos dos materiales manipulativos que promueven varias de estas
competencias: el geoplano y el mecano.
2.2 GEOPLANO
Es un material estructurado propuesto por Gattegno y difundido en España
por Puig Adam (Cascallana, 1988). Consiste en un tablero generalmente
cuadrado, en el que se han introducido clavos en los vértices de distintas
pautas, de manera que sobresalen de la superficie. Apoyando aros de goma
elástica en los clavos se pueden construir formas. Los clavos pueden formar
una cuadrícula, un polígono regular, o cualquier otra pauta. En la actualidad
algunas casas comerciales ofrecen geoplanos de plástico (ver figura 2.2.1.A).
Puedes fabricar un geoplano clavando
parcialmente clavos en una tabla, siguiendo
una pauta determinada. Por ejemplo en los
vértices de una cuadrícula (ver figura 2.3), en
los vértices de un polígono regular (ver figura
2.4), o en los vértices de un papel isométrico
(ver figura 2.5). El más corriente es el
cuadriculado. Puedes comprar aros elásticos,
y con ellos formar figuras.
También existen versiones virtuales de este material (ver
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_277_g_1_t_3.html?open=activities y
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_127_g_2_t_3.html?open=activities).
Para trabajar con el geoplano vamos a emplear un dibujo del mismo, aunque
en el aula recomendamos trabajar previamente con el geoplano de forma
manipulativa. El más sencillo consiste en un papel pautado. Vamos a

49
utilizarlo dibujando sobre él segmentos (que corresponden a los aros
elásticos), que unan vértices de la red dibujada en el papel.
Presentamos a continuación varias actividades que se pueden realizar con el
geoplano: GEO1. Construir polígonos diferentes, GEO2. Áreas y Perímetros y
GEO3. Otras funciones del Geoplano.
GEO1. Construir polígonos diferentes
Comenzamos por construir todos los triángulos distintos que se pueden hacer
en un geoplano cuadriculado de 4 puntos de lado, al que llamamos de 4x4. Al
realizar esta actividad habrá que identificar formas, buscar criterios de
igualdad de figuras, caracterizar las figuras, clasificarlas, ponerle nombre,
buscar propiedades, etc., y en último lugar, demostrar que no hay más
figuras. En la figura 2.6 aparecen distintos triángulos rectángulos en el
geoplano de 4x4.
Completa la actividad. Indica el número de triángulos construidos y alguna
caracterización literal de ellos. Recuerda, no valen dibujos, sino sólo palabras
para indicar cuáles y cuántos triángulos diferentes se puede construir.
Figura 2.3 Figura 2.4 Figura 2.5
Figura 2.6

50
Posteriormente construir todos los polígonos diferentes en el mismo
geoplano.
GEO2. Áreas y Perímetros
Calcular áreas y perímetros de polígonos construidos sobre un geoplano
cuadrado. Para ello tomamos como unidad el área y lado, respectivamente,
del cuadrado unitario. Comenzar por obtener triángulos con la misma área y
diferente perímetro, y con el mismo perímetro y diferente área. Esta actividad
permite establecer relaciones entre área y perímetro, lo que puede evitar la
confusión que se establece entre estas dos medidas del polígono y permite
desafiar algunas creencias habituales en el alumnado tales como que a
mayor perímetro corresponde mayor área o que dado un perímetro y un área
existe una única figura posible con dichas medidas.
GEO3. Otras funciones del Geoplano
El Geoplano es un material con alto grado de versatilidad. Ya hemos visto
sus potencialidades para formar figuras y obtener medidas. También puede
emplearse en aritmética, para trabajar con fracciones, representarlas,
realizar algunas operaciones con fracciones, resolver problemas de
fracciones empleando el geoplano, etc.
2.3 MECANO
Partimos de un juego clásico, el Mecano, inventado por F. Homby, y que
consiste en una serie de ruedas, pasadores y piezas metálicas perforadas,
que pueden ser combinadas de distintas maneras para construir diferentes
objetos. El principio fundamental del mecano es que los orificios de sus
piezas son equidistantes. Del mecano primitivo en metal nos quedamos con
sus piezas largas de anchura un solo agujero, para formar polígonos. Las
piezas se unen con tornillos, lo que permite que los vértices tengan cierta
movilidad, tal como aparece en la figura 2.7.

51
Puedes aprovechar las piezas del mecano clásico o comprar los existentes
en el mercado. En las tiendas de juguetes puedes encontrar construcciones
de este tipo con piezas de plástico. Proyecto Sur lo ha comercializado con
barras en cartulina. Igualmente las puedes recortar en cartulina, y hacerle
agujeros con los taladradores de oficina. Como tornillos puedes emplear
ganchos de conexión o agrafes (unas grapas que tienen dos lengüetas que
se abren) de venta en bazares y papelerías.
En Cascallana (1988) encontrarás algunos de los objetivos y ventajas del
mecano, especialmente en la iniciación del niño con la geometría plana.
Las actividades que practicaremos son: MEC1. Triángulos, MEC2.
Cuadriláteros, MEC3. Áreas y perímetros, MEC4. Composición y
descomposición de polígonos. Polígonos flexibles y rígidos.
MEC1. Triángulos
Construir todos los triángulos distintos con piezas de determinada dimensión.
En esta actividad se puede ejercitar la construcción de formas, establecer
criterios de igualdad de triángulos, buscar propiedades de los triángulos,
hasta obtener y demostrar las condiciones que tienen que verificar las
longitudes de los lados de un triángulo (Castelnuovo, 1970).
Al estudiar los tipos de triángulos construidos con determinadas piezas,
habrá que estudiar las relaciones métricas (medidas por la distancia entre
agujeros), aplicando el Teorema de Pitágoras para comprobar si un ángulo es
recto.
Figura 2.7: Piezas del Mecano

52
MEC2. Cuadriláteros
Construir cuadriláteros de diverso tipo con varias piezas. La actividad llevará
a identificar las características de cada tipo de cuadrilátero, lo que puede
utilizarse para afrontar su clasificación.
La segunda parte de esta actividad consiste en formar cuadriláteros dadas
las diagonales, el punto de corte y los ángulos que forman, utilizando piezas
atornilladas por algún agujero interior, y unidas por cordón elástico (figura
2.8). Con esta actividad se obliga a identificar formas, recordar nombres,
identificar regularidades –igualdad de lados, paralelismo, ángulos, etc.-,
demostrar esas regularidades en función de la construcción, analizar si es
posible otra construcción, etc. (Ver Castelnuovo, 1970)
MEC3. Áreas y perímetros
Construir un cuadrilátero con cuatro piezas dadas. Se observará que es
flexible (puede cambiar de forma al cambiar ángulos). Todos los cuadriláteros
obtenidos tienen igual perímetro y diferente área. Obtener posteriormente
figuras de la misma área y distinto perímetro. Así se estudiará la relación
entre área y perímetro de polígonos, como propusimos con el geoplano.
Figura 2.8

53
MEC4. Composición y descomposición de polígonos. Polígonos flexibles y
rígidos
Se entregan varias piezas y se pide
construir polígonos que tengan lados
comunes (figura 2.9). Posteriormente
se pide que construyan un polígono
con varias piezas, y que lo
descompongan en triángulos
mediante otras piezas. Esta segunda
actividad llevará a ver que no todas
las figuras aceptan esta
descomposición, ya que los agujeros
imponen unas medidas discretas que sólo podrán utilizarse en casos
especiales.
Las siguientes actividades consistirán en repetir la situación anterior, pero
observando qué polígonos de los construidos son flexibles y cuáles son
rígidos.
3. RECURSOS MATERIALES VERSÁTILES: EL PAPEL
DOBLADO.
¿Qué materiales debe conocer un profesor de matemáticas? ¿Cuáles deben
estar en el Departamento? Por supuesto los que le sean más útiles.
Sugerimos que para ello adquiera y utilice los materiales y recursos más
versátiles. Es decir, los que se prestan a la enseñanza de más contenidos y
mayor cantidad de aprendizajes. Pero, además, recomendamos que
seleccione los que hacen que el alumno manipule antes de simbolizar, y que
haciendo aprenda y comprenda los procesos. En resumen, que sean útiles en
la co-instrucción de los contenidos más complejos.
Estos materiales y recursos van a mostrar que las Matemáticas están en el
entorno, que aprender es hacer, jugar, manipular, además de atender y
Figura 2.9 (Cascallana, 1988)

54
calcular, y que resolviendo problemas y situaciones, se comprenden los
conceptos.
En este tema vamos a presentar un recurso muy versátil y accesible: el
doblado de papel (Papiroflexia). Otros materiales muy versátiles son el
geoplano y el tangram.
3.1 PAPEL PLEGADO
El doblado de papel es un recurso versátil importante. Algunas de sus
ventajas son las siguientes:
- Es fácil de obtener
- Forma parte de los juegos tradicionales que se inician en la vida
familiar, y permiten hacer muchas cosas
- La Geometría del papel plegado es isomorfa a la geometría de la regla
y el compás
Las normas de la Papiroflexia (u Origami) más ortodoxas sólo permiten
doblar papel, sin cortar ni pegar. Igualmente establecen limitaciones en los
dobleces que se pueden hacer. Sólo de esta forma se habla de la geometría
del papel doblado, que es isomorfa a la de regla y compás.
Con el papel doblado se pueden obtener los mismos resultados que con la
regla y el compás: trazar rectas (arista por el que se dobla), obtener puntos
(cortes de dos rectas) con determinadas condiciones, trasladar distancias,
etc. Pero el papel doblado no permite obtener circunferencias completas,
aunque es posible obtener todos los puntos que se quiera de ella. Se rompe
sin embargo la continuidad de los círculos.
En este caso, sin embargo, no vamos a ser tan estrictos ya que queremos
emplear el papel doblado como recurso didáctico. Por ello permitiremos otros
dobleces y acciones, aunque estos dobleces no sean ortodoxos (pues no
llevan a un lugar determinado de antemano). Permitiremos que se realicen
ajustes hasta lograr igualar partes. Así, por ejemplo, si aceptamos que se

55
pueda doblar un ángulo en tres partes, ajustando hasta que coincidan,
llegaríamos a construir la trisección del ángulo que es irrealizable en general
con regla y compás.
Si quieres saber más sobre papel doblado entra en la página web de la
Asociación española de Papiroflexia y su revista Pajarita: www.pajarita.org.
La relación entre papiroflexia y matemáticas la puedes encontrar en los
numerosos artículos y libros que se han publicado sobre el tema. Hemos
destacado algunos que pasamos a comentar y recomendar.
Antonio Ledesma completó en 1996 un número
extraordinario de la revista Pajarita, de la Asociación
española de Papiroflexia. En ella, Antonio hace un
recorrido amplio por los campos de la matemática,
empleando la papiroflexia. Él es autor del siguiente
decálogo sobre el empleo del papel doblado en clase de
matemáticas:
Con las actividades de papiroflexia:
1. Se valora la interrelación entre la actividad manual y la intelectual
2. Se consigue la apreciación de las componentes estéticas de los objetos y
formas
3. Se facilita la comprensión de los conceptos geométricos
4. Se mejora la percepción espacial
5. Se fomenta la capacidad para hacerse preguntas
6. Se interpreta una nueva simbología
7. Se propicia la precisión en el trabajo manual
8. Se ve la utilidad del trabajo en equipo
9. Se aprecia la belleza ligada a regularidades y cadencias

56
10.Se desarrolla la fantasía, la creatividad y, lo que es muy importante, no se
pierde en ningún momento el carácter lúdico (Ledesma, 1996, p. L)
Esta publicación concluye con una bibliografía básica muy interesante, pese
a que ya tiene más de 10 años.
El libro de Mitchell (1997), Mathematical Origami,
es una publicación de la editorial Tarkin que reúne
aportes importantes y fáciles de matemáticas y
papiroflexia, especialmente para la formación de
poliedros.
Igualmente ocurre con el texto de Peña (2001) que hace un recorrido amplio
por aspectos matemáticos, empleando la papiroflexia, llegando a ampliar los
aspectos geométricos con otros campos como las funciones y el álgebra.
Kasahara y Takahama (2000) incorporan en su libro un capítulo dedicado a la
Belleza y placer de las formas geométricas. En él presentan figuras con igual
área, poliedros modulares y cubos formados de muchas maneras.
A continuación proponemos algunas tareas a realizar mediante el plegado de
papel:
PD1. Manejar papel sin tener en cuenta sus bordes,
PD2. Resolver algunos problemas geométricos,
PD3. Obtener polígonos regulares a partir de papel cuadrado y estudiar
la exactitud del procedimiento,
PD4. Obtener poliedros,
PD5. Fractales con papel cortado

57
PD6 Kirigami.
PD1. Manejar papel sin tener en cuenta sus bordes.
1.1. Hacer un rectángulo y un cuadrado con un papel de borde
irregular. Habitualmente trabajamos con papel rectangular o cuadrado,
confiando en la corrección de su formato. Pero también podríamos partir de
un papel de borde irregular, y esto no es problema pues podemos hacer un
rectángulo (Figura 2.10). Una vez obtenido el rectángulo o el cuadrado,
podemos partir de papeles con esta forma para obtener otras figuras.
1.2. Estudiar los formatos habituales de papel: Conocer las
dimensiones del Din A4. Obtener papeles con dimensiones determinadas:
1x2, 1x3; 1x2; 1x3; 1x (rectángulo áureo). El estudio de los formatos Din
A4 es muy interesante (ver Alsina, 2005, Gómez, 2002) desde el punto de
vista de la matemática elemental. En el documento B.2 del anexo B puedes
encontrar una unidad didáctica para la geometría empleando este motivo. En
ella se analizan algunas metodologías que se podrían emplear para ello. La
propuesta y análisis forman parte de la conferencia que Eloy Domínguez dio
en las Jornadas de Investigación en el Aula de Matemáticas, la enseñanza y
el aprendizaje de la Geometría, celebradas en Granada, en noviembre y
diciembre del 2005.
PD2. Resolver algunos problemas geométricos
2.1. Obtener una recta perpendicular a una recta dada, desde un punto
exterior o interior. Una solución a este problema es la siguiente:
Figura 2.10: Un rectángulo a partir de un papel irregular

58
a) Plegando la hoja se forma una recta r; se puede remarcar con lápiz.
b) Señalamos en el papel un punto P exterior a la recta r.
c) Por el punto P realizamos un doblez de manera que hagamos coincidir
la recta r sobre sí misma. Visto de otra manera, estamos convirtiendo
una parte de la recta (semirrecta) en la otra parte, por la simetría de
eje la recta que surge con este doblez.
d) La recta que surge del nuevo doblez pasa por P y es perpendicular a
la recta r ya que es el eje de simetría, que es perpendicular a los
segmentos que unen puntos simétricos (figura 2.11).
Os dejamos a vosotros que penséis y busquéis soluciones a los
siguientes problemas.
2.2. Obtener la recta bisectriz de un ángulo.
2.3. Obtener puntos que se encuentran a una distancia dada de un
punto conocido.
2.4. Trazar una paralela a una recta, por un punto dado o a una
distancia conocida
2.5 A partir de un papel cuadrado, obtener un cuadrado cuya área sea
justo la mitad que la del cuadrado de partida.
2.6 Construir un rombo a partir de un cuadrado
2.7 Construir un rombo a partir de un rectángulo
r
P
•
r
P
•
s
r
P
•
Figura 2.11

59
2.8 Construir un trapecio escaleno, uno rectángulo y uno isósceles
PD3. Obtener polígonos regulares a partir de papel cuadrado y estudiar la
exactitud del procedimiento
3.1. Construir un cuadrado y justificar su construcción. Esta primera
actividad es bastante sencilla y conviene pedir que se justifique
matemáticamente ¿Qué propiedades geométricas hacen que resulte un
cuadrado cuando se hace coincidir el lado pequeño del papel rectangular con
el lado grande dejando invariante el vértice común?
3.2. Construir un triángulo equilátero. Una vez resuelto este problema
se pueden afrontar variaciones interesantes, como construir un triángulo
equilátero de lado dado, y construir el máximo triángulo equilátero posible a
partir del papel rectangular o cuadrado.
Para construir un triángulo equilátero podemos partir de un cuadrado,
trazamos la paralela media y llevamos un vértice cualquiera a esa paralela,
manteniendo que el giro deje el otro vértice fijo (Figura 2.12):
Esta resolución no se acepta en la geometría ortodoxa del papel doblado, ya
que emprendemos el doblez sin fijar dónde vamos a llevar el punto P,
buscamos que coincida con algún punto de la recta e.
3.3. Construir Hexágonos y Octógonos regulares. A partir de polígonos
regulares de un número de lados podemos construir los que tienen el número
de lados doble. En la figura 2.13 se aprecia el procedimiento para construir
un hexágono a partir de un triángulo equilátero:
P
P’
e
Figura 2.12.

60
Dejamos como ejercicio el construir el octógono regular, así como otras
formas de obtener el hexágono regular, supuesto que se ha construido un
triángulo equilátero.
3.3. Enunciar un procedimiento general para obtener polígono de 2n
lados, teniendo construido el polígono regular de n lados. Los procedimientos
anteriores permiten solucionar este problema, que dejamos también abierto.
3.4. Construir un Pentágono regular. La primera y más familiar solución
consiste en construir un nudo de papel de forma de Pentágono regular. Con
una banda de papel, de lados paralelos, se puede hacer un pentágono
regular, sin más que hacer un nudo (Figura 2.14). Doblando después las
bandas sobre el nudo, y cortando los excesos, obtenemos un pentágono.
Como ejercicio para el lector queda el comprobar que es un pentágono
regular.
PD4. Obtener poliedros
4.1. Elaborar módulos para formar deltaedros: Tetraedros, Octaedro,
Icosaedro. Esta es la forma habitual de realizar poliedros. En la bibliografía
indicada se pueden encontrar numerosos módulos para construir tetraedros,
y con ello los deltaedros. En el documento B.3 del anexo B se describe con
Figura 2.13.
Figura 2.14

61
dibujos la obtención del tetraedro y de los otros deltaedros que son poliedros
regulares.
4.2. Elaborar cubos de diferentes formas (modulares, un solo papel,
etc.). La construcción más conocida del cubo se basa en seis módulos (uno
por cara). En la figura 2.15 aparece la construcción de cada módulo. Hay que
cuidar que todos los módulos tengan la misma orientación, pues en caso
contrario no se podría formar el cubo.
4.3. Construir otros poliedros, empleando módulos o construcciones
particulares. Para ello se puede intentar combinar módulos. En la bibliografía
indicada pueden encontrarse numerosos módulos y diferentes modelos.
Figura 2.15. Módulo para el cubo

62
PD5. Fractales con papel cortado.
5.1. Realización de fractales con papel doblado y cortado, siguiendo
los del libro de Uribe (1988) (pop up).
El conocido libro de Uribe (1988), editado por
Tarkin, presenta una colección de fractales
realizados con la técnica de ganar relieve a partir
del papel doblado y cortado (pop up). El principio
básico consiste en cambiar de cóncavo a convexo
una parte del papel, bien diferenciada, con lo que
se consigue un volumen. En la figura 2.16 podemos observar la construcción
del cubo, mediante esta técnica.
Esta técnica permite construir fractales. La figura 2.17 muestra la plantilla de
la tarjeta de Sierpinski, basada en el fractal del mismo nombre. En esta
plantilla se debe cortar por las líneas punteadas, y doblar por las
discontinuas.
Figura 2.16: Construcción de un cubo. Se dobla el papel. Se corta por las
líneas punteadas y se dobla por las discontinuas. Posteriormente se hace
convexo el trozo central.

63
Recomendamos especialmente el libro de Uribe para realizar los fractales
contenidos en el mismo. Así mismo se puede utilizar software gratuito tales
como Workshop 1.1. y 3DCard para la construcción de este tipo de plantillas
e incluso visualizar los fractales que se obtienen a partir de ellas (Ver figura
Figura 2.17. Plantilla de la tarjeta de Sierpinski

64
2.18). La utilización de estos programas nos permitirán también trabajar con
los alumnos el complicado paso del plano al espacio y viceversa (Grupo Pi,
2005).
5.2. Otras construcciones con papel doblado y cortado. Siguiendo esta
misma técnica, se han elaborado multitud de construcciones, con fines
artísticos. Recomendamos las páginas siguientes:
http://www.tamasoft.co.jp/craft/popupcard_en/
http://members.shaw.ca/woa/modarchhouse.htm,
http://members.shaw.ca/woa/newhome.htm
http://baudandbui.free.fr/plier/origamic.shtml
En ellas se pueden encontrar construcciones arquitectónicas, empleando el
cortado, doblado y cambio de concavidad (pop up).
PD6. Kirigami
El grupo Alquerque de Sevilla nos presenta en el número 59 de la revista
Suma un trabajo diferente con el doblado y recorte de papel al que se
denomina kirigami. Este nombre es asignado al arte de crear figuras planas
recortando papel con tijeras. Para ello partimos de un trozo de papel que no
tenga ninguna marca y doblando y cortando debemos construir la figura que
queramos crear.
Como actividad para el aula proponen la obtención, a partir de tantos
dobleces como queramos pero un solo corte recto con tijeras, de figuras tales
como las que recoge la figura 2.19.
Figura 2.18 Imágenes extraídas de los software Workshop 1.1. y 3DCard

65
Con este tipo de actividad se propone desarrollar la atención y observación,
la discriminación, la percepción visual, la imaginación y creatividad, y la
paciencia y constancia.
Buscando información o usando vuestra propia creatividad y experiencia
indicar posibles actividades matemáticas para el aula a realizar a partir del
uso del kirigami.
4. EL PROFESOR Y LOS MATERIALES/RECURSOS
DIDÁCTICOS. APROVECHAMIENTO Y CONSTRUCCIÓN.
Todavía son escasos o insuficientes los materiales y recursos didácticos para
matemáticas que existen en los centros de enseñanza. Y aun más rara es su
utilización en clase. Últimamente se están supliendo por los medios
tecnológicos y la incorporación de los ordenadores. Sin embargo es
importante dar un lugar en el aula al uso de materiales y recursos
manipulativos ya que son una ayuda importante para el aprendizaje de los
alumnos. Pero ¿cómo y qué materiales puedes conseguir?
Esperamos que este libro te ayude a conocer algunos materiales y recursos,
a aprender a manejarlos y a percibir el interés didáctico que tienen. Así te
sentirás impulsado a buscarlos, adquirirlos y emplearlos en tus clases.
Figura 2.19

66
¿Cuáles adquirir? ¿Dónde se encuentran? ¿Cómo conseguir materiales y
recursos suficientes para todos los alumnos de la clase? Estas son algunas
preguntas prácticas que afrontamos como profesores.
El profesor interesado puede adoptar (o compaginar) tres actitudes para
emplear materiales y recursos:
(a) aprovechar lo que existe en su entorno,
(b) hacer él mismo (o sus alumnos) los materiales y
(c) adquirir materiales y recursos didácticos de empresas que los
comercializan.
Para este último caso, en el apartado 4.2 Compra de recursos y materiales te
facilitamos alguna información al respecto. Otra opción son los libros
divulgativos (ver apartado 4.3).
4.1. APROVECHAMIENTO DEL ENTORNO
Nuestra primera recomendación es que aproveches lo que ofrece el entorno.
Comienza por lo más próximo, la ciudad en la que vives.
Seguro que en tu entorno hay aspectos interesantes para ver la matemática
reflejada en ellos. Debes desarrollar sensibilidad para percibir estos aspectos
y sentirás que son más de los que habías pensado. Para estimularte, te
indicamos algunos ejemplos.
Hay elaboradas diversas actividades para aprender matemáticas en lugares
públicos. Aparte del famoso número extraordinario de la revista Épsilon
dedicado a la Alhambra, existen otras publicaciones y trabajos que proponen
visitar la Alhambra con ojos matemáticos. La Universidad de Granada
organiza todos los años visitas matemáticas guiadas, siguiendo los trabajos
que han realizado Rafael Pérez Gómez y Ceferino Ruiz.
También existen propuestas para hacer visitas matemáticas a los Alcázares
de Sevilla y la Mezquita de Córdoba. Una publicación de Luis Balbuena
recoge su paseo matemático por La Laguna, en Tenerife. Todas estas ideas

67
te servirán para hacer propuestas didácticas en el lugar que vives. Los Rallys
y Gymkhanas matemáticas son recursos interesantes, que se celebran cada
vez en más lugares: Cádiz (Aventura Matemática), Ronda, Almería
(Problemas de Ingenio), Córdoba (Gymkhana matemática, coordinada por
María Ángeles Benítez y Flores Serrano, y los trabajos de Paco Anillos,
Miguel de la Fuente y Damián Aranda), etc., son ciudades donde se han
celebrado este tipo de eventos, y van adquiriendo tradición.
En ellos se promueven actividades matemáticas aprovechando las ofertas del
entorno. El artículo de Mª Ángeles Benítez y Flores Serrano (2006), basado
en el excelente taller que presentaron en Granada, te puede dar algunas
ideas al respecto. El juego informático Decorando la mezquita, producido
por Proyecto Sur de Ediciones, en 1992, de Miguel de la Fuente Martos es
una muestra de la matemática del entorno.
En la página web http://www.irem.ups-tlse.fr/groupes/10rallye/index.html
puedes encontrar información sobre los rallys matemáticos en Francia,
especialmente los promovidos por el IREM de Toulouse, del que es
responsable Adré Antibi.
El Grupo LaX ha elaborado una visita matemática al Parque de las Ciencias.
En esa visita se realizan actividades con puzzles topológicos de cuerda y
madera que existen en el Parque. El estudio y la explotación didáctica de los
puzzles de alambre las pueden encontrar en los textos Montoya y Flores
(2003) y Flores (2002 a y b) (ver http://www.ugr.es/~pflores/).
Las actividades de Matemáticas en la Calle consisten en sacar juegos
matemáticos para que los manipulen, afronten los retos y se diviertan los
paseantes de todas las edades. La experiencia ha tenido mucho éxito en
Andalucía, a partir de su primera presentación en las VIII Jornadas Andaluzas
de Educación Matemática, en 1998, en Jaén, promovida por Rafael Pérez
Gómez (ver su historia en Muñoz y otros, 2000). Posteriormente el grupo
Matemáticas en la Calle de Córdoba y el grupo LaX de Granada, han
explotado la idea, generando numerosas jornadas en diversos puntos de
nuestra región y en otros lugares. Esto ha dado lugar a que se premiara su

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esfuerzo en la 5ª edición del concurso nacional Física y Matemáticas en
Acción, con el primer Premio Nacional en la modalidad de Laboratorio de
matemáticas. Los primeros firmantes de los grupos son Francisco España
(Córdoba), y Luis Berenguer (Granada). En el documento B.4 que se incluye
en el anexo B recogemos la ficha de uno de los materiales presentado en
Matemáticas en la Calle, del grupo LaX.
En Sevilla, el Grupo Alkerke ha continuado la experiencia con mucho éxito.
En la página http://www.dgdc.unam.mx/, de la Casa de las Ciencias de la
UNAM, también podrás encontrar ideas para aprovechar didácticamente el
entorno.
Otra forma interesante de aprovechar el entorno es mediante la actividad
Fotografía Matemática. Esta actividad se trabajará en el tema 4.
4.2. EL PROFESOR ARTESANO
Otra posibilidad que tiene el profesor para utilizar materiales didácticos es
elaborarlos el mismo. Luis Berenguer, uno de los autores de este libro, ha
realizado un importante trabajo en este sentido. En sus artículos (como
Berenguer y otros, 1995) puedes encontrar algunas referencias a este papel:
la artesanía del profesor.
El profesor artesano es sensible a las cualidades didácticas y plásticas del
material didáctico. Tiene disposición a buscar materiales, diseñarlos,
emplearlos él mismo en sus clases y divulgarlos. Para ello debe conocer los
productos existentes en el mercado que le permiten construir los materiales.
Pero además debe ser un “manitas”, es decir, disponer y saber manejar
herramientas con las que tratar y moldear los productos. Se puede ser
artesano con menos cualidades, sacando partido de los productos fáciles de
trabajar, como el papel, cartón, cuerda, alambre, etc.
Para comportarte como profesor artesano tienes que dejar correr tu
imaginación. Comienza por ser sensible a las potencialidades didácticas de

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