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Este capítulo introduce el cálculo integral y las integrales indefinidas. Se define la integral indefinida como una antiderivada más una constante. Se proporcionan varias propiedades y fórmulas para calcular integrales indefinidas de funciones como polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales y logaritmos. El capítulo concluye con ejemplos de cómo aplicar estas propiedades y fórmulas para calcular integrales indefinidas complejas.

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Capitulo 5 - Integrales x Xk- 1 xz Xk '------v---' III Xn _ Xn = b X~I; En este capitulo En los dos ultimos capltulos analizamos las definiciones, propiedades y apli- caciones de la derivada. Ahora pasaremos del calculo diferencial al calculo integral. Leibniz denomin6 calculus summatorius a esta segunda de las dos divisiones mas importantes del calculo. En 1696, persuadido par el matematico suizo Johann Bernoulli, Leibniz cambi6 el nom- bre a calculus integralis. Como sugieren las palabras latinas originales, el concepto de suma desempena un papel importante en 81 desarrollo completo de la integral. En el capitulo 2 vimos que el problema de la tangente conduce de manera natural a la derivada de una funci6n. En el problema de area, el problema motivacional del calculo integral, deseamos encontrar el area acotada por la gratica de una funci6n y el eje x. Este problema lIeva al concepto de integral definida. 5.1 La integral indefinida 5.2 Integracion par sustitucion u 5.3 EI problema de area 5.4 La integral definida 5.5 Teorema fundamental del calculo Revision del capitulo 5 267
268 CAPITULO 5 Integrales 5.1 La integral indefinida I Introduccion En los capftulos 3 y 4 solo abordamos el problema basico: • Dada una funcion.f: encontrar su derivadaf'. En este capItulo y en los subsecuentes veremos cuan importante es el problema de: • Dada una funcionf, encontrar una funcion F cuya derivada sea! En otras palabras, para una funcion dadaf, ahora pensamos enfcomo una derivada. Desearnos encontrar una funcion F cuya derivada seaf; es decir, F'(x) = f(x) para toda x en algun interva_ 10. Planteado en terminos generales, es necesario diferenciar en reversa. Empezamos con una definicion. Definicion 5.1.1 Antiderivada Se dice que un funcion F es una antiderivada de una funcion f sobre algun intervalo I si F '(x) =f(x) para toda x en 1. Ij):@4(.1' Una antiderivada Una antiderivada def(x) = 2x es F(x) = x2 , puesto que F'(x) = 2x. • Una funcion siempre tiene mas de una antiderivada. As!, en el ejemplo anterior, F(x) = x2 - I Y F2(x) = x 2 + 10 tambien son antiderivadas de f(x) = 2x, puesto que Fi(x) = F 2(x) = 2x. A continuaci6n del11ostraremos que cualquier antiderivada de f debe ser de la forma G(x) = F(x) + C; es decir, dos antiderivadas de La misma funci6n pueden diferir a 10 mas ell una constante. Por tanto, F(x) + C es La antiderivada mas generaL def(x). Teorema 5.1.1 Las antiderivadas difieren 120r una constante Si G'(x) = F'(x) para toda x en algun intervalo [a, b], entonces G(x) = F(x) + C para toda x en el intervalo. DEMOSTRACION Suponga que se define g(x) = G(x) - F(x). Entonces, puesto que G'(x) = F'(x) , se concluye que g'(x) = G'(x) - F'(x) = 0 para toda x en [a, b]. Si x YX2 son dos nume- ros cualesquiera que satisfacen a ::; x < X2 ::; b, por el teorema del valor medio (teorema 4.4.2) se concluye que en el intervalo abierto (x, X2) existe un nUl11ero k para el cLlal o Pero g'(x) = 0 para toda x en [a, b]; en particular, g'(k) = O. Por tanto, g(X2) - g(x) = 0 0 g(X2) = g(x). Luego, por hipotesis, x YX2 son dos nUl11eros arbitrarios, pero diferentes, en el intervalo. Puesto que los valores funcionales g(x) y g(X2) son iguales, debe concluirse que la funcion g(x) es una constante C. Por tanto, g(x) = C il11plica G(x) - F(x) = C 0 G(x) == F(x) + C. •
La nOlacion F(x) + C representa una fanlilia de funciones; cada miembro tiene una deriva- , i"ual a/(.I"), Volviendo al ejemplo I, la antiderivada mas general de f(x) = 2x es la familia ~~.r)c=o r" + C. Como se ;~ en la F~GURA 5.1.1, la grafica de la antiderivada de f(x) = 2x es una 'l'IL'i6n vertical de la graflca de x .tra~ , 1!1@IQon Antiderivadas mas generales a) Una antiderivada de f(x) = 2x + 5 es F(x) = x2 + Sx puesto que F'(x) = 2x + S. La antiderivada mas general def(x) = 2x + 5 es F(x) = x2 + Sx + C. b ) Una antiderivada def(x) = sec2 x es F(x) = tan x puesto que F'(X) = sec2 x. La antide- rivada mas general de f(x) = sec2 x es F(x) = tan x + C. • I Notaci6n de la integral indefinida Por conveniencia, se introducira la notacion para una anti- derivada de una funcion, Si F'(X) = f(x) , la antiderivada mas general de f se representa por ffCX) dx = F(x) + c. EI sfmbolo J fue introducido por Leibniz y se denomina signo integral. La notacion Jf(x) dx se denomina integral indefinida def(x) respecto a x. La funcionf(x) se denomina integrando. EI proceso de encontrar una antiderivada se denomina antidiferenciacion 0 integracion. El numero C se denomina constante de integracion. Justo como !()denota la operacion de dife- renciacion de ( ) con respecto a x, el simbolismo J( )dx denota la operacion de integracion de ( ) COI1 respecto a x. La diferenciacion y la integracion son fundamentalmente operaciones inversas. Si Jf(x) dx = F(x) + C, entonces F es la antiderivada de f; es decir, F'(x) = f(x) y asi f F'(x) dx = F(x) + C. (1) Ademas, df ddx f(x) dx = dx (F(x) + C) = F'(x) = f(x) (2) En palabras, (1) Y(2) son, respectivamente: • Una antiderivada de Ja derivada de una funcion es esa funcion mas una constante. • La derivada de una antiderivada de una funcion es esa funcion. A partir de 10 anterior se concluye que siempre que se obtiene la derivada de una funcion, al mismo tiempo se obtiene una formula de integracion. Por ejemplo, debido a (1), si d xl/ + I - - -==xll dx n + 1 d 1 - Inlxl = - dx x d dx sen x = cos x d 1 - tan- I x = --- dx 1 + x2 entonces f d xl/+ I f X,, +I dx n + 1 dx = x" dx = ;+I + C, entonces f !lnlx l dx= f~dx=lnlxl+C' entonces f !sen x dx = Jcos x dx = sen x + C, entonces f !!... tan- Ix dx = f __l - dx = tan- I x + C. dx J + x2 De esta manera es posible construir una formula de integracion a partir de cada formula de derivada. En la TABLA 5.1.1 se resumen algunas formulas de derivadas importantes para las funcio- nes que se han estudiado hasta el momento, asi como sus formulas de integracion analogas. 5.1 La integral indefinida 269 FIGURA 5.1 .1 Algunos miembros de la familia de antiderivadas de f(x) = 2x <III Este primer resultado s610 es valido si II * - 1.
270 CAPITULO 5 Integrales d l. dx x=1 F6rmula de integraci6n JdX=X+C d _I _ 1 10. -d sen x - , ~ x vi - x 2 F6rmula de integraci6n I 1 d - I , ~ X = sen x + C vi - x2 d X"+ I J X" + I 2. - - - = xl/(n oF - 1) x"dx = - - + C dxn+l 11+1 11 d - I 1• - tan x = --- dx 1 + x 2 1__1 - 2 dx = tan-I x + C l+x d 1 3. - Inlxl = - dx x 4 d . dx sen x = cos x d 5. dx cos x = - sen x d 6. dx tan x = sec 2 x d 7. -dx cot x = - csc 2 X d 8. dx sec x = sec x tan x J~dX = Inlxl + C J cos x dx = sen x + C Isen x dx = - cos x + C Isec2 x dx = tan x + C Icsc2 X dx = -cot x + C Isec x tan x dx = sec x + C d _ I _ 1 12. -d _sec x - , ~ x IxlV x " - 1 13. ull F = bX(ln b), GX (b > 0, b oF 1) 14. ! eX = eX d 15. dx senh x = cosh x d 16. -I cosh x = senh x GX I~ dx = sec- I[x[ + C x x2 - 1 I bX bXdx = - + C Inb IeXdx = eX+ C Icosh x dx = senh x + C Isenh x dx = cosh x + C 9. ! esc x = - esc x cot x Iesc x cot x dx = -esc x + C Con respecto a la entrada 3 de la tabla 5.1.1, es cierto que las f6rmulas de derivadas .iL In x = 1.. d I d 10gbx dxlnlxl =~, dx ~ xdx x' significan que una antiderivada de l / x = X - I puede tomarse como In x, x > 0, In lxl, x -:f- 0, a 10gb x/ In b, x > O. Pero como resultado mas general y util escribimos I~dx = In lx l + C. Observe tambien que en la tabla 5.1.1 s6lo se proporcionan tres f6rmulas que implican funcio- nes trigonometricas inversas. Esto se debe a que, en forma de integral indefinida, las tres f6rmu- las restantes son redundantes. Por ejemplo, de las derivadas d _ I 1 - sen x = dx ~ observamos que es posible tomar Ih dx = sen- I x + C 1 - x2 y o d _ I - 1 - cos x = dx ~ Ih dx = -COS- I X + C. 1 - x2 Observaciones semejantes se cumplen para la cotangente inversa y la cosecante inversa. U!JiMQ!'.' Una antiderivada simple pero importante La f6rmula de integraci6n en la entrada 1 en la tabla 5.1.1 se inc1uye para recalcar: J dx = I1 . dx = x + C ya que !(x + C) = 1 + 0 = 1. Este resultado tambien puede obtenerse a partir de la f6rmula de integraci6n 2 de la tabla S.!.I con n = O. • A menudo es necesario volver a escribir el integrandof(x) antes de realizar la integraci6n.
dl§MR!....e C6mo volver a escribir un integrando Evaluc a) LI,dx y b) IvX dx. Solucio n ·b· II S - 5·d ·f· 5 I t·, I d . ., 2a) Al volver a escn Ir X" como x e 1 entl lcar n = - , por a ormu a e 1I1tegraclOn de la tabla 5.1.1 tenemos: Ix-5dx = X -H I + C = _x- 4 + C = __1_ + C. -5 + 1 4 4X4 b) Primero volvemos a escribir el radical vX como XI / 2 y luego se usa la formula de inte- gracion 2 de la tabla 5.1.1 con n = ~: I x3/2 2 XI /2 d,x = ~/2 + C = 3"X 3/2 + C. • Debe tomarse en cuenta que los resuLtados de La integraci6n siempre pueden comprobarse por diferenciaci6n; por ejemplo, en el inciso b) del ejemplo 4: .!i(lx3/2+ c) = l.lx3/2 - 1 = X I/2 = vX ~ 3 3 2 · En el siguiente teorema se proporcionan algunas propiedades de la integral indefinida. Teorema 5.1.2 Propiedades de la integral indefinida Sean F'(x) = f(x) YG'(x) = g(x). Entonces i) f kj(x) dx = k ff(X) dx = kF(x) + C, donde k es cualquier constante, ii) f [f(x) ::!:: g(x) ]dx = f f(x) dx ::!:: Ig(x) dx = F(x) ::!:: G(x) + C. Estas propiedades se concluyen de inmediato a partir de las propiedades de la derivada. Por ejemplo, ii) es una consecuencia del hecho de que la derivada de una suma es la suma de las deri- vadas. Observe en el teorema 5.1.2ii) que no hay razon para usar dos constantes de integracion, puesto que I[f(x) ::!:: g(x)] dx = (F(x) + C1) ::!:: (G(x) + C2) = F(x) ::!:: G(x) + (CI ::!:: C2) = F(x) ::!:: G(x) + C, donde CI ::!:: C2 se ha sustituido por la simple constante C. Una integral indefinida de cualquier suma infinita de funciones la podemos obtener al inte- grar cada termino. D@t!lgr'''j Uso del teorema 5.1.2 Evallie f (4x - ~ + 5 sen x) ~. Soluci6n Por los incisos i) y ii) del teorema 5.1.2, esta integral indefinida puede escribirse como tres integrales: I(4x - ~ + 5 sen x) dx = 4 f x dx - 2 I~ dx + 5 f sen x dx. 5.1 La integral indefinida 271
272 CAPITULO5 Integrales Si el concepto de comlln deno- lllinador (/ b a + b -+ - = - - c c c se Ice de derecha a izquierda, se est, realizando " division termino porterl1lin o". Debido a las f6rmulas de integraci6n 2, 3 y 5 en la tabla 5.1.1 , entonces tenemos I(4X - ~ + 5 sen x)d.x = 4· ~;2 - 2 . In Ixl + 5 . (-cos x) + C = 2X2 - 2 In Ix I - 5 cos x + C. • I Uso de la division Escribir un integrando en forma mas manejable algunas veces conlleva a una divisi6n. La idea se ilustra con los dos ejemplos siguientes. '!I3~IQ!"iI Divisi6n terminG por terminG I6x3 - 5 Evalue x dx. ~ Solncion Por la divisi6n termino por termino, el teorema 5.1.2 y las f6rmulas de integraci6n 2 y 3 de la tabla 5.1.1 tenemos: I6x 3 x- 5 dx = I(6;3- ~) dx = I(6X2 - ~) dx = 6· ;3-5· Inlxl + C = 2x3 - 51nlxl + C. • Para resolver el problema de evaluar ff(x) dx, dondef(x) = p(x)/ q(x) es una funci6n racio- nal, a continuaci6n se resume una regia practica que debe tomarse en cuenta en esta subsecci6n y en la subsecci6n subsecuente. Integraci6n de una funci6n racional Suponga que f(x) = p(x)/q(x) es una funci6n racional. Si el grado de la funci6n poli- nomiai p(x) es mayor que 0 igual al grado de la funci6n polinomial q(x), use divisi6n larga antes de integrar; es decir, escriba p(x) . . rex) - ( ) = un pOill10mlO + - ( )'qx qx donde el grado del polinomio rex) es menor que el grado de q(x). U!!3MQ!.WJ Divisi6n larga J X2 Evalue - - -2 dx. I+x Solncion Puesto que el grado del numerador del integrando es igual al grado del denominador, se efectua la divisi6n larga: x2 - - =1 - - - 1 + x2 1 + x2 ' Por ii) del teorema 5.1 .2 Ylas f6rmulas de integraci6n 1 y 11 en ia tabla 5.1. 1 obtenemos J~ dx = J(l -__1_7) d.x = x - tan- Ix + C. 1 + x2 I + x- • I Ecuaciones diferenciales En varios conjuntos de ejercicios en el capitulo 3 se pideicompro- bar que una funci6n dada satisface una ecnacion diferenciaI. En terminos generales, una ecua- ci6n diferencial es una ecuaci6n que implica las derivadas 0 el diferencial de una funci6n desco- nocida. Las ecuaciones diferenciales se clasifican segun el orden de la derivada mas alta que
.. , en 1<1 eeuacion. EI objetivo consiste en resolver eeuaciones diferenciales. Una ecuacion apalCll: . diferencial de pruner orden de la forma dy dx = g(x) pueae resolverse usando integracion indefinida. Por (1) se ve que f(:)dx = y. Asi. la solueion de (3) es la antiderivada mas general de g; es decir, y = fg(x) dx. eMilY!":' Resoluci6n de una ecuaci6n diferencial (3) (4) Encuentre una funcion y =f(x) cuya grafiea pase por el punto (1 , 2) Ytambien satisfaga la ecua- cion diferencial dy/dx = 3x 2 - 3. Solucion Por (3) y (4) se concluye que si dy ? - = 3x- - 3 dx entonees y = f (3x2 - 3)dx. Es decir, y = f (3x2 - 3)dx = 3· ;3-3 · x + C o bien, ' = x3 - 3x + C. As!, euando x = 1, y = 2, de modo que 2 = I - 3 + Co C = 4. Por tanto, -" = x3 - 3x + 4. Entonees, de la familia de antiderivadas de 3x2 - 3 que se muestra en la FIGURA5.1.2, se ve que solo hay una euya grafica (mostrada en rojo) que pasa por (l , 2). • Al resolver una eeuaeion difereneial como dy/dx = 3x2 - 3 en el ejemplo 8, la eondiei6n lateral espeeifieada de que la grafiea pase por (I, 2), es decir,f(l) = 2, se denomina condicion inicial. Una condicion inicial como esta suele escribirse como y(l) = 2. La solucion y = x3 - 3x + 4 que fue determinada por la familia de soluciones y = x 3 - 3x + C por la condicion inicial se denomina solucion particular. EI problema de resolver (3) sujeto a una condicion ini- cial, dy dx = g(x), se denomina problema con valor inicial. Observamos que una ecuacion diferencial de orden n-esimo de la forma d"y/dx" = g(x) plIede resolverse al integrar n veces eonseeutivas la funeion g(x). En este easo, la familia de solu- ciones eontiene n eonstantes de integraeion. U1MJ!Q!'I!' Resoluci6n de una ecuaci6n diferencial d 2 y EnCllentre una funeion y = f(x) tal que - = l. dx2 Solucion La ecuaeion difereneial dada se integra dos veees eonseeutivas. Con la primera inte- gracion se obtiene dy = fd.2~ dx = fl. dx = x + c1• dx dx- Can la segunda integraeion se obtiene y = f(x) : • 5.1 La integral illdefinida 273 FIGURA 5.1.2 La curva roja es la grafica de la soluci6n del problema en el ejemplo 8
274 CAPiTULO5 Integrales f NOTAS DESDE EL AULA ..................................................................................................................................................................... A menudo, a los estudiantes se les dificulta mas calcular antiderivadas que derivadas. Do~'" palabras de advertencia. Primero, debe tenerse mucho cuidado con el procedimiento algebrai_ co, especialmente con las leyes de los exponentes. La seguncla advertencia ya se ha plantea_ do, aunque vale la pena repetirla: tenga en cuenta que los resultados de la integraci6n indeli_ nida siempre pueden comprobarse. En un cuestionario 0 en un examen vale la pena que cledique unos minutos de su valioso tiempo para comprobar su respuesta al tomar la deriva_ da. A veces esto puede hacerse mentalmente. POl' ejemplo, inlegracion [ A- .. ICE dX =li~~s comprucbe pOl' dii'erenciacion Ejercicios 5.1 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-1B. =Fundamentos I (8x + I - ge X ) dx I (15x- 1- 4 senh x) dx27. 28. En los problemas 1-30, evalue la integral indefinida dacla. 1. I 3 dx 2. I (7T2- 1) dx 29. I 2x 3 - x 2 + ~x + 4 dx 30. I x 6 - --2 dx I + x- l + x 3. I x 5 dx 4. I 5X1/4dx En los problemas 31 y 32, use una identiclad trigonometrica para evaluar la integral indefinida clada. 5. I+dX Vx 6. I Vx2 dx 31. I tan 2 x dx 32. I cos 2 1dx 7. I (1 - [ - 052) dt 8. I lOwVw dw En los problemas 33-40, use cliferenciacion y la regIa de la cadena para comprobar el resultaclo cle integracion dado. I (3x2 + 2x - 1) dx I (2Vi - t - :2) dt 33. I ~ dX = v'2X+T + C9. 10. 2x + 1 11. I vX(x2 - 2) dx 12. I ( 5 2 ) 34. I (2x2 - 4x)9(x - 1) dx = J...(2x2 - 4X)10 + C --+-- ds 40 Vs2 w I cos 4x dx = ±sen 4x + C I (4x + 1)2dx I(vX-l)2C!x 35. 13. 14. I I ? I(4W - I?dW I (5u - 1)(3u3 + 2) du 36. sen x cos x dx = '2sen- x + C 15. 16. I ? I ? I r2 - lOr + 4 rx + 1)2 37. x sen x- dx = - '2cos x- + C 17. 3 dr 18. vX dxr I cos x dx = I X-I - XX-22 + x- 3 dx I t 3 - 8t + 1 dt 38. 2 sen2x + c 19. 20. sen3 x (2t)4 I In x dx = XIn x - x + C I(4 senx - 1 + 8x- 5 )dx I(-3 cos x + 4 sec2 x) dx 39. 21. 22. 40. I xe' dx = xeX - eX + C I csc x(csc x - cot x) dx I sen t dt23. 24. cos2 t En los problemas 41 y 42, efectue las operaciones indicadas. 25. I2 + 3 sen 2 x dx sen2x 26. I(40 - _ 2 )de sec e 41. c~ I (x 2 - 4x + 5) dx 42. I 1(x2 - 4x + 5) dx
I . 11rohlcmas 43-48, resuelva la ecuaci6n diferencial dada. En os til' (. 2 + 9 43. -'- == 1. dl dV 44. -=- = lOx + 3vX dx dr 46. dy (2 + X )2 45. - - , dx X S dl .r- dr - 2x + sen x 48. dy 47. - - I dx ? d.1 cos- X 49. Encuentre una funci6n y = f(x) cuya gnifica pase por el punta (2, 3) y que tambien satisfaga la ecuaci6n diferen- cial dl'/dx = 2x - 1. 50. Encuentre una funci6n y = f(x) de modo quel dy/ dx = I/V;: Yj(9) = 1. 51. Si f"(x) = 2x, encuentre1'(x) y f(x). 52. Encuentre una funci6nftal quef"(x) = 6,1'(- 1) = 2 Y /(- 1)=0. 53. Encuentre una funci6nftal quef"(x) = 12x2 + 2 para la cualla pendiente de la recta tangente a su grafica en (1, I) es 3. 54. Sill/I(x) = 0, l,cmll esf? En los problemas 55 y 56, la grafica de la funci6n f se mues- tra en azul. De las gnificas de las funciones F, G y H cuyas gn:ificas se muestran en negro, verde y rojo, respectivamente, i,cual funci6n es la grafica de una antiderivada de f? Jus- titiqlle su razonamiento. 55. 56. F FIG URA 5.1.3 Gnlficas para el problema 55 H y = f(x) --- FI GURA 5.1.4 Graficas para el problema 56 =Aplicaciones 57. Un cubo que contiene un Uquido gira alrededor de un eje vertical a velocidad angular constante w. La forma de la 5.1 La integral indefinida 275 secci6n transversal del Jfqllido giratorio en el plano xy esta determinada por dy w2 - =-x dx g ' Con ejes de coordenadas como se muestra en la FIGURA 5.1.5, encuentre y =j(x). FIGURA 5.1.5 Cubo en el problema 57 58. Los extremos de una viga de longitud L estan sobre dos soportes como se muestra en la FIGURA 5. 1.6. Con una carga uniforme sobre la viga, su forma (0 curva elastica) esta determinada a partir de donde E, I Y q son constantes. Encllentre y = f (x) si f(O) = 0 y1'(L/ 2) = o. 1= viaa / b it -zs: ) x f+-I·--L - - ·I FIGURA 5.1.6 Viga en el problema 58 =Piense en ella En los problemas 59 y 60, determine f 59. ff(X) dx = In llnxl + C 60. ff(x) dx = x2 e' - 2xeX + 2eX + C 61. Encuentre una funci6n f tal que f'(x) = x2 Yy = 4x + 7 sea una recta tangente a la grafica de f 62. Simplifique la expresi6n e4Jdx/x tanto como sea posible. 63. Determine cmU de los dos resultados siguientes es co- rrecto: o 64. Dado que ! sen TTX = 7T cos 7TX, encuentre una antideri- vada F de COS7TX que tenga la propiedad de que Fm= O.
276 CAPITULO5 Integrales 5.2 Integracion por sustitucion u I Introduccion En la ultima seccion se analizo el hecho de que para cada f6rmula para la deri- vada de una funcion hay una formula de antiderivada 0 integral indefinida correspondiente. Por ejemplo, al interpretar cada una de las funciones x" (n '* -1), y cos x como una antiderivada, se encuentra que la "reversa de la derivada" correspondiente es una fami- lia de antiderivadas: J x"+ 1 x"dx= - - + C n + 1 (n '* - 1), J~dx = In lx l + C, Jcos x dx = sen x + C. ( I) . I ., ) ..... En la siguiente exposicion se analiza la "reversa de la regia de la cadena". En este amllisis el R e'l se a SCCC IOIl 4( .... . • . / . ' concepto de dlferencml de una funclOn desempena un papel Importante. Recuerde que si u == g(x) es una funci6n diferenciable, entonces su diferencial es du = g'(x) dx. Se empieza con un ejemplo. I Potencia de una funcion Si deseamos encontrar una funcion F tal que J(5x + 1)1/2 dx = F(x) + C, debemos tener F'(x) = (5x + 1)1/2. Al razonar "hacia atras", podemos argumentar que para obtener (5x + 1)1/2 necesitamos haber diferenciado (5x + 1)3/2. Entonces, pareceria que es posible proceder como en la primera formu- la en (1); a saber: incrementar la potencia por 1 y dividir entre la nueva potencia: J (5x + 1)3/2 2 (5x + 1)1/2dx = + C = - (5x + 1)3/2 + c. (2) 3/ 2 3 Lamentablemente, la "respuesta" en (2) no concuerda, puesto que con la regIa de la cadena, en la forma de la regIa de potencias para funciones, se obtiene !!..-[l(5X + 1)3/2 + c] = l.2(5x + 1)1/2 . 5 = 5(5x + 1)1/2 '* (5x + 1)1/2 (3) d.x3 32 . Para tomar en cuenta el factor 5 faltante en (2) usamos el teorema 5.1.2i) y un poco de pel's- picacia: J(5x + 1)1/2 dx = J(5x + 1)1/2[ ] dx ..... ~ = I = tJ!c5x + J)1 /2 51 dx ..... deri vacla de ~(5X + I)' ~ 1 2 = '5' '3(5x + 1)3/2 + C ..... pOi (3 ) = 1 2 5 (5x + 1?/2 + c. Ahora, usted debe comprobar por diferenciaci6n que la ultima funci6n es, en efecto, una antide- rivada de (Sx + 1)1/2. La clave para evaluar integrales indefinidas como J(5x + 1)1/2 dx, y Jsen lOx dx (4) reside en el reconocimiento de que los integrandos en (4), x y sen lOx son resultado de diferenciar una funci6n compuesta por medio de la regIa de la cadena. Para hacer este reconocimiento es uti! realizar una sustituci6n en una integral indefinida.
Teorema 5.2.1 Re la de la sustituci6n u Si II 0= g (x) es una funci6n diferenciable cuyo rango es un interva[o I,f es una funci6n con- tinua sobre I y F es una antiderivada de f sobre I, entonces f fC(?(X»g'(X) dx = f fCU) duo (5) DEMOSTRACION Por ia regia de la cadena, (,1' F(g(x» = F '(g (x»g'(x) (,x y cntonces por la definici6n de antiderivada tenemos f F'(g(x»g'(x) dx = F(g(x» + C. 5.2 Integraci6n par sustituci6n u 277 puesto que F es un antiderivada de j; es decir, si F' =,f, entonces la lfnea precedente se vuelve f f(g(X»g'(X) dx = F(g(x» + C = F (u) + C = f F '(u) dL! = f f(U) duo (6) . La interpretaci6n del resultado en (6) y su resumen en (5) es sutil. En la secci6n 5.1, el slm- bolo dx se us6 simplemente como un indicador de que la integraci6n es con respecto a la varia- ble x. En (6) observamos que es permisible interpretar dx y du como d(ferenciales. I Usode la sustituci6n u La idea basica consiste en poder reconocer una integral indefinida en una variable x (como [a proporcionada en (4» que sea la reversa de la regia de la cadena al con- verti rla en una integral indeflllida diferente en la variable it por medio de la sustituci6n u = g(x). Par conveniencia, a continuaci6n se enumeran algunas directrices para evaluar f f(g(x»g'(x) dx al efectuar una sustituci6n u. Directrices para efectuar una sustituci6n u i) En la integral ff(g(x»g'(x) dx identifique las funciones g(x) y g'(x ) dx. ii) Exprese la integral totalmente en tenninos del slmbolo u al sustituir u y du por g(x ) y g'(x) dx respectivamente. En su sustituci6n no debe haber variables x; dejelas en la integral. iii) Efectue la integraci6n con respecto a la variable u. iv) Finalmente, vuelva a sustituir g(x) por el sfmbolo u. Integral indefinida de la patencia de una funci6n La derivada de la potencia de una funci6n era un caso especial de la regia de la cadena. Recuerde que si F(x) = x" +I/ (n + 1), donde 11 es un numero real, n =1= -1 y si u = g(x) es una funci6n diferenciable, entonces [ g(X) ] " + I F(g(x» = n + 1 y d -d F(g(x» = [ g(X)]"g'(X). x Entonces, por el teorema 5.2. 1 de inmediato se deduce que f [ g(X) ]" +1 [ g(x) ]"g'(x) dx = [ + C. 11 + En terminos de sustituciones u = g(x) (7) puede resllmirse como sigue: y du = g'(x) dx, f U"+I u"du = ~ + C, En el siguiente ejemplo se evalua la segunda de las tres integrales indefinidas en (4). (7) (8)
278 CAPITULO 5 Integrales 'i!§Ml4!.I' Usa de (8) Evalue J 2 X 6 dx. (4x + 3) -- Solucion La integral vuelve a escribirse como y se hace la identificaci6n u = 4x2 + 3 y du = 8xdx. Luego, para obtener la forma precisa f u- 6 du es necesario ajustar el integrando al multiplicar y dividir entre 8: (f ~() till J I J~-------(4x2 + 3)-6X dx = "8 (4x2 + 3)-6 (8x elx) = ~Ju- 6 elu = !. u- 5 + C 8 -5 <- slistitlicion <- ahora lise (8) = -;0(4x2 + 3)- 5 + C. <- Olr<l Slistilllcion Comprobacion por diferenciacion: Por Ja regIa de potencias para funciones, ![-;0(4x 2 + 3)-5 + c] = ( - 4 1 0)( - 5)(4x 2 + 3)- 6(8x) = (4x2 : 3t • 'ili@ij!••J Usa de (8) Evalue J(2x - 5)II dx. Solucion Si u = 2x - 5, entonces du = 2 dx. La integral se ajusta al multiplicar y dividir entre 2 para obtener la forma correcta de la diferencial elu: J IJ~~(2x - 5)11 dx ="2 (2x - 5)11 (2 elx) <- Slistitllci6n = ~Ju11elu <- ahorallsc(8) 1 U l2 ="2'12+ C = ~(2x - 5)12 + C <- otra SlIslitlicion 24 . • En los ejemplos 1 y 2, el integrando se "arregI6" 0 ajust6 al multiplicar y dividir por una constante a fin de obtener la elu id6nea. Este procedimiento funciona bien si de inmediato se reconoce g(x) en ff(g(x))g'(x) dx y que a g'(x) dx simplemente Ie falta un multiplo constante id6- neo. EI siguiente ejemplo ilustra una tecnica algo diferente. 'iliMIij!.W' Usa de (8) Evahie Jcos 4 x sen x dx. Solucion Para recalcar, volvemos a escribir el integrando como f (cos X)4 sen x dx. Una vez que se hace la identificaci6n u = cos x, se obtiene elu = -sen x dx. Al despejar el producto sen x elx de la ultima diferencial obtenemos sen x dx = -duo Luego,
5.2 Integraci6n par sustituci6n u 279 I(cos xt sen x dx = I~(~) <- SLislilLicitill -Iu 4 du <- ailora Lise (~) US - 5+ C 1 --cossx + C5 . +- otra sllsrilucioll De nuevo, se solicita que ellector diferencie el ultimo resultado. • En los ejemplos que restan en esta secci6n se alternani entre los metodos empleados en los ejemplos I Y3. En un nivel pnictico no siempre es evidente que se esta tratando con una integral de la forma J[g(x) J"g'(X) dx. Cuando trabaje cada vez mas problemas, observara que las integrales no siem- pre son 10 que parecen a primera vista. Por ejemplo, usted debe convencerse de que al usar sus- tituciones en u la integral f cos2 x dx no es de la forma f [g(x) lng,(x) dx. En un sentido mas gene- ral, en ff(g(x))g'(x) dx no siempre es evidente que funciones deben escogerse como u y duo I Integrales indefinidas de funciones trigonometricas Si u = g(x) es una funci6n diferencia- ble, entonces las f6rmulas de diferenciaci6n d du dx senu = cosu dx y d du - (- cos u) = senu- dx dx conducen, a su vez, a las f6rmulas de integraci6n I du cosu dx dx = senu + C y I du senu dx dx = -cosu + C. Puesto que du = g'(x) dx = ~: dx, (9) y (10) son, respectivamente, equivalentes a Icosu du = senu + c, Isenu du = -cosu + c. 1+l3mag.M' Usa de (11) Evalue Icos 2x dx. Solucion Si u = 2x, entonces du = 2 dx Yd.x = ~ duo En consecuencia, escribimos I I II ldll cos 2x dx = cos 2x (dx) <- sllstilLiCitill = ~Icos u du <- ailora lise ( I I) 1 = 2'sen u + C 1 = 2'sen 2x + C. <- (lIra slIslilllcion (9) (10) (11) (12) •
280 CAPITULO 5 Integrales Las f6rmulas de integraci6n (8), (11) Y(12) son los amllogos de la regIa de la cadena de las f6rmulas de integraci6n 2, 4 Y5 en la tabla 5.1.1. En la tabla 5.2.1 que se muestra a continua_ ci6n se resumen los amllogos de la regia de la cadena de las J6 f6rmulas de integraci6n de la tabla 5.1.1. F6rmulas de 1. Idu = u + C 2. I U" + l u"du = - - + C n + 1 (n 3. I1 du = In IuI + C 4. Icos u du = sen u + C u s. Isen u du = -cos u + C 6. Isec2 u du = tan u + C 7. Icsc2 du = -cot u + C 8. Isec u tan u du = sec u + 9. Iesc ucot u du = -esc u + C 10. I~dU = sen~l u 1 - u2 11. I__l_2 du = tan~l u + C 12. I ~ du = sec~llu1 + u U u2 - 1 13. I b lt H'du = -- + C In b 14. Ie" du = elf + C 15. Icosh u du = senh u + C 16. Isenh U du = cosh u + C En otros libros de texto, f6rmulas como 3, 10, 11 Y12 en la tabla 5.2.1 suelen escribirse con el diferencial du como numerador: IdU, u I du ~' I du 7 ' 1 + u- I du uW-=-!' Pero como a 10 largo del tiempo hemos encontrado que estas ultimas f6rmulas a menudo se malinterpretan en un entorno de aula, aquf se prefieren las formas proporcionadas en la tabla. U!!MJlij!.4j Usa de la tabla 5.2.1 Evalue Isec2 (l - 4x) dx. Solucion Reconocemos que la integral indefinida tiene la forma de la f6rmula de integraci6n 6 en la tabla 5.2.1. Si u = 1 - 4x, entonces du = -4 dx. Ajustar el integrando para obtener la forma correcta de la diferencial requiere multiplicar y dividir entre -4: 1I ?-4 sec- u du <- formula 6 en la tab la 5.2.1 1 -4tan u + C 1 -4tan(1 - 4x) + C. •
5.2 Integraci6n par sustituci6n u 281 d1#IQ!'~ Usa de la tabla 5.2.1 r c" ~ dx. Evaluc . .r ' + 5 1 ? 2 1 Solucio" Si u = x + 5, entonces du = 3[ dx Yx dx = 3 duo Por tanto, J~ dx = J-3_1_ (x2 dx) x + 5 x + 5 = lJ1du 3 u 1 = 31nIu I + C <- forl11u la 3 ell la tabla 5.2 .I • dI3W!'.' Vuelta a escribir y usa de la tabla 5.2.1 Evalue J I -2 dx. I + e x Solucio" La integral dada no se ve como ninguna de las formulas de integracion en la tabla 5.2. 1. No obstante, si el numerador y el denominador se multiplican por e2x , obtenemos J 1 J e 2x - - - ? - dx = 2 dx. l+e--x eX+l Si II = e"l + 1, entonces du = 2e2x dx, de modo que por la formula 3 de la tabla 5.2.1, J 1 dx=lJ 1 (2e2X dx) I + e-2x 2 e2x + 1 = lJ1du 2 u 1 = "21nlul + C = ~ln(e2X + 1) + C. Observe que el sfmbolo de valor absoluto puede eliminarse porque e2x + valores de X. 1¥I3MQ!.':i Usa de la tabla 5.2.1 Evalue Je5x dx. Solucion Sea u = 5x de modo que du = 5 dx. Entonces J e 5x dx = tJ e 5X (5 dx) = tJe" du +--- fonnula 14 ell la tabl a S.2.I 1 = -e" + C 5 = le5x + C5 . D1MIIQI••, Usa de la tabla 5.2.1 J e4jx Evalue 7 dx. > 0 para todos los • • Solucion Si hacemos u = 4/x, entonces du = (-4/x2 ) dx y (1/x2 ) dx = -±duo
282 CAPITULO5 Integrales De nuevo a partir de la f6rmula 14 de la tabla 5.2. 1 observamos que 'JI3MQ!e'[" Usa de la tabla 5.2.1 I Ctan- Ix)2 EvalUe 2 dx. 1 + x ~±Ie"du ~l.e" + C 4 ~±e4/X + C. • Solucion Como en el ejemplo 7, a primera vista la integral dada no se ve como ninguna de las f6rmulas en la tabla 5.2.1. Pero si la sustituci6n u se intenta can u = tan-I x y du = _~l _ dx I + x" 'entonces 'ii!!I3MQ!e'" Usa de la tabla 5.2.1 EvalUe IV I dx. 100 ~ x2 Iu2 du <-- 1'6nll ula 2 en la tabla 5.2. 1 3 =~+c 3 = ~Ctan- IX)3 + c. • Solucion Al factorizar 100 del radical e identificar u = I~x Y du = 110 dx, el resultado se obtiene a partir de la f6rmula 10 de la tabla 5.2.1: - I X + C= sen 10 . • I Tres formulas alternas Por razones de conveniencia, las f6rmulas de integraci6n 10, 11 Y 12 en la tabla 5.2.1 se extienden como sigue. Para a > 0, I I d - I U V U = sen ~ + C a2 ~ u2 a (1 3) I I I - I u " 2 du = ~ tan ~ + C a- + u a a (1 4) (1 5)
5.2 Integraci6n par sustituci6n u 283 , '1 adqui ri r pnlctica, compruebe estos resultados por diferenciaci6n. Observe que la integral r~~~tjnida en el ejemplo II puede evaluarse nipidamente al identificar u = x y a = 10 en (13). I Integrales trigonometricas especiales Las f6rmulas de integraci6n que se proporcionan en 'e(Tuida, que relacionan algunas funciones trigonometricas con el logaritmo natural, a menudo ~c~rren en la pnictica, por 10 que merecen atenci6n especial: Jtan x dx = -inlcos x l + C (16) <III En lablas de formulas de Jcot x dx = In lsen x l + C Jsec x dx = In lsec x + tan x l + C JCSCXdX = Inlcscx - cot xl + C. Para encontrar (16) escribimos J J senx tan xdx = ~-dx cos x y se identifica u = cos x, du = - sen x dx, de modo que J Jsen x dx -- J 1tanxdx = - - - (-senxdx) cos x cos x -J~ du -ln lul + C -lnlcos xl + C. Para obtener (18) escribimos J d J sec x + tan x d sec x x = sec x sec x + tan x x J sec2 x + sec x tan x dx. sec x + tan x Si hacemos u = sec x + tan x, entonces du = (sec x tan x + sec2 x) dx y as!, J sec xdx= J ~ (sec 2 x+secxtanx)dx sec x tan x J~dU = In lu l + C = Inlsec x + tan xl + C. Tambien, cada una de las f6rmulas (16)-(19) podemos escribirlas en una forma general: Jtan u dx = -Inlcos ul + C Jcot u du = In Isen u I + C Jsec u dx = InIsec u + tan uI + C Jcsc u du = lnlcsc u - cot ul + C. (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) inlegra les a mcnudo obscrv,llllos ( 16) cscri la C0l110 flan x dx = In lsee x l + c. Por las propiedades de los 10garill11os - In leos x l = In leDs .If ' = In lsec x l.
284 CAPITULO 5 Integrales I Identidades (ltiles Cuando se trabaja con funciones trigonometricas, a menudo es necesario usar una identidad trigonometrica para resolver un problema. Las f6rmulas de la mitad de un angulo para el coseno y el seno en la forma I cos2 x = 2(1 + cos 2x) y I sen2 x = 2(1 - cos 2x) (25) son particularmente Miles en problemas que requieren antiderivadas de cos2 x y sen2 x. '¥i3I1IQ!.lfJ Uso de la f6rmula de la mitad de un angulo Evalue Jcos2 x dx. Solucion Es necesario comprobar que la integral no es de la forma I u2duo Luego, al usar la f6rmula de la mitad de un angulo cos2 x = ~ (l + cos 2x), obtenemos Jcos 2 x dx = J~(l + cos 2x) dx = ~[Jdx + ~Jcos 2x(2 dx) ] +- yea el cjclllplo 4 = Mx + ~sen2x] + C 1 1 = 2x + 4sen2x+ c. • Por supuesto, el metodo ilustrado en el ejempl0 12 funciona igualmente bien para encon- trar antiderivadas como Jcos2 5x dx y Jsen2 ~ x dx. Con x sustituida por 5x y luego con x sustituida por ~ x, las f6rmulas en (25) permiten escribir, respectivamente, J J 1 I I cos 2 5x dx = 2(1 + cos lOx) dx = 2x + 20 sen lOx + C J ? 1 sen- 2x dx = J 1 1 1 - (1 - cos x) dx = -x - -sen x + C 2 2 2 . En la secci6n 7.4 abordaremos antiderivadas de potencias mas complicadas de funciones trigonometricas. f NOTAS DESDE EL AULA EI siguiente ejemplo ilustra un procedimiento comun, pero totalmente incorrecto, para eva- luar una integral indefinida. Ya que 2xj2x = 1, J(4 + X2)1/2 dx = J(4 + X2)1/22x dx 2x = ~J(4 + X2) 1/22x dx 2x = ~JUI/2 du 2x = ;x.~(4 + X 2 )3/2 + c. Usted debe comprobar que la diferenciaci6n de la ultima funci6n no produce (4 + X 2 )1/2. EI error esti en la primera lfnea de la "soluci6n". Las variables, en este caso 2x, no pueden sacarse del sfmbolo de la integral. Si u = x2 + 4, entonces al integrando Ie falta la funci6n du = 2x dx; de hecho, no hay ninguna forma de arreglar el problema para adecuarse a la forma dada en (8). Con las "herramientas" con que contamos en este momenta, simplemente no es posible evaluar la integral I (4 + X 2 )1/2 dx.
5.2 Integraci6n por sustituci6n u 285 Ejercicios 5.2 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan ell la pagina RES-1B. ::: Fundamentos En los problemas I-50, evalue la integral indefinida dacla L1sando una sustituci6n u icl6nea. I. IV=4x dx j. I d 3. (5x + 1)3 X 5. JIVX2 + 4dx 7. Isen) 3x cos 3x dx 9. Itan 2 2x sec 2 2x dx II. Isen 4x dx 13. ICv'2r - cos 61) dt 15. Ix sen ..1 2 dx 17. Jr2 sec 2 x 3 dx Iesc vXcot vX dx 19. vX 21. I7x ~ 3 dx 23. - -'- dx I t x2 + I 25. I-X- dXx + 1 27. I_l_dXx In x I sen (In x) 29. dx x 31. Ie lOx dx 33. Ix2 e-2X ' dx I e- v.; 35. -- dx vX I eX - e- x 37. . . dx e + e . 39. IndX5 -r 41. fI + 1 25x2 dx 2. I(8x + 2) 1/3 dx 4. I(7 - X)49 dx 6. I ~ dt 8. Isen 2f) cos4 2f) df) 10. I~ sec 2 xdx I x 12. 5cos 2dx 14. I Sen (2 - 3x) dx I cos (I /x) 16. ? dx x - 18. Icsc 2 (0. Ix) dx 20. 22. 24. 26. Itan 5v sec 5v dv I(5x + 6)- 1dx I X2 Ix 5x3 + 8 G I (x + 3)2 X + 2 dx 28 II - sen f) ,if) . f) + cos f) U 30. f I ? dx x (In x)- 32. fe~' dx I ell,' 34. - dx X4 36. fW dx 38. Ie3 ,y 1 + 2e3x dx 40. IY9~ 16x2 dx 42. f 1 ? dx 2 + 9r 43. 45. f 2x - 3 , ~ dx v i -r 44. f v b df) 1 - f)4 r x - 8 46 -·-,-- dx . Jx" + 2 f tan- Ix 47. - - dx I + x2 48. f.Jsen- 1 x dx I - x2 49. Itan 5x dx 50. feX cot eX dx En los problemas 5 1-56, use las iclenticlacles en (25) para evaluar la integral inclefi nicla dacla. 51. fsen 2 x dx 52. fcos 2 7TX dx 53. fcos 2 4x dx 54. fsen2~x dx 55. f(3 - 2 sen .:xl dx 56. f( I + cos 2X)2 dx En los problemas 57 y 58, resuel va la ecuaci6n diferencial dada. 57. dy = VT--=-x dx dy 58. -I GX ( I - tan X)5 ? cos- x 59. Encuentre una fu nci6n y = I(x) cuya gnifica pase por el punto (7T, - I ) Y tambien satisfaga dy/dx = 1 - 6 sen 3x . 60. E ncuentre una funci on I tal que f "(x) = (1 + 2x)5, teO) = 0 y f'(0) = o. 61. Demuestre que: a) Isen x cos x dx = ~sen2 x + CI b) fsen x cos x dx = _~COS2 x + C2 c) fsen x cos x dx = -±cos 2x + C3 · 62. En el problema 6 1: a) Compruebe que la clerivada de cada respuesta en los incisos a), b) y c) es sen x cos x. b) Use una identidad trigonometrica para demostrar que el resultado en el inciso b) puede obtenerse a partir de la respuesta en el inciso a). c) Sume los resultados de los incisos a) y b) para ob- tener el resultado en el inciso c). =Aplicaciones 63. Considere el penclulo plano mostrado en la FIGURA 5.2.1, que oscila entre los puntos A y C. Si B es el punto medio entre A y C, es posible demostrar que dt I L ds = I g(s~ - S2)' doncle g es la aceleracion debida a la graveclad.
286 CAPITULO 5 Integrales a) Si teO) = 0, demuestre que el tiempo neeesario para que el pendulo vaya de B aPes t(s) = ~~sen-I(;J. b) Use el resultado del ineiso a) para determinar el tiempo de reeorrido de B a C. c) Use b) para determinar el periodo T del pendulo; es deeir, el tiempo para haeer una oseilaei6n de A a C y de regreso a A. / ) /1 1 1 1 1 j z ;,/1: 1 1 / I 1 1 A<--fi~~ C=sc FIGURA 5.2.1 Pendula en el problema 63 =Piense en ello 64. Eneuentre una funei6n y = f(x) para la eual fCrr/2) = 0 dy y dx = eos3 x. [Sugerencia: eos3 x = eos2 x cos x.] En los problemas 65 y 66, use las identidades en (25) para evaluar la integral indefinida dada. 65. I cos4 x dx 66. I sen4 x dx En los problemas 67 y 68, evalue la integral indefinida dada. I I I e 2x 67. V dx 68. -x--l dx x X4 - 16 e + En los problemas 69 y 70, evalue la integral indefinida dada. 69. I 1 1 dx 70. I 1 + 1 2 dx- cos x sen x En los problemas 71-74, evalue la integral indefinida dada. Suponga que f es una funci6n diferenciable. 71. I f'(8x) dx 72. I xf'(5x 2 ) dx I vf(2x) If'(3X + 1) 73. f(2x)f'(2x) dx 74. f(3x + 1) dx 75. Evalue If"(4X) dx sif(x) = ~. 76. Evalue I {I sec 2 3x dX} dx. 5.3 EI problema de area I Introduccion As! como la derivada es motivada por el problema geometrieo de construir una tangente a una curva, el problema hist6rico que conduce a la definici6n de integral definida es el problema de encontrar un area. En especffico, tenemos interes en la siguiente versi6n de este problema: • Encontrar el area A de una regi6n acotada por el eje x y la grafica de una funci6n no negativa continua y = f(x) definida sobre un intervalo la, b]. EI area de esta regi6n se denomina area bajo la gratica defsobre el intervalo [a, b]. El reque- rimiento de que f sea no negativa sobre [a, b] significa que ninguna parte de esta grafica sobre el intervalo esta por abajo del eje x. Yea la FIGURA 5.3.1. y ~----~----~--~X a b FIGURA 5.3.1 Area baja la gnifica de f sabre [a. bI
Antes de continuar con la soluci6n del problema de area es necesario hacer una breve digre- sian para analizar una notaci6n util para una suma de numeros como 1 + 2 + 3 + .. . + n y ]2 + 22 + 32 + ... + n2 I Notacion sigma Sea a" un numero real que depende de un entero k. La suma a l + a2 + a3 + ... + ({II se denota por el sfmbolo 2,Z ~ I ak; esto es, 11 ~ ak = al + Cl2 + (t, + ... + all" k ~ 1 (I) puesto que 2, es la letra griega mayuscula sigma, (1) se denomina notacion sigma 0 notacion de suma. La variable k se denomina Indice de la suma. Asf, lerl11ina con eSle valor de" -t cl sil11bolo L indica _> ..sla SlIllla de ill, L.,; Cl" k ~ 1 t el11pieza con el valor indicado de " es la suma de todos los numeros de la forma a"cuando k asume los valores sucesivos k = 1, k 0= 2, . . . , y termina con k = n. 1!I3M1iJ!.I' Usa de la nataci6n sigma La suma de los diez primeros enteros pares 2 + 4 + 6 + .. . + 18 + 20 pllede escribirse de manera abreviada como 2,;~ 12k. La suma de los diez enteros positivos impa- res 1 + 3 + 5 + .. . + 17 + 19 pllede escribirse como 2,~~1(2k - 1). EI fndice de la suma no necesita empezar en el valor k = 1; por ejemplo, 5 ~ 2k = 23 + 24 + 25 k ~ 3 y 5 ~ 2k = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25. k ~ O • Observe que la suma de los diez enteros positivos impares en el ejemplo 1 tambien puede escri- birse como 2,~~ 0(2k + 1). Sin embargo, en un analisis general siempre se supone que el indice de la suma empieza en k = I. Esta suposici6n responde mas a razones de conveniencia que de necesidad. EI indice de la suma a menudo se denomina variable ficticia, puesto que el sfmbolo en sf carece de importancia; 10 que importa son los valores enteros sucesivos del fndice y la suma correspondiente. En general, II 11 n n ~ a k = ~ ai = ~ a j = ~all1. i = 1 j~ 1 111= 1 Por ejemplo, 10 10 10 ~ 4k = ~ 4i = ~ 4j = 41 + 42 + 43 + .. . + 410. k ~ 1 i ~ 1 j~ 1 I Propiedades A continuaci6n se presenta una lista de algunas propiedades importantes de la notaci6n sigma. 5.3 EI problema de area 287
288 CAPITULO 5 Integrales Teorema 5.3.1 Propiedades de la notaci6n sigma Para enteros positivos m y n, " /I i) L cak = c L ak> donde c es cualquier constante k ~ I k ~ I 11 11 11 ii) L (ak ± bk) = L ak + Lbk k~1 k ~ 1 k~ 1 11 11/ 11 iii) Lak = Lak + L ak> m < n. k ~ 1 k ~ 1 k= lIl + I La demostraci6n de la f6rmul a i) es una consecuencia inmediata de la ley distributiva. Por supuesto, ii) del teorema 5.3.1 se cumple para la suma de mas de tres terminos; por ejemplo, II II /I 1/ L(ak + bk + Ck) = Lak + L bk + LCk' k ~ I k ~ I k ~ I k~ I I Formulas de sumas especiales Para tipos especiales de sumas indicadas, particularmente sumas que implican potencias de enteros positivos del indice de la suma (como sumas de ente- ros positivos consecutivos, cuadrados sucesivos, cubos sucesivos, etc.) es posible encontrar L1na f6rmula que proporcione el valor numerico verdadero de la suma. Para efectos de esta seccion, centraremos la atenci6n en las cuatro f6rmulas siguientes. Teorema 5.3.2 F6rmulas de sumas Para n un entero positivo y C cualquier constante, 11 11 n(n + I) i) LC = nc ii) Lk = 2k~1 k ~ 1 11 n(n + 1)(2n + 1) 11 n2 (n + 1)2 iii) Le = 6 iv) Lk3 = 4k ~1 k~ 1 Las f6rmulas i) y ii) pueden justificarse facilmente. Si C es una constante, es decir, indepen- diente del indice de la suma, entonces L:~ ~ Ic significa c + c + c + ... + c. Puesto que hay II c, tenemos L:~ ~ IC = n' c, que es i) del teorema 5.3.2. Luego, la suma de los n primeros enteros positivos puede escribirse como L:~ ~ Ik. Si esta suma se denota por la letra S, entonces S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n. En formaequivalente, S = n + (n - 1) + (n - 2) + .. . + 3 + 2 + I. (2) (3) Si sumamos (2) y (3) con los primeros terminos cOITespondientes, luego los segundos ter- minos, y asi sucesivamente, entonces 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + I) + + (n + 1) = n(n + 1). , ~-----------------/ II tcrillinos de II + I Al despejar S obtenemos S = n(n + 1)/2, que es ii). Usted debe poder obtener las f6rmulas iii) y iv) con las sugerencias que se proporcionan en los problemas 55 y 56 en los ejercicios 5.3. 1¥J3MQI••j Usa de f6rmulas de suma Encuentre el valor numerico de L:;~ I (k + 5l
Soluci6n AI desarrollar (k + 5)2 y usaI' i) y ii) del teorema 5.3.1, podemos escribir 20 20 2: (k + 5)2 = 2: (k2 + 10k + 25) +- sc c!e,'a al cuadrado el l1illtllnio k= I k= 1 20 20 20 = 2: k2 + J02: k + 2: 25. (- i) y ii) del I.;orema 5.3.1 k= I k= I k= I Con la identificaci6n n = 20, por las f6rmulas de sumas iii), ii) Y i) del teorema 5.3.2, respecti- vamenle. se concJuye ~ ? 20(21)(41) 20(21) L.J (k + 5)- = ---'----'-'----'- + 10- 2 - + 20·25 = 5470. k= 1 6 • La notaci6n sigma y las f6rmulas de sumas anteriores se usan"in de inmediato en el siguien- Ie aniilisis. I Area de un triangulo Suponga pOI' el momento que no se conoce ninguna f6rmula para calcular el area A del triangulo rectangulo proporcionado en la FIGURA 5.3.2a). Al superponer un sis- lema rectangular de coordenadas sobre el triangulo, como se muestra en la figura 5.3.2b), se ve que el problema es el mismo que encontrar el area en el primer cuadrante acotada por las lfneas reclas.r = (h/ b)x, y = 0 (el eje x) y x = b. En otras palabras, deseamos encontrar el area bajo la grMica de y = (h/ b)x sobre el intervalo [0, b] . AI usar rectangulos, la FIGURA 5.3.3 indica tres formas diferentes de aproximar el area A. Por conveniencia, seguiremos con mayor detalle el procedimiento sugerido en la figura 5.3.3b). Empezamos al dividir el intervalo [0, b] en n subintervalos del mismo ancho Llx = b/ n. Si el punto fronterizo derecho de estos intervalos se denota por xi, entonces x'/' = Llx = f!.. n xi' = 2Llx = 2(~) x~' = 3Llx = 3(~) y y b b b a) b) c) FIGURA 5.3.3 Aproximaci6n del area A usalldo tres rectallgulos Como se muestra en la FIGURA 5.3.4a}, ahora construimos un rectangulo de longitudf(xk) y ancho Llx sobre cada uno de estos n subintervalos. Puesto que el area de un rectangulo es largo X Qncho, el area de cada rectangulo esf(xk') Llx. Yea la figura 5.3.4b). La suma de las areas de los 1/ rectangulos es una aproximaci6n al numero A. Escribimos A =f(xDLlx + f(xi')Llx + ., . + f(x;;')Llx, 5.3 EI problema de area 289 AII~b-I a) Triallgulo rectangulo Y It Y =t;X (b. 11) A ~~---------4~ x (b, O) b) Triallgulo rectallgulo en un sistema de coordelladas FIGURA 5.3.2 Ellcuentre el area A del triangulo rectangulo y * :):X I x2 a) n rectangulos y el area es .f(x~) LlX o en notaci6n sigma, 1/ A = 2:f(xk')Llx. k= l b) Area de un rectangulo general FIGURA 5.3.4 El area A del trian- (4) gulo es aproximada por la suma de las areas de n rectangulos
290 CAPiTULO 5 Integrales y x=a Parece valido que reduzcamos el error introducido por este metoda de aproximacion (el are de cada rectangulo es mayor que el area bajo la grafica sobre un subintervalo [ Xk - I , xd) al divi~ dir el intervalo [0, b] en subdivisiones mas finas. En otras palabras, esperamos que una Inejor aproximacion a A pueda obtenerse usando mas y mas rectangulos (n ~ (0) de anchos decrecien_ tes (~x ~ 0). Luego, f(x) = ~x, * = k(t)Xk n ' t(xt) =!!:. .k. n y b ~x = - n' de modo que con ayuda de la fonnula de suma ii) del teorema 5.3.2, (4) se vuelve ~ ~ (h ) b _ bh ~ _ bh n(11 + I) _ bh ( 1)A ~ L" - ·k --2 L" k- 2 ' - - 1+-. k= 1 11 11 11 k= 1 11 2 2 n (5) Finalmente, al hacer 11 ~ 00 en el miembro derecho de (5), obtenemos la formula conocida para el area de un triangulo: A = 1. bh . lfm (I + 1.) = 1.bh. 2 11->00 11 2 I EI problema general Ahora pasaremos del ejemplo precedente especffico al problema gene- ral de encontrar el area A bajo la grafica de una funcion y = f(x) que es continua sobre un inter- valo [a, b]. Como se muestra en la FIGURA 5.3.5a), tambien suponemos que f(x) 2': 0 para toda x en el intervalo [a, b] . Como sugiere la figura 5.3.5b), el area A puede aproximarse al sumar las areas de 11 rectangulos que se construyen sobre el intervalo. A continuacion se resume un procedimien- to posible para determinar A: • Divida el intervalo [a, b] en 11 subintervaloss [ Xk - I , xd, donde a = Xo < X I < X2 < .. . < x ll _ I < XII = b, de modo que cada subintervalo tiene el mismo ancho ~x = (b - a)/n. Esta coleccion de numeros se denomina particion regular del intervalo [a, b]. • Escoja un numero xt en cada uno de los nsubintervalos [Xk- I , Xk] Yforme los 11 produc- tosf(xn~x. Puesto que el area de un rectangulo es largo X ancho,f(x%')~x es el area del rectangulo de largo f(x%') y ancho ~x construido sobre el k-esimo subintervalo [Xk - b xd. Los 11 numeros x'!" x3', x:l', ... , x~' se denominan puntos muestra. • La suma de las areas de los 11 rectangulos II Lf(x'l')~x = f(x'n~x + f(x1')~x + f(xn~x + ... + f(x;~)~x, k = 1 representa una aproximacion al valor del area A bajo la grMica de f sobre el intervale [a, b]. Con estas notas preliminares, ahora ya es posible definir el concepto de area bajo una gra- fica. y Y = f{x) A x = b -+---L--------------------------------~~ X k-I x" xka b Xn - 1 Xl ~ I'u a) Area A bajo la grafica b) 17 rectangulos FIGURA 5.3.5 Encuentre el area A bajo la gnlfica de fsobre el intervalo [a, b]
Definicion 5.3.1 Area ba'o una grafica ~ Sl!a/colltinua sobre [a, b] y t(x) 2: 0 para toda x en el interva[o. E[ area A bajo la gratica de (sobre el intervaJo se def1l1e como . " A = Ifm Lf(xn~x. (6) II~ OO k = J Es posib[e demostrar que cuando / es continua, el lfmite en (6) siempre existe sin importar e! lllctodo llsado para dividir [a, b] en sllbintervalos; es decir, [os sllbintervalos plleden tomarse °no de modo que su ancho sea el mismo, y los puntos Xk' pueden escogerse en forma arbitraria en los subinterva[os [Xk- I, Xk]' No obstante, si los subintervalos no tienen el mismo ancho, entollces en (6) es necesario un tipo diferente de Ifmite. Necesitamos sustituir n -+ 00 por el requerimiento de que la longitud del subintervalo mas ancho tienda a cero. I Una forma practica de (6) Para usar (6), suponga que escogemos x%' como se hizo en el ana- lisis de la Figura 5.3.4; a saber: sea xt el punto fronterizo derecho de cada subintervalo. Puesto que el ancho de cada uno de los n subintervalos de igual ancho es ~x = (b - a)/ n, tenemos .,. kA kb - a xZ' = a + uX = a + --. n Luego, para k = 1, 2, ... , n tenemos b - a x'l' = a + ~x = a + - - n ." A (b - a)xl' = a + 2ux = a + 2 -n- ,. A (b - a)X3' = a + 3uX = a + 3 -n- .'. A (b - a)x;;' = a + nux = a + n -n- = b. AI sustituir a + k(b - a)/n por x2' y (b - a)/ n por ~x en (6), se concluye que el area A tam- bien esta dada por ~ ( b - a) b - aA = lim L J a + k - - . --. 1/->00 k= 1 It n (7) Observamos que puesto que ~x = (b - a)/ n, It -+ 00 implica ~x -+ O. PUMA!'.' Area usando (7) Encuentre el area A bajo la grMica de/ex) = x + 2 sobre el intervalo [0, 4]. Solucion EI area esta acotada por el trapezoide indicado en la FIGURA 5.3.68). Al identificar a '" 0 y b = 4, encontramos 4-0 4 ~x=-- =-. n It Asf, (7) se vuelve 11 ( 4)4 4 11 (4k)A = lim L/ 0 + k- - = Ifm - L/ -11---+00 k= 1 n n 11->00 It k=1 It lim - L - + 24 11 (4k ) l1->ool1 k =1 n 4[4 1/ 11] Ifm- - L k + 2 L I . 11---+0011 n k = 1 k=1 ~ par las prop iedades i) y ii) dcl teorClllll 5.3.1 5.3 EI problema de area 291 y y=x+2 A a) y ,/ V / r.1[7[71:~ / I~ / ii'/ I'll x x~ --- -x~ = 4 ~x =±11 b) FIGURA 5.3.6 Area bajo la grafica en el ejemplo 3
292 CAPITULO 5 Integra les y y a) 3 ~x=n b) FIGURA 5.3.7 Area bajo la gnifica en el ejemplo 4 Luego, por las formulas de suma i) y ii) del teorema 5.3.2, tenemos / 4 [4 n(n + I) ]A = 11m - -. + 2n 11->00 n 11 2 11m [ 1 2 6 n(n : 1) + 8] <-- se divide entre II' J/~ OO n- Ifm [ 8 (I + l)+ 8] II~ OO n = 811m (I + l) + 8 Ifm I 1/.----+00 n 11--+00 = 8 + 8 = 16 unidades cuadradas. U!!3M4K'I' Area usando (7) Encuentre el area A bajo la grafica de f(x) = 4 - x 2 sobre el intervalo [- 1, 2]. Solucion EI area se indica en la FIGURA 5.3.7a). Puesto que a = -1 Yb = 2, se conc1uye que 2 - (- 1) 3 LlX = = - . n n A continuacion se revisaran los pasos que Bevan a (7). El ancho de cada reetangulo esta dado por LlX = (2 - (- 1»/ n = 3/ n. Luego, empezando en x = - 1, el punto fronterizo derecho de los n subintervalos es 3 x·1" = -1 + - n xi: = -1 + 2(~) = - 1 +.2. n * - I +3(~) =-1 9 X3 = + - 11 x~'= -1 + n(~) = 2. Entonees, la longitud de cada reetangulo es f(x'f) =f(-1 + l) = 4- f-I+ l]2n L n f(xj) = f( -) + ~) = 4 - [ - I + ~r f(xi) = f( - 1 + ~) = 4 - [ - 1 + ~r f(x;;) = f( - 1 + ~;) = f(2) = 4 - (2)2 = o. El area del k-esimo rectangulo es largo X ancho: f(x*)l = (4 - [-1+ kl]2)l = (3 + 6! _9 k2 )1.k n n n n n2 n AI sumar las areas de los n rectangulos obtenemos una aproximacion al area bajo la grafica sobre el intervalo: A = L~= If(x;')(3/ n). A medida que el numero n de rectangulos crece sin Ifmite, obtenemos
5.3 EI problema de area 293 AI usar las formulas de sumas i), ii) Y iii) del teorema 5.3.2 obtenemos , 3 [ 6 11(11 + I) 9 1/.(11 + 1)(211 + I)]A = lim - 311 + - . - 2 . 6 11 .....00 n n 2 n Ifm [ 9 + 9 (1 + 1)-* (1 + l )(2 + 1)]11 .....00 n _ 11 n = 9 + 9 - 9 = 9 unidades cuadradas. • I Otras elecciones para xt No hay nada en especial si xi' se escoge como el punto fronterizo derecho de eada subintervalo. Volvemos a recalcar que x~' puede tomarse como cualquier 11l1me- ro conveniente en [Xk- I, xd. En caso de que se elija x%' como e1punto fronterizo izquierdo de cada subintervalo, entonees b -a xt' = a + (k - l )Lh = a + (k - 1)--, k = 1,2, .. . , 11, n y (7) 5e volverfa II ( b - a) b - [{ A = Ifm ~f a + (k - I) - - . - -. 11 -,;00 k=I n n (8) En el ejemplo 4, los rectllngulos correspondientes serfan como se observa en la FIGURA 5.3.8. En este easo se hubiera tenido xi' = - 1 + (k - 1)(3/ n). En los problemas 45 y 46 de los ejercicios 5.3 se Ie pide resolver el problema de area en el ejemplo 4 escogiendo Xk' como primer punto fronterizo izquierdo y punto medio de eada subintervalo [Xk- I, xd . Al elegir xt como el punto medio de cada [Xk- I, Xk J, entonces y FIGURA 5.3.8 Rectangllios usando xt= a + (k - ~)LlX' k = 1, 2, . .. , n. (9) los puntos fronterizos izqllierdos de los intervalos Ejercicios 5.3 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-lB. =Fundamentos En los problemas 1- 10, desarrolle la suma indieada. 5 5 1. ~ 3k 2. :L (2k - 3) k=1 k= 1 4 2k 4 ( 3 Y3. :L- 4. ~TOk= I k 10 ( _ I)k 10 (_1)k- 1 S. :L 6. :L ? k= 12k + 5 k=I k- 5 4 7. ~ (/ - 2j) 8. :L (m + 1)2 j=2 11/ = 0 5 ±sen (hr/ 2) 9. :Leos h r 10. k= 1 k=1 k En los problemas 11-20, use notaci6n sigma para eseribir la suma dada. II. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 12. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 13. I + 4 + 7 + 10 + ... + 37 14. 2 + 6 + 10 + 14 + + 38 15. 16. 1 I 1 I 1 - 2 + 3 - 4 + 5 _l + l _ l + .± _~ 2 3 4 5 6 17. 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 18. 1 + V2 + v'3 + 2 + v5 + ... + 3 71" I 271" 1 371" I 471" 19. cos - x - - cos- x + -cos- x - -cos- x p 4 p 9 p 16 P 1"( 1) ? r (I) 20. f'(l )(x - I) - - 3- (x - 1)- + - 5- (x - 1)3 f (4)(I) 4 1 (5)( I ) - - - 7- (x - 1) + - 9- (x - I ? En los problemas 21-28, encuentre el valor numerico de la suma dada. 20 50 21. ~ 2k 22. ~ ( - 3k) k= 1 k= O
294 CAPiTULO 5 Illtegraies 10 1000 23. L (k + I) 24. L (2k - I) k= 1 k=1 6 :; 25. L (k" + 3) 26. L (6k 2 - k) k=1 k= 1 10 10 27. L (p' + 4) 28. L (2i3 - 5i + 3) 1'=0 i=1 En los problemas 29-42, use (7) y el teorema 5.3.2 para encontrar el area bajo la grMica de la funcion dada sobre el intervalo indicado. 29. f(x) = x , [0, 6] 30. f(x) = 2x, [ I , 31 31. f(x) = 2x + I, [ I, 5] 33. f(x) = x 2 , [0,2] 32. f(x) = 3x - 6, [2,4] 34. f(x) = Xl, [-2, I] 35. f(x) = I - x 2 , [-1, I] 36. f(x) = 2Xl + 3, [ - 3, - I] 37. f(x) = Xl + 2x, [1 ,2] 38. f(x) = (x - I)l, [0,2 ] 39. f(x) = x3 , [0, I] 40. f(x) = x' - 3x2 + 4, [0,2] { 2 O:::;x < I 41. f(x) = x' + L, L:::; x :::; 4 42. f(x) = {x~x++2, 1, O:::;x < 1 :::; x:::; 3 43. Trace la grafica de y = I/x sobre el intervalo [t nAI dividir el intervalo en cuatro subintervalos del mismo ancho, construya rectangulos que aproximen el area A bajo la grMica sobre el intervalo. Primero use el punto fronterizo derecho de cada subintervalo, y luego use el punto fronterizo izquierdo. 44. Repita el problema 43 para y = cos x sobre el intervalo [-7T/2,7T/2 ]. 45. Yuelva a trabajar el ejemplo 4 escogiendo xt como el punto fronterizo izquierdo de cada subintervalo. Yea (8). 46. Yuelva a trabajar el ejemplo 4 escogiendo xl' como el punto medio de cada subintervalo. Yea (9). En los problemas 47 y 48, dibuje la region cuya area A esta dada por la formula. No intente evaluar. 47. A = lfm ±)4 - 4~2 l 48. A = lfm ±(sen k7T) 7T 11-+00 k=I n- n 11-+00 k=I n n =Piense en ello En los problemas 49 y 50, escriba el numero decimal dado usando notacion sigma. 49. 0.1111 I I I I 50. 0.3737373737 51. Use la formula de suma iii) del teorema 5.3.2 para encon- trar el valor numerico de L~~ 21k2. 52. Escriba la suma 8 + 7 + 8 + 9 + to + II + 12 usan- do notacion sigma de modo que el fndice de la suma empiece con k = O. Con k = I. Con k = 2. 53. Despeje x: L~ = I(Xk - x? = O. 54. a) Encuentre el valor de L~ = I[f(k) - f(k - I)]. Se dice que una suma de esta forma es teLescopica. b) Use el inciso a) para encontrar el valor numeric) de 40() L (VI< - v'f(-=-T). k=1 55. a) Use el inciso a) del problema 54 para demostrar que II L r(k + If - k2 ] = - I + (n + 1)2 = 11" + 211. k=1 b) Use el hecho de que (k + 1)2 - k2 = 2k + I para de- mostrar que /I II L[(k + 1)2-k2 1 = n + 2Lk. c) Compare los resultados de los incisos a) y b) para obtener la formula de suma iii) del teorema 5.3.2. 56. Muestre como el patron ilustrado en La FIGURA 5.3.9 puede usarse para inferir la formuLa de suma iv) del teorema 5.3.2. 23 33 FIGURA 5.3.9 Arrcglo para el problema 56 57. Obtenga la formula para el area del trapezoide proporcio- nado en la FIGURA 5.3.10. TT "2 1,----------A --' 1 I--b-I FIGURA 5.3.10 Trapezoide en el problema 57 58. En un supennercado, 136 latas se acomodan en forma triangular como se muestra en la FIGURA 5.3.11. i,CUantas latas puede haber en la parte inferior de la pila? FIGURA 5.3.11 Pila de laras en el problema 58
5.4 La integral definida 295 Use (7) y la formula de suma 59. 63. Una formula de suma para la suma de los n terminos de una sucesion geometrica finita a, ar, ar2, ... , ({r,, - I esta dada porik4 = n(n + 1)(611 3 + 9n 2 + n - I) k = 1 30 para encontrar el area bajo la grafica de f (x) = 16 - X4 sobre I -2,2]. Lar"- I = a -=..r. ." (I ")k=1 I I 60. Encuentre el area bajo la grafica de y = Vx sobre [0, I] al considerar el area bajo la grafica de y = x 2 sobre [0, 1]. Lleve a cabo sus ideas. Use esta formula de suma, (8) de esta seccion, y la regia de L'H6pital para encontrar el area bajo la grafica de y = eX sobre [0, I] . 6t. Encuentre el area bajo la grafica de y = -YX sobre [0, 8] al considerar el area bajo la grafica de y = x 3 sobre o:=; x :=; 2. 62. a) Suponga que y = ax 2 + bx + c :2: °sobre el interva- 10 [0, xo] . Demuestre que el area bajo la grafica sobre [0, xo] esta dada por b) Use el resultado en el inciso a) para encontrar el area bajo la grafica de y = 6x2 + 2x + 1 sobre el interva- 10 [2,5]. 64. Un poco de historia En un curso de ffsica para princi- piantes todo mundo sabe que la distancia de un cuerpo que cae es proporcional al cuadrado del tiempo trans- currido. Galileo Galilei (1564-1642) fue el primero en descubrir este hecho. Galileo encontro que la distancia que se mueve una masa hacia abajo en un plano inclina- do es proporcional a un entero positivo impar. Por tanto, la distancia total s que una masa se mueve en n segundos, con n un entero positivo, es proporcional a I + 3 + 5 + ... + 2n - 1. Demuestre que esto es 10 mismo que afir- mar que la distancia total que se mueve una masa hacia abajo en un plano inclinado es proporcional al tiempo transcurrido n. 5.4 La integral definida I Introducci6n En la seccion previa vimos que el area bajo la grafica de una funcion continua no negativa fsobre un intervalo [a, b] se definia como ellfmite de una suma. En esta seccion vent que elmismo tipo de proceso limite conduce al concepto de integral definida. Sea y =f(x) una funcion definida sobre un intervalo cerrado [a, b]. Considere los siguientes cuatro pasos: • Divida el intervalo [a, b] en n subintervalos [Xk - j, xd de anchos LlXk = Xk - Xk- I, donde a = Xo < XI < X2 < ... < X,, _ ] < Xn = b. (1) La coleccion de numeros (1) se denomina particion del intervalo y se denota por P. o Sea IIPIIel mayor numero de los n anchos de los subintervalos LlXI, LlX2, .. . , Llx//, EI numero IIPIIse denomina norma de la particion P. o Escoja un numero x'!: en cada subintervalo [Xk-I, xd como se muestra en la FIGURA 5.4.1. Los n numeros x'j', xt xt ...,x;;' se denominan puntos muestra en estos subintervalos. • Forme la suma " L f(Xk')Llxk' (2) k=1 Sumas del tipo proporcionado en (2) que corresponden a varias particiones de [a, b] se denominan sumas de Riemann en honor del famoso matematico aleman Georg Friedrich Bernhard Riemann. Aunque el procedimiento anterior parece muy semejante a los pasos que llevan a la defini- cion de area bajo una grafica dada en la seccion 5.3, hay algunas diferencias importantes. Observe que una suma de Riemann (2) no requiere que f sea continua 0 no negativa sobre el intervalo [a, b]. Asi, (2) no necesariamente representa una aproximacion al area bajo una grafi- ca. Tenga en cuenta que "area bajo una grafica" se refiere af area acotada entre fa grafica de una fUllcion continua no negativa y ef eje x. Como se muestra en la FIGURA 5.4.2, sif(x) < °para algu- na x en [a, b], una suma de Riemann puede contener terminos f(XZ')Llxb donde f(x'!:]) < 0. En este caso, los productos f(Xk')Llxk son numeros que son los negativos de las areas de rectangulos trazados abajo del eje x. Xi- I I I I . I I I FIGURA 5.4.1 Punto ll1uestra x1' en [Xk-I, xkl FIGURA 5.4.2 La funci6n f es positiva y negativa sobre el intervalo [a, bI
296 CAPITULO 5 Integrales '¥13MR!.I' Una suma de Riemann ----Calcule la suma de Riemann paraf(x) = X2 - 4 sabre [-2, 3 ] can cinco subintervalos deterl11ina_ d - 2 - I - 0 - I - 7 - 3 .* - 1 * - 1 .* - I .,. as par Xo - - , XI - - 2, X2 - , X3 - , X4 - 4, Xs - YXI - - , X2 - -4' X3 - 2, x:j' "" * x~ = ~. Encuentre la norma de la particion. -' Solucion En la FIGURA 5.4.3 se muest:ra 9ue los numeros x}, k = 0, 1, .. . , 5 determinan cinco subintervalos [-2, -~], [ -~, 0], [0,1], ll , nY [~, 3] del intervalo [- 2,3] Y un punta I11Uestra xi' (en rojo) dentro de cada subintervalo. I 7 xl =-- x2 = O x3=1 x4 = - ~= -2,-__~~__~_2~~tr-~~~tr-~~t~4__~~__'~Xs=3 ""'I ", I '" t i, I " t3 .. ts I 'X x[ = - X 2= - 4 -'3=2: X4 = 2: Xj =2: FIGURA 5.4.3 Cinco subintervalos y puntos muestra en el ejemplo I Luego, evalue la funcionf de cada punta muestra y determine el ancho de cada subintervalo: f(x'/') = f( - I) = -3, 1 3 LlXI = XI - Xo = - = 2" - (-2) = 2" f(x D = f(- ±) = - ~~, f(xj') = f(±) = ~, f(X4') = f(~) = ~, f(xD = f{%) = ~, LlX2 = X2 - XI = 0 - (-±)= ± LlX4 = X4 - X3 = '2 - 1 = 1.4 4 7 5 LlXs = Xs - X4 = 3 - 4 = 4' Entonces, la suma de Riemann para esta particion y esa eleccion del punto muestra es fex,/,)LlXI + f(XnLlX2 + f(xD LlX3 + f(Xn LlX4 + f(xnLlXs = (-3)(~) + (-~~)(±) + (- ~)c1) + (-~)(~) + (~)(~) = 279 --=-8 7232 . . AI analizar los valores de los cinco LlXk observamos que la norma de la particion es IIPII =~. • Para una funcionfdefinida sobre un intervalo [a, b], hay un numero finito de posibles sumas de Riemann para una particion dada P del interval0, puesto que los numeros x%' pueden escoger- se arbitrariamente en cada subintervalo [Xk - ], xd . hMiMQ!.Wj Otra suma de Riemann Calcule la suma de Riemann para la funcion del ejemplo I si la particion de [ - 2, 3] es la misma pero los puntos muestra son xi = -~, xi' = -i, xj' = t x~' = ~ y x~' = 2.1. Solucion Solo es necesario calcular f en los nuevas puntos muestra, puesto que los numeros LlXk son los mismos que antes: f(x'f) = f(-~) = ~ f(xD = f(-t) = 26 5 1 f(xn = f(~) = ~~ f(x1') = f(~) = ~ f(xD = f(2.1) = 0.41.
I ., 1' suma de Riemann esA101, ' . '(.r'i' ) ~.rl + I(xD6.x2 + f(x j')6.X3 + f(x1')6. X4 + f(X~')6.X5 j = (-~)(~) + (-2~1)(~) + (-~~}l) + (-~)(~) + (0.41)(~) = -8,85, • Tcnc1l0S interes en un tipo especial de lfmite de (2), Si las sumas de Riemann L~ = d(Xk')6.Xk estan proximas a un numero L para toda partici6n P de [a, b] para la cual la norma IIPII este cerca de cero, entonces escribimos /I lim Lf(Xk')6.Xk = L IIPII--+O k = (3) Yse dice que L es la in~egral definida d,ef sobre el intervalo [a, b], En la siguiente definici6n se introduce un nuevo sllnbolo para el numero L. Definicion 5.4.1 La inte,gral definida Sea/una funci6n definida sobre un intervalo cerrado [a , b], Entonees la integral definida de j de a a b, que se denota por I:;I(x) dx, se define como I I> /I f(x) dx = lim Lf(xt)6.Xk' " IIPII--+Ok = I (4) Si el lfmite en (4) existe, se dice que la funci6njes integrable sobre el intervalo, Los nume- ros a y b en la definici6n precedente se denominan limite inferior y limite superior de integl'a- cion, respectivamente. La funci6n f se denomina integrando. EI slmbolo integral I, segun 10 lIsaba Leibniz, es una S alargada que representa la palabra suma. Tambien observe que IIPII --+ 0 siempre implica que el numero de subintervalos n se vuelve infinito (n --+ (0). No obstante, como se muestra en 1a FIGURA 5.4.4, el hecho de que n --+ 00 no necesariamente implica IIPII --+ O. I Integrabilidad En los dos teoremas siguientes se plantean condiciones que son suficientes para que una funci6nfsea integrable sobre un intervalo [a, b]. No se proporcionan las demos- traciones de estos teoremas. Teorema 5.4.1 Continuidad implica integrabilidad Si fes continua sobre el intervalo cerrado [a, b] , entonces I(~f(x) dx existe; es decir,fes inte- grable sobre el intervalo. Hay funciones definidas para cada valor de x en [a, b] para las cuales el limite en (4) no existe. Tambien, si la funci6nfno esta definida para todos los valores de x en el intervalo, la inte- gral definida puede no existir; por ejemplo, despues se vera por que una integral como J~P/x) dx no existe. Observe que y = l /x es discontinua en x = 0 y no esta acotada sobre el intervalo. Sin embargo, a partir de este ejemplo no debe conc1uirse que cuando una funci6n f tiene una discontinuidad en [a, b], rf(x) dx necesariamente no existe. La continuidad de una funci6n sobre [a, b] es condici6n s~ficiente pero no necesaria para garantizar la existencia de t'f(x) dx. El conJ'unto de funciones continuas sobre [a, b] es un subconjunto del conjunto de "fllnciones que son integrables sobre el intervalo. EI siguiente teorema proporciona otra condici6n suficiente para integrabilidad sobre [a, b ]. Teorema 5.4.2 Condiciones suficientes para integrabilidad Si una funei6n f esta acotada sobre el intervalo cerrado [a, b], es decir, si existe una cons- tante positiva B tal que - B ~ j(x) ~ B para toda x en el intervalo y tiene un numero finito de discontinuidades en [a, b], entonces f es integrable sobre el intervalo. 5.4 La integral definida 297 IIPII a ~ ~ II I I • • t b el numero de intervalos se vuelve una infinidac1 FIGURA 5.4.4 Una infinidac1 de subintervalos no implica IIPII--0,
298 CAPITULO 5 Integrales y y = f(x) -t--+--t--+-- x FIGURA 5.4.5 La integral definida de f sabre [0, 3] existe Y= f(x) y Y = 8 a b --~-~--~-_x V= -8 FIGURA 5.4.6 La funci6n f no est,] acotacla sabre [a, b] y r--? I y = 'JI -x" Cuando una funcion f esta acotada, su gnifica completa debe estar entre dos rectas horizo - n· tales, y = B YY = -B. En otras palabras, If(x) I :S B para toda x en [a, b ]. La funcion f(x ) = {~: 0 :Sx<2 2 :Sx:s3 mostrada en la FIGURA 5.4.5 es discontinua en x = 2 pero esta acotada sobre [0, 3], puesto qUe If(x)1 :S 4 para toda x en [0, 3]. (Para el caso, I :S f(x) :S 4 para toda x en [0, 3] muestra quef esta acotada sobre el intervalo.) Por el teorema 5.4.2 se concluye que f 6'l(x) dx existe. La FIGU_ RA 5.4.6 muestra la grMica de una funcion f que no esta acotada sobre un intervalo l({,b I. Sin importar cuan grande sea el numero B escogido, la grMica de f no puede estar confinada a la region entre las rectas horizontales y = B YY = - B. I Partici6n regular Si se sabe que una integral definida existe (por ejemplo, el integrandof es continuo sobre [a, bJ), entonces: • Ellimite en (4) existe para cualquier forma posible de particion [a, b] y para toda forma posible de escoger xl' en los subintervalos IXk- h xd. En particular, al escoger los subintervalos del mismo ancho y los puntos muestra como los pun- tos fronterizos derechos de los subintervalos [Xk- I, xd , es decir, b-a Llx = -- n y .'. b - a x,,' = a + k- - , k = 1, 2, ... , n, n la expresion (4) puede escribirse en forma alterna como f(x) dx = Ifm 2-f a + k-- - -. J b 11 ( b - a)b - a a 11-400 k = 1 n n (5) Recuerde por la seccion 5.3 que una particion P de [a, b) donde los subintervalos tienen el mismo ancho se denomina partidon regular. I Area Tal vez usted concluya que los planteamientos de rf(x) dx dados en (4) y (5) son exactamente los mismos que (6) y (7) de la seccion 5.3 para el ~aso general de encontrar el area bajo la curva y = f(x) sobre [a, b]. En cierta forma esto es correcto; no obstante, la definicion 5.4.1 es un concepto m:is general puesto que, como ya se observo, no estamos requiriendo quef sea continua sobre [a, b10 que f(x) 2:: 0 sobre el intervalo, Por tanto, una integral definida no necesita ser un area. Entonces, ~que es una integral definida? Por ahora, acepte el hecho de que una integral definida es simplemente un numero real. Compare esto con la integral indefinida, que es una funcion (0 una familia de funciones) . EI area bajo la grafica de una funcion continua no negativa, ~es una integral definida? La respuesta es sf, Teorema 5.4.3 EI area como integral definida Sifes una funcion continua sobre el intervalo cerrado [a, b1y f(x) 2:: 0 para toda x en el inter- valo, entonces el area A bajo la grafica sobre [a, b 1es I I> A = f(x) dx, a (6) '=!I3f'!IR!'W' EI area como integral definida Considere la integral definida f~ I ~ dx. EI integrando es continuo y no negativo, de modo que la integral definida representa el area bajo la grMica de f(x) = ~ sobre el intervalo [-1, 1]. Debido a que la grafica de la funcion f es el semicirculo superior de x2 + / = I, el area bajo la grMica es la region sombreada en la FIGURA 5.4.7. Por geometrfa sabe- mos que el area de un cfrculo de radio r es 7Tr2, y asf con r = 1 el area del semicfrculo y, por -+-----+----~x tanto, el valor de la integral definida, es - I FIGURA 5.4.7 Area en el ejemplo 3 •
En la secci6n 6.2 volveremos a la cuesti6n de encontrar areas por medio de la integral definida. I!II""r Integral definida usando (5) tcnt'1ll0S f(- 2 + ~:) = ( - 2 + ~:Y = -S + 36(~) - 54(:~) + 27(:: ). Luego. par (5) y las f6rmulas de suma i), ii), iii) Yiv) del teorema 5.3.2 se concluye que x ' dx = lim "".:£1 -2 + - - f I , ,11 .( 3k)3 , II-,>OO k= I n n 3 II [ (k) (k2) (k3 )]lim - "".:£. - S + 36 - - 54 2 + 27 3" II-,>oo n k=I n n n Ifml[-sn + 36 . n(n + 1) _ 54. n(n + 1)(2n + I) + 27. n 2 (n + 1)2] II-,>oo n n 2 n2 6 n3 4 }~![- 24 + 54( I +;) - 27( 1 + ~)(2 + ;) + ~1 (1 + ~)(I + ;)] Sl 15 = - 24 + 54 - 27(2) + 4 = - 4' En la FIGURA 5.4.8 se muestra que no se esta considerando el area bajo la gr<ifica sobre [ - 2, 1] . • 1,IMI14!'Xi Integral definida usando (5) Los valores de las sumas de Riemann en los ejemplos I y 2 son aproximaciones al valor de la integral definida f~2 (X2 - 4) dx. Se deja como ejercicio demostrar que (5) da f 3 25 (x 2 - 4) dx = -3 = - S.33. - 2 Yea el problema l6 en los ejercicios 5.4. • I Propiedades de la integral definida A continuaci6n se analizaran algunas propiedades importantes de la integral definida que se defini6 en (4). Las dos siguientes definiciones son utiles cuando se trabaja con integrales definidas. Definicion5.4.2 Lfmites de integraci6n i) Igualdad de limites Si a esta en el dominio de f, entonces f a f(x) dx = O. (/ ii) Inversion de limites Si f es integrable sobre [a, b], entonces (~f(x) dx = - f bf(X) dx. Jh (/ (7) (S) La definici6n S.4.2i) puede motivarse por el hecho de que el area bajo la grafica de f y por arriba de un solo punto a sobre el eje x es cero. En la definici6n de rf(x) dx se supuso que a < b, de modo que la direcci6n de "costum- bre" de la integraci6n defi~ida es de izquierda a derecha. EI inciso ii) de la definici6n 5.4.2 esta- blece que invertir esta direcci6n, es decir, intercambiar los Hmites de integraci6n, resulta en la negativa de la integral. 5.4 La integral definida 299 y y = x3 FIGURA 5.4.8 GnHic<l de la funci6n en el ejemplo 4
300 CAPITULO 5 integraies y I I b I Jc f (x) dx : = -----'-.-x c ba '-----~v---_/ FIGURA 5.4.9 aditivas b Ja f (x ) dx Las areas son 1!1#14!"I Definici6n 5.4.2 Por el inciso i) de la defini cion 5.4.2, 1o..; limitc.... de inl l'~ral· i(lIl ~ r (X3+ 3x) dx = O. •1!I3MI4!'.' Otro repaso al ejemplo 4 En el ejemplo 4 vimos que J~2X3 dx = -.If.Por el inciso ii) de la definicion 5.4.2 se conclu; ; f -2 II 15 15 x 3 dx = - x 3 dx = - (- 4) = 4' • I -2 En el siguiente teorema se enumeran algunas de las propiedades basicas de la integral cletinida. Estas propiedades son analogas a las propiedades de la notacion sigma proporcionadas en el teare_ ma 5.3.1 , aSI como a las propiedades de la integral indefinida que se analizaron en la secci6n 5. 1. Teorema 5.4.4 Propiedades de la integral definida Si f y g son funciones integrables sobre el intervalo cerrado [a, b], entonces i) (bkf (x) dx = k ("f(x) dx, donde k es cualquier constante Ja Ja ii) ( "[f(x) ::t g(x)] dx = (hf(X) dx::t ( "g(x) dx. J, Ja Ja El teorema 5.4.4ii) se extiende a cualquier suma finita de funciones integrables sobre el in- tervalo [a, b) : (" (" (I' (" J [.fI(x) + f 2(X) + ... + Ux)] dx = J.fI(x) dx + L.f2(x) dx + ... + Lf ,(x) d.r. G a {/ I t La variable independiente x en una integral definida se denomina variable ficticia de inte- gracion. El valor de la integral no depende del sfmbolo usado. En otras palabras, (b I" II> I"Jf (x) dx = fe r) dr = f(s) ds = f(r) dt (/ (/ a (/ y aSI sucesivamente. t!I3M4!" :' Otro repaso al ejemplo 4 POI' (9), no importa que slmbolo se use como la variable de integracion: Teorema 5.4.5 Propiedad aditiva del intervalo 15 4' Si f es una funcion integrable sobre un intervalo cerrado que contiene a los numeros a, b y C, entonces (9) • I b Ie I"f (x) dx = f(x) dx + f(x) dx. (10) II a c Resulta facil interpretar la propiedad aditiva del intervalo dada en el teorema 5.4.5 en el casa especial en que f es continua sobre [a, b) y fCx) 2: 0 para toda x en el intervalo. Como se ve en la FIGURA 5.4.9, el area bajo la grafica de f sobre [a, c) mas el area bajo la grafica del intervalo adyacente [c, b) es la misma que el area bajo la grafica de f sobre todo el intervalo [a, b]. Nota: La conclusion del teorema 5.4.5 se cllmple cuando a, b y c son tres numeros cualesq/lie- ra en un intervalo cerrado. En otras palabras, no es necesario tener el orden a < c < b como se muestra en la figura 5.4.9. Ademas, el resllitado en (10) se extiende a cualquier numero tinito de numeros a, b, C I , Cb .. . , c" en el intervalo. POI' ejemplo, para un intervalo celTado que contiene a los numeros a, b, CI YC2, fiCX) dx = fj·CX) dx + fICX) dx + fi(X) dx. {/ a (" I 1":
para Lilla particion P dada de un intervalo [a, b], tiene sentido afirmar que /I Ifm ~ aXk = b - a, IIPII-->O k = I (11) (faS l)'llabras, el Ifmite lim L;'=Iax/, es simplemente el ancho del intervalo. Como una con- en 0 . ' 11P11....o" secuencia de (II), tenemos el siguiente teorema. ,...--- Teorema 5.4.6 Integral definida de una constante 1:'-- Para cLialquier constante k, (b (b J k dx = k J dx = k(b - a). (f a Si f.: > 0, entonces el teorema 5.4.6 implica que flJk dx es simplemente el area de un rectan-a gulo de ancho b - a y altura k. Yea Ia FIGURA 5.4.10. dWJiQ!'1i1 Integral definida de una constante Por el teorema 5.4.6, r5 dx = 5 rdx = 5(8 - 2) = 30. • I!I8MQ!.I !e' Uso de los ejemplos 4 y 9 Evalue f2(x 3 + 5) dx. Soluci6n Por el teorema 5.4.4ii) podemos escribir la integral dada como dos integrales: f2 (X 3 + 5) dx = ft3 dx + L>dx. Luego, por el ejemplo 4 sabemos que I ~2X3dx = -.!f, y con ayuda del teorema 5.4.6 vemos que J ~25 dx = 5 [1 - (- 2)] = 15. En consecuencia, f2(x 3 + 5) dx = ( - 11) + 15 = ~. • Por ultimo, los siguientes resultados no son sorprendentes si Ia integral se interpreta como un area. Teorema 5.4.7 Propiedades de comparacion Seanf y g funciones integrables sobre el intervalo cerrado [a, b] . i) Si f(x) 2': g(x) para toda x en el intervalo, entonces ff(X) dx 2': fg(x) dx. a a ii) Si m :5 f(x) :5 M para toda x en el intervalo, entonces m(b - a):5 ff(X) dx :5 M(b - a). a Las propiedades i) y ii) del teorema 5.4.7 se entienden facilmente en terminos de area. Para i). si se supone f(x) 2': g(x) 2': 0 para toda x en [a, b], entonces sobre el intervalo el area A I bajo la grMica de f es mayor que 0 igual al area A2 bajo la grafica de g. En forma semejante, para ii) si se Supone quef es continua y positiva sobre el intervalo cerrado [a, b] , entonces por el teorema 5.4 La integral definida 301 y y= k b fc,k dx -+--~----------~~ x a b !---b -Cl----+j FIGURA 5.4.10 Si k > 0, el area bajo la gratica es k(b - a)
302 CAPITULO 5 Integrales )'1 v = I (·q del valor extremo,ftiene un mlnimo absoluto m > 0 y un maximo absoluto M > 0 en el interva_ 10. Entonces, el area bajo la grafica I,~f(x) dx sobre el intervalo es mayor que 0 igual al area m(b - a) del rectangulo mas pequeno mostrado en la FIGURA 5.4.11a) y menor que 0 igual al area M(b - a) del rectangulo mas grande mostrado en la figura 5.4.1 Ib). Si en i) del teorema 5.4.7 se hace g(x) = 0 y se usa el hecho de que I,;' Odx = 0, se ConcIu_ -+-..J..a-'--------'-b- x ye 10 siguiente: '"mfnimo el area es lII(h - 0) y a) Y = I(.r) , , I , el area es: M(b - 0)' +--'a-------'-b- x b) FIGURA 5.4.11 Motivaci6n para el inciso ii) del teorema 5.4.7 y • Sif(x) 2: 0 sobre [a, b], entonces I,~f(x) dx 2: O. En fonna semejante, al escogerf(x) = 0 en i), se concluye que: • Si g(x) ::5 0 sobre [a, b], entonces I"g(x) dx ::5 O.{/ (12) (13) I Area neta con signo Debido a que la funci6n f en la FIGURA 5.4.12 asume valores tanto positi- vos como negativos sobre [a, b] , la integral definida J,~f(x) dx no representa area bajo la grMica defsobre el intervalo. Por el teorema 5.4.5, la propiedad aditiva del intervalo, ff(X) dx = r :l(X) dx + L :l(X) dx + flex) dx. (14) Debido a quef(x) 2: 0 sobre [a, CI] y [C2> b] tenemos flex) dx = Al y ff(X) dx = A3, a C2 d-:---.:'-b~X donde Al y A3 denotan las areas bajo la grafica defsobre los intervalos [a, cJl y [C2, b], respec- FIGURA 5.4.12 La integral definida de f sobre [a, b] propor- ciona el area neta con signo y y = x' tivamente. Pero puesto quef(x) ::5 0 sobre [CI, C2] en virtud de (13), tenemos I«,' f(x) dx ::5 0 Y aSI I e, f(x) dx no representa area. No obstante, el valor de I C 1(x) dx es el negativo del area ver-(I CI dadera A2 acotada entre la grafica de f y el eje x sobre el intervalo [ CI, C2]. Es decir, Je':' f(x) dx = -A2• Por tanto, (14) es flex) dx = Al + (-A 2) + A3 = Al - Az + A3· " Vemos que la integral definida proporciona el area neta con signo entre la grafica de f y el eje x sobre el intervalo [a, b]. ,.,.".+-,,--+-~__ x "jiMijle'" Area neta con signo FIGURA 5.4.13 Area neta con signo en el ejemplo I I EI resultado I ~2X 3 dx = -.if obtenido en el ejemplo 4 puede interpretarse como el area neta con signo entre la grafica def(x) = x3 y el eje x sobre [-2, I]. Aunque la observaci6n de que f i f O i l l Sx3 dx = x3 dx + x3 dx = - AI + Az = -4 -2 - z 0 no proporciona los valores de A I YA2 , el valor negativo es consistente con la FIGURA 5.4.13 donde resulta evidente que el area A I es mayor que Az. • • La teoria Seafuna funci6n definida sobre [a, b] y sea L un numero real. EI concepto intui- tivo de que las sumas de Riemann estan pr6ximas a L siempre que la norma IIPII de una particion Peste cerca de cero puede expresarse en forma precisa usando los simbolos 8-0 introducidos en la secci6n 2.6. Al afirmar quef es integrable sobre [a, b], se esta diciendo que para todo niime- ro real 8 > 0 existe un numero real 0 > 0 tal que I~f(XnLlXk - L I< 8, (15) siempre que P sea una partici6n de [a, b] para la cual!!P!! < 0 Yel x%, son los numeros en los subintervalos [Xk - I, Xk], k = 1, 2, ... , n. En otras palabras, existe y es igual al numero L. 11 11m Lf(xnLlxk 111'11-->0k = I
5.4 La integral definida 303 I posdata: Un poco de historia Georg Friedrich Bernhard Riemann ( 1826- 1866) naci6 en Hanover, Alemania, en 1826. Fue hijo de un ministro luterano. Aunque era cristiano devoto, Riemann no se inclin6 por seguir la vocaci6n de su padre y abandon6 el estu- ,~-z-,. dio de teologfa en la Universidad de Gotinga para seguir una carrera de estu- Riemann dios en los que su genio era evidente: matematicas. Es probable que el con- cepto de sumas de Riemann haya sido resultado de un curso sobre integral definida que tom6 en la universidad; este concepto refleja su intento por asig- nar un significado matematico preciso a la integral definida de Newton y Leibniz. Despues de presentar su examen doctoral sobre los fundamentos de las funciones de una variable compleja al comite examinador en la Universidad de Gotinga, Karl Friedrich Gauss, el "principe de las matemari- cas", dedic6 a Riemann un elogio bastante singular: "La disertaci6n ofrece pruebas concluyentes. . . de una mente creativa, activa, verdaderamente malel1lulica. . . de fertil originalidad". Riemann, como muchos otros estudiantes promisorios de laepoca, era de constituci6n fragil. Falleci6 a los 39 afios de edad, de pleuresia. Sus originales conlribllciones a la geometrfa diferencial, topologfa, geometrfa no euclidiana y sus intrepidas investigaciones concernientes a la naturaleza del espacio, la electricidad y el magnetismo anun- ciaron el trabajo de Einstein en el siglo siguiente. NOTAS DESDE EL AULA EI procedimiento bosquejado en (5) tenIa una utilidad limitada como medio practico para calcular una integral definida. En la siguiente secci6n se introducira un teorema que permite encontrar el numero I b f(x) dx de manera mucho mas faci!. Este importante teorema consti-a tllye el puente entre el calculo diferencial y el calculo integral. Ejercicios 5.4 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-19. =Fundamentos En los problemas 1-6, calcule la suma de Riemann 'i'i=d(xZ') tJ.,rk para la partici6n dada. Especifique II PII. I. f(x) = 3x + 1, [0, 3], cuatro subintervalos; Xo = 0, Xo = 1, .~ = %,X3 = ~, X4 = 3; x'i' = ~, x~' = ~, x j' = 2, x~' = ~ 2. l ex) = x - 4, [ - 2,5 ] , cinco subintervalos; Xo = -2, X I = - I, X2 = -~, X3 = ~, X4 = 3, Xs = 5; x'i' = -1, .,. I .'. 0 '1' '1' xi = - 2' X3' = , X4' = 2, xs-= 4 3. f (x) = x2 , [- 1, I] cuatro subintervalos: Xo = -1, XI = -±, I 3 1·,·3 "0·,· 1 x~ = 4' X3 = 4' X4 = ; x"j' = -4' xI = , x }· = 2' xi' = ~ 4. f(x) = x2 + I, [ 1, 3], tres subintervalos; Xo = I, XI 5 3 .'. 5 .'. 7 .'. .2 = 2' X3 = ; xT = 4' xI = 4' xi' = 3 3 2' S. lex) = sen x, [0, 27T], tres subintervalos; Xo = 0, X I = 7T, .2 = 37T/ 2, x3 = 27T; X'I' = 7T/ 2, x'~ = 77T/ 6, x~' = 77T/4 6. f (x) = CoSX, [- 7T/2, 7T/2], cuatro subintervalos; Xo = -7T/ 2, XI = - 7T/4, X2 = 0, X 3 = 7T/ 3, X4 = 7T/ 2; x';' = -7T/ 3, x~' = -7T/ 6, x3' = 7T/ 4, x~; = 7T/ 3 7. Dada f(x) = X - 2 sobre [0, 5], calcule la suma de Riemann usando una partici6n con cinco subintervalos de la misma longitud. Sea xt, k = 1, 2, .. . , 5, el punto fron- terizo derecho de cada subintervalo. 8. Dadaf(x) = x2 - X + 1 sobre [0, 1], calcule la suma de Riemann usando una partici6n con tres subintervalos de la misma longitud. Sea x2', k = 1,2,3, el punto fronteri- zo izquierdo de cada subintervalo. En los problemas 9 y 10, sea Puna partici6n del intervalo indicado y xt' un numero en el k-esimo subintervalo. Escriba las sumas dadas como una integral definida sobre el intervalo indicado. 9. lim ±V9 + (Xt)2Llxk; [ - 2,4] Ilpll-->ok ~ I 11 10. 11m ~ (tanxDLlxk; [0, 7T/4] Ilpll-->ok~ I En los problemas II y 12, sean Puna partici6n regular del intervalo indicado y x%' el punto fronterizo de cada subinter- valo. Escriba la suma dada como una integral definida. 11 ( 2k)211. Ifm ~ 1 + - - ; [0, 2] 11 -->00 k~ I n n 12. Ifm ~ 1 + - - ; [1,4]II ( 3k)3 3 11 -->00 k ~ I n n En los problemas 13-18, use (5) y las f6rmulas de suma en el teorema 5.3.2 para evaluar la integral definida dada. 13. IIxdx 14. f 3XdX - 3 0 15. f 2(X 2 - x) dx 16. I 3 (x2 - 4) dx I -2
304 CAPITULO 5 Integrales En los problemas 19 y 20, proceda como en los problemas 13-18 para obtener el resultado dado. fb L f" 119. x dx = 2 (b2 - a2) 20. x 2dx = 3Cb3 - a3 ) a a 21. Use el problema 19 para evaluar fiXdx. 22. Use el problema 20 para evaluar flX2 dx. En los problemas 23 y 24, use el teorema 5.4.6 para evaluar la integral definida dada. 23. f4dX 24. f 2C- 2)dX En los problemas 25-38, use la definicion del teorema 5.4.2 y los teoremas 5.4.4, 5.4.5 Y5.4.6 para evaluar la integral defi- nida dada. Donde sea idoneo, use los resultados obtenidos en los problemas 2L Y 22. 25. r-2!. dx J4 2 27. - i - llOXdX 29. i- l t2 dt 31. [C-3X2 + 4x - 5) dx 33. IO x2 dx + ex2dx - I Jo 35. fXdX + fC9 - x) dx 37. r3 f.0J o X 3 dx + 3 t 3 dt I- I f. -I5x dx - Cx - 4) dx - I 3 38. 26. 28. rlOx 4 dx [C3X + 1) dx 30. [C3x 2 - 5) dx 32. [6X(X - 1) dx I1.2 f.1.234. 2tdt - 2tdt - I 3 En los problemas 39-42, evalue la integral definida usando la informacion dada. 39. f/(X) dx si f/(X) dx = 6 y f/(X) dx = 8.5 40. f/(X) dx si fr(X) dx = 2.4 y fr(X) dx = -1.7 41. [[2/CX) + g(x) ] dxsi [/CX) dx = 3.4 y [3g(X) dx = 12.6 42. f 2gCX) dx si f 2f'CX) dx = 14 Yf2 [f(x) - 5g(x)] dx = 24 En los problemas 43 y 44, evalue las integrales definidas a) f/(X) dx b) flex) dx c) f'rcx) dx d) fl(X) dx a e) f{~(X) dx b f) frcx) dx a usando la informacion en la figura dada. 43. y Area = 3.9 Area = 1.2 FIGURA 5.4.14 Gnltica para el problema 43 44. Area = 9.2 y Area = 6.8 a ,.,,/---"-:-,~ x FIGURA 5.4.15 Gnifica para el problema 44 En los problemas 45-48, la integral dada representa el area bajo una gratica sobre un intervalo dado. Trace esta region. 45. II (2x + 3) dx 46. r 4(- X2 + 4x) dx - I Jo 47. [ 7Tsenx dx 48. f2-Vx+2 dx En los problemas 49-52, la integral dada representa el ,1rea bajo una gratica sobre un intervalo dado. Use formulas id6- neas de geometria para encontrar el area. 49. L:Cx + 2) dx 50. fiX- 11dx 51. i/l~ dx 52. f3(2 + 1'9 - x 2 )dx En los problemas 53-56, la integral dada representa la siguiente area con signo entre una gratica y el eje x sobre un intervalo. Trace esta region. 53. fe-2X+ 6) dx 54. fy -x2) dx 55. I 3 4x d - 1/2x + 1 x r5,,/2 56. J o cos x dx
los problemas 57-60, la integral dada representa el area En .,."no entre una grafica y el eje x sobre un intervalo. Use can s =' , , f6nllUla.-; id6neas de geometna para encontrar el area neta con signo. 57. f 12.r clx 58. r(~x -2)dX 59. f 11( - ~) dx 60. [(l -Ixl)dx En 10' problemas 61-64, la funcionJse define como {(x) = {x' x:::; 3 . 3, x > 3. Use formulas idoneas de geometrfa para encontrar la integral definida dada. 61. (nx)dx 63. J 'f(X) dx - .j 62. fJ(X) dx 64. {,/(X) dx En los problemas 65-68, use el teorema 5.4.7 para establecer la desigualdad dada. 65. IIIeX dx :::; fO e-x dx - I - I 66. f 7T/.j(COS x - sen x) dx 2: °Il 67. I :::; {,(x)+ 1)1/2dx:::; 1.42 68. - 2:::; f(X2- 2x)dx:::; ° 5.5 Teorema fundamental del calculo 5.5 Teorema fundamental del calculo 305 En los problemas 69 y 70, compare las dos integrales dadas por medio de un sfmbolo de desigualdad :::; 0 2: . 69. {'X2 dx, {'x3dx 70. II.14+2 dx, II~ dx =Piense en ello 71. SiJ es integrable sobre el intervalo [a, b], entonces tam- bien 10 esJ2 . ExpJique por que f,7/2(x) dx 2: 0. 72. Considere la funcion definida para toda x en el intervalo [ - 1, I] : f(x) = {O,1, x racional x irracional. Demuestre queJno es integrable sobre [-], 1] , es decir, f~J(x) dx no existe. [Sugerencia: El resultado en (11) puede ser (ttil.] 73. Evalue 1a integral definida fd Vx dx usando una particion de [0, 1] donde los subintervalos [Xk-" xd estan defini- dos por [(k - 1)2/n2, ~/n2 ] y escogiendo xi' como el punto fronterizo derecho de cada subintervalo. 74. Evalue la integral definida f ; /2 cos X dx usando L1na par- ticion regular de [0, 7T/ 2] y escogiendo xt' como el punto medio de cada subintervalo [Xk- " xd. Use los resultados conocidos . sen 2n () I) cos () + cos 3() + ... + cos(2n - 1)8 = 2 () sen 4..) l' 1II 1m 11->00/1 sen (7T/ 4n) 7T I Introduccion Al final de la seccion 5.4 se indico que hay una forma mas sencilla para eva- luar llna integral definida que calculando el limite de una suma. Esta "manera mas sencilla" se logra por medio del teorema fundamental del caIculo. En esta seccion vera que hay dos for- mas de este importante teorema: la primera forma, que se presenta a continuacion, permite eva- luar Illuchas integraies definidas. I Teorema fundamental del calculo: primera forma En el siguiente teorema se ve que el con- cepto de antiderivada de una funci6n continua constituye el puente entre el calculo diferencial y el caiculo integral. Teorema 5.5.1 Teorema fundamental del calculo: forma de antiderivada Si f es una funcion continua sobre un intervalo [a, b] y F es L1na antiderivada deJsobre el intervaio, entonces (1) I "J(x) dx = F(b) - F(a). a
306 CAPITULO 5 Integrales Se pl~s~nlar~ln dos dcmoslr~ICi()- ~ DEMOSTRACION Si F es una antiderivada de 1, entonces por definici6n rex) = f(x). Puesto ncs del lcorcma 5.5.1. En la que F es diferenciable sobre (a, b), el teorema del valor medio (teorema 4.4.2) garantiza que li.::nHlslracilln lJUl ' se Jll"Opllrcio- existe un xi' en cada subintervalo (Xk- I , Xk) de la partiei6n P: na sc usa la pn::misa b~lsica de que una inlegral dd inida e, un lImite de una S UI1l ~1. Dcspues que se demuesl l'c IJ segunda forma del leorcm: fundamental del ciilculo. se 'ol ver,j al lcorc- l11a 5S 1 y sc pre,entara una del11ostraci6n a ll crn~l. a = Xo < XI < X2 < ... < XII - I < xl1 = b tal que F(Xk) - F(Xk- l) = F'(XJ')(Xk - Xk - I) 0 F(Xk) - F(Xk- l) = f(xt) t:Uk' Luego, para k = 1, 2, 3, ... , n con el ultimo resultado obtenemos F(xl) - F(a) = f(x'!') Llxl F(X2) - F(xl) = fCxi) LlX2 F(X3) - F(X2) = f(xD LlX3 Si sumamos las columnas precedentes, II [ F(xl) - F(a)] + [ F(X2) - F(x,) ] + ... + [F(b) - F(xlI_I) ] = Lf(x2') LlXk k = 1 vemos que la suma de todos los terminos, menos los dos sin color en el miembro izquierdo de la igualdad, es igual a 0, con 10 cual tenemos II FCb) - F(a) = Lf(xD LlXk' k= 1 Pero !fm [F(b) - F(a)] = F(b) - F(a), de modo que el limite de (2) cuando IIPII ---+ °es IIPII->O /I F(b) - F(a) = 11m Lf(xn LlXk' IIPII-->Ok = I Por la definici6n 5.4.1, el miembro derecho de (3) es J "f(x) dx. " La diferencia FCb) - F(a) en (1) suele representarse por el sfmbolo F(x)] b es deeir, '" J b f Jb Jbf(x) dx = f(x) dx = F(x) . a a a '---v-------' ~ integral defin ida integral inderinida (2) (3) • Puesto que el teorema 5.5.1 indica que F es cualquier antiderivada del, siempre es posible esco- ger la constante de integraci6n C como igual a cero. Observe que si C =I=- 0, entonees J " Jb(F(x) + C) " = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a) = F(x) u' U!!3¢@!.I' Usa de (1) En el ejemplo 4 de la secci6n 5.4 se apel6 a la definici6n mas bien larga de integral definida para demostrar que J~2X3 dx = - J,f.Puesto que F(x) = ~X4 es una antiderivada de f(x) = x3 , a partir de (1) obtenemos inmediatamente J I x 4 JI I 1 1x3 dx = - = - - _ (-2)4 = - -2 4 - 2 4 4 4 16 15 •4 UIi#M4!'.J Uso de (1) J 3 Evalue I x dx. Solucion Una antiderivada def(x) = xes F(x) = !x 2 . En consecuencia, (1) del teorema 5.5.1 proporciona J 3 X2 ] 3 9 1 I X dx ="2 I = "2 - "2 = 4. •
5.5 Teorema fundamental del calculo 307 dl#l~fSL-'u=-=s=-=o,---d=-e,,---,-( 1'-'.)_____________ ______________ Evall1c L(.'Ix" - x + 1) dx. Solucion Aplicamos ii) del teorema 5.1.2 y 1a f6rmula de integraci6n 2 de la tabla 5.1.1 a cada tCI"Inino del integrando, y luego usamos el teorema fundamental: f2(3x 2- X+ I) dx = (X3- ~~ + x) t2 = (8 - 2 + 2) - (- 8 - 2 - 2) = 20. • dl#IWlII Uso de (1) J 71" Evalue cos x dx. 71"/6 Solucion Una antiderivada de f(x) = cos x es F(x) = sen x. En consecuencia, J 7r ]7r 7T I 1 cos x dx = sen x = sen 7T - sen - = 0 - - = --. 71"/6 7r/6 6 2 2 • I Teorema fundamental del calculo: segunda forma Suponga quef es continua sobre un inter- valo la. b l, por 10 que se sabe que la integral {~fCt) dt existe. Para toda x en el intervalo [a, b], la integral definida ~ Tenga en cuenta que una integral g(x) = fr(t) dt a (4) representa un solo numero. De esta forma, se ve que (4) es una funci6n con dominio [a, b l. En la FIGURA 5.5.1 se muestra quef es una funci6n positiva sobre [a, b], y asf cuando x varfa a traves del intervalo es posible interpretar g(x) como un area bajo la grMica sobre el intervalo [a, xl. En la segllnda forma del teorema fundamental del calculo se demostrara que g(x) definida en (4) es una fUIlci6n diferenciable. Teorema 5.5.2 Teorema fundamental del c:ilculo: forma de derivada Seafcontinua sobre [a, b 1y sea x cualquier numero en el intervalo. Entonces g (x) = I~'f(t) dt es contillua sobre [a, b1y diferenciable sobre (a, b) y g'(x) = f(x). (5) DEMOSTRACION PARA h> 0 Sean x y x + h en (a, b), donde h > O. Por la definici6n de derivada, , ,g(x + h) - g(x) g (x) = hm 1 . h--:-O 1 (6) Aillsar las propiedades de la integral definida, la diferencia g(x +h) - g(x) puede escribirse como g(x + h) - g(x) = f +'f(t) dt - fr(t) dt ({ a J,X+'f(t) dt + rf(t) dt <- pOI" (8) de la scccion 5.4 fX+'f(t) dt. <- por ( 10) de la seccion 5.4 Por tanto, (6) se vuelve 1 f X+h g'(x) = Ifm -I f(t) dt. 11--:-0 1 x (7) clefinicla no c1epencle de la variable de integracion I. y y = I(t) I +g(x) (/ x b FIGURA 5.5.1 g(x) como area
308 CAPITULO 5 Integrales Puesto quefes continua sobre el intervalo cerrado [x, x + hl, por el teorema del valor extremo (teorema 4.3.1) se sabe quefalcanza un valor minimo In y un valor maximo M sobre el interva. 10. Puesto que m y M son constantes con respecto a la integraci6n sobre la variable t, pOl' el teo. rema 5.4.7ii) se concluye que f X+h f X+h f X+h x In dt :::; x f(t) dt :::; x Mdt. (8) Con ayuda del teorema 5.5.1, f X+h ]X+h x melt = mt x = m(x + h - x) = mh y f X+11 ]X+h x Melt = Mt x = M(x + h - x) = Mh. Por tanto, la desigualdad en (8) se vuelve f X+h nth:::; x f(t) elt :::; Mh 0 1 f X+h m :::; h f(t) dt :::; M. x (9) Puesto que f es continua sobre [x, x + h1tiene sentido afirmar que lfm m = Ifm M =f(x). Al11---+0+ 11---+0+ tomar ellfmite de la segunda expresi6n en (9) cuando h ~ 0+ obtenemos 1 f X+h f(x):::; lfm -, f(t) elt :::; f(x). h.....O+ 1 x Esto demuestra que g'(x) existe y por f(x) :::; g'(x) :::; f(x) concluimos que g'(x) = f(x). Puesto que g es diferenciable, necesariamente es continua. Un razonamiento semejante se cumpIe para h < O. • Otra forma mas tradicional de expresar el resultado en (5) es U!J3MRK'¥j Usa de (10) Por (l0), a) .!!:..-fXt3dt=X3 dx -2 '¥IiIMRK"ij Regia de la cadena Encuentre !r "cos t dt. 1T el (X elx Lf(t) elt = f(x). II b) !rIf2+l dt = Vx2+l. (10) • Solucion Si identificamos g(x) = f~cos t dt, entonces la integral dada es la composici6n g(x3 ). Realizamos Ia diferenciaci6n al aplicar la regIa de la cadena con u = x3 : elf x' el(f")delx cos t dt = elu cos t elt l::1T 1T = cos u . du = cos x3 . 3x2 dx • I Demostraci6n alterna del teorema 5.5.1 Vale la pena examinar otra demostraci6n del teo- rema 5.5.1 usando el teorema 5.5.2. Para una funci6n f continua sobre [a, b l, la declaraci6n g'(x) = f(x) para g(x) = f: f(t) dt significa que g(x) es una antiderivada del integrandof Si F es cualquier antidetivada del, por elteorema 5.1.1 sabemos que g(x) - F(x) = Co g(x) = F(x) + C,
5.5 Teorema fundamental del calculo 309 I I > C es una constante arbitraria. Puesto que g(x) = {' f(t) dr, para cualquier x en [a, b] se(on( t: . . (/. concluyc que fi(t) dt = F(x) + C. {/ Si en (I I) sustituimos x = a, entonces j':f(t) dt = F(a) + C (/ implica C = - F(a), puesto que f:f(t) dt = O. As!, (11) se vuelve fict) dt = F(x) - F(a). a puesto que la ultima ecuacion es valida en x = b, encontramos ff(t) dt = F(b) - F(a). (/ (II) • I Funciones continuas por partes Se dice que una funcion f es continua por partes sobre un intervalo [a, b] si existe a 10 mas un mimero finito de puntos Ck> k = 1, 2, . . . , 11, (Ck - ] < Ck) en los queftiene una discontinuidad finita, 0 saIto, sobre cada subintervalo abierto (Ck-I , Ck) ' Yea la FIGURA 5.5.2. Si una funcion f es continua por partes sobre [a, b], esta acotada sobre el interva- 10, y entonces por el teorema 5.4.2,fes integrable sobre [a, b] . Una integral definida de una fun- ci6n continua por partes sobre [a, b] puede evaluarse con ayuda del teorema 5.4.5: ffCX) dx = fi(X) dx + fi(X) dx + ... + ff(X) dx a (l CI ('II y al tratar a los integrandos de las integrales definidas en el miembro derecho de la ecuacion anterior simplemente como si fuesen continuos sobre los intervalos cerrados [a, CI], [cj, C2], ... , [ell' bj. I,IM@!'. Integraci6n de una funci6n continua por partes Evalue ff(X) dx donde { X + 1, -1::; x < 0 f(x) = x, 0 ::; x < 2 3, 2 ::; x ::; 4. Solucion La grc'ifica de una funcion f continua por partes se muestra en la FIGURA 5.5.3. Luego, par el analisis precedente y la definicion de f: frCX) dx = fr(X) dx + ff(X) dx + {i(x) dx = fO (x + 1) dx + r2x dx + fdx -] Jo 2 = -x2 + X + -x2 + 3x = - .( 1 )]0 1]2 ]4 17 2 _] 2 0 2 2 IiI!#M4!t.:. Integraci6n de una funci6n continua por partes Evalue rIx - 21 dx. Solucion Por la definicion de valor absoluto, { X - 2 Ix - 21 = -(x - 2) six - 22:0 six - 2 < 0 o Ix - 21 { X - 2 -x + 2 si x 2: 2 six < 2. • y ~~0: I I ~ I I ; '-, a t discontinuidades finitas FIGURA 5.5.2 Funci6n continua pOl' partes y - 0 2 4 FIGURA 5.5.3 GrMica de la funci6n en el ejemplo 7
310 CAPITULO 5 Integrales y y = - x + 2 y=x-2 ---+-=-o- --t-- -----''I''------t-* x 3 FIGURA 5.5.4 Grafica de la funci6n en el ejemplo 8 En la FIGURA 5.5.4 se muestra la gr<ifica de f(x) = Ix - 21.Luego, debido a ( J0) del teorema 5.4.5 podemos escribir • I 31x - 21 dx = I 21x - 21 dx + J31x - 21dx 0 0 2 f e-x + 2) dx + rex -2) dx = (_~X2 + 2x )t + (~X2 - 2X)J~ = (- 2 + 4) + (~- 6) -(2 - 4) = %. • • Sustitucion en una integral definida Recuerde por 1a secci6n 5.2 que algunas veces lIsal1l0s una sustituci6n como ayuda para evaluar una integral indefinida de la forma ff(g(x))g'(x) dx. Es necesario tener cuidado a1 usar una sustituci6n en una integral definida f;" f (g(x))g'(x) dx, pues- to que es posible proceder de dos formas. Directrices para sustituir una integral definida • Evalue la integral indefinida ff(g(x))g'(x) dx por medio de la sustituci6n u = g(x). Vuelva a sustituir u = g(x) en la antiderivada y luego apJique el teorema fundamen- tal del ca1culo usando los limites de integraci6n originales x = a y x = b. • En forma aJterna, 1a segunda sustituci6n puede evitarse al cambiar los lfmites de integraci6n de modo que con'espondan al valor de u en x = a y u en x = b. El ultimo metodo, que suele ser mas rapido, se resume en el siguiente teorema. Teorema 5.5.3 Sustituci6n en una integral definida Sea u = g(x) una funci6n cuya derivada es continua sobre el intervalo [a, b], y seafuna fun- ci6n continua sobre el rango de g. Si F'(u) = feu) y c = g(a) , d = g(b), entonces I I> Ig(bl f (g(x))g'(x) dx = f eu) du = F(d) - F(c). a g(£I) ( 12) DEMOSTRACION Si u = g(x), entonces du = g'(x) dx. En consecuencia, I b Ig(b) I Id Jdf(g(x))g'(x) dx = feu) ~~ dx = feu) du = F(u) = F(d) - F(c). a g0) c c • 'j!M!IR!.a:' Sustituci6n en una integral definida Evalue f"l'2x 2 + I x dx. Soluci6n Primero se ilustraran los dos procedimientos presentados en las directrices que pre- ceden al teorema 5.5.3. a) Para evaluar la integral indefinida JV2X2 + 1 x dx usamos u = 2x2 + 1 y du =4x d.". As!, IV2x 2 + 1 xdx = ±IV2x 2 + 1 (4xdx) = ±IU I / 2 du 1 U3/ 2 =- - +C 4 3/ 2 = I (2x2 + 1)3/2 + C. 6 <- slistitlicion <- (lIra Slislitllci6n
E ll cOllsecuencia, pOl' el teorema 5.5.1 , J 2V2X 2 + I xdx = 1(2x2 + 1)3/2 ] 2 o 6 0 = J.- [93/ 2 - 13/2 ] 6 . = ! [27 - I] = J16 . 3 . 5.5 Teoremafundamental del calculo 311 b) Sill = 2X2 + I, entonces x = 0 implica u = I, mientras que con x = 2 obtenemos II =9. As!, pOI' el teorema 5.5.3, " iillliles t fhx2+ 1 x dx = !f9U'/2du <- illlcgrac it)Jl 4 COil rcspeclO a II o I = ±~;~r = i[93 / 2 - 13 / 2 ] = I;. • CU<1ndo la grafiea de una funci6n y =f(x) es simetriea con respeeto al eje y (funei6n par) 0 al origen (funei6n imparl, entonees la integral definida defsobre un intervalo simetrico [ - a, a], es decir, J~a f(x) dx, puede evaluarse por medio de un "atajo". Teorema 5.5.4 Regia de la funci6n par SiI es una funci6n par integrable sobre [- a, a] , entonees f a f a f(x) dx = 2 f(x) dx. -Q 0 (13) Se demostrani el siguiente teorema, pero la demostraei6n del teorema 5.5A se deja como ejerclclo. Teorema 5.5.5 Regia de la funei6n impar Si ./es una funci6n impar integrable sobre [-a, aJ, entonees f!(X) dx = O. (14) DEMOSTRACION Suponga que f es una funci6n impar. Por la propiedad aditiva del intervalo, teorema 5A.5, tenemos f!(X) dx = f!ex)dx + fiex) dx. En la primera integral en el miembro izquierdo, sea x = -t, de modo que dx = - dt, y euando .r = - a y x =0, entonees t =a y t = 0: f a ro f a f(x) dx = Lf( - t)( - dt) + f (x) dx <-/( ~ /) = ~I(I).f Lilla fUllcioll impar - (I a 0 f f(f) dt + ff(X) dx a 0 -fi(r) dt + ff,(X) dx <- pOl' (8) de la scccioll 5.4
312 CAPiTULO 5 Integrales = - l':r(X) dx + lateX) dx <- I cro, Lilla IO,riablc de illlegro,ci"ll "I'iclicid" = 0, •La euesti6n importante en el teorema 5.5.5 es esta: euando una funei6n integrable imparf se integra sobre un intervalo simetrieo [ - a, a] , no es neeesario eneontrar una antiderivada dej ; el valor de la integral siempre es eero, En la FIGURA 555 se muestran motivaeiones geometrieas para los resultados en los teoremas 5.5.4 y 5.5.5. y = f(x) y I a L a f(x) dx -_~a---------r---------a~~ x y y = I(x) o L af(x) dx a --~------~~--~---,~x faaf(x ) d;r:- a I I I a) Funci6n par: el valor de la integral b) Funci6n il11par: el valor de la integral definida sobre [- a, OJ es el l11isl11o definida sobre [- a, 0] es el opuesto que el valor sobre [0, a J que el valor sobre [0, aJ FIGURA 55.5 Regia de la funci6n par en a); regia de la funci6n il11par en b) '!I#MQI.I!.' Usa de la regia de la funci6n par Evalue L(x4 + X2) dx. Solucion El integrando f(x) = X4 + x 2 es una funei6n polinomial euyas poteneias son toclas pares, de modo que f neeesariamente es una funei6n par. Puesto que el intervalo de integraei6n es el intervalo simet:rieo [-1, 1], por el tem'ema 5.5.4 se eoncluye que es posible integral' sobre [0, 1] Y multiplicar el resultado por 2: fI(x4 + x2) dx = 2 (I(x4 + x2) dx - I Jo = 2(ix5 + ~x3)I = 2(1+ I) = .!.§. 5 3 15' 1ii@I#MiQ!.,,, Usa de la regia de la funci6n impar J "'/2 Evalue sen x dx. - 7f/2 Solucion En este easo f(x) = sen x es una funei6n impar [-ni 2, 1T12]. Asf, por el teorema 5.5.5 de inmediato tenemos NOTAS DESDE EL AULA J rr/ 2 sen x dx = 0. - ",/ 2 • sobre el intervalo simetrieo • f b a ..........,.,...............,""""",""" "" ,'"",,"" """ """""" """ ,.,',"" """""'""""""" """""""""" "" """""" ',"" "" "" La forma de antiderivada del teorema fundamental del ealculo eonstituye una herramienta extremadamente importante y poderosa para evaluar inte~rales definidas, LPor que molestar- se con un burdo lfmite de una suma euando el valor de f f(x) dx puede eneontrarse al ealeu-a lar f f(x) dx en los dos numeros a y b? Esto es eierto hasta eierto punto; no obstante, ya es hora de aprender otro heeho de las matematieas, Hay funeiones eontinuas para las cuales la
5.5 Teorema fundamental del calculo 313 , Iltidcri"ada ff(x) dx no puede expresarse en terminos defitnciones elementales: sumas, pro- ~LlctoS. cocicntes y potencias de funciones polinomiales, trigonometricas, trigonometricas illvcrsas, logarftmicas Y ex ponenciales. La simple funci6n continuaf(x) = W+l no tiene ant idcri"ada que sea una funci6n elemental. Sin embargo, aunque pOI' el teorema 5.4. 1 es posible afirmar que la integral definida f~ W+l dx existe, el teorema 5.5.1 no es de nin- !,!Llll;i ayuda para encontrar su valor. La integral f~ -w-+I dx se denomina no elemental. Las integrales no elementales son importantes y aparecen en muchas aplicaciones como teo- ria de probabilidad y 6ptica. A continuaci6n se presentan algunas integrales no elementales: fse; x dx, fsen x2 dx, f e-I' dt y f~¥' dx. Yea los problemas 71 y 72 en los ejercicios 5.5. Ejercicios 5.5 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-19. =Fundamentos En los problemas 1-42, use el teorema fundamental del calcu- 10 proporcionado en el teorema 5.5.1 para evaluar la integral delinida dada. I. rdx 2. roC-4) dx 3. [(2.1 + 3) dx 5. f(6X2- 4x + 5) dx 7. frlen x dx 9. J,,/2cos 3t dt ,,/4 J V4 1 II. - du 1/2 u 2 4. f/dt 6. L'2(12X S - 36) dx 8. fT/4cos f) df) -7T/ 3 10. JI sen 21TX dx 1/ 2 12. I-I !-. dx -3 X 27. 29. 31. 33. 35. 37. 39. 41. f l( 1)111+ - ldx 1/ 2 x x I I x+1 d o Vx2 + 2x + 3 x 1 7T/ S o sec 2 2x dx I 3/2 (x - cos 1TX) d.x - 1/ 2 1 7T/2 o Vcos xsen x dx J 7T/2 I + cos f) ? df) 7T/6 (f) + sen f))- J 3/4 sen2 1TX dx o J s 1 I -'-1-+--=--C:-2-x dx f 4Yl + 4!'X 28. • ;- dx I YX II u3 + U 30. ? _ du - I (u4 + 2u- + Ir 32. 34. 36. 38. 40. 42. Jv:rrtlx csc x2 cot x2 dx V7T74 f 4 cos !'X d.x I 2!'X J 7T/ 3 sen x cos x dx 7T/6 I,,/4 (sec x + tan X)2 dx - 7T/4 I,,/2cos 2 X dx -,,/2 II tan x dx - I 13. fI eX dx - I 15. {"x(l - x) dx 14. i2 (2x - 3eX ) dx 16. fX(X - 2)(x + 2) dx En los problemas 43-48, use el teorema fundamental del calculo proporcionado en el teorema 5.5.2 para encontrar la derivada indicada. 17. [(7x3 - 2X2+ 5x - 4) dx 18. L~I(X2 - 4x + 8) dx 19. J-lx-I dx I !'X 21. 23. 25. J v'3 l - - - dx I l + x2 I I? -4 Vz + 4 dz I' x -,=:=== dx oVx2 + 16 20. I4x 2 : 8 dx 2 x- 22. 24. 26. d I X I 43. -, te dt GX 0 . d II 2 645. - (3x - 2x) dx dt 2 I f6X - I 47. '£/' -v'4t+9 dt GX 3 44. 46. 48. d JXdx I In t dt .!!...f9Yu2+ 2 du dx x I I v;: G ? dx sen t - df 7T En los problemas 49 y 50, use el teorema fundamental del calculo proporcionado en el teorema 5.5.2 para encontrar F '(x). [Sugerencia: Use dos integrales.] 49. F(x) = fX '-3- 1 - dt 50. FCx) = i Sx v'f2+I dt 3x t + 1 Jsen x
314 CAPiTULO5 Integrales En los problemas 51 y 52, compruebe el resultado dado al evaluar primero la integral definida y luego diferenciando. 51. !fA(6t2 - 8t + 5) dt = 6x2 - 8x + 5 d ( ' x t 52. dt Lsen "3 dx = sen "3 '" 53. Considere la funci6n f(x) = Ii' In (2t + 1) dt. Encuentre el valor funcional indicado. a) f( l ) c) 1"(1) b) 1'(1) d) 1"'(1) 54. Suponga que G(x) = f ;;f(t) dt y G'(x) = f(x). Encuentre la expresi6n dada. c) G(x3 + 2x) b) !{ G(x2 ) dx d) d l G(x3 + 2x) GX En los problemas 55 y 56, evalue f~J(x) dx para la funci6n f dada. 55. f(x) = { -:;x, x-, x< O x2: 0 56. f(x ) = {;~ + 3, xsO x > o En los problemas 57-60, evalue la integral definida de la fun- ci6nt continua por partes. 1 3 {4 0 s x < 257. af(x) dx, dondef(x) = 1', 2 sxs3 58. ("'f(x) dx, donde f(x) = {sen x, 0 s x < 7T/ 2 Ja cos x, 7T/ 2 s x s 7T I 2 {X2, -2 s x < -] f(x) dx, donde f(x) = 4, - I s x < 1 - 2 x 2 , I s x s 2 59. 60. If(X)dx, dondef(x) = lxJ es la funci6n entero mayor En los problemas 61-66, proceda como en el ejemplo 8 para evaluar la integral definida dada. 61. L'31xl dx 62. r12x - 61dx 63. f sV IXI + 1 dx 64. flx 2 - I ldx 65. f",Isen xl dx 66. ficOS xl dx En los problemas 67-70, proceda como en el inciso b) del ejemplo 9 y evalue la integral definida dada usando la sustitu- ci6n u indicada. I e (In 2t)5. 67. - -- dt , u = In 2t 1/ 2 t I I 1 68. _ I ? dx; v'2/2(tan x)(l + r ) u = tan- I x 69. (I ~-2X dx; u = e-2x + I Jo e- x + 1 1 1/v'2 X 70. , ~ dx; u = x 2 o V 1 - [ =Aplicaciones 71. En matematicas aplicadas, algunas funciones importan_ tes se definen en terminos de integrales no elementales. Una de estas funciones especiales se denomina funci6n error, que se define como erf(x) = _ 2_ (Xe_l, dt. y;: Jo a) Demuestre que erf(x) es una funci6n creciente sobre el intervalo (-00, (0). b) Demuestre que la funci6n y = eX' [I + y;:erf(x)1 satisface la ecuaci6n diferencial dy dx - 2xy = 2, y que yeO) = 1. 72. Otra funci6n especial definida por una integral no ele- mental es la funeion integral seno Si(x) = (' sen t dt. Jo t La funci6n Si(x) tiene una infinidad de puntos fronterizos relativos. a) Encuentre los cuatro primeros nlllneros crfticos para x> O. Use la prueba de la segunda derivada para de- terminar si estos numeros criticos corresponden a lin maximo 0 a un minimo relativo. b) Use un SAC para obtener la grMica de SiCx). [Suge- rencia: En Mathematica, la funci6n integral sene se denota por SinIntegral[x].J =Piense en ello En los problemas 73 y 74, sean Puna partici6n del intervale indicado y x~' un numero en el k-esimo subintervalo. Deter- mine el valor del Ifmite dado. II 73. lim L (2x%' + 5) ~Xk; [-1,3] 11111->0k = I , II xt' 74. hm L cos -4 ~Xk; [0, 27T] IIPII->O k = I En los problemas 75 y 76, sean Puna partici6n regular del intervalo indicado y x%' un numero en el k-esimo subinterva- 10. Establezca el resultado dado. II 75. Ifm 7T L sen xt = 2; [0, 7T] 11->00 n k = I 76. lim l ±x%' = 0; [-1, 1] 11-:;00 n k = I
1 . l)I"ohkmas 77 Y 78, evalue la integral definida dada. En os /2 77. r{J1212 dt} dx 78. r{ f sen x dX} dt Delllllcstre la prueba de la funcion par, teorema S.S.4. 79. 80. Suponga que / es una funci6n impar definida sobre un intervalo [ - 4, 4]. Ademas, suponga que / es diferencia- ble sobre el intervalo,/(- 2) = 3.S, queftiene ceros en _:; y :; y numeros criticos - 2 y 2. a) i.ClIal esf(O)? b ) Trace la grMica aproximada def c) Suponga que F es una funcion definida sobre [ - 4,4] por F(x) = I~J(t) dt. Encuentre F(-3) y F(3). ti) Trace una gnifica aproximada de F. e) Encuentre los numeros crfticos y los puntos de infle- xion de F 81. Determine si el siguiente razonamiento es conecto: r~:2sen 2 t dt = - r::2sen t( - sen t dt) J WP {If = cos { - VI - cos2 t (- sen t dt) +-- I I{If = - sen l(! - w/2 = - I/l=-~ d = 0 { Tcorema 5.5.3 u u . +-- Dcfinici6n 5,42i) o 82. Calcule las derivadas. a) (/' XJ2Xvf3+7 dt GX I d J4h) dx x I vf3+7 dt =Problemas con calculadora/SAC 83. a ) Use una calculadora 0 un SAC para obtener las gnifi- cas def(x) = cos3 x Y g(x) = sen3 x. b ) Con base en su interpretacion de area neta con signo, use las grMicas del inciso a) para conjeturar los valo- res de J~wcos3 x dx YJ~7Tsen3 x dx. =Proyectos 84. Integracion por dardos En este problema se ilustra un metodo para aproximar el area bajo una grMica al "lanzar dardos". Suponga que deseamos encontrar el area A bajo la grafica de/ex) = COS 3 (1TX/2) sobre el intervalo [0, 1] ; es decir, se quiere aproximar A = Id cos3 ( 1Tx/2) dx. Si se lanza, sin ningun intento particular de ser ex- petto, un gran numero de dardos, por ejemplo N, hacia el blanco cuadrado de I X 1 mostrado en la FIGURA 5.5.6 Yn dardos se insertan en la region roja bajo la grMica de f (x) = cos1Tx/2), entonces es posible demostrar que la probabilidad de que un dardo se inserte en la region esta dada por la relacion de dos areas: area de la region A area del cuadrado I . Ademas, esta probabilidad te6rica es aproximadamente la misma que la probabilidad empfrica n/N: A n- ::::=::::::: - 1 N o A =~ N ' 5.5 Teorema fundamental del ca lculo 315 Para simular el lanzamiento de dardos hacia el blanco, use un SAC como Mathematica y su funci6n de numeros aleatorios para generar una tabla de N pares ordenados (x, y), 0 < x < 1,0 < Y < 1. a ) Sea N = SO. Trace los puntos y la grafica de / sobre el mismo conjunto de ejes coordenados. Use la figura para contar el numero de exitos n. Construya por 10 menos 10 tablas diferentes de puntos aleatorios y gra- ficas. Para cada grMica calcule la razon n/N. h ) Repita el inciso a) para N = 100. c) Use el SAC para encontrar el valor exacto del area A y compare este valor con las aproximaciones obteni- das en los incisos a) y b) . y 1 ~--------------, • • • ---+l~x 11 tiros fuera de N dardos lanzados FIGURA 5.5.6 Blanco en el problema 84 85. Derrame de petroleo en expansion Un modelo mate- matico que puede usarse para determinar el tiempo t necesario para que un derrame de petroleo se evapore esta dado por la formula RT - I'KA(u)-P - - ,,- du, v 0 Yo donde A(u) es el area del derrame en el instante u, RT/Pv es un termino termodinamico adimensional, K es un coe- ficiente de transferencia de masa y Vo es el volumen ini- cial del derrame. a) Suponga que el derrame de petroleo se expande en forma circular cuyo radio inicial es rooYea la FIGURA 5.5.7. Si el radio r del derrame crece a razon dr/dt = C (en metros por segundo), resuelva para ten terminos de los otros sfmbolos. h) Yalores tfpicos para RT/Pv y K son 1.9 X 106 (para el tridecano) y 0.01 mm/s, respectivamente. Si C = 0.01m/s2, ro = 100 m y Vo = 10 000 m3 , determine en cuanto tiempo se evapora el petroleo. c) Use el resultado en el inciso b) para determinar al area final del derrame de petroleo. Petr6leo en el instante I FIGURA 5.5.7 Den'arne circular del petr6leo en el problema 85
316 CAPITULO 5 Integrales 86. Proyecci6n de Mercator y la integral de sec x En ter- minos generales, una mapa de Mercator es una represen- tacion de un mapa global tridimensional sobre una super- ficie tridimensional. Yea la FIGURA 5.5.8. Encuent:re y estudie el articulo "Mercator's World Map and the Calculus", Phillip M. Tuchinsky, UMAP, Unit 206, Newton, MA, 1978. Escriba un informe breve que resu- ma el articulo y por que Gerhardus Mercator (c. 1569) necesitaba el valor de la integral definida Jgosec x dx para llevar a cabo sus construcciones. 1 . . . a) Globo b) Mapa de Mercator FIGURA 5.5.8 Globo y proyeccion de Mercator en el problema g6 Revision del capitulo 5 las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-19. A. Falso/verdadero _______________________ En los problemas 1-16, indique si la afirmacion dada es falsa (F) 0 verdadera (V). 1. Sif'(x) = 3x2 + 2x, entoncesf(x) = x3 + x2 . _ _ 6 4 2. 2: (2k - 3) = 2: (2) + 1) __ k=2 j=O 40 20 3. 2:5 = 2:10 __ k = I k = I 4. rVf2+7 dt = - rVf2+7 dt __ 5. Sifes continua, entonces ff(t) dt + ff(X)dX = 0. __ 6. Sif es integrable, entoncesf es continua. __ 7. f(x - x3 ) dx es el area bajo la grafica de y = x - x3 sobre el intervalo [0, 1]. __ 8. Si ff(X) dx > 0, entonces ffCX) dx es el area bajo la grafica de f sobre [a, b]. __ a a 9. Si Pes una particion de [a, b] en 11 subintervalos, entonces 11 ---+ 00 implica Ilpll---+ 0. __ 10. Si F'(x) = 0 para toda x, entonces FCx) = C para toda x. __ 11. Sifes una funcion impar integrable sobre [-7f, 7f], entonces I:7/(X) dx = 0. __ 12. II Ixl dx = 2!IXdX __ - I 0 13. Isen x dx = cos x + C __ 14. Ix cos x dx = x sen x + cos x + C __ IS. ff'Ct) dt = feb) - f(a) __ 16. La funcion F(x) = I2x Ct + 4)e- r dt es creciente sobre el intervalo [-2,00). __ -5
Llene los espacios en blanco ____________________ B. n los problemas 1-16, llene los espacios en blanco. E Si G es una antiderivada de una funcionj; entonces G'(x) = t. f !!-rcdr = 2. dr 3. Si Jf'(r)dx = ~ (In X)2 + C, entonces f(x) = d f.x4. EI valor de dx 3 If2+5 dt en x = 1 es - -- -- 5. Si g es diferenciable, entonces !rf(t) dt = g(x) 6. !!- { VIe _I! dt = til' J,. ., . I 1 2 3 4 5 d 7. AI usar notaclOl1 sIgma, a suma '3 + 5' + '7 + 9' + IT pue e expresarse como ----- IS 8. EI valor numerico de L (3k2 - 2k) es _____ k = 1 . . f4 1 J-9. Si 1I = t2 + 1, entonces la lI1tegra1 defimda t(t2 + ])1 /3 dt se vuelve '2 U I / 3 duo 2 - 10. EI area bajo la gnifica de f(x) = 2x sobre el intervalo [0, 2] es , y el area neta COil signo entre la grafica de f(x) = 2x y el eje x sobre [-I , 2] es _____ II. Si el intervalo [1, 6] se parte en cuatro subintervalos determinados por Xo = 1, XI = 2, 1'2 = %, X3 = S YX4 = 6, la norma de la particion es _ _ ___ 12. Una partici6n de un intervalo [a, b] donde todos los subintervalos tienen el mismo ancho se denomina particion _____ 13. Si P es una particion de [0, 4] y xt es un numero en el k-esimo subintervalo, entonces lim 2:~ = I~' LlXk es la definicion de la integral definida . Por el teorema fun- 11" 11....0 damental del caJculo, el valor de esta integral definida es _____ 14. Si flex) dx = 11 y flex) dx = IS, entonces ff(X) dx = 15. L{['e-I dt} dx = y Lcfx {f'e-'dt} dx = 16. Para t > 0, el area neta con signa Lex3- x2 ) dx = 0 cuando t =_____ _ C. Ejercicios _____________________ ______ En los problemas 1-20, evalue la integral dada. II f9 6 1. e4x3 - 6x2 + 2x - 1) dx 2., r dx _I I VX 3. J(St + 1)100 dt 4. Jw2 V3w3 + 1 dw 5. r/4 o (sen 2x - S cos 4x) dx 6. I TT' sen vIZ dz 7r'/9 vIZ f(-2X2 + XI / 2) dx j"'/4 j"'/47. 8. dx + tan2 X dx -7r/4 -7r/4 Revisi6n del capitulo 5 317
318 CAPITULO 5 Integrales 9. Icot6 8x csc2 8x dx 10. Icsc 3x cot 3x dx 11. I(4x2 - 16x + 7)4(X - 2) dx 12. I(x2 + 2x - IOf/5x + 5) dx 13. dx I X2 + I Vx3 + 3x - 16 14. I x 2 + I dx x 3 + 3x - 16 15. f 4 x - --? dx o 16 + x- 16. f 4 1 - -- ? dx o 16 + x- 17. f 2 1 ------,;===:: dx o VI6 - x2 18. f 2 X dx o VI6 - x2 19. rtan lOx dx 20. Jcot lOx dx 21. Suponga que ff(X) dx = -3 y ff(X) dx = 2. Evalue ff(X) dx. 0 0 ) 22. Suponga que ffCX) dx = 2 Yrf(x) dx = -8. Evalue rf(x) dx. En los problemas 23-28, evalue 1a integral dada. 23. f3(1 + Ix-II) dx 24. fI!!.... [ lOt 4 1)2]dt o 0 dt (2t3 + 6t + {,"/2 10 t fitS sen t 2 dt25. sen . d 26.7 t '"/2 16t + 1 - I r I r[(X) dx, dond, lex) ~ {;:: x~o 27. ? dx 28. O<x~ _ I I + 3r x>1 En los problemas 29 y 30, encuentre el lfmite dado. / 1 + 2 + 3 + ... + n / 12 + 22 + 32 + ... + n? 29. lIm 30. lIm 3 11 -",00 n2 11--+00 n 31. En la FIGURA 5.R.l se muestra un cubo con las dimensiones dadas (en pies) que se llena a razon constante de dV/dt = ~ pies3 /min. Cuando t = 0, en la balanza se lee 31.2 lb. Si el agua pesa 62.4 Ib/pie3 , ~cmil es la lectura de la balanza luego de 8 minutos? ~Y cuando el cubo est,l Ileno? [Sugerencia: Yea la pagina FM-2 para 1a formula para el volumen del tronco de un cono. Tambien ignore el peso del cubo.] FIGURA 5.R.l Cubo y balanza en el problema 31 32. La torre de Hanoi es una pila de discos circulares, cada uno de los cuales es mas grande que el de arriba, colocados en un mastil. Yea la FIGURA 5.R.2. Una vez, un antiguo rey ordello que esta torre debfa construirse con discos de oro con las siguientes especificaciones: el ancho de cada disco debra ser un dedo mas grande que el del disco de arriba. EI hueco por los centros de los discos debra medir un declo de ancho de diametro, y el disco superior clebfa medir dos dedos de diametro. Suponga que el ancho de un dedo es 1.5 cm, que el oro pesa 19.3 g/cm3 y que su valor es $14 por gramo.
0) EncLientre una f6rmula para el valor del oro en la torre de Hanoi del rey si la torre tiene /I discos. b) EI numero normal de discos de oro en la torre de Hanoi es 64. l,Cual es el valor del oro ell la torre? FIGURA 5.R.2 Torre de Hanoi en el problema 32 33. Considere la funci6n uno a uno f(x) = x3 + x sobre el intervalo [I, 2] . Yea la FIGURA 5.R.3. Sin encontrarf- l , determine el valor de J f(2J r '(x)dx. ~'( I J y f(2) f(l ) -+--+--+*x J 2 FIGURA 5.R.3 Grafica para el problema 33 Revision del capitulo 5 319

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5

  • 1.
    Capitulo 5 - Integrales x Xk- 1xz Xk '------v---' III Xn _ Xn = b X~I; En este capitulo En los dos ultimos capltulos analizamos las definiciones, propiedades y apli- caciones de la derivada. Ahora pasaremos del calculo diferencial al calculo integral. Leibniz denomin6 calculus summatorius a esta segunda de las dos divisiones mas importantes del calculo. En 1696, persuadido par el matematico suizo Johann Bernoulli, Leibniz cambi6 el nom- bre a calculus integralis. Como sugieren las palabras latinas originales, el concepto de suma desempena un papel importante en 81 desarrollo completo de la integral. En el capitulo 2 vimos que el problema de la tangente conduce de manera natural a la derivada de una funci6n. En el problema de area, el problema motivacional del calculo integral, deseamos encontrar el area acotada por la gratica de una funci6n y el eje x. Este problema lIeva al concepto de integral definida. 5.1 La integral indefinida 5.2 Integracion par sustitucion u 5.3 EI problema de area 5.4 La integral definida 5.5 Teorema fundamental del calculo Revision del capitulo 5 267
  • 2.
    268 CAPITULO 5Integrales 5.1 La integral indefinida I Introduccion En los capftulos 3 y 4 solo abordamos el problema basico: • Dada una funcion.f: encontrar su derivadaf'. En este capItulo y en los subsecuentes veremos cuan importante es el problema de: • Dada una funcionf, encontrar una funcion F cuya derivada sea! En otras palabras, para una funcion dadaf, ahora pensamos enfcomo una derivada. Desearnos encontrar una funcion F cuya derivada seaf; es decir, F'(x) = f(x) para toda x en algun interva_ 10. Planteado en terminos generales, es necesario diferenciar en reversa. Empezamos con una definicion. Definicion 5.1.1 Antiderivada Se dice que un funcion F es una antiderivada de una funcion f sobre algun intervalo I si F '(x) =f(x) para toda x en 1. Ij):@4(.1' Una antiderivada Una antiderivada def(x) = 2x es F(x) = x2 , puesto que F'(x) = 2x. • Una funcion siempre tiene mas de una antiderivada. As!, en el ejemplo anterior, F(x) = x2 - I Y F2(x) = x 2 + 10 tambien son antiderivadas de f(x) = 2x, puesto que Fi(x) = F 2(x) = 2x. A continuaci6n del11ostraremos que cualquier antiderivada de f debe ser de la forma G(x) = F(x) + C; es decir, dos antiderivadas de La misma funci6n pueden diferir a 10 mas ell una constante. Por tanto, F(x) + C es La antiderivada mas generaL def(x). Teorema 5.1.1 Las antiderivadas difieren 120r una constante Si G'(x) = F'(x) para toda x en algun intervalo [a, b], entonces G(x) = F(x) + C para toda x en el intervalo. DEMOSTRACION Suponga que se define g(x) = G(x) - F(x). Entonces, puesto que G'(x) = F'(x) , se concluye que g'(x) = G'(x) - F'(x) = 0 para toda x en [a, b]. Si x YX2 son dos nume- ros cualesquiera que satisfacen a ::; x < X2 ::; b, por el teorema del valor medio (teorema 4.4.2) se concluye que en el intervalo abierto (x, X2) existe un nUl11ero k para el cLlal o Pero g'(x) = 0 para toda x en [a, b]; en particular, g'(k) = O. Por tanto, g(X2) - g(x) = 0 0 g(X2) = g(x). Luego, por hipotesis, x YX2 son dos nUl11eros arbitrarios, pero diferentes, en el intervalo. Puesto que los valores funcionales g(x) y g(X2) son iguales, debe concluirse que la funcion g(x) es una constante C. Por tanto, g(x) = C il11plica G(x) - F(x) = C 0 G(x) == F(x) + C. •
  • 3.
    La nOlacion F(x)+ C representa una fanlilia de funciones; cada miembro tiene una deriva- , i"ual a/(.I"), Volviendo al ejemplo I, la antiderivada mas general de f(x) = 2x es la familia ~~.r)c=o r" + C. Como se ;~ en la F~GURA 5.1.1, la grafica de la antiderivada de f(x) = 2x es una 'l'IL'i6n vertical de la graflca de x .tra~ , 1!1@IQon Antiderivadas mas generales a) Una antiderivada de f(x) = 2x + 5 es F(x) = x2 + Sx puesto que F'(x) = 2x + S. La antiderivada mas general def(x) = 2x + 5 es F(x) = x2 + Sx + C. b ) Una antiderivada def(x) = sec2 x es F(x) = tan x puesto que F'(X) = sec2 x. La antide- rivada mas general de f(x) = sec2 x es F(x) = tan x + C. • I Notaci6n de la integral indefinida Por conveniencia, se introducira la notacion para una anti- derivada de una funcion, Si F'(X) = f(x) , la antiderivada mas general de f se representa por ffCX) dx = F(x) + c. EI sfmbolo J fue introducido por Leibniz y se denomina signo integral. La notacion Jf(x) dx se denomina integral indefinida def(x) respecto a x. La funcionf(x) se denomina integrando. EI proceso de encontrar una antiderivada se denomina antidiferenciacion 0 integracion. El numero C se denomina constante de integracion. Justo como !()denota la operacion de dife- renciacion de ( ) con respecto a x, el simbolismo J( )dx denota la operacion de integracion de ( ) COI1 respecto a x. La diferenciacion y la integracion son fundamentalmente operaciones inversas. Si Jf(x) dx = F(x) + C, entonces F es la antiderivada de f; es decir, F'(x) = f(x) y asi f F'(x) dx = F(x) + C. (1) Ademas, df ddx f(x) dx = dx (F(x) + C) = F'(x) = f(x) (2) En palabras, (1) Y(2) son, respectivamente: • Una antiderivada de Ja derivada de una funcion es esa funcion mas una constante. • La derivada de una antiderivada de una funcion es esa funcion. A partir de 10 anterior se concluye que siempre que se obtiene la derivada de una funcion, al mismo tiempo se obtiene una formula de integracion. Por ejemplo, debido a (1), si d xl/ + I - - -==xll dx n + 1 d 1 - Inlxl = - dx x d dx sen x = cos x d 1 - tan- I x = --- dx 1 + x2 entonces f d xl/+ I f X,, +I dx n + 1 dx = x" dx = ;+I + C, entonces f !lnlx l dx= f~dx=lnlxl+C' entonces f !sen x dx = Jcos x dx = sen x + C, entonces f !!... tan- Ix dx = f __l - dx = tan- I x + C. dx J + x2 De esta manera es posible construir una formula de integracion a partir de cada formula de derivada. En la TABLA 5.1.1 se resumen algunas formulas de derivadas importantes para las funcio- nes que se han estudiado hasta el momento, asi como sus formulas de integracion analogas. 5.1 La integral indefinida 269 FIGURA 5.1 .1 Algunos miembros de la familia de antiderivadas de f(x) = 2x <III Este primer resultado s610 es valido si II * - 1.
  • 4.
    270 CAPITULO 5Integrales d l. dx x=1 F6rmula de integraci6n JdX=X+C d _I _ 1 10. -d sen x - , ~ x vi - x 2 F6rmula de integraci6n I 1 d - I , ~ X = sen x + C vi - x2 d X"+ I J X" + I 2. - - - = xl/(n oF - 1) x"dx = - - + C dxn+l 11+1 11 d - I 1• - tan x = --- dx 1 + x 2 1__1 - 2 dx = tan-I x + C l+x d 1 3. - Inlxl = - dx x 4 d . dx sen x = cos x d 5. dx cos x = - sen x d 6. dx tan x = sec 2 x d 7. -dx cot x = - csc 2 X d 8. dx sec x = sec x tan x J~dX = Inlxl + C J cos x dx = sen x + C Isen x dx = - cos x + C Isec2 x dx = tan x + C Icsc2 X dx = -cot x + C Isec x tan x dx = sec x + C d _ I _ 1 12. -d _sec x - , ~ x IxlV x " - 1 13. ull F = bX(ln b), GX (b > 0, b oF 1) 14. ! eX = eX d 15. dx senh x = cosh x d 16. -I cosh x = senh x GX I~ dx = sec- I[x[ + C x x2 - 1 I bX bXdx = - + C Inb IeXdx = eX+ C Icosh x dx = senh x + C Isenh x dx = cosh x + C 9. ! esc x = - esc x cot x Iesc x cot x dx = -esc x + C Con respecto a la entrada 3 de la tabla 5.1.1, es cierto que las f6rmulas de derivadas .iL In x = 1.. d I d 10gbx dxlnlxl =~, dx ~ xdx x' significan que una antiderivada de l / x = X - I puede tomarse como In x, x > 0, In lxl, x -:f- 0, a 10gb x/ In b, x > O. Pero como resultado mas general y util escribimos I~dx = In lx l + C. Observe tambien que en la tabla 5.1.1 s6lo se proporcionan tres f6rmulas que implican funcio- nes trigonometricas inversas. Esto se debe a que, en forma de integral indefinida, las tres f6rmu- las restantes son redundantes. Por ejemplo, de las derivadas d _ I 1 - sen x = dx ~ observamos que es posible tomar Ih dx = sen- I x + C 1 - x2 y o d _ I - 1 - cos x = dx ~ Ih dx = -COS- I X + C. 1 - x2 Observaciones semejantes se cumplen para la cotangente inversa y la cosecante inversa. U!JiMQ!'.' Una antiderivada simple pero importante La f6rmula de integraci6n en la entrada 1 en la tabla 5.1.1 se inc1uye para recalcar: J dx = I1 . dx = x + C ya que !(x + C) = 1 + 0 = 1. Este resultado tambien puede obtenerse a partir de la f6rmula de integraci6n 2 de la tabla S.!.I con n = O. • A menudo es necesario volver a escribir el integrandof(x) antes de realizar la integraci6n.
  • 5.
    dl§MR!....e C6mo volvera escribir un integrando Evaluc a) LI,dx y b) IvX dx. Solucio n ·b· II S - 5·d ·f· 5 I t·, I d . ., 2a) Al volver a escn Ir X" como x e 1 entl lcar n = - , por a ormu a e 1I1tegraclOn de la tabla 5.1.1 tenemos: Ix-5dx = X -H I + C = _x- 4 + C = __1_ + C. -5 + 1 4 4X4 b) Primero volvemos a escribir el radical vX como XI / 2 y luego se usa la formula de inte- gracion 2 de la tabla 5.1.1 con n = ~: I x3/2 2 XI /2 d,x = ~/2 + C = 3"X 3/2 + C. • Debe tomarse en cuenta que los resuLtados de La integraci6n siempre pueden comprobarse por diferenciaci6n; por ejemplo, en el inciso b) del ejemplo 4: .!i(lx3/2+ c) = l.lx3/2 - 1 = X I/2 = vX ~ 3 3 2 · En el siguiente teorema se proporcionan algunas propiedades de la integral indefinida. Teorema 5.1.2 Propiedades de la integral indefinida Sean F'(x) = f(x) YG'(x) = g(x). Entonces i) f kj(x) dx = k ff(X) dx = kF(x) + C, donde k es cualquier constante, ii) f [f(x) ::!:: g(x) ]dx = f f(x) dx ::!:: Ig(x) dx = F(x) ::!:: G(x) + C. Estas propiedades se concluyen de inmediato a partir de las propiedades de la derivada. Por ejemplo, ii) es una consecuencia del hecho de que la derivada de una suma es la suma de las deri- vadas. Observe en el teorema 5.1.2ii) que no hay razon para usar dos constantes de integracion, puesto que I[f(x) ::!:: g(x)] dx = (F(x) + C1) ::!:: (G(x) + C2) = F(x) ::!:: G(x) + (CI ::!:: C2) = F(x) ::!:: G(x) + C, donde CI ::!:: C2 se ha sustituido por la simple constante C. Una integral indefinida de cualquier suma infinita de funciones la podemos obtener al inte- grar cada termino. D@t!lgr'''j Uso del teorema 5.1.2 Evallie f (4x - ~ + 5 sen x) ~. Soluci6n Por los incisos i) y ii) del teorema 5.1.2, esta integral indefinida puede escribirse como tres integrales: I(4x - ~ + 5 sen x) dx = 4 f x dx - 2 I~ dx + 5 f sen x dx. 5.1 La integral indefinida 271
  • 6.
    272 CAPITULO5 Integrales Siel concepto de comlln deno- lllinador (/ b a + b -+ - = - - c c c se Ice de derecha a izquierda, se est, realizando " division termino porterl1lin o". Debido a las f6rmulas de integraci6n 2, 3 y 5 en la tabla 5.1.1 , entonces tenemos I(4X - ~ + 5 sen x)d.x = 4· ~;2 - 2 . In Ixl + 5 . (-cos x) + C = 2X2 - 2 In Ix I - 5 cos x + C. • I Uso de la division Escribir un integrando en forma mas manejable algunas veces conlleva a una divisi6n. La idea se ilustra con los dos ejemplos siguientes. '!I3~IQ!"iI Divisi6n terminG por terminG I6x3 - 5 Evalue x dx. ~ Solncion Por la divisi6n termino por termino, el teorema 5.1.2 y las f6rmulas de integraci6n 2 y 3 de la tabla 5.1.1 tenemos: I6x 3 x- 5 dx = I(6;3- ~) dx = I(6X2 - ~) dx = 6· ;3-5· Inlxl + C = 2x3 - 51nlxl + C. • Para resolver el problema de evaluar ff(x) dx, dondef(x) = p(x)/ q(x) es una funci6n racio- nal, a continuaci6n se resume una regia practica que debe tomarse en cuenta en esta subsecci6n y en la subsecci6n subsecuente. Integraci6n de una funci6n racional Suponga que f(x) = p(x)/q(x) es una funci6n racional. Si el grado de la funci6n poli- nomiai p(x) es mayor que 0 igual al grado de la funci6n polinomial q(x), use divisi6n larga antes de integrar; es decir, escriba p(x) . . rex) - ( ) = un pOill10mlO + - ( )'qx qx donde el grado del polinomio rex) es menor que el grado de q(x). U!!3MQ!.WJ Divisi6n larga J X2 Evalue - - -2 dx. I+x Solncion Puesto que el grado del numerador del integrando es igual al grado del denominador, se efectua la divisi6n larga: x2 - - =1 - - - 1 + x2 1 + x2 ' Por ii) del teorema 5.1 .2 Ylas f6rmulas de integraci6n 1 y 11 en ia tabla 5.1. 1 obtenemos J~ dx = J(l -__1_7) d.x = x - tan- Ix + C. 1 + x2 I + x- • I Ecuaciones diferenciales En varios conjuntos de ejercicios en el capitulo 3 se pideicompro- bar que una funci6n dada satisface una ecnacion diferenciaI. En terminos generales, una ecua- ci6n diferencial es una ecuaci6n que implica las derivadas 0 el diferencial de una funci6n desco- nocida. Las ecuaciones diferenciales se clasifican segun el orden de la derivada mas alta que
  • 7.
    .. , en1<1 eeuacion. EI objetivo consiste en resolver eeuaciones diferenciales. Una ecuacion apalCll: . diferencial de pruner orden de la forma dy dx = g(x) pueae resolverse usando integracion indefinida. Por (1) se ve que f(:)dx = y. Asi. la solueion de (3) es la antiderivada mas general de g; es decir, y = fg(x) dx. eMilY!":' Resoluci6n de una ecuaci6n diferencial (3) (4) Encuentre una funcion y =f(x) cuya grafiea pase por el punto (1 , 2) Ytambien satisfaga la ecua- cion diferencial dy/dx = 3x 2 - 3. Solucion Por (3) y (4) se concluye que si dy ? - = 3x- - 3 dx entonees y = f (3x2 - 3)dx. Es decir, y = f (3x2 - 3)dx = 3· ;3-3 · x + C o bien, ' = x3 - 3x + C. As!, euando x = 1, y = 2, de modo que 2 = I - 3 + Co C = 4. Por tanto, -" = x3 - 3x + 4. Entonees, de la familia de antiderivadas de 3x2 - 3 que se muestra en la FIGURA5.1.2, se ve que solo hay una euya grafica (mostrada en rojo) que pasa por (l , 2). • Al resolver una eeuaeion difereneial como dy/dx = 3x2 - 3 en el ejemplo 8, la eondiei6n lateral espeeifieada de que la grafiea pase por (I, 2), es decir,f(l) = 2, se denomina condicion inicial. Una condicion inicial como esta suele escribirse como y(l) = 2. La solucion y = x3 - 3x + 4 que fue determinada por la familia de soluciones y = x 3 - 3x + C por la condicion inicial se denomina solucion particular. EI problema de resolver (3) sujeto a una condicion ini- cial, dy dx = g(x), se denomina problema con valor inicial. Observamos que una ecuacion diferencial de orden n-esimo de la forma d"y/dx" = g(x) plIede resolverse al integrar n veces eonseeutivas la funeion g(x). En este easo, la familia de solu- ciones eontiene n eonstantes de integraeion. U1MJ!Q!'I!' Resoluci6n de una ecuaci6n diferencial d 2 y EnCllentre una funeion y = f(x) tal que - = l. dx2 Solucion La ecuaeion difereneial dada se integra dos veees eonseeutivas. Con la primera inte- gracion se obtiene dy = fd.2~ dx = fl. dx = x + c1• dx dx- Can la segunda integraeion se obtiene y = f(x) : • 5.1 La integral illdefinida 273 FIGURA 5.1.2 La curva roja es la grafica de la soluci6n del problema en el ejemplo 8
  • 8.
    274 CAPiTULO5 Integrales fNOTAS DESDE EL AULA ..................................................................................................................................................................... A menudo, a los estudiantes se les dificulta mas calcular antiderivadas que derivadas. Do~'" palabras de advertencia. Primero, debe tenerse mucho cuidado con el procedimiento algebrai_ co, especialmente con las leyes de los exponentes. La seguncla advertencia ya se ha plantea_ do, aunque vale la pena repetirla: tenga en cuenta que los resultados de la integraci6n indeli_ nida siempre pueden comprobarse. En un cuestionario 0 en un examen vale la pena que cledique unos minutos de su valioso tiempo para comprobar su respuesta al tomar la deriva_ da. A veces esto puede hacerse mentalmente. POl' ejemplo, inlegracion [ A- .. ICE dX =li~~s comprucbe pOl' dii'erenciacion Ejercicios 5.1 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-1B. =Fundamentos I (8x + I - ge X ) dx I (15x- 1- 4 senh x) dx27. 28. En los problemas 1-30, evalue la integral indefinida dacla. 1. I 3 dx 2. I (7T2- 1) dx 29. I 2x 3 - x 2 + ~x + 4 dx 30. I x 6 - --2 dx I + x- l + x 3. I x 5 dx 4. I 5X1/4dx En los problemas 31 y 32, use una identiclad trigonometrica para evaluar la integral indefinida clada. 5. I+dX Vx 6. I Vx2 dx 31. I tan 2 x dx 32. I cos 2 1dx 7. I (1 - [ - 052) dt 8. I lOwVw dw En los problemas 33-40, use cliferenciacion y la regIa de la cadena para comprobar el resultaclo cle integracion dado. I (3x2 + 2x - 1) dx I (2Vi - t - :2) dt 33. I ~ dX = v'2X+T + C9. 10. 2x + 1 11. I vX(x2 - 2) dx 12. I ( 5 2 ) 34. I (2x2 - 4x)9(x - 1) dx = J...(2x2 - 4X)10 + C --+-- ds 40 Vs2 w I cos 4x dx = ±sen 4x + C I (4x + 1)2dx I(vX-l)2C!x 35. 13. 14. I I ? I(4W - I?dW I (5u - 1)(3u3 + 2) du 36. sen x cos x dx = '2sen- x + C 15. 16. I ? I ? I r2 - lOr + 4 rx + 1)2 37. x sen x- dx = - '2cos x- + C 17. 3 dr 18. vX dxr I cos x dx = I X-I - XX-22 + x- 3 dx I t 3 - 8t + 1 dt 38. 2 sen2x + c 19. 20. sen3 x (2t)4 I In x dx = XIn x - x + C I(4 senx - 1 + 8x- 5 )dx I(-3 cos x + 4 sec2 x) dx 39. 21. 22. 40. I xe' dx = xeX - eX + C I csc x(csc x - cot x) dx I sen t dt23. 24. cos2 t En los problemas 41 y 42, efectue las operaciones indicadas. 25. I2 + 3 sen 2 x dx sen2x 26. I(40 - _ 2 )de sec e 41. c~ I (x 2 - 4x + 5) dx 42. I 1(x2 - 4x + 5) dx
  • 9.
    I . 11rohlcmas 43-48,resuelva la ecuaci6n diferencial dada. En os til' (. 2 + 9 43. -'- == 1. dl dV 44. -=- = lOx + 3vX dx dr 46. dy (2 + X )2 45. - - , dx X S dl .r- dr - 2x + sen x 48. dy 47. - - I dx ? d.1 cos- X 49. Encuentre una funci6n y = f(x) cuya gnifica pase por el punta (2, 3) y que tambien satisfaga la ecuaci6n diferen- cial dl'/dx = 2x - 1. 50. Encuentre una funci6n y = f(x) de modo quel dy/ dx = I/V;: Yj(9) = 1. 51. Si f"(x) = 2x, encuentre1'(x) y f(x). 52. Encuentre una funci6nftal quef"(x) = 6,1'(- 1) = 2 Y /(- 1)=0. 53. Encuentre una funci6nftal quef"(x) = 12x2 + 2 para la cualla pendiente de la recta tangente a su grafica en (1, I) es 3. 54. Sill/I(x) = 0, l,cmll esf? En los problemas 55 y 56, la grafica de la funci6n f se mues- tra en azul. De las gnificas de las funciones F, G y H cuyas gn:ificas se muestran en negro, verde y rojo, respectivamente, i,cual funci6n es la grafica de una antiderivada de f? Jus- titiqlle su razonamiento. 55. 56. F FIG URA 5.1.3 Gnlficas para el problema 55 H y = f(x) --- FI GURA 5.1.4 Graficas para el problema 56 =Aplicaciones 57. Un cubo que contiene un Uquido gira alrededor de un eje vertical a velocidad angular constante w. La forma de la 5.1 La integral indefinida 275 secci6n transversal del Jfqllido giratorio en el plano xy esta determinada por dy w2 - =-x dx g ' Con ejes de coordenadas como se muestra en la FIGURA 5.1.5, encuentre y =j(x). FIGURA 5.1.5 Cubo en el problema 57 58. Los extremos de una viga de longitud L estan sobre dos soportes como se muestra en la FIGURA 5. 1.6. Con una carga uniforme sobre la viga, su forma (0 curva elastica) esta determinada a partir de donde E, I Y q son constantes. Encllentre y = f (x) si f(O) = 0 y1'(L/ 2) = o. 1= viaa / b it -zs: ) x f+-I·--L - - ·I FIGURA 5.1.6 Viga en el problema 58 =Piense en ella En los problemas 59 y 60, determine f 59. ff(X) dx = In llnxl + C 60. ff(x) dx = x2 e' - 2xeX + 2eX + C 61. Encuentre una funci6n f tal que f'(x) = x2 Yy = 4x + 7 sea una recta tangente a la grafica de f 62. Simplifique la expresi6n e4Jdx/x tanto como sea posible. 63. Determine cmU de los dos resultados siguientes es co- rrecto: o 64. Dado que ! sen TTX = 7T cos 7TX, encuentre una antideri- vada F de COS7TX que tenga la propiedad de que Fm= O.
  • 10.
    276 CAPITULO5 Integrales 5.2Integracion por sustitucion u I Introduccion En la ultima seccion se analizo el hecho de que para cada f6rmula para la deri- vada de una funcion hay una formula de antiderivada 0 integral indefinida correspondiente. Por ejemplo, al interpretar cada una de las funciones x" (n '* -1), y cos x como una antiderivada, se encuentra que la "reversa de la derivada" correspondiente es una fami- lia de antiderivadas: J x"+ 1 x"dx= - - + C n + 1 (n '* - 1), J~dx = In lx l + C, Jcos x dx = sen x + C. ( I) . I ., ) ..... En la siguiente exposicion se analiza la "reversa de la regia de la cadena". En este amllisis el R e'l se a SCCC IOIl 4( .... . • . / . ' concepto de dlferencml de una funclOn desempena un papel Importante. Recuerde que si u == g(x) es una funci6n diferenciable, entonces su diferencial es du = g'(x) dx. Se empieza con un ejemplo. I Potencia de una funcion Si deseamos encontrar una funcion F tal que J(5x + 1)1/2 dx = F(x) + C, debemos tener F'(x) = (5x + 1)1/2. Al razonar "hacia atras", podemos argumentar que para obtener (5x + 1)1/2 necesitamos haber diferenciado (5x + 1)3/2. Entonces, pareceria que es posible proceder como en la primera formu- la en (1); a saber: incrementar la potencia por 1 y dividir entre la nueva potencia: J (5x + 1)3/2 2 (5x + 1)1/2dx = + C = - (5x + 1)3/2 + c. (2) 3/ 2 3 Lamentablemente, la "respuesta" en (2) no concuerda, puesto que con la regIa de la cadena, en la forma de la regIa de potencias para funciones, se obtiene !!..-[l(5X + 1)3/2 + c] = l.2(5x + 1)1/2 . 5 = 5(5x + 1)1/2 '* (5x + 1)1/2 (3) d.x3 32 . Para tomar en cuenta el factor 5 faltante en (2) usamos el teorema 5.1.2i) y un poco de pel's- picacia: J(5x + 1)1/2 dx = J(5x + 1)1/2[ ] dx ..... ~ = I = tJ!c5x + J)1 /2 51 dx ..... deri vacla de ~(5X + I)' ~ 1 2 = '5' '3(5x + 1)3/2 + C ..... pOi (3 ) = 1 2 5 (5x + 1?/2 + c. Ahora, usted debe comprobar por diferenciaci6n que la ultima funci6n es, en efecto, una antide- rivada de (Sx + 1)1/2. La clave para evaluar integrales indefinidas como J(5x + 1)1/2 dx, y Jsen lOx dx (4) reside en el reconocimiento de que los integrandos en (4), x y sen lOx son resultado de diferenciar una funci6n compuesta por medio de la regIa de la cadena. Para hacer este reconocimiento es uti! realizar una sustituci6n en una integral indefinida.
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    Teorema 5.2.1 Rela de la sustituci6n u Si II 0= g (x) es una funci6n diferenciable cuyo rango es un interva[o I,f es una funci6n con- tinua sobre I y F es una antiderivada de f sobre I, entonces f fC(?(X»g'(X) dx = f fCU) duo (5) DEMOSTRACION Por ia regia de la cadena, (,1' F(g(x» = F '(g (x»g'(x) (,x y cntonces por la definici6n de antiderivada tenemos f F'(g(x»g'(x) dx = F(g(x» + C. 5.2 Integraci6n par sustituci6n u 277 puesto que F es un antiderivada de j; es decir, si F' =,f, entonces la lfnea precedente se vuelve f f(g(X»g'(X) dx = F(g(x» + C = F (u) + C = f F '(u) dL! = f f(U) duo (6) . La interpretaci6n del resultado en (6) y su resumen en (5) es sutil. En la secci6n 5.1, el slm- bolo dx se us6 simplemente como un indicador de que la integraci6n es con respecto a la varia- ble x. En (6) observamos que es permisible interpretar dx y du como d(ferenciales. I Usode la sustituci6n u La idea basica consiste en poder reconocer una integral indefinida en una variable x (como [a proporcionada en (4» que sea la reversa de la regia de la cadena al con- verti rla en una integral indeflllida diferente en la variable it por medio de la sustituci6n u = g(x). Par conveniencia, a continuaci6n se enumeran algunas directrices para evaluar f f(g(x»g'(x) dx al efectuar una sustituci6n u. Directrices para efectuar una sustituci6n u i) En la integral ff(g(x»g'(x) dx identifique las funciones g(x) y g'(x ) dx. ii) Exprese la integral totalmente en tenninos del slmbolo u al sustituir u y du por g(x ) y g'(x) dx respectivamente. En su sustituci6n no debe haber variables x; dejelas en la integral. iii) Efectue la integraci6n con respecto a la variable u. iv) Finalmente, vuelva a sustituir g(x) por el sfmbolo u. Integral indefinida de la patencia de una funci6n La derivada de la potencia de una funci6n era un caso especial de la regia de la cadena. Recuerde que si F(x) = x" +I/ (n + 1), donde 11 es un numero real, n =1= -1 y si u = g(x) es una funci6n diferenciable, entonces [ g(X) ] " + I F(g(x» = n + 1 y d -d F(g(x» = [ g(X)]"g'(X). x Entonces, por el teorema 5.2. 1 de inmediato se deduce que f [ g(X) ]" +1 [ g(x) ]"g'(x) dx = [ + C. 11 + En terminos de sustituciones u = g(x) (7) puede resllmirse como sigue: y du = g'(x) dx, f U"+I u"du = ~ + C, En el siguiente ejemplo se evalua la segunda de las tres integrales indefinidas en (4). (7) (8)
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    278 CAPITULO 5Integrales 'i!§Ml4!.I' Usa de (8) Evalue J 2 X 6 dx. (4x + 3) -- Solucion La integral vuelve a escribirse como y se hace la identificaci6n u = 4x2 + 3 y du = 8xdx. Luego, para obtener la forma precisa f u- 6 du es necesario ajustar el integrando al multiplicar y dividir entre 8: (f ~() till J I J~-------(4x2 + 3)-6X dx = "8 (4x2 + 3)-6 (8x elx) = ~Ju- 6 elu = !. u- 5 + C 8 -5 <- slistitlicion <- ahora lise (8) = -;0(4x2 + 3)- 5 + C. <- Olr<l Slistilllcion Comprobacion por diferenciacion: Por Ja regIa de potencias para funciones, ![-;0(4x 2 + 3)-5 + c] = ( - 4 1 0)( - 5)(4x 2 + 3)- 6(8x) = (4x2 : 3t • 'ili@ij!••J Usa de (8) Evalue J(2x - 5)II dx. Solucion Si u = 2x - 5, entonces du = 2 dx. La integral se ajusta al multiplicar y dividir entre 2 para obtener la forma correcta de la diferencial elu: J IJ~~(2x - 5)11 dx ="2 (2x - 5)11 (2 elx) <- Slistitllci6n = ~Ju11elu <- ahorallsc(8) 1 U l2 ="2'12+ C = ~(2x - 5)12 + C <- otra SlIslitlicion 24 . • En los ejemplos 1 y 2, el integrando se "arregI6" 0 ajust6 al multiplicar y dividir por una constante a fin de obtener la elu id6nea. Este procedimiento funciona bien si de inmediato se reconoce g(x) en ff(g(x))g'(x) dx y que a g'(x) dx simplemente Ie falta un multiplo constante id6- neo. EI siguiente ejemplo ilustra una tecnica algo diferente. 'iliMIij!.W' Usa de (8) Evahie Jcos 4 x sen x dx. Solucion Para recalcar, volvemos a escribir el integrando como f (cos X)4 sen x dx. Una vez que se hace la identificaci6n u = cos x, se obtiene elu = -sen x dx. Al despejar el producto sen x elx de la ultima diferencial obtenemos sen x dx = -duo Luego,
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    5.2 Integraci6n parsustituci6n u 279 I(cos xt sen x dx = I~(~) <- SLislilLicitill -Iu 4 du <- ailora Lise (~) US - 5+ C 1 --cossx + C5 . +- otra sllsrilucioll De nuevo, se solicita que ellector diferencie el ultimo resultado. • En los ejemplos que restan en esta secci6n se alternani entre los metodos empleados en los ejemplos I Y3. En un nivel pnictico no siempre es evidente que se esta tratando con una integral de la forma J[g(x) J"g'(X) dx. Cuando trabaje cada vez mas problemas, observara que las integrales no siem- pre son 10 que parecen a primera vista. Por ejemplo, usted debe convencerse de que al usar sus- tituciones en u la integral f cos2 x dx no es de la forma f [g(x) lng,(x) dx. En un sentido mas gene- ral, en ff(g(x))g'(x) dx no siempre es evidente que funciones deben escogerse como u y duo I Integrales indefinidas de funciones trigonometricas Si u = g(x) es una funci6n diferencia- ble, entonces las f6rmulas de diferenciaci6n d du dx senu = cosu dx y d du - (- cos u) = senu- dx dx conducen, a su vez, a las f6rmulas de integraci6n I du cosu dx dx = senu + C y I du senu dx dx = -cosu + C. Puesto que du = g'(x) dx = ~: dx, (9) y (10) son, respectivamente, equivalentes a Icosu du = senu + c, Isenu du = -cosu + c. 1+l3mag.M' Usa de (11) Evalue Icos 2x dx. Solucion Si u = 2x, entonces du = 2 dx Yd.x = ~ duo En consecuencia, escribimos I I II ldll cos 2x dx = cos 2x (dx) <- sllstilLiCitill = ~Icos u du <- ailora lise ( I I) 1 = 2'sen u + C 1 = 2'sen 2x + C. <- (lIra slIslilllcion (9) (10) (11) (12) •
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    280 CAPITULO 5Integrales Las f6rmulas de integraci6n (8), (11) Y(12) son los amllogos de la regIa de la cadena de las f6rmulas de integraci6n 2, 4 Y5 en la tabla 5.1.1. En la tabla 5.2.1 que se muestra a continua_ ci6n se resumen los amllogos de la regia de la cadena de las J6 f6rmulas de integraci6n de la tabla 5.1.1. F6rmulas de 1. Idu = u + C 2. I U" + l u"du = - - + C n + 1 (n 3. I1 du = In IuI + C 4. Icos u du = sen u + C u s. Isen u du = -cos u + C 6. Isec2 u du = tan u + C 7. Icsc2 du = -cot u + C 8. Isec u tan u du = sec u + 9. Iesc ucot u du = -esc u + C 10. I~dU = sen~l u 1 - u2 11. I__l_2 du = tan~l u + C 12. I ~ du = sec~llu1 + u U u2 - 1 13. I b lt H'du = -- + C In b 14. Ie" du = elf + C 15. Icosh u du = senh u + C 16. Isenh U du = cosh u + C En otros libros de texto, f6rmulas como 3, 10, 11 Y12 en la tabla 5.2.1 suelen escribirse con el diferencial du como numerador: IdU, u I du ~' I du 7 ' 1 + u- I du uW-=-!' Pero como a 10 largo del tiempo hemos encontrado que estas ultimas f6rmulas a menudo se malinterpretan en un entorno de aula, aquf se prefieren las formas proporcionadas en la tabla. U!!MJlij!.4j Usa de la tabla 5.2.1 Evalue Isec2 (l - 4x) dx. Solucion Reconocemos que la integral indefinida tiene la forma de la f6rmula de integraci6n 6 en la tabla 5.2.1. Si u = 1 - 4x, entonces du = -4 dx. Ajustar el integrando para obtener la forma correcta de la diferencial requiere multiplicar y dividir entre -4: 1I ?-4 sec- u du <- formula 6 en la tab la 5.2.1 1 -4tan u + C 1 -4tan(1 - 4x) + C. •
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    5.2 Integraci6n parsustituci6n u 281 d1#IQ!'~ Usa de la tabla 5.2.1 r c" ~ dx. Evaluc . .r ' + 5 1 ? 2 1 Solucio" Si u = x + 5, entonces du = 3[ dx Yx dx = 3 duo Por tanto, J~ dx = J-3_1_ (x2 dx) x + 5 x + 5 = lJ1du 3 u 1 = 31nIu I + C <- forl11u la 3 ell la tabla 5.2 .I • dI3W!'.' Vuelta a escribir y usa de la tabla 5.2.1 Evalue J I -2 dx. I + e x Solucio" La integral dada no se ve como ninguna de las formulas de integracion en la tabla 5.2. 1. No obstante, si el numerador y el denominador se multiplican por e2x , obtenemos J 1 J e 2x - - - ? - dx = 2 dx. l+e--x eX+l Si II = e"l + 1, entonces du = 2e2x dx, de modo que por la formula 3 de la tabla 5.2.1, J 1 dx=lJ 1 (2e2X dx) I + e-2x 2 e2x + 1 = lJ1du 2 u 1 = "21nlul + C = ~ln(e2X + 1) + C. Observe que el sfmbolo de valor absoluto puede eliminarse porque e2x + valores de X. 1¥I3MQ!.':i Usa de la tabla 5.2.1 Evalue Je5x dx. Solucion Sea u = 5x de modo que du = 5 dx. Entonces J e 5x dx = tJ e 5X (5 dx) = tJe" du +--- fonnula 14 ell la tabl a S.2.I 1 = -e" + C 5 = le5x + C5 . D1MIIQI••, Usa de la tabla 5.2.1 J e4jx Evalue 7 dx. > 0 para todos los • • Solucion Si hacemos u = 4/x, entonces du = (-4/x2 ) dx y (1/x2 ) dx = -±duo
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    282 CAPITULO5 Integrales Denuevo a partir de la f6rmula 14 de la tabla 5.2. 1 observamos que 'JI3MQ!e'[" Usa de la tabla 5.2.1 I Ctan- Ix)2 EvalUe 2 dx. 1 + x ~±Ie"du ~l.e" + C 4 ~±e4/X + C. • Solucion Como en el ejemplo 7, a primera vista la integral dada no se ve como ninguna de las f6rmulas en la tabla 5.2.1. Pero si la sustituci6n u se intenta can u = tan-I x y du = _~l _ dx I + x" 'entonces 'ii!!I3MQ!e'" Usa de la tabla 5.2.1 EvalUe IV I dx. 100 ~ x2 Iu2 du <-- 1'6nll ula 2 en la tabla 5.2. 1 3 =~+c 3 = ~Ctan- IX)3 + c. • Solucion Al factorizar 100 del radical e identificar u = I~x Y du = 110 dx, el resultado se obtiene a partir de la f6rmula 10 de la tabla 5.2.1: - I X + C= sen 10 . • I Tres formulas alternas Por razones de conveniencia, las f6rmulas de integraci6n 10, 11 Y 12 en la tabla 5.2.1 se extienden como sigue. Para a > 0, I I d - I U V U = sen ~ + C a2 ~ u2 a (1 3) I I I - I u " 2 du = ~ tan ~ + C a- + u a a (1 4) (1 5)
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    5.2 Integraci6n parsustituci6n u 283 , '1 adqui ri r pnlctica, compruebe estos resultados por diferenciaci6n. Observe que la integral r~~~tjnida en el ejemplo II puede evaluarse nipidamente al identificar u = x y a = 10 en (13). I Integrales trigonometricas especiales Las f6rmulas de integraci6n que se proporcionan en 'e(Tuida, que relacionan algunas funciones trigonometricas con el logaritmo natural, a menudo ~c~rren en la pnictica, por 10 que merecen atenci6n especial: Jtan x dx = -inlcos x l + C (16) <III En lablas de formulas de Jcot x dx = In lsen x l + C Jsec x dx = In lsec x + tan x l + C JCSCXdX = Inlcscx - cot xl + C. Para encontrar (16) escribimos J J senx tan xdx = ~-dx cos x y se identifica u = cos x, du = - sen x dx, de modo que J Jsen x dx -- J 1tanxdx = - - - (-senxdx) cos x cos x -J~ du -ln lul + C -lnlcos xl + C. Para obtener (18) escribimos J d J sec x + tan x d sec x x = sec x sec x + tan x x J sec2 x + sec x tan x dx. sec x + tan x Si hacemos u = sec x + tan x, entonces du = (sec x tan x + sec2 x) dx y as!, J sec xdx= J ~ (sec 2 x+secxtanx)dx sec x tan x J~dU = In lu l + C = Inlsec x + tan xl + C. Tambien, cada una de las f6rmulas (16)-(19) podemos escribirlas en una forma general: Jtan u dx = -Inlcos ul + C Jcot u du = In Isen u I + C Jsec u dx = InIsec u + tan uI + C Jcsc u du = lnlcsc u - cot ul + C. (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) inlegra les a mcnudo obscrv,llllos ( 16) cscri la C0l110 flan x dx = In lsee x l + c. Por las propiedades de los 10garill11os - In leos x l = In leDs .If ' = In lsec x l.
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    284 CAPITULO 5Integrales I Identidades (ltiles Cuando se trabaja con funciones trigonometricas, a menudo es necesario usar una identidad trigonometrica para resolver un problema. Las f6rmulas de la mitad de un angulo para el coseno y el seno en la forma I cos2 x = 2(1 + cos 2x) y I sen2 x = 2(1 - cos 2x) (25) son particularmente Miles en problemas que requieren antiderivadas de cos2 x y sen2 x. '¥i3I1IQ!.lfJ Uso de la f6rmula de la mitad de un angulo Evalue Jcos2 x dx. Solucion Es necesario comprobar que la integral no es de la forma I u2duo Luego, al usar la f6rmula de la mitad de un angulo cos2 x = ~ (l + cos 2x), obtenemos Jcos 2 x dx = J~(l + cos 2x) dx = ~[Jdx + ~Jcos 2x(2 dx) ] +- yea el cjclllplo 4 = Mx + ~sen2x] + C 1 1 = 2x + 4sen2x+ c. • Por supuesto, el metodo ilustrado en el ejempl0 12 funciona igualmente bien para encon- trar antiderivadas como Jcos2 5x dx y Jsen2 ~ x dx. Con x sustituida por 5x y luego con x sustituida por ~ x, las f6rmulas en (25) permiten escribir, respectivamente, J J 1 I I cos 2 5x dx = 2(1 + cos lOx) dx = 2x + 20 sen lOx + C J ? 1 sen- 2x dx = J 1 1 1 - (1 - cos x) dx = -x - -sen x + C 2 2 2 . En la secci6n 7.4 abordaremos antiderivadas de potencias mas complicadas de funciones trigonometricas. f NOTAS DESDE EL AULA EI siguiente ejemplo ilustra un procedimiento comun, pero totalmente incorrecto, para eva- luar una integral indefinida. Ya que 2xj2x = 1, J(4 + X2)1/2 dx = J(4 + X2)1/22x dx 2x = ~J(4 + X2) 1/22x dx 2x = ~JUI/2 du 2x = ;x.~(4 + X 2 )3/2 + c. Usted debe comprobar que la diferenciaci6n de la ultima funci6n no produce (4 + X 2 )1/2. EI error esti en la primera lfnea de la "soluci6n". Las variables, en este caso 2x, no pueden sacarse del sfmbolo de la integral. Si u = x2 + 4, entonces al integrando Ie falta la funci6n du = 2x dx; de hecho, no hay ninguna forma de arreglar el problema para adecuarse a la forma dada en (8). Con las "herramientas" con que contamos en este momenta, simplemente no es posible evaluar la integral I (4 + X 2 )1/2 dx.
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    5.2 Integraci6n porsustituci6n u 285 Ejercicios 5.2 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan ell la pagina RES-1B. ::: Fundamentos En los problemas I-50, evalue la integral indefinida dacla L1sando una sustituci6n u icl6nea. I. IV=4x dx j. I d 3. (5x + 1)3 X 5. JIVX2 + 4dx 7. Isen) 3x cos 3x dx 9. Itan 2 2x sec 2 2x dx II. Isen 4x dx 13. ICv'2r - cos 61) dt 15. Ix sen ..1 2 dx 17. Jr2 sec 2 x 3 dx Iesc vXcot vX dx 19. vX 21. I7x ~ 3 dx 23. - -'- dx I t x2 + I 25. I-X- dXx + 1 27. I_l_dXx In x I sen (In x) 29. dx x 31. Ie lOx dx 33. Ix2 e-2X ' dx I e- v.; 35. -- dx vX I eX - e- x 37. . . dx e + e . 39. IndX5 -r 41. fI + 1 25x2 dx 2. I(8x + 2) 1/3 dx 4. I(7 - X)49 dx 6. I ~ dt 8. Isen 2f) cos4 2f) df) 10. I~ sec 2 xdx I x 12. 5cos 2dx 14. I Sen (2 - 3x) dx I cos (I /x) 16. ? dx x - 18. Icsc 2 (0. Ix) dx 20. 22. 24. 26. Itan 5v sec 5v dv I(5x + 6)- 1dx I X2 Ix 5x3 + 8 G I (x + 3)2 X + 2 dx 28 II - sen f) ,if) . f) + cos f) U 30. f I ? dx x (In x)- 32. fe~' dx I ell,' 34. - dx X4 36. fW dx 38. Ie3 ,y 1 + 2e3x dx 40. IY9~ 16x2 dx 42. f 1 ? dx 2 + 9r 43. 45. f 2x - 3 , ~ dx v i -r 44. f v b df) 1 - f)4 r x - 8 46 -·-,-- dx . Jx" + 2 f tan- Ix 47. - - dx I + x2 48. f.Jsen- 1 x dx I - x2 49. Itan 5x dx 50. feX cot eX dx En los problemas 5 1-56, use las iclenticlacles en (25) para evaluar la integral inclefi nicla dacla. 51. fsen 2 x dx 52. fcos 2 7TX dx 53. fcos 2 4x dx 54. fsen2~x dx 55. f(3 - 2 sen .:xl dx 56. f( I + cos 2X)2 dx En los problemas 57 y 58, resuel va la ecuaci6n diferencial dada. 57. dy = VT--=-x dx dy 58. -I GX ( I - tan X)5 ? cos- x 59. Encuentre una fu nci6n y = I(x) cuya gnifica pase por el punto (7T, - I ) Y tambien satisfaga dy/dx = 1 - 6 sen 3x . 60. E ncuentre una funci on I tal que f "(x) = (1 + 2x)5, teO) = 0 y f'(0) = o. 61. Demuestre que: a) Isen x cos x dx = ~sen2 x + CI b) fsen x cos x dx = _~COS2 x + C2 c) fsen x cos x dx = -±cos 2x + C3 · 62. En el problema 6 1: a) Compruebe que la clerivada de cada respuesta en los incisos a), b) y c) es sen x cos x. b) Use una identidad trigonometrica para demostrar que el resultado en el inciso b) puede obtenerse a partir de la respuesta en el inciso a). c) Sume los resultados de los incisos a) y b) para ob- tener el resultado en el inciso c). =Aplicaciones 63. Considere el penclulo plano mostrado en la FIGURA 5.2.1, que oscila entre los puntos A y C. Si B es el punto medio entre A y C, es posible demostrar que dt I L ds = I g(s~ - S2)' doncle g es la aceleracion debida a la graveclad.
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    286 CAPITULO 5Integrales a) Si teO) = 0, demuestre que el tiempo neeesario para que el pendulo vaya de B aPes t(s) = ~~sen-I(;J. b) Use el resultado del ineiso a) para determinar el tiempo de reeorrido de B a C. c) Use b) para determinar el periodo T del pendulo; es deeir, el tiempo para haeer una oseilaei6n de A a C y de regreso a A. / ) /1 1 1 1 1 j z ;,/1: 1 1 / I 1 1 A<--fi~~ C=sc FIGURA 5.2.1 Pendula en el problema 63 =Piense en ello 64. Eneuentre una funei6n y = f(x) para la eual fCrr/2) = 0 dy y dx = eos3 x. [Sugerencia: eos3 x = eos2 x cos x.] En los problemas 65 y 66, use las identidades en (25) para evaluar la integral indefinida dada. 65. I cos4 x dx 66. I sen4 x dx En los problemas 67 y 68, evalue la integral indefinida dada. I I I e 2x 67. V dx 68. -x--l dx x X4 - 16 e + En los problemas 69 y 70, evalue la integral indefinida dada. 69. I 1 1 dx 70. I 1 + 1 2 dx- cos x sen x En los problemas 71-74, evalue la integral indefinida dada. Suponga que f es una funci6n diferenciable. 71. I f'(8x) dx 72. I xf'(5x 2 ) dx I vf(2x) If'(3X + 1) 73. f(2x)f'(2x) dx 74. f(3x + 1) dx 75. Evalue If"(4X) dx sif(x) = ~. 76. Evalue I {I sec 2 3x dX} dx. 5.3 EI problema de area I Introduccion As! como la derivada es motivada por el problema geometrieo de construir una tangente a una curva, el problema hist6rico que conduce a la definici6n de integral definida es el problema de encontrar un area. En especffico, tenemos interes en la siguiente versi6n de este problema: • Encontrar el area A de una regi6n acotada por el eje x y la grafica de una funci6n no negativa continua y = f(x) definida sobre un intervalo la, b]. EI area de esta regi6n se denomina area bajo la gratica defsobre el intervalo [a, b]. El reque- rimiento de que f sea no negativa sobre [a, b] significa que ninguna parte de esta grafica sobre el intervalo esta por abajo del eje x. Yea la FIGURA 5.3.1. y ~----~----~--~X a b FIGURA 5.3.1 Area baja la gnifica de f sabre [a. bI
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    Antes de continuarcon la soluci6n del problema de area es necesario hacer una breve digre- sian para analizar una notaci6n util para una suma de numeros como 1 + 2 + 3 + .. . + n y ]2 + 22 + 32 + ... + n2 I Notacion sigma Sea a" un numero real que depende de un entero k. La suma a l + a2 + a3 + ... + ({II se denota por el sfmbolo 2,Z ~ I ak; esto es, 11 ~ ak = al + Cl2 + (t, + ... + all" k ~ 1 (I) puesto que 2, es la letra griega mayuscula sigma, (1) se denomina notacion sigma 0 notacion de suma. La variable k se denomina Indice de la suma. Asf, lerl11ina con eSle valor de" -t cl sil11bolo L indica _> ..sla SlIllla de ill, L.,; Cl" k ~ 1 t el11pieza con el valor indicado de " es la suma de todos los numeros de la forma a"cuando k asume los valores sucesivos k = 1, k 0= 2, . . . , y termina con k = n. 1!I3M1iJ!.I' Usa de la nataci6n sigma La suma de los diez primeros enteros pares 2 + 4 + 6 + .. . + 18 + 20 pllede escribirse de manera abreviada como 2,;~ 12k. La suma de los diez enteros positivos impa- res 1 + 3 + 5 + .. . + 17 + 19 pllede escribirse como 2,~~1(2k - 1). EI fndice de la suma no necesita empezar en el valor k = 1; por ejemplo, 5 ~ 2k = 23 + 24 + 25 k ~ 3 y 5 ~ 2k = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25. k ~ O • Observe que la suma de los diez enteros positivos impares en el ejemplo 1 tambien puede escri- birse como 2,~~ 0(2k + 1). Sin embargo, en un analisis general siempre se supone que el indice de la suma empieza en k = I. Esta suposici6n responde mas a razones de conveniencia que de necesidad. EI indice de la suma a menudo se denomina variable ficticia, puesto que el sfmbolo en sf carece de importancia; 10 que importa son los valores enteros sucesivos del fndice y la suma correspondiente. En general, II 11 n n ~ a k = ~ ai = ~ a j = ~all1. i = 1 j~ 1 111= 1 Por ejemplo, 10 10 10 ~ 4k = ~ 4i = ~ 4j = 41 + 42 + 43 + .. . + 410. k ~ 1 i ~ 1 j~ 1 I Propiedades A continuaci6n se presenta una lista de algunas propiedades importantes de la notaci6n sigma. 5.3 EI problema de area 287
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    288 CAPITULO 5Integrales Teorema 5.3.1 Propiedades de la notaci6n sigma Para enteros positivos m y n, " /I i) L cak = c L ak> donde c es cualquier constante k ~ I k ~ I 11 11 11 ii) L (ak ± bk) = L ak + Lbk k~1 k ~ 1 k~ 1 11 11/ 11 iii) Lak = Lak + L ak> m < n. k ~ 1 k ~ 1 k= lIl + I La demostraci6n de la f6rmul a i) es una consecuencia inmediata de la ley distributiva. Por supuesto, ii) del teorema 5.3.1 se cumple para la suma de mas de tres terminos; por ejemplo, II II /I 1/ L(ak + bk + Ck) = Lak + L bk + LCk' k ~ I k ~ I k ~ I k~ I I Formulas de sumas especiales Para tipos especiales de sumas indicadas, particularmente sumas que implican potencias de enteros positivos del indice de la suma (como sumas de ente- ros positivos consecutivos, cuadrados sucesivos, cubos sucesivos, etc.) es posible encontrar L1na f6rmula que proporcione el valor numerico verdadero de la suma. Para efectos de esta seccion, centraremos la atenci6n en las cuatro f6rmulas siguientes. Teorema 5.3.2 F6rmulas de sumas Para n un entero positivo y C cualquier constante, 11 11 n(n + I) i) LC = nc ii) Lk = 2k~1 k ~ 1 11 n(n + 1)(2n + 1) 11 n2 (n + 1)2 iii) Le = 6 iv) Lk3 = 4k ~1 k~ 1 Las f6rmulas i) y ii) pueden justificarse facilmente. Si C es una constante, es decir, indepen- diente del indice de la suma, entonces L:~ ~ Ic significa c + c + c + ... + c. Puesto que hay II c, tenemos L:~ ~ IC = n' c, que es i) del teorema 5.3.2. Luego, la suma de los n primeros enteros positivos puede escribirse como L:~ ~ Ik. Si esta suma se denota por la letra S, entonces S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n. En formaequivalente, S = n + (n - 1) + (n - 2) + .. . + 3 + 2 + I. (2) (3) Si sumamos (2) y (3) con los primeros terminos cOITespondientes, luego los segundos ter- minos, y asi sucesivamente, entonces 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + I) + + (n + 1) = n(n + 1). , ~-----------------/ II tcrillinos de II + I Al despejar S obtenemos S = n(n + 1)/2, que es ii). Usted debe poder obtener las f6rmulas iii) y iv) con las sugerencias que se proporcionan en los problemas 55 y 56 en los ejercicios 5.3. 1¥J3MQI••j Usa de f6rmulas de suma Encuentre el valor numerico de L:;~ I (k + 5l
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    Soluci6n AI desarrollar(k + 5)2 y usaI' i) y ii) del teorema 5.3.1, podemos escribir 20 20 2: (k + 5)2 = 2: (k2 + 10k + 25) +- sc c!e,'a al cuadrado el l1illtllnio k= I k= 1 20 20 20 = 2: k2 + J02: k + 2: 25. (- i) y ii) del I.;orema 5.3.1 k= I k= I k= I Con la identificaci6n n = 20, por las f6rmulas de sumas iii), ii) Y i) del teorema 5.3.2, respecti- vamenle. se concJuye ~ ? 20(21)(41) 20(21) L.J (k + 5)- = ---'----'-'----'- + 10- 2 - + 20·25 = 5470. k= 1 6 • La notaci6n sigma y las f6rmulas de sumas anteriores se usan"in de inmediato en el siguien- Ie aniilisis. I Area de un triangulo Suponga pOI' el momento que no se conoce ninguna f6rmula para calcular el area A del triangulo rectangulo proporcionado en la FIGURA 5.3.2a). Al superponer un sis- lema rectangular de coordenadas sobre el triangulo, como se muestra en la figura 5.3.2b), se ve que el problema es el mismo que encontrar el area en el primer cuadrante acotada por las lfneas reclas.r = (h/ b)x, y = 0 (el eje x) y x = b. En otras palabras, deseamos encontrar el area bajo la grMica de y = (h/ b)x sobre el intervalo [0, b] . AI usar rectangulos, la FIGURA 5.3.3 indica tres formas diferentes de aproximar el area A. Por conveniencia, seguiremos con mayor detalle el procedimiento sugerido en la figura 5.3.3b). Empezamos al dividir el intervalo [0, b] en n subintervalos del mismo ancho Llx = b/ n. Si el punto fronterizo derecho de estos intervalos se denota por xi, entonces x'/' = Llx = f!.. n xi' = 2Llx = 2(~) x~' = 3Llx = 3(~) y y b b b a) b) c) FIGURA 5.3.3 Aproximaci6n del area A usalldo tres rectallgulos Como se muestra en la FIGURA 5.3.4a}, ahora construimos un rectangulo de longitudf(xk) y ancho Llx sobre cada uno de estos n subintervalos. Puesto que el area de un rectangulo es largo X Qncho, el area de cada rectangulo esf(xk') Llx. Yea la figura 5.3.4b). La suma de las areas de los 1/ rectangulos es una aproximaci6n al numero A. Escribimos A =f(xDLlx + f(xi')Llx + ., . + f(x;;')Llx, 5.3 EI problema de area 289 AII~b-I a) Triallgulo rectangulo Y It Y =t;X (b. 11) A ~~---------4~ x (b, O) b) Triallgulo rectallgulo en un sistema de coordelladas FIGURA 5.3.2 Ellcuentre el area A del triangulo rectangulo y * :):X I x2 a) n rectangulos y el area es .f(x~) LlX o en notaci6n sigma, 1/ A = 2:f(xk')Llx. k= l b) Area de un rectangulo general FIGURA 5.3.4 El area A del trian- (4) gulo es aproximada por la suma de las areas de n rectangulos
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    290 CAPiTULO 5Integrales y x=a Parece valido que reduzcamos el error introducido por este metoda de aproximacion (el are de cada rectangulo es mayor que el area bajo la grafica sobre un subintervalo [ Xk - I , xd) al divi~ dir el intervalo [0, b] en subdivisiones mas finas. En otras palabras, esperamos que una Inejor aproximacion a A pueda obtenerse usando mas y mas rectangulos (n ~ (0) de anchos decrecien_ tes (~x ~ 0). Luego, f(x) = ~x, * = k(t)Xk n ' t(xt) =!!:. .k. n y b ~x = - n' de modo que con ayuda de la fonnula de suma ii) del teorema 5.3.2, (4) se vuelve ~ ~ (h ) b _ bh ~ _ bh n(11 + I) _ bh ( 1)A ~ L" - ·k --2 L" k- 2 ' - - 1+-. k= 1 11 11 11 k= 1 11 2 2 n (5) Finalmente, al hacer 11 ~ 00 en el miembro derecho de (5), obtenemos la formula conocida para el area de un triangulo: A = 1. bh . lfm (I + 1.) = 1.bh. 2 11->00 11 2 I EI problema general Ahora pasaremos del ejemplo precedente especffico al problema gene- ral de encontrar el area A bajo la grafica de una funcion y = f(x) que es continua sobre un inter- valo [a, b]. Como se muestra en la FIGURA 5.3.5a), tambien suponemos que f(x) 2': 0 para toda x en el intervalo [a, b] . Como sugiere la figura 5.3.5b), el area A puede aproximarse al sumar las areas de 11 rectangulos que se construyen sobre el intervalo. A continuacion se resume un procedimien- to posible para determinar A: • Divida el intervalo [a, b] en 11 subintervaloss [ Xk - I , xd, donde a = Xo < X I < X2 < .. . < x ll _ I < XII = b, de modo que cada subintervalo tiene el mismo ancho ~x = (b - a)/n. Esta coleccion de numeros se denomina particion regular del intervalo [a, b]. • Escoja un numero xt en cada uno de los nsubintervalos [Xk- I , Xk] Yforme los 11 produc- tosf(xn~x. Puesto que el area de un rectangulo es largo X ancho,f(x%')~x es el area del rectangulo de largo f(x%') y ancho ~x construido sobre el k-esimo subintervalo [Xk - b xd. Los 11 numeros x'!" x3', x:l', ... , x~' se denominan puntos muestra. • La suma de las areas de los 11 rectangulos II Lf(x'l')~x = f(x'n~x + f(x1')~x + f(xn~x + ... + f(x;~)~x, k = 1 representa una aproximacion al valor del area A bajo la grMica de f sobre el intervale [a, b]. Con estas notas preliminares, ahora ya es posible definir el concepto de area bajo una gra- fica. y Y = f{x) A x = b -+---L--------------------------------~~ X k-I x" xka b Xn - 1 Xl ~ I'u a) Area A bajo la grafica b) 17 rectangulos FIGURA 5.3.5 Encuentre el area A bajo la gnlfica de fsobre el intervalo [a, b]
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    Definicion 5.3.1 Areaba'o una grafica ~ Sl!a/colltinua sobre [a, b] y t(x) 2: 0 para toda x en el interva[o. E[ area A bajo la gratica de (sobre el intervaJo se def1l1e como . " A = Ifm Lf(xn~x. (6) II~ OO k = J Es posib[e demostrar que cuando / es continua, el lfmite en (6) siempre existe sin importar e! lllctodo llsado para dividir [a, b] en sllbintervalos; es decir, [os sllbintervalos plleden tomarse °no de modo que su ancho sea el mismo, y los puntos Xk' pueden escogerse en forma arbitraria en los subinterva[os [Xk- I, Xk]' No obstante, si los subintervalos no tienen el mismo ancho, entollces en (6) es necesario un tipo diferente de Ifmite. Necesitamos sustituir n -+ 00 por el requerimiento de que la longitud del subintervalo mas ancho tienda a cero. I Una forma practica de (6) Para usar (6), suponga que escogemos x%' como se hizo en el ana- lisis de la Figura 5.3.4; a saber: sea xt el punto fronterizo derecho de cada subintervalo. Puesto que el ancho de cada uno de los n subintervalos de igual ancho es ~x = (b - a)/ n, tenemos .,. kA kb - a xZ' = a + uX = a + --. n Luego, para k = 1, 2, ... , n tenemos b - a x'l' = a + ~x = a + - - n ." A (b - a)xl' = a + 2ux = a + 2 -n- ,. A (b - a)X3' = a + 3uX = a + 3 -n- .'. A (b - a)x;;' = a + nux = a + n -n- = b. AI sustituir a + k(b - a)/n por x2' y (b - a)/ n por ~x en (6), se concluye que el area A tam- bien esta dada por ~ ( b - a) b - aA = lim L J a + k - - . --. 1/->00 k= 1 It n (7) Observamos que puesto que ~x = (b - a)/ n, It -+ 00 implica ~x -+ O. PUMA!'.' Area usando (7) Encuentre el area A bajo la grMica de/ex) = x + 2 sobre el intervalo [0, 4]. Solucion EI area esta acotada por el trapezoide indicado en la FIGURA 5.3.68). Al identificar a '" 0 y b = 4, encontramos 4-0 4 ~x=-- =-. n It Asf, (7) se vuelve 11 ( 4)4 4 11 (4k)A = lim L/ 0 + k- - = Ifm - L/ -11---+00 k= 1 n n 11->00 It k=1 It lim - L - + 24 11 (4k ) l1->ool1 k =1 n 4[4 1/ 11] Ifm- - L k + 2 L I . 11---+0011 n k = 1 k=1 ~ par las prop iedades i) y ii) dcl teorClllll 5.3.1 5.3 EI problema de area 291 y y=x+2 A a) y ,/ V / r.1[7[71:~ / I~ / ii'/ I'll x x~ --- -x~ = 4 ~x =±11 b) FIGURA 5.3.6 Area bajo la grafica en el ejemplo 3
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    292 CAPITULO 5Integra les y y a) 3 ~x=n b) FIGURA 5.3.7 Area bajo la gnifica en el ejemplo 4 Luego, por las formulas de suma i) y ii) del teorema 5.3.2, tenemos / 4 [4 n(n + I) ]A = 11m - -. + 2n 11->00 n 11 2 11m [ 1 2 6 n(n : 1) + 8] <-- se divide entre II' J/~ OO n- Ifm [ 8 (I + l)+ 8] II~ OO n = 811m (I + l) + 8 Ifm I 1/.----+00 n 11--+00 = 8 + 8 = 16 unidades cuadradas. U!!3M4K'I' Area usando (7) Encuentre el area A bajo la grafica de f(x) = 4 - x 2 sobre el intervalo [- 1, 2]. Solucion EI area se indica en la FIGURA 5.3.7a). Puesto que a = -1 Yb = 2, se conc1uye que 2 - (- 1) 3 LlX = = - . n n A continuacion se revisaran los pasos que Bevan a (7). El ancho de cada reetangulo esta dado por LlX = (2 - (- 1»/ n = 3/ n. Luego, empezando en x = - 1, el punto fronterizo derecho de los n subintervalos es 3 x·1" = -1 + - n xi: = -1 + 2(~) = - 1 +.2. n * - I +3(~) =-1 9 X3 = + - 11 x~'= -1 + n(~) = 2. Entonees, la longitud de cada reetangulo es f(x'f) =f(-1 + l) = 4- f-I+ l]2n L n f(xj) = f( -) + ~) = 4 - [ - I + ~r f(xi) = f( - 1 + ~) = 4 - [ - 1 + ~r f(x;;) = f( - 1 + ~;) = f(2) = 4 - (2)2 = o. El area del k-esimo rectangulo es largo X ancho: f(x*)l = (4 - [-1+ kl]2)l = (3 + 6! _9 k2 )1.k n n n n n2 n AI sumar las areas de los n rectangulos obtenemos una aproximacion al area bajo la grafica sobre el intervalo: A = L~= If(x;')(3/ n). A medida que el numero n de rectangulos crece sin Ifmite, obtenemos
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    5.3 EI problemade area 293 AI usar las formulas de sumas i), ii) Y iii) del teorema 5.3.2 obtenemos , 3 [ 6 11(11 + I) 9 1/.(11 + 1)(211 + I)]A = lim - 311 + - . - 2 . 6 11 .....00 n n 2 n Ifm [ 9 + 9 (1 + 1)-* (1 + l )(2 + 1)]11 .....00 n _ 11 n = 9 + 9 - 9 = 9 unidades cuadradas. • I Otras elecciones para xt No hay nada en especial si xi' se escoge como el punto fronterizo derecho de eada subintervalo. Volvemos a recalcar que x~' puede tomarse como cualquier 11l1me- ro conveniente en [Xk- I, xd. En caso de que se elija x%' como e1punto fronterizo izquierdo de cada subintervalo, entonees b -a xt' = a + (k - l )Lh = a + (k - 1)--, k = 1,2, .. . , 11, n y (7) 5e volverfa II ( b - a) b - [{ A = Ifm ~f a + (k - I) - - . - -. 11 -,;00 k=I n n (8) En el ejemplo 4, los rectllngulos correspondientes serfan como se observa en la FIGURA 5.3.8. En este easo se hubiera tenido xi' = - 1 + (k - 1)(3/ n). En los problemas 45 y 46 de los ejercicios 5.3 se Ie pide resolver el problema de area en el ejemplo 4 escogiendo Xk' como primer punto fronterizo izquierdo y punto medio de eada subintervalo [Xk- I, xd . Al elegir xt como el punto medio de cada [Xk- I, Xk J, entonces y FIGURA 5.3.8 Rectangllios usando xt= a + (k - ~)LlX' k = 1, 2, . .. , n. (9) los puntos fronterizos izqllierdos de los intervalos Ejercicios 5.3 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-lB. =Fundamentos En los problemas 1- 10, desarrolle la suma indieada. 5 5 1. ~ 3k 2. :L (2k - 3) k=1 k= 1 4 2k 4 ( 3 Y3. :L- 4. ~TOk= I k 10 ( _ I)k 10 (_1)k- 1 S. :L 6. :L ? k= 12k + 5 k=I k- 5 4 7. ~ (/ - 2j) 8. :L (m + 1)2 j=2 11/ = 0 5 ±sen (hr/ 2) 9. :Leos h r 10. k= 1 k=1 k En los problemas 11-20, use notaci6n sigma para eseribir la suma dada. II. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 12. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 13. I + 4 + 7 + 10 + ... + 37 14. 2 + 6 + 10 + 14 + + 38 15. 16. 1 I 1 I 1 - 2 + 3 - 4 + 5 _l + l _ l + .± _~ 2 3 4 5 6 17. 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 18. 1 + V2 + v'3 + 2 + v5 + ... + 3 71" I 271" 1 371" I 471" 19. cos - x - - cos- x + -cos- x - -cos- x p 4 p 9 p 16 P 1"( 1) ? r (I) 20. f'(l )(x - I) - - 3- (x - 1)- + - 5- (x - 1)3 f (4)(I) 4 1 (5)( I ) - - - 7- (x - 1) + - 9- (x - I ? En los problemas 21-28, encuentre el valor numerico de la suma dada. 20 50 21. ~ 2k 22. ~ ( - 3k) k= 1 k= O
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    294 CAPiTULO 5Illtegraies 10 1000 23. L (k + I) 24. L (2k - I) k= 1 k=1 6 :; 25. L (k" + 3) 26. L (6k 2 - k) k=1 k= 1 10 10 27. L (p' + 4) 28. L (2i3 - 5i + 3) 1'=0 i=1 En los problemas 29-42, use (7) y el teorema 5.3.2 para encontrar el area bajo la grMica de la funcion dada sobre el intervalo indicado. 29. f(x) = x , [0, 6] 30. f(x) = 2x, [ I , 31 31. f(x) = 2x + I, [ I, 5] 33. f(x) = x 2 , [0,2] 32. f(x) = 3x - 6, [2,4] 34. f(x) = Xl, [-2, I] 35. f(x) = I - x 2 , [-1, I] 36. f(x) = 2Xl + 3, [ - 3, - I] 37. f(x) = Xl + 2x, [1 ,2] 38. f(x) = (x - I)l, [0,2 ] 39. f(x) = x3 , [0, I] 40. f(x) = x' - 3x2 + 4, [0,2] { 2 O:::;x < I 41. f(x) = x' + L, L:::; x :::; 4 42. f(x) = {x~x++2, 1, O:::;x < 1 :::; x:::; 3 43. Trace la grafica de y = I/x sobre el intervalo [t nAI dividir el intervalo en cuatro subintervalos del mismo ancho, construya rectangulos que aproximen el area A bajo la grMica sobre el intervalo. Primero use el punto fronterizo derecho de cada subintervalo, y luego use el punto fronterizo izquierdo. 44. Repita el problema 43 para y = cos x sobre el intervalo [-7T/2,7T/2 ]. 45. Yuelva a trabajar el ejemplo 4 escogiendo xt como el punto fronterizo izquierdo de cada subintervalo. Yea (8). 46. Yuelva a trabajar el ejemplo 4 escogiendo xl' como el punto medio de cada subintervalo. Yea (9). En los problemas 47 y 48, dibuje la region cuya area A esta dada por la formula. No intente evaluar. 47. A = lfm ±)4 - 4~2 l 48. A = lfm ±(sen k7T) 7T 11-+00 k=I n- n 11-+00 k=I n n =Piense en ello En los problemas 49 y 50, escriba el numero decimal dado usando notacion sigma. 49. 0.1111 I I I I 50. 0.3737373737 51. Use la formula de suma iii) del teorema 5.3.2 para encon- trar el valor numerico de L~~ 21k2. 52. Escriba la suma 8 + 7 + 8 + 9 + to + II + 12 usan- do notacion sigma de modo que el fndice de la suma empiece con k = O. Con k = I. Con k = 2. 53. Despeje x: L~ = I(Xk - x? = O. 54. a) Encuentre el valor de L~ = I[f(k) - f(k - I)]. Se dice que una suma de esta forma es teLescopica. b) Use el inciso a) para encontrar el valor numeric) de 40() L (VI< - v'f(-=-T). k=1 55. a) Use el inciso a) del problema 54 para demostrar que II L r(k + If - k2 ] = - I + (n + 1)2 = 11" + 211. k=1 b) Use el hecho de que (k + 1)2 - k2 = 2k + I para de- mostrar que /I II L[(k + 1)2-k2 1 = n + 2Lk. c) Compare los resultados de los incisos a) y b) para obtener la formula de suma iii) del teorema 5.3.2. 56. Muestre como el patron ilustrado en La FIGURA 5.3.9 puede usarse para inferir la formuLa de suma iv) del teorema 5.3.2. 23 33 FIGURA 5.3.9 Arrcglo para el problema 56 57. Obtenga la formula para el area del trapezoide proporcio- nado en la FIGURA 5.3.10. TT "2 1,----------A --' 1 I--b-I FIGURA 5.3.10 Trapezoide en el problema 57 58. En un supennercado, 136 latas se acomodan en forma triangular como se muestra en la FIGURA 5.3.11. i,CUantas latas puede haber en la parte inferior de la pila? FIGURA 5.3.11 Pila de laras en el problema 58
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    5.4 La integraldefinida 295 Use (7) y la formula de suma 59. 63. Una formula de suma para la suma de los n terminos de una sucesion geometrica finita a, ar, ar2, ... , ({r,, - I esta dada porik4 = n(n + 1)(611 3 + 9n 2 + n - I) k = 1 30 para encontrar el area bajo la grafica de f (x) = 16 - X4 sobre I -2,2]. Lar"- I = a -=..r. ." (I ")k=1 I I 60. Encuentre el area bajo la grafica de y = Vx sobre [0, I] al considerar el area bajo la grafica de y = x 2 sobre [0, 1]. Lleve a cabo sus ideas. Use esta formula de suma, (8) de esta seccion, y la regia de L'H6pital para encontrar el area bajo la grafica de y = eX sobre [0, I] . 6t. Encuentre el area bajo la grafica de y = -YX sobre [0, 8] al considerar el area bajo la grafica de y = x 3 sobre o:=; x :=; 2. 62. a) Suponga que y = ax 2 + bx + c :2: °sobre el interva- 10 [0, xo] . Demuestre que el area bajo la grafica sobre [0, xo] esta dada por b) Use el resultado en el inciso a) para encontrar el area bajo la grafica de y = 6x2 + 2x + 1 sobre el interva- 10 [2,5]. 64. Un poco de historia En un curso de ffsica para princi- piantes todo mundo sabe que la distancia de un cuerpo que cae es proporcional al cuadrado del tiempo trans- currido. Galileo Galilei (1564-1642) fue el primero en descubrir este hecho. Galileo encontro que la distancia que se mueve una masa hacia abajo en un plano inclina- do es proporcional a un entero positivo impar. Por tanto, la distancia total s que una masa se mueve en n segundos, con n un entero positivo, es proporcional a I + 3 + 5 + ... + 2n - 1. Demuestre que esto es 10 mismo que afir- mar que la distancia total que se mueve una masa hacia abajo en un plano inclinado es proporcional al tiempo transcurrido n. 5.4 La integral definida I Introducci6n En la seccion previa vimos que el area bajo la grafica de una funcion continua no negativa fsobre un intervalo [a, b] se definia como ellfmite de una suma. En esta seccion vent que elmismo tipo de proceso limite conduce al concepto de integral definida. Sea y =f(x) una funcion definida sobre un intervalo cerrado [a, b]. Considere los siguientes cuatro pasos: • Divida el intervalo [a, b] en n subintervalos [Xk - j, xd de anchos LlXk = Xk - Xk- I, donde a = Xo < XI < X2 < ... < X,, _ ] < Xn = b. (1) La coleccion de numeros (1) se denomina particion del intervalo y se denota por P. o Sea IIPIIel mayor numero de los n anchos de los subintervalos LlXI, LlX2, .. . , Llx//, EI numero IIPIIse denomina norma de la particion P. o Escoja un numero x'!: en cada subintervalo [Xk-I, xd como se muestra en la FIGURA 5.4.1. Los n numeros x'j', xt xt ...,x;;' se denominan puntos muestra en estos subintervalos. • Forme la suma " L f(Xk')Llxk' (2) k=1 Sumas del tipo proporcionado en (2) que corresponden a varias particiones de [a, b] se denominan sumas de Riemann en honor del famoso matematico aleman Georg Friedrich Bernhard Riemann. Aunque el procedimiento anterior parece muy semejante a los pasos que llevan a la defini- cion de area bajo una grafica dada en la seccion 5.3, hay algunas diferencias importantes. Observe que una suma de Riemann (2) no requiere que f sea continua 0 no negativa sobre el intervalo [a, b]. Asi, (2) no necesariamente representa una aproximacion al area bajo una grafi- ca. Tenga en cuenta que "area bajo una grafica" se refiere af area acotada entre fa grafica de una fUllcion continua no negativa y ef eje x. Como se muestra en la FIGURA 5.4.2, sif(x) < °para algu- na x en [a, b], una suma de Riemann puede contener terminos f(XZ')Llxb donde f(x'!:]) < 0. En este caso, los productos f(Xk')Llxk son numeros que son los negativos de las areas de rectangulos trazados abajo del eje x. Xi- I I I I . I I I FIGURA 5.4.1 Punto ll1uestra x1' en [Xk-I, xkl FIGURA 5.4.2 La funci6n f es positiva y negativa sobre el intervalo [a, bI
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    296 CAPITULO 5Integrales '¥13MR!.I' Una suma de Riemann ----Calcule la suma de Riemann paraf(x) = X2 - 4 sabre [-2, 3 ] can cinco subintervalos deterl11ina_ d - 2 - I - 0 - I - 7 - 3 .* - 1 * - 1 .* - I .,. as par Xo - - , XI - - 2, X2 - , X3 - , X4 - 4, Xs - YXI - - , X2 - -4' X3 - 2, x:j' "" * x~ = ~. Encuentre la norma de la particion. -' Solucion En la FIGURA 5.4.3 se muest:ra 9ue los numeros x}, k = 0, 1, .. . , 5 determinan cinco subintervalos [-2, -~], [ -~, 0], [0,1], ll , nY [~, 3] del intervalo [- 2,3] Y un punta I11Uestra xi' (en rojo) dentro de cada subintervalo. I 7 xl =-- x2 = O x3=1 x4 = - ~= -2,-__~~__~_2~~tr-~~~tr-~~t~4__~~__'~Xs=3 ""'I ", I '" t i, I " t3 .. ts I 'X x[ = - X 2= - 4 -'3=2: X4 = 2: Xj =2: FIGURA 5.4.3 Cinco subintervalos y puntos muestra en el ejemplo I Luego, evalue la funcionf de cada punta muestra y determine el ancho de cada subintervalo: f(x'/') = f( - I) = -3, 1 3 LlXI = XI - Xo = - = 2" - (-2) = 2" f(x D = f(- ±) = - ~~, f(xj') = f(±) = ~, f(X4') = f(~) = ~, f(xD = f{%) = ~, LlX2 = X2 - XI = 0 - (-±)= ± LlX4 = X4 - X3 = '2 - 1 = 1.4 4 7 5 LlXs = Xs - X4 = 3 - 4 = 4' Entonces, la suma de Riemann para esta particion y esa eleccion del punto muestra es fex,/,)LlXI + f(XnLlX2 + f(xD LlX3 + f(Xn LlX4 + f(xnLlXs = (-3)(~) + (-~~)(±) + (- ~)c1) + (-~)(~) + (~)(~) = 279 --=-8 7232 . . AI analizar los valores de los cinco LlXk observamos que la norma de la particion es IIPII =~. • Para una funcionfdefinida sobre un intervalo [a, b], hay un numero finito de posibles sumas de Riemann para una particion dada P del interval0, puesto que los numeros x%' pueden escoger- se arbitrariamente en cada subintervalo [Xk - ], xd . hMiMQ!.Wj Otra suma de Riemann Calcule la suma de Riemann para la funcion del ejemplo I si la particion de [ - 2, 3] es la misma pero los puntos muestra son xi = -~, xi' = -i, xj' = t x~' = ~ y x~' = 2.1. Solucion Solo es necesario calcular f en los nuevas puntos muestra, puesto que los numeros LlXk son los mismos que antes: f(x'f) = f(-~) = ~ f(xD = f(-t) = 26 5 1 f(xn = f(~) = ~~ f(x1') = f(~) = ~ f(xD = f(2.1) = 0.41.
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    I ., 1' sumade Riemann esA101, ' . '(.r'i' ) ~.rl + I(xD6.x2 + f(x j')6.X3 + f(x1')6. X4 + f(X~')6.X5 j = (-~)(~) + (-2~1)(~) + (-~~}l) + (-~)(~) + (0.41)(~) = -8,85, • Tcnc1l0S interes en un tipo especial de lfmite de (2), Si las sumas de Riemann L~ = d(Xk')6.Xk estan proximas a un numero L para toda partici6n P de [a, b] para la cual la norma IIPII este cerca de cero, entonces escribimos /I lim Lf(Xk')6.Xk = L IIPII--+O k = (3) Yse dice que L es la in~egral definida d,ef sobre el intervalo [a, b], En la siguiente definici6n se introduce un nuevo sllnbolo para el numero L. Definicion 5.4.1 La inte,gral definida Sea/una funci6n definida sobre un intervalo cerrado [a , b], Entonees la integral definida de j de a a b, que se denota por I:;I(x) dx, se define como I I> /I f(x) dx = lim Lf(xt)6.Xk' " IIPII--+Ok = I (4) Si el lfmite en (4) existe, se dice que la funci6njes integrable sobre el intervalo, Los nume- ros a y b en la definici6n precedente se denominan limite inferior y limite superior de integl'a- cion, respectivamente. La funci6n f se denomina integrando. EI slmbolo integral I, segun 10 lIsaba Leibniz, es una S alargada que representa la palabra suma. Tambien observe que IIPII --+ 0 siempre implica que el numero de subintervalos n se vuelve infinito (n --+ (0). No obstante, como se muestra en 1a FIGURA 5.4.4, el hecho de que n --+ 00 no necesariamente implica IIPII --+ O. I Integrabilidad En los dos teoremas siguientes se plantean condiciones que son suficientes para que una funci6nfsea integrable sobre un intervalo [a, b]. No se proporcionan las demos- traciones de estos teoremas. Teorema 5.4.1 Continuidad implica integrabilidad Si fes continua sobre el intervalo cerrado [a, b] , entonces I(~f(x) dx existe; es decir,fes inte- grable sobre el intervalo. Hay funciones definidas para cada valor de x en [a, b] para las cuales el limite en (4) no existe. Tambien, si la funci6nfno esta definida para todos los valores de x en el intervalo, la inte- gral definida puede no existir; por ejemplo, despues se vera por que una integral como J~P/x) dx no existe. Observe que y = l /x es discontinua en x = 0 y no esta acotada sobre el intervalo. Sin embargo, a partir de este ejemplo no debe conc1uirse que cuando una funci6n f tiene una discontinuidad en [a, b], rf(x) dx necesariamente no existe. La continuidad de una funci6n sobre [a, b] es condici6n s~ficiente pero no necesaria para garantizar la existencia de t'f(x) dx. El conJ'unto de funciones continuas sobre [a, b] es un subconjunto del conjunto de "fllnciones que son integrables sobre el intervalo. EI siguiente teorema proporciona otra condici6n suficiente para integrabilidad sobre [a, b ]. Teorema 5.4.2 Condiciones suficientes para integrabilidad Si una funei6n f esta acotada sobre el intervalo cerrado [a, b], es decir, si existe una cons- tante positiva B tal que - B ~ j(x) ~ B para toda x en el intervalo y tiene un numero finito de discontinuidades en [a, b], entonces f es integrable sobre el intervalo. 5.4 La integral definida 297 IIPII a ~ ~ II I I • • t b el numero de intervalos se vuelve una infinidac1 FIGURA 5.4.4 Una infinidac1 de subintervalos no implica IIPII--0,
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    298 CAPITULO 5Integrales y y = f(x) -t--+--t--+-- x FIGURA 5.4.5 La integral definida de f sabre [0, 3] existe Y= f(x) y Y = 8 a b --~-~--~-_x V= -8 FIGURA 5.4.6 La funci6n f no est,] acotacla sabre [a, b] y r--? I y = 'JI -x" Cuando una funcion f esta acotada, su gnifica completa debe estar entre dos rectas horizo - n· tales, y = B YY = -B. En otras palabras, If(x) I :S B para toda x en [a, b ]. La funcion f(x ) = {~: 0 :Sx<2 2 :Sx:s3 mostrada en la FIGURA 5.4.5 es discontinua en x = 2 pero esta acotada sobre [0, 3], puesto qUe If(x)1 :S 4 para toda x en [0, 3]. (Para el caso, I :S f(x) :S 4 para toda x en [0, 3] muestra quef esta acotada sobre el intervalo.) Por el teorema 5.4.2 se concluye que f 6'l(x) dx existe. La FIGU_ RA 5.4.6 muestra la grMica de una funcion f que no esta acotada sobre un intervalo l({,b I. Sin importar cuan grande sea el numero B escogido, la grMica de f no puede estar confinada a la region entre las rectas horizontales y = B YY = - B. I Partici6n regular Si se sabe que una integral definida existe (por ejemplo, el integrandof es continuo sobre [a, bJ), entonces: • Ellimite en (4) existe para cualquier forma posible de particion [a, b] y para toda forma posible de escoger xl' en los subintervalos IXk- h xd. En particular, al escoger los subintervalos del mismo ancho y los puntos muestra como los pun- tos fronterizos derechos de los subintervalos [Xk- I, xd , es decir, b-a Llx = -- n y .'. b - a x,,' = a + k- - , k = 1, 2, ... , n, n la expresion (4) puede escribirse en forma alterna como f(x) dx = Ifm 2-f a + k-- - -. J b 11 ( b - a)b - a a 11-400 k = 1 n n (5) Recuerde por la seccion 5.3 que una particion P de [a, b) donde los subintervalos tienen el mismo ancho se denomina partidon regular. I Area Tal vez usted concluya que los planteamientos de rf(x) dx dados en (4) y (5) son exactamente los mismos que (6) y (7) de la seccion 5.3 para el ~aso general de encontrar el area bajo la curva y = f(x) sobre [a, b]. En cierta forma esto es correcto; no obstante, la definicion 5.4.1 es un concepto m:is general puesto que, como ya se observo, no estamos requiriendo quef sea continua sobre [a, b10 que f(x) 2:: 0 sobre el intervalo, Por tanto, una integral definida no necesita ser un area. Entonces, ~que es una integral definida? Por ahora, acepte el hecho de que una integral definida es simplemente un numero real. Compare esto con la integral indefinida, que es una funcion (0 una familia de funciones) . EI area bajo la grafica de una funcion continua no negativa, ~es una integral definida? La respuesta es sf, Teorema 5.4.3 EI area como integral definida Sifes una funcion continua sobre el intervalo cerrado [a, b1y f(x) 2:: 0 para toda x en el inter- valo, entonces el area A bajo la grafica sobre [a, b 1es I I> A = f(x) dx, a (6) '=!I3f'!IR!'W' EI area como integral definida Considere la integral definida f~ I ~ dx. EI integrando es continuo y no negativo, de modo que la integral definida representa el area bajo la grMica de f(x) = ~ sobre el intervalo [-1, 1]. Debido a que la grafica de la funcion f es el semicirculo superior de x2 + / = I, el area bajo la grMica es la region sombreada en la FIGURA 5.4.7. Por geometrfa sabe- mos que el area de un cfrculo de radio r es 7Tr2, y asf con r = 1 el area del semicfrculo y, por -+-----+----~x tanto, el valor de la integral definida, es - I FIGURA 5.4.7 Area en el ejemplo 3 •
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    En la secci6n6.2 volveremos a la cuesti6n de encontrar areas por medio de la integral definida. I!II""r Integral definida usando (5) tcnt'1ll0S f(- 2 + ~:) = ( - 2 + ~:Y = -S + 36(~) - 54(:~) + 27(:: ). Luego. par (5) y las f6rmulas de suma i), ii), iii) Yiv) del teorema 5.3.2 se concluye que x ' dx = lim "".:£1 -2 + - - f I , ,11 .( 3k)3 , II-,>OO k= I n n 3 II [ (k) (k2) (k3 )]lim - "".:£. - S + 36 - - 54 2 + 27 3" II-,>oo n k=I n n n Ifml[-sn + 36 . n(n + 1) _ 54. n(n + 1)(2n + I) + 27. n 2 (n + 1)2] II-,>oo n n 2 n2 6 n3 4 }~![- 24 + 54( I +;) - 27( 1 + ~)(2 + ;) + ~1 (1 + ~)(I + ;)] Sl 15 = - 24 + 54 - 27(2) + 4 = - 4' En la FIGURA 5.4.8 se muestra que no se esta considerando el area bajo la gr<ifica sobre [ - 2, 1] . • 1,IMI14!'Xi Integral definida usando (5) Los valores de las sumas de Riemann en los ejemplos I y 2 son aproximaciones al valor de la integral definida f~2 (X2 - 4) dx. Se deja como ejercicio demostrar que (5) da f 3 25 (x 2 - 4) dx = -3 = - S.33. - 2 Yea el problema l6 en los ejercicios 5.4. • I Propiedades de la integral definida A continuaci6n se analizaran algunas propiedades importantes de la integral definida que se defini6 en (4). Las dos siguientes definiciones son utiles cuando se trabaja con integrales definidas. Definicion5.4.2 Lfmites de integraci6n i) Igualdad de limites Si a esta en el dominio de f, entonces f a f(x) dx = O. (/ ii) Inversion de limites Si f es integrable sobre [a, b], entonces (~f(x) dx = - f bf(X) dx. Jh (/ (7) (S) La definici6n S.4.2i) puede motivarse por el hecho de que el area bajo la grafica de f y por arriba de un solo punto a sobre el eje x es cero. En la definici6n de rf(x) dx se supuso que a < b, de modo que la direcci6n de "costum- bre" de la integraci6n defi~ida es de izquierda a derecha. EI inciso ii) de la definici6n 5.4.2 esta- blece que invertir esta direcci6n, es decir, intercambiar los Hmites de integraci6n, resulta en la negativa de la integral. 5.4 La integral definida 299 y y = x3 FIGURA 5.4.8 GnHic<l de la funci6n en el ejemplo 4
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    300 CAPITULO 5integraies y I I b I Jc f (x) dx : = -----'-.-x c ba '-----~v---_/ FIGURA 5.4.9 aditivas b Ja f (x ) dx Las areas son 1!1#14!"I Definici6n 5.4.2 Por el inciso i) de la defini cion 5.4.2, 1o..; limitc.... de inl l'~ral· i(lIl ~ r (X3+ 3x) dx = O. •1!I3MI4!'.' Otro repaso al ejemplo 4 En el ejemplo 4 vimos que J~2X3 dx = -.If.Por el inciso ii) de la definicion 5.4.2 se conclu; ; f -2 II 15 15 x 3 dx = - x 3 dx = - (- 4) = 4' • I -2 En el siguiente teorema se enumeran algunas de las propiedades basicas de la integral cletinida. Estas propiedades son analogas a las propiedades de la notacion sigma proporcionadas en el teare_ ma 5.3.1 , aSI como a las propiedades de la integral indefinida que se analizaron en la secci6n 5. 1. Teorema 5.4.4 Propiedades de la integral definida Si f y g son funciones integrables sobre el intervalo cerrado [a, b], entonces i) (bkf (x) dx = k ("f(x) dx, donde k es cualquier constante Ja Ja ii) ( "[f(x) ::t g(x)] dx = (hf(X) dx::t ( "g(x) dx. J, Ja Ja El teorema 5.4.4ii) se extiende a cualquier suma finita de funciones integrables sobre el in- tervalo [a, b) : (" (" (I' (" J [.fI(x) + f 2(X) + ... + Ux)] dx = J.fI(x) dx + L.f2(x) dx + ... + Lf ,(x) d.r. G a {/ I t La variable independiente x en una integral definida se denomina variable ficticia de inte- gracion. El valor de la integral no depende del sfmbolo usado. En otras palabras, (b I" II> I"Jf (x) dx = fe r) dr = f(s) ds = f(r) dt (/ (/ a (/ y aSI sucesivamente. t!I3M4!" :' Otro repaso al ejemplo 4 POI' (9), no importa que slmbolo se use como la variable de integracion: Teorema 5.4.5 Propiedad aditiva del intervalo 15 4' Si f es una funcion integrable sobre un intervalo cerrado que contiene a los numeros a, b y C, entonces (9) • I b Ie I"f (x) dx = f(x) dx + f(x) dx. (10) II a c Resulta facil interpretar la propiedad aditiva del intervalo dada en el teorema 5.4.5 en el casa especial en que f es continua sobre [a, b) y fCx) 2: 0 para toda x en el intervalo. Como se ve en la FIGURA 5.4.9, el area bajo la grafica de f sobre [a, c) mas el area bajo la grafica del intervalo adyacente [c, b) es la misma que el area bajo la grafica de f sobre todo el intervalo [a, b]. Nota: La conclusion del teorema 5.4.5 se cllmple cuando a, b y c son tres numeros cualesq/lie- ra en un intervalo cerrado. En otras palabras, no es necesario tener el orden a < c < b como se muestra en la figura 5.4.9. Ademas, el resllitado en (10) se extiende a cualquier numero tinito de numeros a, b, C I , Cb .. . , c" en el intervalo. POI' ejemplo, para un intervalo celTado que contiene a los numeros a, b, CI YC2, fiCX) dx = fj·CX) dx + fICX) dx + fi(X) dx. {/ a (" I 1":
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    para Lilla particionP dada de un intervalo [a, b], tiene sentido afirmar que /I Ifm ~ aXk = b - a, IIPII-->O k = I (11) (faS l)'llabras, el Ifmite lim L;'=Iax/, es simplemente el ancho del intervalo. Como una con- en 0 . ' 11P11....o" secuencia de (II), tenemos el siguiente teorema. ,...--- Teorema 5.4.6 Integral definida de una constante 1:'-- Para cLialquier constante k, (b (b J k dx = k J dx = k(b - a). (f a Si f.: > 0, entonces el teorema 5.4.6 implica que flJk dx es simplemente el area de un rectan-a gulo de ancho b - a y altura k. Yea Ia FIGURA 5.4.10. dWJiQ!'1i1 Integral definida de una constante Por el teorema 5.4.6, r5 dx = 5 rdx = 5(8 - 2) = 30. • I!I8MQ!.I !e' Uso de los ejemplos 4 y 9 Evalue f2(x 3 + 5) dx. Soluci6n Por el teorema 5.4.4ii) podemos escribir la integral dada como dos integrales: f2 (X 3 + 5) dx = ft3 dx + L>dx. Luego, por el ejemplo 4 sabemos que I ~2X3dx = -.!f, y con ayuda del teorema 5.4.6 vemos que J ~25 dx = 5 [1 - (- 2)] = 15. En consecuencia, f2(x 3 + 5) dx = ( - 11) + 15 = ~. • Por ultimo, los siguientes resultados no son sorprendentes si Ia integral se interpreta como un area. Teorema 5.4.7 Propiedades de comparacion Seanf y g funciones integrables sobre el intervalo cerrado [a, b] . i) Si f(x) 2': g(x) para toda x en el intervalo, entonces ff(X) dx 2': fg(x) dx. a a ii) Si m :5 f(x) :5 M para toda x en el intervalo, entonces m(b - a):5 ff(X) dx :5 M(b - a). a Las propiedades i) y ii) del teorema 5.4.7 se entienden facilmente en terminos de area. Para i). si se supone f(x) 2': g(x) 2': 0 para toda x en [a, b], entonces sobre el intervalo el area A I bajo la grMica de f es mayor que 0 igual al area A2 bajo la grafica de g. En forma semejante, para ii) si se Supone quef es continua y positiva sobre el intervalo cerrado [a, b] , entonces por el teorema 5.4 La integral definida 301 y y= k b fc,k dx -+--~----------~~ x a b !---b -Cl----+j FIGURA 5.4.10 Si k > 0, el area bajo la gratica es k(b - a)
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    302 CAPITULO 5Integrales )'1 v = I (·q del valor extremo,ftiene un mlnimo absoluto m > 0 y un maximo absoluto M > 0 en el interva_ 10. Entonces, el area bajo la grafica I,~f(x) dx sobre el intervalo es mayor que 0 igual al area m(b - a) del rectangulo mas pequeno mostrado en la FIGURA 5.4.11a) y menor que 0 igual al area M(b - a) del rectangulo mas grande mostrado en la figura 5.4.1 Ib). Si en i) del teorema 5.4.7 se hace g(x) = 0 y se usa el hecho de que I,;' Odx = 0, se ConcIu_ -+-..J..a-'--------'-b- x ye 10 siguiente: '"mfnimo el area es lII(h - 0) y a) Y = I(.r) , , I , el area es: M(b - 0)' +--'a-------'-b- x b) FIGURA 5.4.11 Motivaci6n para el inciso ii) del teorema 5.4.7 y • Sif(x) 2: 0 sobre [a, b], entonces I,~f(x) dx 2: O. En fonna semejante, al escogerf(x) = 0 en i), se concluye que: • Si g(x) ::5 0 sobre [a, b], entonces I"g(x) dx ::5 O.{/ (12) (13) I Area neta con signo Debido a que la funci6n f en la FIGURA 5.4.12 asume valores tanto positi- vos como negativos sobre [a, b] , la integral definida J,~f(x) dx no representa area bajo la grMica defsobre el intervalo. Por el teorema 5.4.5, la propiedad aditiva del intervalo, ff(X) dx = r :l(X) dx + L :l(X) dx + flex) dx. (14) Debido a quef(x) 2: 0 sobre [a, CI] y [C2> b] tenemos flex) dx = Al y ff(X) dx = A3, a C2 d-:---.:'-b~X donde Al y A3 denotan las areas bajo la grafica defsobre los intervalos [a, cJl y [C2, b], respec- FIGURA 5.4.12 La integral definida de f sobre [a, b] propor- ciona el area neta con signo y y = x' tivamente. Pero puesto quef(x) ::5 0 sobre [CI, C2] en virtud de (13), tenemos I«,' f(x) dx ::5 0 Y aSI I e, f(x) dx no representa area. No obstante, el valor de I C 1(x) dx es el negativo del area ver-(I CI dadera A2 acotada entre la grafica de f y el eje x sobre el intervalo [ CI, C2]. Es decir, Je':' f(x) dx = -A2• Por tanto, (14) es flex) dx = Al + (-A 2) + A3 = Al - Az + A3· " Vemos que la integral definida proporciona el area neta con signo entre la grafica de f y el eje x sobre el intervalo [a, b]. ,.,.".+-,,--+-~__ x "jiMijle'" Area neta con signo FIGURA 5.4.13 Area neta con signo en el ejemplo I I EI resultado I ~2X 3 dx = -.if obtenido en el ejemplo 4 puede interpretarse como el area neta con signo entre la grafica def(x) = x3 y el eje x sobre [-2, I]. Aunque la observaci6n de que f i f O i l l Sx3 dx = x3 dx + x3 dx = - AI + Az = -4 -2 - z 0 no proporciona los valores de A I YA2 , el valor negativo es consistente con la FIGURA 5.4.13 donde resulta evidente que el area A I es mayor que Az. • • La teoria Seafuna funci6n definida sobre [a, b] y sea L un numero real. EI concepto intui- tivo de que las sumas de Riemann estan pr6ximas a L siempre que la norma IIPII de una particion Peste cerca de cero puede expresarse en forma precisa usando los simbolos 8-0 introducidos en la secci6n 2.6. Al afirmar quef es integrable sobre [a, b], se esta diciendo que para todo niime- ro real 8 > 0 existe un numero real 0 > 0 tal que I~f(XnLlXk - L I< 8, (15) siempre que P sea una partici6n de [a, b] para la cual!!P!! < 0 Yel x%, son los numeros en los subintervalos [Xk - I, Xk], k = 1, 2, ... , n. En otras palabras, existe y es igual al numero L. 11 11m Lf(xnLlxk 111'11-->0k = I
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    5.4 La integraldefinida 303 I posdata: Un poco de historia Georg Friedrich Bernhard Riemann ( 1826- 1866) naci6 en Hanover, Alemania, en 1826. Fue hijo de un ministro luterano. Aunque era cristiano devoto, Riemann no se inclin6 por seguir la vocaci6n de su padre y abandon6 el estu- ,~-z-,. dio de teologfa en la Universidad de Gotinga para seguir una carrera de estu- Riemann dios en los que su genio era evidente: matematicas. Es probable que el con- cepto de sumas de Riemann haya sido resultado de un curso sobre integral definida que tom6 en la universidad; este concepto refleja su intento por asig- nar un significado matematico preciso a la integral definida de Newton y Leibniz. Despues de presentar su examen doctoral sobre los fundamentos de las funciones de una variable compleja al comite examinador en la Universidad de Gotinga, Karl Friedrich Gauss, el "principe de las matemari- cas", dedic6 a Riemann un elogio bastante singular: "La disertaci6n ofrece pruebas concluyentes. . . de una mente creativa, activa, verdaderamente malel1lulica. . . de fertil originalidad". Riemann, como muchos otros estudiantes promisorios de laepoca, era de constituci6n fragil. Falleci6 a los 39 afios de edad, de pleuresia. Sus originales conlribllciones a la geometrfa diferencial, topologfa, geometrfa no euclidiana y sus intrepidas investigaciones concernientes a la naturaleza del espacio, la electricidad y el magnetismo anun- ciaron el trabajo de Einstein en el siglo siguiente. NOTAS DESDE EL AULA EI procedimiento bosquejado en (5) tenIa una utilidad limitada como medio practico para calcular una integral definida. En la siguiente secci6n se introducira un teorema que permite encontrar el numero I b f(x) dx de manera mucho mas faci!. Este importante teorema consti-a tllye el puente entre el calculo diferencial y el calculo integral. Ejercicios 5.4 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-19. =Fundamentos En los problemas 1-6, calcule la suma de Riemann 'i'i=d(xZ') tJ.,rk para la partici6n dada. Especifique II PII. I. f(x) = 3x + 1, [0, 3], cuatro subintervalos; Xo = 0, Xo = 1, .~ = %,X3 = ~, X4 = 3; x'i' = ~, x~' = ~, x j' = 2, x~' = ~ 2. l ex) = x - 4, [ - 2,5 ] , cinco subintervalos; Xo = -2, X I = - I, X2 = -~, X3 = ~, X4 = 3, Xs = 5; x'i' = -1, .,. I .'. 0 '1' '1' xi = - 2' X3' = , X4' = 2, xs-= 4 3. f (x) = x2 , [- 1, I] cuatro subintervalos: Xo = -1, XI = -±, I 3 1·,·3 "0·,· 1 x~ = 4' X3 = 4' X4 = ; x"j' = -4' xI = , x }· = 2' xi' = ~ 4. f(x) = x2 + I, [ 1, 3], tres subintervalos; Xo = I, XI 5 3 .'. 5 .'. 7 .'. .2 = 2' X3 = ; xT = 4' xI = 4' xi' = 3 3 2' S. lex) = sen x, [0, 27T], tres subintervalos; Xo = 0, X I = 7T, .2 = 37T/ 2, x3 = 27T; X'I' = 7T/ 2, x'~ = 77T/ 6, x~' = 77T/4 6. f (x) = CoSX, [- 7T/2, 7T/2], cuatro subintervalos; Xo = -7T/ 2, XI = - 7T/4, X2 = 0, X 3 = 7T/ 3, X4 = 7T/ 2; x';' = -7T/ 3, x~' = -7T/ 6, x3' = 7T/ 4, x~; = 7T/ 3 7. Dada f(x) = X - 2 sobre [0, 5], calcule la suma de Riemann usando una partici6n con cinco subintervalos de la misma longitud. Sea xt, k = 1, 2, .. . , 5, el punto fron- terizo derecho de cada subintervalo. 8. Dadaf(x) = x2 - X + 1 sobre [0, 1], calcule la suma de Riemann usando una partici6n con tres subintervalos de la misma longitud. Sea x2', k = 1,2,3, el punto fronteri- zo izquierdo de cada subintervalo. En los problemas 9 y 10, sea Puna partici6n del intervalo indicado y xt' un numero en el k-esimo subintervalo. Escriba las sumas dadas como una integral definida sobre el intervalo indicado. 9. lim ±V9 + (Xt)2Llxk; [ - 2,4] Ilpll-->ok ~ I 11 10. 11m ~ (tanxDLlxk; [0, 7T/4] Ilpll-->ok~ I En los problemas II y 12, sean Puna partici6n regular del intervalo indicado y x%' el punto fronterizo de cada subinter- valo. Escriba la suma dada como una integral definida. 11 ( 2k)211. Ifm ~ 1 + - - ; [0, 2] 11 -->00 k~ I n n 12. Ifm ~ 1 + - - ; [1,4]II ( 3k)3 3 11 -->00 k ~ I n n En los problemas 13-18, use (5) y las f6rmulas de suma en el teorema 5.3.2 para evaluar la integral definida dada. 13. IIxdx 14. f 3XdX - 3 0 15. f 2(X 2 - x) dx 16. I 3 (x2 - 4) dx I -2
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    304 CAPITULO 5Integrales En los problemas 19 y 20, proceda como en los problemas 13-18 para obtener el resultado dado. fb L f" 119. x dx = 2 (b2 - a2) 20. x 2dx = 3Cb3 - a3 ) a a 21. Use el problema 19 para evaluar fiXdx. 22. Use el problema 20 para evaluar flX2 dx. En los problemas 23 y 24, use el teorema 5.4.6 para evaluar la integral definida dada. 23. f4dX 24. f 2C- 2)dX En los problemas 25-38, use la definicion del teorema 5.4.2 y los teoremas 5.4.4, 5.4.5 Y5.4.6 para evaluar la integral defi- nida dada. Donde sea idoneo, use los resultados obtenidos en los problemas 2L Y 22. 25. r-2!. dx J4 2 27. - i - llOXdX 29. i- l t2 dt 31. [C-3X2 + 4x - 5) dx 33. IO x2 dx + ex2dx - I Jo 35. fXdX + fC9 - x) dx 37. r3 f.0J o X 3 dx + 3 t 3 dt I- I f. -I5x dx - Cx - 4) dx - I 3 38. 26. 28. rlOx 4 dx [C3X + 1) dx 30. [C3x 2 - 5) dx 32. [6X(X - 1) dx I1.2 f.1.234. 2tdt - 2tdt - I 3 En los problemas 39-42, evalue la integral definida usando la informacion dada. 39. f/(X) dx si f/(X) dx = 6 y f/(X) dx = 8.5 40. f/(X) dx si fr(X) dx = 2.4 y fr(X) dx = -1.7 41. [[2/CX) + g(x) ] dxsi [/CX) dx = 3.4 y [3g(X) dx = 12.6 42. f 2gCX) dx si f 2f'CX) dx = 14 Yf2 [f(x) - 5g(x)] dx = 24 En los problemas 43 y 44, evalue las integrales definidas a) f/(X) dx b) flex) dx c) f'rcx) dx d) fl(X) dx a e) f{~(X) dx b f) frcx) dx a usando la informacion en la figura dada. 43. y Area = 3.9 Area = 1.2 FIGURA 5.4.14 Gnltica para el problema 43 44. Area = 9.2 y Area = 6.8 a ,.,,/---"-:-,~ x FIGURA 5.4.15 Gnifica para el problema 44 En los problemas 45-48, la integral dada representa el area bajo una gratica sobre un intervalo dado. Trace esta region. 45. II (2x + 3) dx 46. r 4(- X2 + 4x) dx - I Jo 47. [ 7Tsenx dx 48. f2-Vx+2 dx En los problemas 49-52, la integral dada representa el ,1rea bajo una gratica sobre un intervalo dado. Use formulas id6- neas de geometria para encontrar el area. 49. L:Cx + 2) dx 50. fiX- 11dx 51. i/l~ dx 52. f3(2 + 1'9 - x 2 )dx En los problemas 53-56, la integral dada representa la siguiente area con signo entre una gratica y el eje x sobre un intervalo. Trace esta region. 53. fe-2X+ 6) dx 54. fy -x2) dx 55. I 3 4x d - 1/2x + 1 x r5,,/2 56. J o cos x dx
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    los problemas 57-60,la integral dada representa el area En .,."no entre una grafica y el eje x sobre un intervalo. Use can s =' , , f6nllUla.-; id6neas de geometna para encontrar el area neta con signo. 57. f 12.r clx 58. r(~x -2)dX 59. f 11( - ~) dx 60. [(l -Ixl)dx En 10' problemas 61-64, la funcionJse define como {(x) = {x' x:::; 3 . 3, x > 3. Use formulas idoneas de geometrfa para encontrar la integral definida dada. 61. (nx)dx 63. J 'f(X) dx - .j 62. fJ(X) dx 64. {,/(X) dx En los problemas 65-68, use el teorema 5.4.7 para establecer la desigualdad dada. 65. IIIeX dx :::; fO e-x dx - I - I 66. f 7T/.j(COS x - sen x) dx 2: °Il 67. I :::; {,(x)+ 1)1/2dx:::; 1.42 68. - 2:::; f(X2- 2x)dx:::; ° 5.5 Teorema fundamental del calculo 5.5 Teorema fundamental del calculo 305 En los problemas 69 y 70, compare las dos integrales dadas por medio de un sfmbolo de desigualdad :::; 0 2: . 69. {'X2 dx, {'x3dx 70. II.14+2 dx, II~ dx =Piense en ello 71. SiJ es integrable sobre el intervalo [a, b], entonces tam- bien 10 esJ2 . ExpJique por que f,7/2(x) dx 2: 0. 72. Considere la funcion definida para toda x en el intervalo [ - 1, I] : f(x) = {O,1, x racional x irracional. Demuestre queJno es integrable sobre [-], 1] , es decir, f~J(x) dx no existe. [Sugerencia: El resultado en (11) puede ser (ttil.] 73. Evalue 1a integral definida fd Vx dx usando una particion de [0, 1] donde los subintervalos [Xk-" xd estan defini- dos por [(k - 1)2/n2, ~/n2 ] y escogiendo xi' como el punto fronterizo derecho de cada subintervalo. 74. Evalue la integral definida f ; /2 cos X dx usando L1na par- ticion regular de [0, 7T/ 2] y escogiendo xt' como el punto medio de cada subintervalo [Xk- " xd. Use los resultados conocidos . sen 2n () I) cos () + cos 3() + ... + cos(2n - 1)8 = 2 () sen 4..) l' 1II 1m 11->00/1 sen (7T/ 4n) 7T I Introduccion Al final de la seccion 5.4 se indico que hay una forma mas sencilla para eva- luar llna integral definida que calculando el limite de una suma. Esta "manera mas sencilla" se logra por medio del teorema fundamental del caIculo. En esta seccion vera que hay dos for- mas de este importante teorema: la primera forma, que se presenta a continuacion, permite eva- luar Illuchas integraies definidas. I Teorema fundamental del calculo: primera forma En el siguiente teorema se ve que el con- cepto de antiderivada de una funci6n continua constituye el puente entre el calculo diferencial y el caiculo integral. Teorema 5.5.1 Teorema fundamental del calculo: forma de antiderivada Si f es una funcion continua sobre un intervalo [a, b] y F es L1na antiderivada deJsobre el intervaio, entonces (1) I "J(x) dx = F(b) - F(a). a
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    306 CAPITULO 5Integrales Se pl~s~nlar~ln dos dcmoslr~ICi()- ~ DEMOSTRACION Si F es una antiderivada de 1, entonces por definici6n rex) = f(x). Puesto ncs del lcorcma 5.5.1. En la que F es diferenciable sobre (a, b), el teorema del valor medio (teorema 4.4.2) garantiza que li.::nHlslracilln lJUl ' se Jll"Opllrcio- existe un xi' en cada subintervalo (Xk- I , Xk) de la partiei6n P: na sc usa la pn::misa b~lsica de que una inlegral dd inida e, un lImite de una S UI1l ~1. Dcspues que se demuesl l'c IJ segunda forma del leorcm: fundamental del ciilculo. se 'ol ver,j al lcorc- l11a 5S 1 y sc pre,entara una del11ostraci6n a ll crn~l. a = Xo < XI < X2 < ... < XII - I < xl1 = b tal que F(Xk) - F(Xk- l) = F'(XJ')(Xk - Xk - I) 0 F(Xk) - F(Xk- l) = f(xt) t:Uk' Luego, para k = 1, 2, 3, ... , n con el ultimo resultado obtenemos F(xl) - F(a) = f(x'!') Llxl F(X2) - F(xl) = fCxi) LlX2 F(X3) - F(X2) = f(xD LlX3 Si sumamos las columnas precedentes, II [ F(xl) - F(a)] + [ F(X2) - F(x,) ] + ... + [F(b) - F(xlI_I) ] = Lf(x2') LlXk k = 1 vemos que la suma de todos los terminos, menos los dos sin color en el miembro izquierdo de la igualdad, es igual a 0, con 10 cual tenemos II FCb) - F(a) = Lf(xD LlXk' k= 1 Pero !fm [F(b) - F(a)] = F(b) - F(a), de modo que el limite de (2) cuando IIPII ---+ °es IIPII->O /I F(b) - F(a) = 11m Lf(xn LlXk' IIPII-->Ok = I Por la definici6n 5.4.1, el miembro derecho de (3) es J "f(x) dx. " La diferencia FCb) - F(a) en (1) suele representarse por el sfmbolo F(x)] b es deeir, '" J b f Jb Jbf(x) dx = f(x) dx = F(x) . a a a '---v-------' ~ integral defin ida integral inderinida (2) (3) • Puesto que el teorema 5.5.1 indica que F es cualquier antiderivada del, siempre es posible esco- ger la constante de integraci6n C como igual a cero. Observe que si C =I=- 0, entonees J " Jb(F(x) + C) " = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a) = F(x) u' U!!3¢@!.I' Usa de (1) En el ejemplo 4 de la secci6n 5.4 se apel6 a la definici6n mas bien larga de integral definida para demostrar que J~2X3 dx = - J,f.Puesto que F(x) = ~X4 es una antiderivada de f(x) = x3 , a partir de (1) obtenemos inmediatamente J I x 4 JI I 1 1x3 dx = - = - - _ (-2)4 = - -2 4 - 2 4 4 4 16 15 •4 UIi#M4!'.J Uso de (1) J 3 Evalue I x dx. Solucion Una antiderivada def(x) = xes F(x) = !x 2 . En consecuencia, (1) del teorema 5.5.1 proporciona J 3 X2 ] 3 9 1 I X dx ="2 I = "2 - "2 = 4. •
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    5.5 Teorema fundamentaldel calculo 307 dl#l~fSL-'u=-=s=-=o,---d=-e,,---,-( 1'-'.)_____________ ______________ Evall1c L(.'Ix" - x + 1) dx. Solucion Aplicamos ii) del teorema 5.1.2 y 1a f6rmula de integraci6n 2 de la tabla 5.1.1 a cada tCI"Inino del integrando, y luego usamos el teorema fundamental: f2(3x 2- X+ I) dx = (X3- ~~ + x) t2 = (8 - 2 + 2) - (- 8 - 2 - 2) = 20. • dl#IWlII Uso de (1) J 71" Evalue cos x dx. 71"/6 Solucion Una antiderivada de f(x) = cos x es F(x) = sen x. En consecuencia, J 7r ]7r 7T I 1 cos x dx = sen x = sen 7T - sen - = 0 - - = --. 71"/6 7r/6 6 2 2 • I Teorema fundamental del calculo: segunda forma Suponga quef es continua sobre un inter- valo la. b l, por 10 que se sabe que la integral {~fCt) dt existe. Para toda x en el intervalo [a, b], la integral definida ~ Tenga en cuenta que una integral g(x) = fr(t) dt a (4) representa un solo numero. De esta forma, se ve que (4) es una funci6n con dominio [a, b l. En la FIGURA 5.5.1 se muestra quef es una funci6n positiva sobre [a, b], y asf cuando x varfa a traves del intervalo es posible interpretar g(x) como un area bajo la grMica sobre el intervalo [a, xl. En la segllnda forma del teorema fundamental del calculo se demostrara que g(x) definida en (4) es una fUIlci6n diferenciable. Teorema 5.5.2 Teorema fundamental del c:ilculo: forma de derivada Seafcontinua sobre [a, b 1y sea x cualquier numero en el intervalo. Entonces g (x) = I~'f(t) dt es contillua sobre [a, b1y diferenciable sobre (a, b) y g'(x) = f(x). (5) DEMOSTRACION PARA h> 0 Sean x y x + h en (a, b), donde h > O. Por la definici6n de derivada, , ,g(x + h) - g(x) g (x) = hm 1 . h--:-O 1 (6) Aillsar las propiedades de la integral definida, la diferencia g(x +h) - g(x) puede escribirse como g(x + h) - g(x) = f +'f(t) dt - fr(t) dt ({ a J,X+'f(t) dt + rf(t) dt <- pOI" (8) de la scccion 5.4 fX+'f(t) dt. <- por ( 10) de la seccion 5.4 Por tanto, (6) se vuelve 1 f X+h g'(x) = Ifm -I f(t) dt. 11--:-0 1 x (7) clefinicla no c1epencle de la variable de integracion I. y y = I(t) I +g(x) (/ x b FIGURA 5.5.1 g(x) como area
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    308 CAPITULO 5Integrales Puesto quefes continua sobre el intervalo cerrado [x, x + hl, por el teorema del valor extremo (teorema 4.3.1) se sabe quefalcanza un valor minimo In y un valor maximo M sobre el interva. 10. Puesto que m y M son constantes con respecto a la integraci6n sobre la variable t, pOl' el teo. rema 5.4.7ii) se concluye que f X+h f X+h f X+h x In dt :::; x f(t) dt :::; x Mdt. (8) Con ayuda del teorema 5.5.1, f X+h ]X+h x melt = mt x = m(x + h - x) = mh y f X+11 ]X+h x Melt = Mt x = M(x + h - x) = Mh. Por tanto, la desigualdad en (8) se vuelve f X+h nth:::; x f(t) elt :::; Mh 0 1 f X+h m :::; h f(t) dt :::; M. x (9) Puesto que f es continua sobre [x, x + h1tiene sentido afirmar que lfm m = Ifm M =f(x). Al11---+0+ 11---+0+ tomar ellfmite de la segunda expresi6n en (9) cuando h ~ 0+ obtenemos 1 f X+h f(x):::; lfm -, f(t) elt :::; f(x). h.....O+ 1 x Esto demuestra que g'(x) existe y por f(x) :::; g'(x) :::; f(x) concluimos que g'(x) = f(x). Puesto que g es diferenciable, necesariamente es continua. Un razonamiento semejante se cumpIe para h < O. • Otra forma mas tradicional de expresar el resultado en (5) es U!J3MRK'¥j Usa de (10) Por (l0), a) .!!:..-fXt3dt=X3 dx -2 '¥IiIMRK"ij Regia de la cadena Encuentre !r "cos t dt. 1T el (X elx Lf(t) elt = f(x). II b) !rIf2+l dt = Vx2+l. (10) • Solucion Si identificamos g(x) = f~cos t dt, entonces la integral dada es la composici6n g(x3 ). Realizamos Ia diferenciaci6n al aplicar la regIa de la cadena con u = x3 : elf x' el(f")delx cos t dt = elu cos t elt l::1T 1T = cos u . du = cos x3 . 3x2 dx • I Demostraci6n alterna del teorema 5.5.1 Vale la pena examinar otra demostraci6n del teo- rema 5.5.1 usando el teorema 5.5.2. Para una funci6n f continua sobre [a, b l, la declaraci6n g'(x) = f(x) para g(x) = f: f(t) dt significa que g(x) es una antiderivada del integrandof Si F es cualquier antidetivada del, por elteorema 5.1.1 sabemos que g(x) - F(x) = Co g(x) = F(x) + C,
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    5.5 Teorema fundamentaldel calculo 309 I I > C es una constante arbitraria. Puesto que g(x) = {' f(t) dr, para cualquier x en [a, b] se(on( t: . . (/. concluyc que fi(t) dt = F(x) + C. {/ Si en (I I) sustituimos x = a, entonces j':f(t) dt = F(a) + C (/ implica C = - F(a), puesto que f:f(t) dt = O. As!, (11) se vuelve fict) dt = F(x) - F(a). a puesto que la ultima ecuacion es valida en x = b, encontramos ff(t) dt = F(b) - F(a). (/ (II) • I Funciones continuas por partes Se dice que una funcion f es continua por partes sobre un intervalo [a, b] si existe a 10 mas un mimero finito de puntos Ck> k = 1, 2, . . . , 11, (Ck - ] < Ck) en los queftiene una discontinuidad finita, 0 saIto, sobre cada subintervalo abierto (Ck-I , Ck) ' Yea la FIGURA 5.5.2. Si una funcion f es continua por partes sobre [a, b], esta acotada sobre el interva- 10, y entonces por el teorema 5.4.2,fes integrable sobre [a, b] . Una integral definida de una fun- ci6n continua por partes sobre [a, b] puede evaluarse con ayuda del teorema 5.4.5: ffCX) dx = fi(X) dx + fi(X) dx + ... + ff(X) dx a (l CI ('II y al tratar a los integrandos de las integrales definidas en el miembro derecho de la ecuacion anterior simplemente como si fuesen continuos sobre los intervalos cerrados [a, CI], [cj, C2], ... , [ell' bj. I,IM@!'. Integraci6n de una funci6n continua por partes Evalue ff(X) dx donde { X + 1, -1::; x < 0 f(x) = x, 0 ::; x < 2 3, 2 ::; x ::; 4. Solucion La grc'ifica de una funcion f continua por partes se muestra en la FIGURA 5.5.3. Luego, par el analisis precedente y la definicion de f: frCX) dx = fr(X) dx + ff(X) dx + {i(x) dx = fO (x + 1) dx + r2x dx + fdx -] Jo 2 = -x2 + X + -x2 + 3x = - .( 1 )]0 1]2 ]4 17 2 _] 2 0 2 2 IiI!#M4!t.:. Integraci6n de una funci6n continua por partes Evalue rIx - 21 dx. Solucion Por la definicion de valor absoluto, { X - 2 Ix - 21 = -(x - 2) six - 22:0 six - 2 < 0 o Ix - 21 { X - 2 -x + 2 si x 2: 2 six < 2. • y ~~0: I I ~ I I ; '-, a t discontinuidades finitas FIGURA 5.5.2 Funci6n continua pOl' partes y - 0 2 4 FIGURA 5.5.3 GrMica de la funci6n en el ejemplo 7
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    310 CAPITULO 5Integrales y y = - x + 2 y=x-2 ---+-=-o- --t-- -----''I''------t-* x 3 FIGURA 5.5.4 Grafica de la funci6n en el ejemplo 8 En la FIGURA 5.5.4 se muestra la gr<ifica de f(x) = Ix - 21.Luego, debido a ( J0) del teorema 5.4.5 podemos escribir • I 31x - 21 dx = I 21x - 21 dx + J31x - 21dx 0 0 2 f e-x + 2) dx + rex -2) dx = (_~X2 + 2x )t + (~X2 - 2X)J~ = (- 2 + 4) + (~- 6) -(2 - 4) = %. • • Sustitucion en una integral definida Recuerde por 1a secci6n 5.2 que algunas veces lIsal1l0s una sustituci6n como ayuda para evaluar una integral indefinida de la forma ff(g(x))g'(x) dx. Es necesario tener cuidado a1 usar una sustituci6n en una integral definida f;" f (g(x))g'(x) dx, pues- to que es posible proceder de dos formas. Directrices para sustituir una integral definida • Evalue la integral indefinida ff(g(x))g'(x) dx por medio de la sustituci6n u = g(x). Vuelva a sustituir u = g(x) en la antiderivada y luego apJique el teorema fundamen- tal del ca1culo usando los limites de integraci6n originales x = a y x = b. • En forma aJterna, 1a segunda sustituci6n puede evitarse al cambiar los lfmites de integraci6n de modo que con'espondan al valor de u en x = a y u en x = b. El ultimo metodo, que suele ser mas rapido, se resume en el siguiente teorema. Teorema 5.5.3 Sustituci6n en una integral definida Sea u = g(x) una funci6n cuya derivada es continua sobre el intervalo [a, b], y seafuna fun- ci6n continua sobre el rango de g. Si F'(u) = feu) y c = g(a) , d = g(b), entonces I I> Ig(bl f (g(x))g'(x) dx = f eu) du = F(d) - F(c). a g(£I) ( 12) DEMOSTRACION Si u = g(x), entonces du = g'(x) dx. En consecuencia, I b Ig(b) I Id Jdf(g(x))g'(x) dx = feu) ~~ dx = feu) du = F(u) = F(d) - F(c). a g0) c c • 'j!M!IR!.a:' Sustituci6n en una integral definida Evalue f"l'2x 2 + I x dx. Soluci6n Primero se ilustraran los dos procedimientos presentados en las directrices que pre- ceden al teorema 5.5.3. a) Para evaluar la integral indefinida JV2X2 + 1 x dx usamos u = 2x2 + 1 y du =4x d.". As!, IV2x 2 + 1 xdx = ±IV2x 2 + 1 (4xdx) = ±IU I / 2 du 1 U3/ 2 =- - +C 4 3/ 2 = I (2x2 + 1)3/2 + C. 6 <- slistitlicion <- (lIra Slislitllci6n
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    E ll cOllsecuencia,pOl' el teorema 5.5.1 , J 2V2X 2 + I xdx = 1(2x2 + 1)3/2 ] 2 o 6 0 = J.- [93/ 2 - 13/2 ] 6 . = ! [27 - I] = J16 . 3 . 5.5 Teoremafundamental del calculo 311 b) Sill = 2X2 + I, entonces x = 0 implica u = I, mientras que con x = 2 obtenemos II =9. As!, pOI' el teorema 5.5.3, " iillliles t fhx2+ 1 x dx = !f9U'/2du <- illlcgrac it)Jl 4 COil rcspeclO a II o I = ±~;~r = i[93 / 2 - 13 / 2 ] = I;. • CU<1ndo la grafiea de una funci6n y =f(x) es simetriea con respeeto al eje y (funei6n par) 0 al origen (funei6n imparl, entonees la integral definida defsobre un intervalo simetrico [ - a, a], es decir, J~a f(x) dx, puede evaluarse por medio de un "atajo". Teorema 5.5.4 Regia de la funci6n par SiI es una funci6n par integrable sobre [- a, a] , entonees f a f a f(x) dx = 2 f(x) dx. -Q 0 (13) Se demostrani el siguiente teorema, pero la demostraei6n del teorema 5.5A se deja como ejerclclo. Teorema 5.5.5 Regia de la funei6n impar Si ./es una funci6n impar integrable sobre [-a, aJ, entonees f!(X) dx = O. (14) DEMOSTRACION Suponga que f es una funci6n impar. Por la propiedad aditiva del intervalo, teorema 5A.5, tenemos f!(X) dx = f!ex)dx + fiex) dx. En la primera integral en el miembro izquierdo, sea x = -t, de modo que dx = - dt, y euando .r = - a y x =0, entonees t =a y t = 0: f a ro f a f(x) dx = Lf( - t)( - dt) + f (x) dx <-/( ~ /) = ~I(I).f Lilla fUllcioll impar - (I a 0 f f(f) dt + ff(X) dx a 0 -fi(r) dt + ff,(X) dx <- pOl' (8) de la scccioll 5.4
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    312 CAPiTULO 5Integrales = - l':r(X) dx + lateX) dx <- I cro, Lilla IO,riablc de illlegro,ci"ll "I'iclicid" = 0, •La euesti6n importante en el teorema 5.5.5 es esta: euando una funei6n integrable imparf se integra sobre un intervalo simetrieo [ - a, a] , no es neeesario eneontrar una antiderivada dej ; el valor de la integral siempre es eero, En la FIGURA 555 se muestran motivaeiones geometrieas para los resultados en los teoremas 5.5.4 y 5.5.5. y = f(x) y I a L a f(x) dx -_~a---------r---------a~~ x y y = I(x) o L af(x) dx a --~------~~--~---,~x faaf(x ) d;r:- a I I I a) Funci6n par: el valor de la integral b) Funci6n il11par: el valor de la integral definida sobre [- a, OJ es el l11isl11o definida sobre [- a, 0] es el opuesto que el valor sobre [0, a J que el valor sobre [0, aJ FIGURA 55.5 Regia de la funci6n par en a); regia de la funci6n il11par en b) '!I#MQI.I!.' Usa de la regia de la funci6n par Evalue L(x4 + X2) dx. Solucion El integrando f(x) = X4 + x 2 es una funei6n polinomial euyas poteneias son toclas pares, de modo que f neeesariamente es una funei6n par. Puesto que el intervalo de integraei6n es el intervalo simet:rieo [-1, 1], por el tem'ema 5.5.4 se eoncluye que es posible integral' sobre [0, 1] Y multiplicar el resultado por 2: fI(x4 + x2) dx = 2 (I(x4 + x2) dx - I Jo = 2(ix5 + ~x3)I = 2(1+ I) = .!.§. 5 3 15' 1ii@I#MiQ!.,,, Usa de la regia de la funci6n impar J "'/2 Evalue sen x dx. - 7f/2 Solucion En este easo f(x) = sen x es una funei6n impar [-ni 2, 1T12]. Asf, por el teorema 5.5.5 de inmediato tenemos NOTAS DESDE EL AULA J rr/ 2 sen x dx = 0. - ",/ 2 • sobre el intervalo simetrieo • f b a ..........,.,...............,""""",""" "" ,'"",,"" """ """""" """ ,.,',"" """""'""""""" """""""""" "" """""" ',"" "" "" La forma de antiderivada del teorema fundamental del ealculo eonstituye una herramienta extremadamente importante y poderosa para evaluar inte~rales definidas, LPor que molestar- se con un burdo lfmite de una suma euando el valor de f f(x) dx puede eneontrarse al ealeu-a lar f f(x) dx en los dos numeros a y b? Esto es eierto hasta eierto punto; no obstante, ya es hora de aprender otro heeho de las matematieas, Hay funeiones eontinuas para las cuales la
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    5.5 Teorema fundamentaldel calculo 313 , Iltidcri"ada ff(x) dx no puede expresarse en terminos defitnciones elementales: sumas, pro- ~LlctoS. cocicntes y potencias de funciones polinomiales, trigonometricas, trigonometricas illvcrsas, logarftmicas Y ex ponenciales. La simple funci6n continuaf(x) = W+l no tiene ant idcri"ada que sea una funci6n elemental. Sin embargo, aunque pOI' el teorema 5.4. 1 es posible afirmar que la integral definida f~ W+l dx existe, el teorema 5.5.1 no es de nin- !,!Llll;i ayuda para encontrar su valor. La integral f~ -w-+I dx se denomina no elemental. Las integrales no elementales son importantes y aparecen en muchas aplicaciones como teo- ria de probabilidad y 6ptica. A continuaci6n se presentan algunas integrales no elementales: fse; x dx, fsen x2 dx, f e-I' dt y f~¥' dx. Yea los problemas 71 y 72 en los ejercicios 5.5. Ejercicios 5.5 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-19. =Fundamentos En los problemas 1-42, use el teorema fundamental del calcu- 10 proporcionado en el teorema 5.5.1 para evaluar la integral delinida dada. I. rdx 2. roC-4) dx 3. [(2.1 + 3) dx 5. f(6X2- 4x + 5) dx 7. frlen x dx 9. J,,/2cos 3t dt ,,/4 J V4 1 II. - du 1/2 u 2 4. f/dt 6. L'2(12X S - 36) dx 8. fT/4cos f) df) -7T/ 3 10. JI sen 21TX dx 1/ 2 12. I-I !-. dx -3 X 27. 29. 31. 33. 35. 37. 39. 41. f l( 1)111+ - ldx 1/ 2 x x I I x+1 d o Vx2 + 2x + 3 x 1 7T/ S o sec 2 2x dx I 3/2 (x - cos 1TX) d.x - 1/ 2 1 7T/2 o Vcos xsen x dx J 7T/2 I + cos f) ? df) 7T/6 (f) + sen f))- J 3/4 sen2 1TX dx o J s 1 I -'-1-+--=--C:-2-x dx f 4Yl + 4!'X 28. • ;- dx I YX II u3 + U 30. ? _ du - I (u4 + 2u- + Ir 32. 34. 36. 38. 40. 42. Jv:rrtlx csc x2 cot x2 dx V7T74 f 4 cos !'X d.x I 2!'X J 7T/ 3 sen x cos x dx 7T/6 I,,/4 (sec x + tan X)2 dx - 7T/4 I,,/2cos 2 X dx -,,/2 II tan x dx - I 13. fI eX dx - I 15. {"x(l - x) dx 14. i2 (2x - 3eX ) dx 16. fX(X - 2)(x + 2) dx En los problemas 43-48, use el teorema fundamental del calculo proporcionado en el teorema 5.5.2 para encontrar la derivada indicada. 17. [(7x3 - 2X2+ 5x - 4) dx 18. L~I(X2 - 4x + 8) dx 19. J-lx-I dx I !'X 21. 23. 25. J v'3 l - - - dx I l + x2 I I? -4 Vz + 4 dz I' x -,=:=== dx oVx2 + 16 20. I4x 2 : 8 dx 2 x- 22. 24. 26. d I X I 43. -, te dt GX 0 . d II 2 645. - (3x - 2x) dx dt 2 I f6X - I 47. '£/' -v'4t+9 dt GX 3 44. 46. 48. d JXdx I In t dt .!!...f9Yu2+ 2 du dx x I I v;: G ? dx sen t - df 7T En los problemas 49 y 50, use el teorema fundamental del calculo proporcionado en el teorema 5.5.2 para encontrar F '(x). [Sugerencia: Use dos integrales.] 49. F(x) = fX '-3- 1 - dt 50. FCx) = i Sx v'f2+I dt 3x t + 1 Jsen x
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    314 CAPiTULO5 Integrales Enlos problemas 51 y 52, compruebe el resultado dado al evaluar primero la integral definida y luego diferenciando. 51. !fA(6t2 - 8t + 5) dt = 6x2 - 8x + 5 d ( ' x t 52. dt Lsen "3 dx = sen "3 '" 53. Considere la funci6n f(x) = Ii' In (2t + 1) dt. Encuentre el valor funcional indicado. a) f( l ) c) 1"(1) b) 1'(1) d) 1"'(1) 54. Suponga que G(x) = f ;;f(t) dt y G'(x) = f(x). Encuentre la expresi6n dada. c) G(x3 + 2x) b) !{ G(x2 ) dx d) d l G(x3 + 2x) GX En los problemas 55 y 56, evalue f~J(x) dx para la funci6n f dada. 55. f(x) = { -:;x, x-, x< O x2: 0 56. f(x ) = {;~ + 3, xsO x > o En los problemas 57-60, evalue la integral definida de la fun- ci6nt continua por partes. 1 3 {4 0 s x < 257. af(x) dx, dondef(x) = 1', 2 sxs3 58. ("'f(x) dx, donde f(x) = {sen x, 0 s x < 7T/ 2 Ja cos x, 7T/ 2 s x s 7T I 2 {X2, -2 s x < -] f(x) dx, donde f(x) = 4, - I s x < 1 - 2 x 2 , I s x s 2 59. 60. If(X)dx, dondef(x) = lxJ es la funci6n entero mayor En los problemas 61-66, proceda como en el ejemplo 8 para evaluar la integral definida dada. 61. L'31xl dx 62. r12x - 61dx 63. f sV IXI + 1 dx 64. flx 2 - I ldx 65. f",Isen xl dx 66. ficOS xl dx En los problemas 67-70, proceda como en el inciso b) del ejemplo 9 y evalue la integral definida dada usando la sustitu- ci6n u indicada. I e (In 2t)5. 67. - -- dt , u = In 2t 1/ 2 t I I 1 68. _ I ? dx; v'2/2(tan x)(l + r ) u = tan- I x 69. (I ~-2X dx; u = e-2x + I Jo e- x + 1 1 1/v'2 X 70. , ~ dx; u = x 2 o V 1 - [ =Aplicaciones 71. En matematicas aplicadas, algunas funciones importan_ tes se definen en terminos de integrales no elementales. Una de estas funciones especiales se denomina funci6n error, que se define como erf(x) = _ 2_ (Xe_l, dt. y;: Jo a) Demuestre que erf(x) es una funci6n creciente sobre el intervalo (-00, (0). b) Demuestre que la funci6n y = eX' [I + y;:erf(x)1 satisface la ecuaci6n diferencial dy dx - 2xy = 2, y que yeO) = 1. 72. Otra funci6n especial definida por una integral no ele- mental es la funeion integral seno Si(x) = (' sen t dt. Jo t La funci6n Si(x) tiene una infinidad de puntos fronterizos relativos. a) Encuentre los cuatro primeros nlllneros crfticos para x> O. Use la prueba de la segunda derivada para de- terminar si estos numeros criticos corresponden a lin maximo 0 a un minimo relativo. b) Use un SAC para obtener la grMica de SiCx). [Suge- rencia: En Mathematica, la funci6n integral sene se denota por SinIntegral[x].J =Piense en ello En los problemas 73 y 74, sean Puna partici6n del intervale indicado y x~' un numero en el k-esimo subintervalo. Deter- mine el valor del Ifmite dado. II 73. lim L (2x%' + 5) ~Xk; [-1,3] 11111->0k = I , II xt' 74. hm L cos -4 ~Xk; [0, 27T] IIPII->O k = I En los problemas 75 y 76, sean Puna partici6n regular del intervalo indicado y x%' un numero en el k-esimo subinterva- 10. Establezca el resultado dado. II 75. Ifm 7T L sen xt = 2; [0, 7T] 11->00 n k = I 76. lim l ±x%' = 0; [-1, 1] 11-:;00 n k = I
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    1 . l)I"ohkmas 77Y 78, evalue la integral definida dada. En os /2 77. r{J1212 dt} dx 78. r{ f sen x dX} dt Delllllcstre la prueba de la funcion par, teorema S.S.4. 79. 80. Suponga que / es una funci6n impar definida sobre un intervalo [ - 4, 4]. Ademas, suponga que / es diferencia- ble sobre el intervalo,/(- 2) = 3.S, queftiene ceros en _:; y :; y numeros criticos - 2 y 2. a) i.ClIal esf(O)? b ) Trace la grMica aproximada def c) Suponga que F es una funcion definida sobre [ - 4,4] por F(x) = I~J(t) dt. Encuentre F(-3) y F(3). ti) Trace una gnifica aproximada de F. e) Encuentre los numeros crfticos y los puntos de infle- xion de F 81. Determine si el siguiente razonamiento es conecto: r~:2sen 2 t dt = - r::2sen t( - sen t dt) J WP {If = cos { - VI - cos2 t (- sen t dt) +-- I I{If = - sen l(! - w/2 = - I/l=-~ d = 0 { Tcorema 5.5.3 u u . +-- Dcfinici6n 5,42i) o 82. Calcule las derivadas. a) (/' XJ2Xvf3+7 dt GX I d J4h) dx x I vf3+7 dt =Problemas con calculadora/SAC 83. a ) Use una calculadora 0 un SAC para obtener las gnifi- cas def(x) = cos3 x Y g(x) = sen3 x. b ) Con base en su interpretacion de area neta con signo, use las grMicas del inciso a) para conjeturar los valo- res de J~wcos3 x dx YJ~7Tsen3 x dx. =Proyectos 84. Integracion por dardos En este problema se ilustra un metodo para aproximar el area bajo una grMica al "lanzar dardos". Suponga que deseamos encontrar el area A bajo la grafica de/ex) = COS 3 (1TX/2) sobre el intervalo [0, 1] ; es decir, se quiere aproximar A = Id cos3 ( 1Tx/2) dx. Si se lanza, sin ningun intento particular de ser ex- petto, un gran numero de dardos, por ejemplo N, hacia el blanco cuadrado de I X 1 mostrado en la FIGURA 5.5.6 Yn dardos se insertan en la region roja bajo la grMica de f (x) = cos1Tx/2), entonces es posible demostrar que la probabilidad de que un dardo se inserte en la region esta dada por la relacion de dos areas: area de la region A area del cuadrado I . Ademas, esta probabilidad te6rica es aproximadamente la misma que la probabilidad empfrica n/N: A n- ::::=::::::: - 1 N o A =~ N ' 5.5 Teorema fundamental del ca lculo 315 Para simular el lanzamiento de dardos hacia el blanco, use un SAC como Mathematica y su funci6n de numeros aleatorios para generar una tabla de N pares ordenados (x, y), 0 < x < 1,0 < Y < 1. a ) Sea N = SO. Trace los puntos y la grafica de / sobre el mismo conjunto de ejes coordenados. Use la figura para contar el numero de exitos n. Construya por 10 menos 10 tablas diferentes de puntos aleatorios y gra- ficas. Para cada grMica calcule la razon n/N. h ) Repita el inciso a) para N = 100. c) Use el SAC para encontrar el valor exacto del area A y compare este valor con las aproximaciones obteni- das en los incisos a) y b) . y 1 ~--------------, • • • ---+l~x 11 tiros fuera de N dardos lanzados FIGURA 5.5.6 Blanco en el problema 84 85. Derrame de petroleo en expansion Un modelo mate- matico que puede usarse para determinar el tiempo t necesario para que un derrame de petroleo se evapore esta dado por la formula RT - I'KA(u)-P - - ,,- du, v 0 Yo donde A(u) es el area del derrame en el instante u, RT/Pv es un termino termodinamico adimensional, K es un coe- ficiente de transferencia de masa y Vo es el volumen ini- cial del derrame. a) Suponga que el derrame de petroleo se expande en forma circular cuyo radio inicial es rooYea la FIGURA 5.5.7. Si el radio r del derrame crece a razon dr/dt = C (en metros por segundo), resuelva para ten terminos de los otros sfmbolos. h) Yalores tfpicos para RT/Pv y K son 1.9 X 106 (para el tridecano) y 0.01 mm/s, respectivamente. Si C = 0.01m/s2, ro = 100 m y Vo = 10 000 m3 , determine en cuanto tiempo se evapora el petroleo. c) Use el resultado en el inciso b) para determinar al area final del derrame de petroleo. Petr6leo en el instante I FIGURA 5.5.7 Den'arne circular del petr6leo en el problema 85
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    316 CAPITULO 5Integrales 86. Proyecci6n de Mercator y la integral de sec x En ter- minos generales, una mapa de Mercator es una represen- tacion de un mapa global tridimensional sobre una super- ficie tridimensional. Yea la FIGURA 5.5.8. Encuent:re y estudie el articulo "Mercator's World Map and the Calculus", Phillip M. Tuchinsky, UMAP, Unit 206, Newton, MA, 1978. Escriba un informe breve que resu- ma el articulo y por que Gerhardus Mercator (c. 1569) necesitaba el valor de la integral definida Jgosec x dx para llevar a cabo sus construcciones. 1 . . . a) Globo b) Mapa de Mercator FIGURA 5.5.8 Globo y proyeccion de Mercator en el problema g6 Revision del capitulo 5 las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-19. A. Falso/verdadero _______________________ En los problemas 1-16, indique si la afirmacion dada es falsa (F) 0 verdadera (V). 1. Sif'(x) = 3x2 + 2x, entoncesf(x) = x3 + x2 . _ _ 6 4 2. 2: (2k - 3) = 2: (2) + 1) __ k=2 j=O 40 20 3. 2:5 = 2:10 __ k = I k = I 4. rVf2+7 dt = - rVf2+7 dt __ 5. Sifes continua, entonces ff(t) dt + ff(X)dX = 0. __ 6. Sif es integrable, entoncesf es continua. __ 7. f(x - x3 ) dx es el area bajo la grafica de y = x - x3 sobre el intervalo [0, 1]. __ 8. Si ff(X) dx > 0, entonces ffCX) dx es el area bajo la grafica de f sobre [a, b]. __ a a 9. Si Pes una particion de [a, b] en 11 subintervalos, entonces 11 ---+ 00 implica Ilpll---+ 0. __ 10. Si F'(x) = 0 para toda x, entonces FCx) = C para toda x. __ 11. Sifes una funcion impar integrable sobre [-7f, 7f], entonces I:7/(X) dx = 0. __ 12. II Ixl dx = 2!IXdX __ - I 0 13. Isen x dx = cos x + C __ 14. Ix cos x dx = x sen x + cos x + C __ IS. ff'Ct) dt = feb) - f(a) __ 16. La funcion F(x) = I2x Ct + 4)e- r dt es creciente sobre el intervalo [-2,00). __ -5
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    Llene los espaciosen blanco ____________________ B. n los problemas 1-16, llene los espacios en blanco. E Si G es una antiderivada de una funcionj; entonces G'(x) = t. f !!-rcdr = 2. dr 3. Si Jf'(r)dx = ~ (In X)2 + C, entonces f(x) = d f.x4. EI valor de dx 3 If2+5 dt en x = 1 es - -- -- 5. Si g es diferenciable, entonces !rf(t) dt = g(x) 6. !!- { VIe _I! dt = til' J,. ., . I 1 2 3 4 5 d 7. AI usar notaclOl1 sIgma, a suma '3 + 5' + '7 + 9' + IT pue e expresarse como ----- IS 8. EI valor numerico de L (3k2 - 2k) es _____ k = 1 . . f4 1 J-9. Si 1I = t2 + 1, entonces la lI1tegra1 defimda t(t2 + ])1 /3 dt se vuelve '2 U I / 3 duo 2 - 10. EI area bajo la gnifica de f(x) = 2x sobre el intervalo [0, 2] es , y el area neta COil signo entre la grafica de f(x) = 2x y el eje x sobre [-I , 2] es _____ II. Si el intervalo [1, 6] se parte en cuatro subintervalos determinados por Xo = 1, XI = 2, 1'2 = %, X3 = S YX4 = 6, la norma de la particion es _ _ ___ 12. Una partici6n de un intervalo [a, b] donde todos los subintervalos tienen el mismo ancho se denomina particion _____ 13. Si P es una particion de [0, 4] y xt es un numero en el k-esimo subintervalo, entonces lim 2:~ = I~' LlXk es la definicion de la integral definida . Por el teorema fun- 11" 11....0 damental del caJculo, el valor de esta integral definida es _____ 14. Si flex) dx = 11 y flex) dx = IS, entonces ff(X) dx = 15. L{['e-I dt} dx = y Lcfx {f'e-'dt} dx = 16. Para t > 0, el area neta con signa Lex3- x2 ) dx = 0 cuando t =_____ _ C. Ejercicios _____________________ ______ En los problemas 1-20, evalue la integral dada. II f9 6 1. e4x3 - 6x2 + 2x - 1) dx 2., r dx _I I VX 3. J(St + 1)100 dt 4. Jw2 V3w3 + 1 dw 5. r/4 o (sen 2x - S cos 4x) dx 6. I TT' sen vIZ dz 7r'/9 vIZ f(-2X2 + XI / 2) dx j"'/4 j"'/47. 8. dx + tan2 X dx -7r/4 -7r/4 Revisi6n del capitulo 5 317
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    318 CAPITULO 5Integrales 9. Icot6 8x csc2 8x dx 10. Icsc 3x cot 3x dx 11. I(4x2 - 16x + 7)4(X - 2) dx 12. I(x2 + 2x - IOf/5x + 5) dx 13. dx I X2 + I Vx3 + 3x - 16 14. I x 2 + I dx x 3 + 3x - 16 15. f 4 x - --? dx o 16 + x- 16. f 4 1 - -- ? dx o 16 + x- 17. f 2 1 ------,;===:: dx o VI6 - x2 18. f 2 X dx o VI6 - x2 19. rtan lOx dx 20. Jcot lOx dx 21. Suponga que ff(X) dx = -3 y ff(X) dx = 2. Evalue ff(X) dx. 0 0 ) 22. Suponga que ffCX) dx = 2 Yrf(x) dx = -8. Evalue rf(x) dx. En los problemas 23-28, evalue 1a integral dada. 23. f3(1 + Ix-II) dx 24. fI!!.... [ lOt 4 1)2]dt o 0 dt (2t3 + 6t + {,"/2 10 t fitS sen t 2 dt25. sen . d 26.7 t '"/2 16t + 1 - I r I r[(X) dx, dond, lex) ~ {;:: x~o 27. ? dx 28. O<x~ _ I I + 3r x>1 En los problemas 29 y 30, encuentre el lfmite dado. / 1 + 2 + 3 + ... + n / 12 + 22 + 32 + ... + n? 29. lIm 30. lIm 3 11 -",00 n2 11--+00 n 31. En la FIGURA 5.R.l se muestra un cubo con las dimensiones dadas (en pies) que se llena a razon constante de dV/dt = ~ pies3 /min. Cuando t = 0, en la balanza se lee 31.2 lb. Si el agua pesa 62.4 Ib/pie3 , ~cmil es la lectura de la balanza luego de 8 minutos? ~Y cuando el cubo est,l Ileno? [Sugerencia: Yea la pagina FM-2 para 1a formula para el volumen del tronco de un cono. Tambien ignore el peso del cubo.] FIGURA 5.R.l Cubo y balanza en el problema 31 32. La torre de Hanoi es una pila de discos circulares, cada uno de los cuales es mas grande que el de arriba, colocados en un mastil. Yea la FIGURA 5.R.2. Una vez, un antiguo rey ordello que esta torre debfa construirse con discos de oro con las siguientes especificaciones: el ancho de cada disco debra ser un dedo mas grande que el del disco de arriba. EI hueco por los centros de los discos debra medir un declo de ancho de diametro, y el disco superior clebfa medir dos dedos de diametro. Suponga que el ancho de un dedo es 1.5 cm, que el oro pesa 19.3 g/cm3 y que su valor es $14 por gramo.
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    0) EncLientre unaf6rmula para el valor del oro en la torre de Hanoi del rey si la torre tiene /I discos. b) EI numero normal de discos de oro en la torre de Hanoi es 64. l,Cual es el valor del oro ell la torre? FIGURA 5.R.2 Torre de Hanoi en el problema 32 33. Considere la funci6n uno a uno f(x) = x3 + x sobre el intervalo [I, 2] . Yea la FIGURA 5.R.3. Sin encontrarf- l , determine el valor de J f(2J r '(x)dx. ~'( I J y f(2) f(l ) -+--+--+*x J 2 FIGURA 5.R.3 Grafica para el problema 33 Revision del capitulo 5 319