Este documento presenta una sesión sobre transformaciones geométricas de imágenes digitales. Explica los diferentes tipos de transformaciones como rígidas, afines y proyectivas, detallando operaciones como traslación, rotación, escalado y cizalladura. También introduce el uso de coordenadas homogéneas para representar las transformaciones de forma uniforme mediante matrices. Finalmente, muestra cómo aplicar transformaciones geométricas y combinarlas usando MATLAB.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en el plano, incluyendo: (1) la definición geométrica de un vector como un desplazamiento, (2) las operaciones de suma y multiplicación por escalar de vectores, y (3) la noción de producto escalar y sus propiedades.
Introducción a los métodos númericos Clase 1Tensor
El documento presenta una introducción a los métodos numéricos. Explica que los métodos numéricos permiten resolver problemas matemáticos mediante cálculos aritméticos y que su uso ha aumentado con las computadoras. Antes de las computadoras, los ingenieros solo podían usar métodos analíticos, gráficos o cálculos manuales, lo que limitaba el tipo de problemas que podían abordar. Ahora, las computadoras y los métodos numéricos permiten resolver una variedad más amplia de problemas de ingeniería de manera más eficiente.
El documento describe los conceptos básicos de vectores en el espacio tridimensional, incluyendo las componentes de un vector, el módulo de un vector, la distancia entre dos puntos, vectores unitarios, y la suma de vectores. También explica que R3 representa el espacio numérico tridimensional y cómo se usan los ejes x, y y z para representar puntos en este espacio.
Este documento explica los diferentes métodos para calcular la transformada inversa de Laplace dependiendo de las raíces del denominador. 1) Si las raíces son reales y diferentes, la transformada inversa es la suma de términos exponenciales. 2) Si las raíces son reales múltiples, se calculan los residuos. 3) Si las raíces son complejas conjugadas, la transformada inversa implica funciones seno y coseno.
Este documento describe medidas estadísticas de dispersión, asimetría y curtosis. Explica cómo calcular e interpretar el rango, rango intercuartílico, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación, coeficiente de asimetría y coeficiente de curtosis. Proporciona ejemplos detallados de cómo aplicar estas medidas a conjuntos de datos para analizar la variabilidad, simetría y forma de la distribución.
Este documento presenta información sobre transformaciones lineales, el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales, y conceptos como núcleo, rango y nulidad. Explica que una transformación lineal preserva las operaciones de suma y multiplicación escalar, y que el núcleo de una transformación es el conjunto de vectores cuya imagen es el vector nulo. También describe el método de Gauss-Jordan y cómo se puede usar para encontrar la forma escalonada de una matriz y resolver sistemas de ecuaciones. Finalmente, define rango, nulidad y
Este documento describe varios códigos digitales utilizados para representar números en sistemas binarios, incluyendo el código BCD, el código 8421, el código exceso-3, el código Gray, el código de Hamming y los códigos de paridad par e impar. Explica las ventajas y desventajas de cada código, así como cómo realizar conversiones entre ellos y operaciones aritméticas como la suma de números binarios.
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Este documento describe medidas estadísticas de dispersión, asimetría y curtosis. Explica cómo calcular e interpretar el rango, rango intercuartílico, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación, coeficiente de asimetría y coeficiente de curtosis. Proporciona ejemplos detallados de cómo aplicar estas medidas a conjuntos de datos para analizar la variabilidad, simetría y forma de la distribución.
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Ecuación diferencial de Bernoully y Riccati Matemática IIJoe Arroyo Suárez
El documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales de Bernoulli y Riccati. Explica que las ecuaciones de Bernoulli se pueden transformar en ecuaciones lineales mediante un cambio de variable, y proporciona un ejemplo resuelto. También define la ecuación de Riccati y ofrece dos métodos para convertirla en una ecuación de Bernoulli o lineal y resolverla, ilustrando con un ejercicio. El documento contiene esta información para cuatro estudiantes de ingeniería civil en Perú.
El documento describe diferentes medidas de dispersión como el rango, la desviación típica, la varianza y el coeficiente de variación. Explica sus características y utilidad para analizar la distribución de valores en una serie de datos y cuantificar cuán dispersos o concentrados están alrededor de un valor central.
1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite convertir una función del tiempo en otra función compleja, permitiendo resolver ecuaciones diferenciales.
2) Tiene propiedades como la linealidad y el desplazamiento en el tiempo y la frecuencia, lo que facilita su uso para resolver ecuaciones.
3) Se puede usar para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales al convertirlas en ecuaciones algebraicas mediante la transformada, y luego aplicar la transformada inversa.
Este documento trata sobre la estabilidad de sistemas dinámicos. Define la estabilidad formalmente en el sentido de Lyapunov y discute conceptos como la estabilidad absoluta, relativa y el error en estado estacionario. También explica el análisis de estabilidad en el plano-s y presenta el criterio de Routh para determinar la estabilidad analizando la ubicación de los polos de un sistema.
Este documento describe conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales de orden superior. Explica que una ecuación diferencial de orden n consiste en una función y(x) y sus derivadas hasta el orden n. También cubre temas como la existencia y unicidad de soluciones, el principio de superposición, y métodos para encontrar la solución general como la reducción de orden.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares y cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas. También explora varias curvas definidas por ecuaciones polares, incluyendo rosas, cardioides, limacones, circunferencias, lemniscates y espirales. Finalmente, presenta gráficos de estas curvas en coordenadas polares.
Este documento presenta 16 prácticas de programación en OpenGL utilizando Dev C++. Las prácticas van desde lo básico como dibujar un tablero de ajedrez hasta objetos 3D más complejos e incluso animaciones. Se explican funciones como glBegin, glVertex, glColor y el uso de bucles for para crear formas repetitivas.
Cuadricas, forma de reconocer y sus ecuaciones (asmf)ESPOCH
SALUDOS. quiero poner a disposicion de Ud(s), una presentacion. Forma de reconocer una cuadrica, sus ecuaciones, a partir de una ecuacion inicial de Segundo grado, cambio para los otros ejes tridimencionales, espero sea un aporte para Ud. (los graficos estan ploteados en 3D con el programa Scientific Work Place 5)
Este documento describe las transformaciones de coordenadas, en particular la rotación de ejes, como una herramienta para simplificar la ecuación de una curva. Explica cómo determinar el ángulo de rotación para eliminar el término Bxy de la ecuación general de segundo grado. Proporciona ejemplos de rotación de ejes para simplificar ecuaciones cónicas.
Este documento presenta información sobre matrices, incluyendo definiciones, tipos de matrices especiales como matrices identidad, simétricas y antisimétricas, y operaciones con matrices como adición, sustracción, multiplicación y transposición. También incluye ejemplos para ilustrar conceptos como las matrices de ventas de una compañía y operaciones entre matrices.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales. Explica que las edp son relaciones que involucran una función desconocida y sus derivadas parciales, y que modelan una amplia variedad de fenómenos físicos y matemáticos. Además, describe brevemente los capítulos que componen el libro, los cuales cubren temas como la clasificación de edp, los métodos de solución para edp lineales y no lineales, y las funciones de Green. El objetivo general es proveer una panor
Conicas, Ecuaciones parametricas y Coordenadas polaresSarahy Mejias
Este documento contiene información sobre curvas cónicas como elipses, hipérbolas y parábolas. Define cada curva y explica sus parámetros clave como ejes, focos y distancia focal. También cubre ecuaciones paramétricas y cómo representar curvas a través de conjuntos de ecuaciones que incluyen un parámetro.
El documento describe diferentes tipos de superficies cuádricas representadas por ecuaciones de segundo grado. Explica que una esfera, elipsoide, hiperboloide de una hoja y cilindro elíptico son ejemplos de superficies cuádricas y analiza las propiedades geométricas de cada una. También analiza cómo estas superficies se intersectan con los planos coordenados.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores en el plano para el primer año de bachillerato. Introduce la noción de vector fijo y libre, y define vectores equipolentes. Explica operaciones con vectores como el producto de un número por un vector. Finalmente, ilustra gráficamente ejemplos de vectores múltiplos.
Este documento introduce los conceptos de percentiles, cuartiles, deciles y escala percentilar. Explica que los percentiles dividen una población de datos en partes basadas en porcentajes y cómo calcular la posición de diferentes percentiles, cuartiles y deciles. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular estos valores estadísticos de posición para conjuntos de datos.
Este documento presenta una introducción al concepto de gradiente en cálculo vectorial. Explica que el gradiente representa la tasa de cambio de una función multivariable a lo largo de un vector dado y generaliza las derivadas parciales. También define el gradiente como el vector cuya componentes son las derivadas parciales de la función y cuyo producto escalar con cualquier vector dr da la diferencial de la función en ese punto.
Este documento define lo que son los grafos y describe algunos tipos de grafos como los grafos dirigidos, no dirigidos, eulerianos y hamiltonianos. También cubre representaciones de grafos como matrices de adyacencia y de incidencia, y aplicaciones de grafos como modelado de redes de transporte y proyectos.
Este documento resume las transformaciones lineales. Define transformaciones lineales como funciones entre espacios vectoriales que preservan la suma y la multiplicación por escalares. Presenta ejemplos de transformaciones lineales como reflexiones y rotaciones. Explica que las transformaciones lineales pueden representarse mediante matrices y que la composición y inversa de transformaciones lineales también son transformaciones lineales.
Este documento presenta las transformaciones geométricas aplicadas a imágenes digitales. Explica transformaciones rígidas como traslación, rotación y reflexión, transformaciones afines como escalado y cizalladura, y coordenadas homogéneas. También cubre la combinación de transformaciones y su implementación en MATLAB.
Este documento describe diferentes tipos de transformaciones geométricas 2D como traslación, rotación, escalado y reflexión. Explica cómo representar estas transformaciones mediante matrices y cómo componer múltiples transformaciones en una sola matriz mediante el uso de coordenadas homogéneas. También cubre temas como rotación y escalado alrededor de puntos arbitrarios y diferentes tipos de reflexión.
Ecuación diferencial de Bernoully y Riccati Matemática IIJoe Arroyo Suárez
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1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite convertir una función del tiempo en otra función compleja, permitiendo resolver ecuaciones diferenciales.
2) Tiene propiedades como la linealidad y el desplazamiento en el tiempo y la frecuencia, lo que facilita su uso para resolver ecuaciones.
3) Se puede usar para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales al convertirlas en ecuaciones algebraicas mediante la transformada, y luego aplicar la transformada inversa.
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1. Procesamiento de Imágenes
y Visión Artificial
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Sesión: 8
Transformaciones geométricas
MSc. Ing. José C. Benítez P.
2. Logros de aprendizaje
1. Conocer las transformaciones geométricas aplicadas a los
diferentes tipos de imágenes digitales.
2. Transformar geométricamente las imágenes digitales.
3. Implementar funciones para las transformaciones
geométricas de las imágenes digitales.
4. Aplicar transformaciones rígidas sobre una imagen digital.
5. Transformar por afinidad una imagen digital.
6. Conocer las coordenadas homogéneas.
7. Combinar transformaciones geométricas.
2
5. Introducción a las TG
• Utilizando el histograma, se obtiene una transformación que
asigna para cada nivel de gris de la imagen de entrada un
nuevo nivel de gris. Este tipo de transformaciones se llaman
puntuales pues sólo hace falta conocer el nivel de gris en
cada punto de la imagen de entrada para obtener el valor en
el mismo punto de la imagen de salida.
• Ahora nos ocuparemos de las TG. Determinaremos qué
posición tomará en la imagen destino cada píxel de la imagen
original cuando sobre ella aplicamos una transformación
geométrica tales como traslación, rotación, escalado... Es
decir, el valor de un píxel en la imagen de salida se asignará
en base a las coordenadas (x,y) de ese píxel.
6. Introducción a las TG
• Las TG que veremos no son distintas de las
transformaciones básicas de la geometría. Sin
embargo, debido a la naturaleza discreta de las
imágenes, aparecen ciertos problemas que es preciso
analizar y resolver.
• Este tipo de transformaciones resultan útiles para
facilitar el reconocimiento de formas cuando no
existen unas condiciones preestablecidas de escala o
posición en las piezas a analizar.
7. Introducción a las TG
• Las transformaciones geométricas también son utilizadas para
eliminar distorsiones debidas a óptica y a la perspectiva o
bien para reajustar imágenes de una misma escena tomadas
bajo distintas condiciones y poder de esta forma establecer
correspondencias entre unas y otras.
8. Introducción a las TG
Podemos clasificar las TG en:
• Transformaciones rígidas o euclídeas, que
preservan las distancias, ángulos y áreas.
• Transformaciones afines, que preservan la
colinealidad de los puntos, paralelismos y las
razones entre los puntos pertenecientes a una
línea.
• Transformaciones proyectivas, que preservan
solo la colinealidad de los puntos.
9. Introducción a las TG
En transformaciones rígidas y afines las coordenadas de la
imagen de salida (x¢, y¢)
se obtienen a partir de la ecuación
lineal en las coordenadas de la imagen
=
+
10. =
+
M debe cumplir la condición de ser invertible.
11. Transformaciones rígidas
Las transformaciones rígidas se caracterizan
por preservar las distancias. M es una matriz
ortogonal. Son transformaciones rígidas :
Traslación
Rotación
Reflexión
12. Transformaciones rígidas. Traslación
La traslación es una transformación que desplaza una
cierta magnitud vectorial cada uno de los píxeles de la
imagen de entrada.
x
y
¢ = +
x x t
¢ = +
y y t
x
t
+
1 0
=
¢
¢
y
t
x
y
x
y
.
0 1
13. Transformaciones rígidas. Rotación
La rotación consiste en girar la imagen original un cierto
ángulo. La rotación en principio se establece respecto al
origen de coordenadas
¢ = × − ×
q q
cos( ) sin( )
x x y
¢ = × + ×
q q
sin( ) cos( )
y x y
×
−
=
¢
¢
x
y
q q
sen
sen
x
y
q q
cos
cos
14. Transformaciones rígidas. Reflexión
Dada una recta r y un punto P,la reflexión del punto P =(x,y)
respecto a la recta r genera un punto P′ = (′, ′) caracterizado
por:
• El vector PP′ es perpendicular a la recta r
• Las distancias de P y P′ a la recta son iguales
Ejemplo: reflexión respecto al eje vertical:
×
−
=
¢
¢
x
y
x
y
1 0
0 1
16. Transformaciones afines.
Las transformaciones afines preservan la colinealidad
de los puntos (las rectas siguen siendo rectas tras la
transformación), el paralelismo y las razones entre los
puntos de pertenecientes a una recta.
=
M es una matriz invertible.
+
19. Transformaciones afines. Escalado
El escalado es una transformación que se origina al
multiplicar por un factor ambas coordenadas de cada píxel de
la imagen de entrada.
¢ =
x s x
x
·
y s y
y
·
¢ =
×
=
¢
¢
x
y
s
s
x
y
y
x
0
0
El factor de escala no tiene necesariamente que ser el mismo
para ambas coordenadas (escalado anisotrópico)
20. Transformaciones afines. Cizalladura
La cizalladura de x respecto a y desplaza cada píxel de la
imagen original en la dirección x un espacio proporcional a
su coordenada y.
¢ = + ×
x x c y x
¢ =
y y
×
1
x x
c x
=
¢
¢
y
y
0 1
21. Transformaciones afines. Similitud
Similitud: Traslación + Rotación + Escalado Isotrópico.
En las transformaciones afines de similitud se conservan
también los ángulos
23. Transformaciones proyectivas
En las transformaciones proyectivas ya no se conserva el
paralelismo, ni las razones entre puntos de una recta. Sólo
se conservan las líneas rectas.
26. Coordenadas homogéneas
La expresión matricial de la traslación y la rotación:
x
t
+
=
¢
¢
y
t
x
y
x
y
.
1 0
0 1
×
−
¢
x
q q
La traslación tiene una forma distinta del resto de las
transformaciones pues no se reduce a un único producto
de matrices sino que además contiene un sumando.
=
¢
x
y
sen
sen
y
q q
cos
cos
27. Coordenadas homogéneas
• Interesa que todas las transformaciones tengan una
representación uniforme mediante un producto de
matrices. Esto permitirá operar más eficientemente,
especialmente cuando hay que realizar una secuencia
de transformaciones.
• Para lograr esta representación matricial uniforme
recurriremos a la utilización de coordenadas
homogéneas.
• En coordenadas homogéneas los puntos del plano se
representan con tres coordenadas.
28. Coordenadas homogéneas
Un punto (x, y) tiene la forma (hx, hy, h), donde h toma un
valor arbitrario distinto de 0 que representa un factor de
escala.
Un mismo punto tiene infinitas representaciones en
coordenadas homogéneas. El punto (2, 3) puede
expresarse como:
(2, 3, 1), (4,6,2), (6, 9, 3), …
No obstante, lo habitual es tomar h=1, con lo que el punto
(x, y) pasa a ser (x, y, 1)
29. Coordenadas homogéneas
La traslación se expresará entonces en coordenadas
homogéneas de la forma:
x
¢
x
=
¢
¢
x
1
·
1 0
0 1
t
x
m m t
11 12
21 22
x
x
1 0 0 1
y
m m t
y
y
=
¢
1
·
0 0 1
1
y
t
y
y
Y en general cualquier transformación afín como:
30. Coordenadas homogéneas
1 0
=
¢
¢
x
1
·
0 1
t
x
0 0 1
x
1
y
t
y
y
−
=
¢
¢
x
1
·
q q
cos 0
cos 0
0 0 1
x
1
y
sen
sen
y
q q
=
¢
¢
x
1
·
0 0
0 0
0 0 1
x
1
y
s
s
y
y
x
−
=
¢
¢
x
1
·
q q
sen t
cos
cos
x
0 0 1
x
1
y
sen t
y
y
q q
Traslación
Rotación
Escalado
Euclídea
q q
× − ×
cos
s s sen t
× ×
=
¢
¢
x
1
·
cos
x
0 0 1
x
1
y
s sen s t
y
y
q q
Similitud
31. Combinación de transformaciones
Cuando se aplican dos o más transformaciones de forma
consecutiva, estas se pueden combinar en una única
transformación sin más que multiplicar las matrices de
transformación. Esta es otra de las grandes ventajas de
trabajar con coordenadas homogéneas.
Ejemplo dos traslaciones:
=
0 0
0 0
36. Combinación de transformaciones
En el caso anterior, el orden en que se efectúen las
traslaciones no tiene importancia pero en general sí
que hay que tener en cuenta el orden en que se hacen
las operaciones.
En general, el producto de las matrices de
transformación no será conmutativo. Las matrices de
trasformaciones posteriores irán multiplicando por la
izquierda a las transformaciones previas.
37. Transformaciones geométricas con MatLab
R = imrotate(I, angGrados,'bilinear');
Rota la imagen I el ángulo especificado en grados con
interpolación bilineal.
T = maketform('affine',t);
Crea una estructura de datos para aplicar la transformación
geométrica.
J = imtransform(I,T);
Aplica la transformación geométrica a la imagen I especificada en
la estructura T.
C = imcrop(I,[x0 y0 ancho alto]);
Recorta de la imagen I la ventana especificada y la guarda en C.
E = imresize(I,2,'bilinear');
Reescala la imagen I con un factor 2 usando una interpolación
bilineal.
38. Resumen
Realizar un resumen mediante mapas conceptuales (CMapTools)
32
de esta diapositiva.
Serán mejor consideradas los resúmenes que tengan información
extra a esta diapositiva.
Las fuentes adicionales utilizadas en el resumen se presentarán
en su carpeta personal del Dropbox y deben conservar el nombre
original y agregar al final _S8.
Las fuentes y los archivos *.cmap deben colocarse dentro de su
carpeta personal del Dropbox, dentro de una carpeta de nombre:
PDI_PaternoM_S8
Las Tareas que no cumplan las
indicaciones no serán considerados
por el profesor.
39. 33
Preguntas
El resumen con mapas conceptuales solicitado de la
Sesión, al menos debe responder las siguientes
preguntas:
1. Concepto y clasificación de las TG.
2. Concepto y clasificación de las TG-rígidas.
3. Concepto y clasificación de las TG-afines.
4. Concepto de las coordenadas homogéneas
5. Las TG mediante las coordenadas homogéneas.
6. Las TG mediante MatLab.
40. 34
Sesion8. Transformaciones geométricas
Procesamiento de Imágenes
y Visión Artificial
Blog del curso:
http://utppdiyva.blogspot.com