El documento presenta el método para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mediante el uso del operador diferencial. Se define el operador diferencial y cómo puede expresarse un sistema de ecuaciones diferenciales en términos de este operador. Luego, se aplica el método de eliminación para reducir el sistema a una sola ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes. Finalmente, se resuelve un ejemplo numérico para ilustrar los pasos del método.

1. CARRERA DE INGENIERIA AGROPECUARIA ESPE-SANTO DOMINGO
ASIGNATURA: INTEGRANTES:
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
NRC3299 Darwin Armijos
DOCENTE:
TEMA SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES FIS . W . PONCE
NIVEL: UNIDAD:
2 “A” 3

2. 1. OBJETIVOS
Objetivo general
 Investigar la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales
mediante método de eliminación
 Objetivos específicos
 Realizar la ecuación diferencial
 Aplicar las propiedades de los operadores

3. MARCO TEÓRICO
SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, así como
los de orden superior, con dos o más funciones desconocidas, en casos
homogéneos y no homogéneos. Todos los sistemas lineales que se tratan en
este tema corresponden a ecuaciones diferenciales con coeficientes
constantes. Dicha restricción nos permite utilizar el método de los
operadores diferenciales para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales con coeficientes constantes. El método se basa en la aplicación del
método de eliminación que se utiliza para la resolución de sistemas de
ecuaciones algebraicas en el álgebra lineal. En el caso de sistemas de
ecuaciones diferenciales lineales, el método de eliminación reduce el
sistema a una sola ecuación diferencial de orden n con coeficientes
constantes en términos de una de las variables. Para aplicar el método es
necesario expresar el sistema en términos del operador diferencial D.

4. OPERADOR DIFERENCIAL
Un operador es un objeto matemático que convierte una función
en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función
en una función diferente llamada la función derivada. Podemos
definir el operador derivada D que al actuar sobre una función
diferenciable produce la derivada de esta, esto es: si x es una
función que depende del parámetro t, entonces

5. Bajo el operador diferencial podemos escribir

6. OPERADOR DIFERENCIAL
Función entrada
Anulador
1.-1,x, x2… xn-1
Dn+1
Ejemplo
7𝑥 − 3. 𝐷 𝑛+1
7𝑥 − 3 𝑥 + 𝐷2
= 0
𝐷2
. 7𝑥 − 𝐷2
𝐵 = 0
7
0 − 0 = 0
2.- e2; x∞x; x2 e∞x
(D-∞)n+1
4𝑒2𝑥
+ 6𝑥2𝑥
𝐷 − ∞ 𝑛+1
= 0
4𝑒2𝑥 + 6𝑥2𝑥 ) 𝐷 − 2 2 = 0
4𝑒2𝑥
𝐷 − 2 2
+ 6𝑥𝑒2𝑥
𝐷 − 2 2
= 0

7. 3.- (e2) cosßx , xe∞x(cosßx), x2 e∞x cosßx,…
[D2-2∞D+(a2+ß2]n+1
a2(cos2x)
∞=-1 [D2-2∞D+(a2+ß2]n+1
ß2 [D2-2D+5]2 (-e-xcos2x)=0
n=1
Ejemplo
𝑦′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = 4𝑥2
(𝐷2+4𝐷 + 4)𝑦 = 4𝑥2
𝐷3
[(𝐷2
+4𝐷 + 4)𝑦 = 4𝑥2
]
𝐷3
(𝐷2
+4𝐷 + 4)𝑦 = 0
𝑚3
(𝑚2
+4𝑚 + 4)𝑦 = 0
𝐷3
(𝑚 + 2)(𝑚 + 2)
𝑚1 = 0
𝑚2 = 0
𝑚3 = 0
𝑚4 = −2
𝑚5 = −2

8. 𝑦 = 𝑎𝑒 𝑚1𝑥 + 𝐵𝑥𝑒 𝑚2𝑥 + 𝐶𝑥2 𝑒 𝑚3𝑥 + 𝐷𝑒 𝑚4𝑥 + 𝐹𝑋𝑒 𝑚5𝑥 = 0
𝑦(ℎ) = 𝑎 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑒−2𝑥 + 𝐹𝑋𝑒−2𝑥 = 0
𝑦𝑝 = 𝑎 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥2
𝑦´
= 𝐵 + 2𝐶𝑥
𝑦´´ = 2𝑐

9. Se reemplaza en la EDU original
𝑦′′
+ 4𝑦′
+ 4𝑦 = 4𝑥2
2𝑐 + 4(𝐵 + 2𝑐𝑥) + 4𝑎 + 𝐵𝑥 + 𝑐𝑥2
= 4𝑥2
2𝑐 + 4𝐵 + 8𝑐𝑥 + 4𝑎 + 4𝐵𝑥 + 4𝑐𝑥2 = 4𝑥2
2𝑐 + 4𝐵 + 4𝑎 + 4𝐵𝑥 + 4𝑐𝑥2 = 4𝑥2
Factorizamos 2c+4B+4a+ (8c+4b)x+(4c)x2 =4x2
2𝑐 + 4𝐵 + 4𝑎 = 0 ⇒ 2 − 8 + 4𝑎 ⇒ 𝑎 =
6
4
𝒂 =
𝟑
𝟐
8𝑐 + 4𝐵 𝑥 = 0 ⇒ 8 + 4𝑏 ⇒ 𝐵 = −
8
4
𝑩 = −𝟐
4𝑐 𝑥2
= 4𝑥2
4𝑐 = 4
𝒄 = 𝟏

10. Reemplazamos los valores en la forma original encontrada
𝑦 = 𝑎 + 𝐵𝑥 + 𝑐𝑥2 + 𝐷𝑒−2𝑥 + 𝐹𝑥−2𝑥
𝒚 =
𝟑
𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝒙 𝟐 + 𝑫𝒆−𝟐𝒙 + 𝑭𝒙𝒆−𝟐𝒙

11. EJERCICIOS
1.-RESOLVER EL SIGUIENTE SISTEMA DE E.D
Se cambia al operador diferencial
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 3𝑦 ⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑥 ⇒
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 3𝑦 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑡
− 2𝑥 = 0
𝐷𝑥 − 3𝑦 = 0
𝐷𝑦 − 2𝑥 = 0
𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑜"𝑥"
Se elimina una de las incógnitas aplicando
el método algebraico de eliminación
𝐷𝑥 − 3𝑦 = 0 ⇒
−2𝑥 + 𝐷𝑦 = 0 ⇒
𝐷 𝑥 − 3𝑦 = 0 𝟐
−2𝑥 + 𝐷𝑦 = 0 𝑫
𝑥 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 " 𝑦(𝑡)"

12. 2𝐷𝑥 − 6𝑦 = 0
−2𝐷𝑥 + 𝐷2 𝑦 = 0
−6𝑦 + 𝐷2 𝑦 = 0 ⇒ 𝐷2 − 6 𝑦 = 0
𝐷2 − 6 = 0
𝐷2
−6 = 0
𝑚2
−6 = 0
Se aplica el criterio de las soluciones de las ecuaciones
diferenciales de orden superior homogéneas
𝑏2 − 4𝑎𝑐
− 4 1 6
= 24 > 0 2 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠
𝑚1 =
−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑚2 =
−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑚 =
−0 + 2 6
2
𝑚2 =
−0 − 2 6
2
𝑚1 = + 6 𝑚2 = − 6
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚1𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑚2𝑥 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒 6 𝑡
+ 𝐵𝑒− 6 𝑡

13. De la misma manera buscamos el valor de “x(t)”
𝐷𝑥 − 3𝑦 = 0 𝑥 𝐷
−2𝑥 + 𝐷𝑦 = 0 𝑥 3
Aplica el criterio de las E D H en las respuest
2𝐷𝑥 − 3𝐷𝑦 = 0
−6𝑥 + 3𝐷𝑦 = 0
𝐷2 𝑥 − 6𝑥 = 0
𝐷2
− 6 = 0
𝑚2
− 6 = 0
𝑚 = ± 6
𝑥(𝑡) = 𝐹𝑒 6 𝑡 + 𝐻𝑒− 6 𝑡
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒 6 𝑡
+ 𝐵𝑒− 6 𝑡
𝑚2
+ 6 = 0 ⇒ 𝑏2
− 4𝑎𝑐
2 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠

14. Se reemplaza en una de las EDO. Original
𝑫𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟎
𝐷𝐹𝑒 6 𝑡
+𝐷𝐻𝑒− 6 𝑡
− 3𝐴𝑒 6 𝑡
− 3𝐵𝑒− 6 𝑡
= 0
6𝐹𝑒 6 𝑡
− 6𝐻𝑒− 6 𝑡
− 3𝐴𝑒 6 𝑡
− 3𝐵𝑒− 6 𝑡
= 0
( 6 𝐹 − 3A)𝑒 6 𝑡
+ (− 6 𝐻 − 3B)𝑒− 6 𝑡
= 0
Se iguala cada término a 0 en función de las
primeras respuestas de Y(t)
6𝐹 − 3𝐴 = 0
𝐴 =
6
3
𝐹
;
− 6𝐻 − 3𝑏 = 0
𝐵 =
− 6
3
𝐻

15. Posibles soluciones
𝑥 = 𝐹𝑒 6 𝑡
+ 𝐻𝑒− 6 𝑡 ;
𝑦 = 𝑎𝑒 6𝑡
+ 𝑏𝑒− 6 𝑡
𝐴 =
6
3
𝐹 B = −
6
3
H Solución
𝑥 𝑡 = 𝐹𝑒 6 𝑡
+ 𝐻𝑒− 6 𝑡 ;
𝑦(𝑡) =
6
3
𝐹𝑒 6 𝑡
−
6
3
𝐻. 𝑒− 6 𝑡
COMPROBACIÓN
𝐷𝑥 − 3𝑦 = 0
𝐷𝑦 − 2𝑥 = 0

16. 1.-Se deriva los términos que tengan los operadores
1.- 𝐷𝑥 − 3𝑦 = 0
𝐷𝐹𝑒 6 𝑡
+ 𝐷𝐻𝑒− 6 𝑡
−
3 6
3
𝐹𝑒 6 𝑡
+
3 6
3
𝐻𝑒− 6 𝑡
= 0
6. 𝐹𝑒 6 𝑡 − 6. 𝐻𝑒− 6 𝑡 − 6. 𝐹𝑒 6 𝑡 + 6. 𝐻𝑒− 6 𝑡 = 0
0 = 0
2.- 𝐷𝑦 − 2𝑥 = 0
6
3
𝐹𝑒 6 𝑡
− 𝐷
6
3
𝐻𝑒− 6 𝑡
− 2𝐹𝑒 6 𝑡
− 2𝐻𝑒− 6 𝑡
= 0
6
6
3
𝐹𝑒 6 𝑡
− 6
6
3
𝐻𝑒− 6 𝑡
− 2𝐹𝑒 6 𝑡
− 2𝐻𝑒− 6𝑡
= 0
6
3
𝐹𝑒 6 𝑡
−
6
3
𝐻𝑒− 6 𝑡
− 2𝐹𝑒 6 𝑡
− 2𝐻𝑒− 6 𝑡
= 0
2𝐹𝑒 6 𝑡
− 2𝐻𝑒− 6 𝑡
− 2𝐹𝑒 6 𝑡
− 2𝐻𝑒− 6 𝑡
= 0
0 = 0
0 = 0
0 = 0
𝐋𝐚𝐬 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐬𝐨𝐧 𝐥𝐚𝐬 𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬

17. CONLUSIONES
La resolución de ecuaciones diferenciales tienen varios
métodos donde el sistema de eliminación es uno de aquellos
que se emplea tanto para ecuaciones homogéneas y no
homogéneas dando mayor facilidad de la resolución de las
ecuaciones