Este documento explica los diferentes métodos para calcular la transformada inversa de Laplace dependiendo de las raíces del denominador. 1) Si las raíces son reales y diferentes, la transformada inversa es la suma de términos exponenciales. 2) Si las raíces son reales múltiples, se calculan los residuos. 3) Si las raíces son complejas conjugadas, la transformada inversa implica funciones seno y coseno.

1. 1
REGULACIÓN AUTOMATICA (1)
(transformada inversa de Laplace)
Escuela Politécnica Superior
Profesor: Darío García Rodriguez

2. 2
TRANFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Dada la función de s,
...
...
)(
)(
)( 2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
+++
+++
== −−
−−−
nnn
nnn
sasas
sbsbsb
sB
sA
sF las raíces del
denominador (son los polos ) pueden ser:
a) Reales diferentes
b) Reales múltiples (no todas las raíces)
c) Complejas conjugadas ( no todas las raíces)
Dependiendo de las raíces del denominador, se pueden descomponer en fracciones mas
simples, para calcular fácilmente su transformada inversa de Laplace.
a) Raíces reales diferentes:
........
)...)·((
)·...)·(·(
)(
)(
)(
2121
21
+
+
+
+
=
++
++
==
ps
B
ps
A
psps
zszsk
sB
sA
sF
1
)(
)(
)·lim( 1
ps
sB
sA
psA
−→
+=
2
)(
)(
)·lim( 2
ps
sB
sA
psB
−→
+= ..........
La transformada inversa de Laplace de F(s) es:
...··)( 21
++= −− tptp
eBeAtf
Ejemplo:
6116
6352
)( 23
23
+++
+++
=
sss
sss
sF
el mayor exponente del denominador, tiene que ser como mínimo, superior al del
numerador en uno.
Dividiendo el numerador entre el denominador nos queda:
321
2
6116
6197
2
6116
6352
)( 23
2
23
23
+
−
+
−
+
−=
+++
++
−=
+++
+++
=
s
C
s
B
s
A
sss
ss
sss
sss
sF
Las raíces de la ecuación del denominador son –1 , -2 y –3.
3
)3)·(2)·(1(
6197
)·1(lim
2
1
−=
+++
++
+=
−→ sss
ss
sA
s
4
)3)·(2)·(1(
6197
)·2(lim
2
1
=
+++
++
+=
−→ sss
ss
sB
s

3. 3
6
)3)·(2)·(1(
6197
)·3(lim
2
3
=
+++
++
+=
−→ sss
ss
sC
s
Luego nos quedará:
3
6
2
4
1
3
2)(
+
−
+
−
+
+=
sss
sF cuya transformada inversa de Laplace es:
f(t)=2·Dirac(t) + 3·e-t
–4e-2·t
–6·e-3·t
Si queremos resolverlo por el programa de Matlab Sería:
Utilizando la instrucción Residue del programa Matlab en el caso particular de
raíces diferentes el resultado es el que tenemos a la derecha, de la expresión puesta a
continuación.
6116
6352
)( 23
23
+++
+++
=
sss
sss
sG
cuya interpretación es la siguiente:
2
1
3
2
4
3
6
)( +
+
+
+
−
+
+
−
=
sss
sG
Cuyas transformadas inversas de Laplace son
inmediatas e igual a:
)(*2*3*4*6)( 23
tDiraceeetG ttt
++−−= −−−
No obstante si utilizamos la instrucción
ilaplace (inversa de la transformada de Laplace)
dentro del lenguaje simbólico obtendremos lo siguiente

4. 4
b) Polos de raíces Múltiples:
........
)(
....
)()()...·()(
)·...)·(·(
)(
)(
)(
21
1
1
1
1
121
21
+
+
+
+
++
+
+
+
=
++
++
== −
−
ps
B
ps
A
ps
A
ps
A
psps
zszsk
sB
sA
sF n
n
n
n
n
Los residuos se calculan de la forma siguiente:
)(
)(
·)(lim 1
1 sB
sA
psA n
ps
n +=
−→ )(
)(
·)(lim 11
1 sB
sA
ps
ds
d
A n
ps
n +=
−→
−
)(
)(
·)(·
)!.(
1
lim 11
1 sB
sA
ps
ds
d
in
A n
n
in
ps
i +
−
= −
−
−→
2
)(
)(
)·lim( 2
ps
sB
sA
psB
−→
+= .......
Ejemplo:
133
32
)( 23
2
+++
++
=
sss
ss
sF las raíces del denominador es –1 triple, luego nos queda:
)1()1()1()1(
32
133
32
)( 1
2
2
3
3
3
2
23
2
+
+
+
+
+
=
+
++
=
+++
++
=
s
A
s
A
s
A
s
ss
sss
ss
sF en donde
2
)1(
32
·)1(lim 3
2
3
1
3 =
+
++
+=
−→ s
ss
sA
s
0)22(lim
)1(
32
·)1(lim
13
2
3
1
2 =+=
+
++
+=
−→−→
s
s
ss
s
ds
d
A
ss
1)2(
2
1
lim
)1(
32
·)1(
2
1
lim
13
2
3
2
2
1
1 ==
+
++
+=
−→−→ ss s
ss
s
ds
d
A
)1(
1
)1(
0
)1(
2
133
32
)( 2323
2
+
+
+
+
+
=
+++
++
=
ssssss
ss
sF cuya transformada inversa es:
)1·(··1·0··
2
2
)( 222
+=+=++= −−−−−−
teeeteteettf tttttt
Nota la transformada inversa de Laplace de n
as
sF
)(
1
)(
+
= es igual a
atn
et
factn
tf −−
−
= ··
)1(
1
)( 1

5. 5
Si queremos resolverlo por el programa de Matlab Sería
En el segundo caso tenemos raíces múltiples, las
transformadas inversas de Laplace se calcula con
residue, cuya interpretación es la siguiente:
32
)1(
2
)1(
0
)1(
1
)(
+
+
+
+
+
=
sss
sG
Cuyas transformadas inversa serian:
tt
etetG −−
+= **)2/1(*2)( 2
Utilizando ilaplace dentro del lenguaje simbólico
obtendríamos:
c) Raíces complejas conjugadas
nsms
GsF
ps
B
ps
A
psps
zszsk
sB
sA
sF
++
+
++
+
+
+
=
++
++
==
·
·
........
)...)·((
)·...)·(·(
)(
)(
)( 2
2121
21
Donde los p son reales, y el denominador de la última fracción es compleja conjugadas
cuyas soluciones son:
ibas ·±−= Luego nos quedaría:
( ) 222
·
)·).(·(
·
·
·
bas
GsF
ibasibas
GsF
nsms
GsF
++
+
=
−+++
+
=
++
+
La transformada inversa de Laplace de esta función, hay que compararla con la
transformada de Laplace del seno y coseno.
La transformada inversa de Laplace de
( ) 22
)(
bas
sF
++
=
ω
es tsenetf ta
ω·)( ·
=
Y la transformada inversa de Laplace de
( ) 22
)(
bas
as
sF
++
+
= es tetf ta
ω·cos)( ·
=

6. 6
Se hacen los cambios oportunos del numerador F·s+G ,para que nos den en el
numerador una expresión de la forma k(s+a)+ qω donde k y q son constantes, y así
poder obtener su transformada inversa de Laplace.
( ) 222222
)(
·
)(
)(·
bas
q
bas
ask
bas
GsF
++
+
++
+
=
++
+ ω
Aquí la transformada inversa de
Laplace es inmediata y es k·e-at
·cosωt +q·e-at
·senωt
Ejemplo:
5·2
12·2
)( 2
++
+
=
ss
s
sF Las raíces de denominador son: is ·21±−=
( ) 2222222
2)1(
2
·5
2)1(
1
·2
2)1(
10)1(2
)·21·(·21
12·2
5·2
12·2
)(
++
+
++
+
=
++
++
=
−+++
+
=
++
+
=
ss
s
s
s
isis
s
ss
s
sF
Ahora la transformada inversa de Laplace son inmediata:
tsenetetf tt
·2··5·2·cos·2)( ·1·1 −−
+=
Si queremos calcularlo por el programa Matlab
tendriamos:
En este tercer caso las raíces son complejas
conjugadas y las transformada inversa de Laplace
no serian inmediatas, sino al contrario tendríamos
que realizar unas series de operaciones.
22
2)1(
12
)·21(
·5.21
)·21(
·5.21
)(
++
+
=
−+
+
+
−+
−
=
s
s
is
i
is
i
sF
es decir la solución no es inmediata.
En cambio con la instrucción ilaplace, del lenguaje simbolico, la solución es
inmediata. la ponemos a continuación.