Superficies cuátricas

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y
TELECOMUNICACIONES
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe – mitagi@gmail.com
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ contactos@migueltarazonagiraldo.com 999685938
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TEMA: SUPERFICIES CUÁDRICAS SEMANA: 02
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503 B SEMESTETRE: 2017 - II
SUPERFICIES CUÁDRICAS
INTRODUCCIÓN
Analíticamente la ecuación 𝑬(𝒙, 𝒚) = 𝟎 , nos
representa un lugar geométrico en el plano 𝒙𝒚, a la
ecuación 𝑬(𝒙, 𝒚) = 𝟎 , extenderemos al espacio
tridimensional, cuya ecuación rectangular en tres
variables representadas por:
𝒙𝒚𝒛
También se conoce que todo se representa
analíticamente por una única ecuación lineal de la
forma
𝑷: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪𝒛 + 𝑫 = 𝟎
De una manera más general, veremos si existe una
representación analítica de una figura geométrica, la
cual denominaremos superficie, tal representación
consistirá en una única ecuación rectangular de la
forma:
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟎
Por ejemplo, por medio de la distancia entre dos
puntos se puede demostrar que la superficie esférica
de radio r con centro en el origen se representa
analíticamente por la ecuación.
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
+ 𝒛 𝟐
= 𝒓 𝟐
SUPERFICIES CUÁDRICAS
La ecuación de la esfera, es solo un caso particular de
la ecuación de segundo grado.
𝑨𝒙 𝟐
+ 𝑩𝒚 𝟐
+ 𝑪𝒛 𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭𝒛 + 𝑮 = 𝟎
Cuando A, B, y C no son todos nulos, se dice que la
gráfica de una ecuación de la forma
𝑨𝒙 𝟐
+ 𝑩𝒚 𝟐
+ 𝑪𝒛 𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭𝒛 + 𝑮 = 𝟎
es una superficie cuádrica, si describe un lugar
geométrico real.
Por ejemplo
Ejm.
𝑥2
9
+
𝑦2
16
+
𝑧2
25
= 1
Al hacer un estudio de esta superficie se tiene que:
I. Intersección con los ejes:
a. Eje x: 𝑥2
= 9 ⇒ 𝑥 = ±3 ⇒ (3, 0, 0) 𝑦 (−3, 0, 0)
son puntos de la superficie.
b. Eje y: 𝑦2
= 16 ⇒ 𝑥 = ±4 ⇒ (0, 4, 0) 𝑦 (0, − 4, 0)
c. Eje z: 𝑧2
= 25 ⇒ 𝑥 = ±5 ⇒ (0, 0, 5) 𝑦 (0, 0, −5)
II. Trazas sobre los ejes:
a. plano yz: 𝑥 = 0 ⟹
𝑦2
16
+
𝑧2
25
= 1,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒.
b. plano xz: 𝑦 = 0 ⟹
𝑥2
9
+
𝑧2
25
= 1,
c. plano xy: 𝑧 = 0 ⟹
𝑥2
9
+
𝑦2
16
= 1,
III. Simetría con respecto a los planos coordenados,
ejes coordenados y al origen
Relaciones Simetría
F(-x, y, z)=F(x, y, z) Plano yz

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F(x, -y, z)=F(x, y ,z) Plano xz
F(x, y, -z)=F(x, y, z) Plano xy
F(-x, -y, z)=F(x, y, z) Eje z
F(-x, y ,-z)=F(x, y, z) Eje y
F(x, -y, -z)=F(x, y, z) Eje x
F(-x, -y, -z)=F(x, y, z) Origen
IV. Secciones por planos paralelos a los planos
coordenados
Los planos paralelos al plano 𝑥𝑦 tienen ecuación 𝑧 =
𝑘. La curva intersección entre la superficie y este plano
se obtiene sustituyendo 𝑧 = 𝑘 en la ecuación
elipsoide, resultando
𝑥2
9
+
𝑦2
16
= 1 −
𝑘2
25
.
Si 1 −
𝑘2
25
> 0, es decir |𝑘| < 5, la curva es una elipse
en el plano 𝑧 = 𝑘.
V. Extensión de la superficie de
𝑥2
9
+
𝑦2
16
+
𝑧2
25
= 1 se
tiene 𝑧 = |5|√1 −
𝑥2
9
−
𝑦2
16
de donde
𝑥2
9
+
𝑦2
16
≤ 1
VI. Gráfico de la superficie
El cilindro elíptico:
2 2
1
4 9
x y
 
Como el cilíndrico parabólico
2
z y
Son superficies cuádricas, Concluiremos este informe
considerando seis superficies cuádricas adicionales y
bien definidas.
ELIPSOIDE. - Se dice que la gráfica de cualquier
ecuación de la forma
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
   , donde 𝑎 > 𝑜, 𝑏 > 0 𝑦 𝑐 > 0
Es un elipsoide. Para 0y b , la ecuación
22 2
0
2 2 2
1
yx z
a c b
  
Representa una familia de elipses (o circunferencia si
𝑎 = 𝑐) paralelas al plano que se forman cortando la
superficie mediante planos 𝑦 = 𝑦0 . Eligiendo, cada
uno a su vez, 𝑥 = 𝑥0 , 𝑦 = 𝑦0 , encontrarías que los
cortes de la superficie son elipse (o circunferencias)
paralelas a los planos 𝑦𝑧 𝑦 𝑥𝑦, respectivamente.
Plano
coordenado
traza
𝑥𝑦(𝑧 = 0) Elipse:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑥𝑧(𝑦 = 0) Elipse:
𝑥2
𝑎2
+
𝑧2
𝑐2
= 1
𝑦𝑧(𝑥 = 0) Elipse:
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 1
(a)

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HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
La grafica de una ecuación de la forma
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
   , donde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑦 𝑐 > 0
Se llama hiperboloide de una hoja. En este caso, un
plano 𝑧 = 𝑥0, paralelo al plano 𝑥𝑦, corta la superficie
en secciones transversales elípticas (o circulares, si
𝑎 = 0). Las ecuaciones de estas elipses son
22 2
0
2 2 2
1
yx z
a b c
   , donde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑦 𝑐 > 0
La elipse más pequeña, 𝑧0 = 0 , corresponde a las
trazas en el plano 𝑥𝑦.
Plano
coordenado
traza
𝑥𝑦(𝑧 = 0) Elipse:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑥𝑧(𝑦 = 0) hipérbola:
𝑥2
𝑎2
−
𝑧2
𝑐2
= 1
𝑦𝑧(𝑥 = 0) hipérbola:
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1
(a)
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
Como se ve en la figura, una gráfica de
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
    , donde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑦 𝑐 > 0
Es llamada apropiadamente hiperboloide de dos hojas.
Para 0y b la ecuación
22 2
0
2 2 2
1
yx z
a c b
  
Describe la curva elíptica de intersección de la
superficie con el plano 𝑦 = 𝑦0

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Plano
coordenado
traza
𝑥𝑦(𝑧 = 0) hipérbola:
−
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑥𝑧(𝑦 = 0) ninguna
𝑦𝑧(𝑥 = 0) hipérbola:
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1
(a)
PARABOLOIDE
La grafica de una ecuación de la forma
2 2
2 2
x y
cz
a b
 
Se llama paraboloide. En la Figura vemos que
para 𝑐 > 0, los planos 𝑧 = 𝑧0 > 0, paralelos al plano,
cortan las superficies en elipses cuyas ecuaciones son
2 2
02 2
x y
cz
a b
 
Plano
coordenado
traza
𝑥𝑦(𝑧 = 0) punto: (0; 0)
𝑥𝑧(𝑦 = 0) parábola:
𝑥2
𝑎2
= 𝑐𝑧
𝑦𝑧(𝑥 = 0) parábola:
𝑦2
𝑏2
= 𝑐𝑧
(a)
CONO
Las gráficas de una ecuación de la forma
2 2 2
2 2 2
x y z
a b c
  , 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑦 𝑐 > 0
Son llamados conos elípticos (o circular, si 𝑎 = 𝑏). Para
𝑧0 arbitrario, los planos paralelos al plano 𝑥𝑦 cortan la
superficie en elipses cuyas ecuaciones son
22 2
0
2 2 2
zx y
a b c
 
En la siguiente figura se muestra una gráfica
característica

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Plano
coordenado
traza
𝑥𝑦(𝑧 = 0) punto: (0; 0)
𝑥𝑧(𝑦 = 0) rectas:
𝑧 = ∓
𝑐
𝑎
𝑥
𝑦𝑧(𝑥 = 0) rectas:
𝑧 = ∓
𝑐
𝑏
𝑦
(a)
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
La última superficie cuádrica que consideraremos se
conoce como paraboloide hiperbólico y es la gráfica de
toda ecuación de la forma
2 2
2 2
y x
cz
a b
  , 𝑎 > 0, 𝑏 > 0
Observe que para 𝑐 > 0 los planos, 𝑧 = 𝑧0, paralelo al
plano 𝑥𝑦, cortan la superficie en hipérbolas cuyas
ecuaciones son
2 2
02 2
y x
cz
a b
 
En la figura, se muestra la forma característica de la silla
de montar de un paraboloide hiperbólico.
Plano
coordenado
traza
𝑥𝑦(𝑧 = 0) rectas:
𝑦 = ∓
𝑎
𝑏
𝑥
𝑥𝑧(𝑦 = 0) parábola:
−
𝑥2
𝑏2
= 𝑐𝑧
𝑦𝑧(𝑥 = 0) parábola:
𝑦2
𝑎2
= 𝑐𝑧
(a)

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EJERCICIOS PROPUESTOS
Para las ecuaciones siguientes, hacer un estudio
completo: trazas, cortes con los ejes, identificar la
superficie y hacer un gráfico aproximado.
1. 2 2 2
4 8 2 2 3 0x y z x y z      
(Hiperboloide de una hoja con centro en
𝑝 = (1, 1, −1))
2. 2 2 2
8 8 6 24 0x y z y z       (esfera)
3. 2 2 2
2 4 8x y z   (cono elíptico de 2 hojas)
4. 2 2 2
10 25 0x y z z     (cono circular)
5. 2 2
36 36 9y x z   (paraboloide elíptico)
6. 2 2
5x z y  (paraboloide hiperbólico)
7. 2 2 2
4 4 6 16 16 5 0x y z x y z      
(Hiperboloide de una hoja)
8. 2 2
2 0y z x   (paraboloide circular recto)
9. 2 2
3 2 11z x y   (paraboloide)
10.
2 2 2
1
4 9 9
z y x
   (hiperboloide de dos hojas)
12. 2 2
1x z  13. 2
1x z 
14. 2 2
4 1x y  15. 2 2
4 36x y 
16. 2
4x y 
17. 2 2
4 16x z  (cilindros)
Bibliografías
Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica
Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III
G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica
Johnson, Glenn, Norton y García. Explorando la
matemática. Tomo II. New York. McGraw-Hill, 1967.
Referencias
http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-
superficiescuadraticas/
http://utecmat.blogspot.pe/2014/07/superficies-
cuadricas.html
http://www.essl.edu.pt/Dep/Mat/ano%2011/funcoes
/historia.pdf
http://migueltarazonagiraldo.com/

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http://www.monografias.com/trabajos-
pdf5/superficies-cuadraticas/superficies-
cuadraticas.shtml
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Cu
adricas/marco_cuadricas.htm
https://algebraunq.wikispaces.com/file/view/Las+6+Su
perficies-Cuadricas.pdf
http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/12852466
26_1262616935.pdf
http://orientacionuniversitaria.weebly.com/uploads/4/0
/0/1/40018067/resumen_superficiescuadricas_parcial1
_ingridrovelo_calculo2.pdf dipositive

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