1. Sistemas de coordenadas y vectores

26/03/2019 01:09 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 1
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS
Docente: Segundo Lizardo Gallardo Zamora
Trujillo-2019-00
FÍSICA AVANZADA
SISTEMAS DE COORDENADAS
VECTORES

SISTEMA DE COORDENADAS
Sistema Tridimensional. Es el sistema de referencia constituido por
tres rectas numéricas mutuamente perpendiculares.
Plano (X,Y)
Plano (Y,Z)
Figura 1. Sistema
tridimensional (X,Y,Z)
+Y-Y
o
-X
+Z
-Z
Por ejemplo, el sistema tridimensional de ejes coordenados
cartesianos (X,Y,Z) de la Fig.1 se obtiene intersectando tres planos
mutuamente perpendiculares.

Este sistema tridimensional también se puede representar mediante
las tres aristas de un paralelepípedo rectangular con vértice común,
tal como se muestra en las Fig.2.
Y-Y
X
-X
Figura 2. Sistema cartesiano tridimensional (X,Y,Z) formado por
las aristas de un paralelepípedo rectangular
Z
-Z

Para ubicar un punto P(x,y,z) en el sistema de coordenadas tridimen-
sional de la Fig.3 seguimos los siguientes pasos:
Figura 3. Ubicación de un punto
en el sistema (X,Y,Z)
Z
Y
X
P(x,y,z)
P´
x
y
z
4. Trazamos, por P´, un segmento de
recta paralelo y de igual magnitud
a la coordenada z. El extremo fi-
nal de este segmento ubica al
punto P.
5. Visualizamos mejor la perpendicu-
laridad de las coordenadas pintan-
do dos planos perpendiculares.
1. Trazamos las coordenadas (x,y,z)
sobre cada uno de los semiejes
según su magnitud y signo.
2. Trazamos dos rectas paralelas de
igual magnitud a las coordena-
das (x, y). La intersección de es-
tas rectas determinan el punto P´
que es la proyección de P sobre
el plano (X,Y).
3. Trazamos la diagonal OP´ y luego
una paralela por el extremo de z.
O

Ejemplo 1. Ubicar el punto
P(10,12,9)
Figura 4.
X
-X
Z
Y
-Z
-Y o
+ 10
P (10,12,9)
+ 12
P´
+9
Ejemplo 2. Ubicar los puntos:
A(7,-13,-8); B(-5, -7, -9);
C (3,- 7,- 4); D(4,0,5)
Figura 5.
-8
-13
A (7, -13, -8)
+ 7
Los puntos B, C y D quedan como
ejercicios para el estudiante
X
-XZ
Y
-Z
-Y
o

26/03/2019 01:09 p.m.
Segundo L. Gallardo Zamora 6
ESCALARES Y VECTORES
Vector posición de un punto en el sistema tridimensional (X,Y,Z)
El vector posición de un punto en el sistema (X,Y,Z) es el vector que
va desde el origen O hasta el punto que se quiere ubicar.
𝒓 = x 𝒊 + y 𝒋 + z 𝒌 (8)
rx = x, ry = y , rz = z
La representación gráfica de
la Ec.(8) es un polígono en el
espacio expresado en fun-
ción de sus componentes
como el de la Fig.6.
El vector posición se expresa usando las coordenadas del punto
como componentes del vector.
Esto significa que:
Por ejemplo, para el punto
R(x,y,z) las componentes del
vector posición 𝒓 son:
P
Q
Figura 6.
R´
X
Y
Z
𝒌
𝒊
R(x,y,z)
𝐫x
𝐫y
𝐫
𝒋
𝐫z

El gráfico de la Fig.6 se demuestra que el módulo del vector posición
esta definido por:
r = x2 + y2 + z2 (2)
La dirección del vector posición 𝒓
respecto al sistema (X,Y,Z) se defi-
ne mediante los denominados án-
gulos directores o direccionales:
θ


P
S
Q
Figura 7.
R´
𝐫
X
Y
Z
𝒌
𝒋𝒊
𝐫y
𝐫x
𝐫z
R
 : ángulo director que forma 𝒓
con el semieje +Y
θ : ángulo director que forma 𝒓
con el semieje +Z
 : ángulo director que forma 𝒓
con el semieje +X
Los ángulos directores están en triángulos rectángulos formados por el
del vector posición 𝒓 y las líneas perpendiculares trazadas desde el
extremo final del vector a cada uno de los semiejes, como en la Fig. 7.

θ

Y
X
Z
Figura 8
𝒓
x
z
y 
90°
R(x,y,z)
O
S
P
Q
Para visualizar mejor los triángulos
rectángulos y los respectivos ángulos,
giramos la Fig. 7 en 90° alrededor del
eje Z obteniendo la Fig.8.
En el triángulo rectángulo OPR de la Fig.8 observamos que el ángulo
director , está formado por la componente x, y el vector posición 𝒓.
Por lo tanto:
de donde: x = r cos  (3)
cos  = x/ r
En cada uno de los triángulos rectángu-
los se tiene que:
 el cateto adyacente del ángulo direc-
tor es la componente del vector para-
lela al respectivo semieje,
 el cateto opuesto es la perpendicular
trazada al semieje y
 la hipotenusa es el vector posición 𝒓.

De igual forma, en la Fig.8 observamos que en el triángulo rectángu-
lo OSR el ángulo director θ está formado por a la componente z y el
vector posición 𝒓 . Entonces
θ

Y
X
Z
(Figura 8)
𝒓
x
z
y 
90°
R(x,y,z)
O
S
P
Q
De donde, el módulo de la compo-
nente 𝒓z = z del vector 𝒓 es:
z = r cos θ (4)
Siguiendo la misma lógica observa-
mos que, en el triángulo rectángulo
OQR de la Fig.8, el ángulo director 
está formado por la componente y, el
vector 𝒓. Entonces
De donde, el módulo de la componente 𝒓y = y del vector 𝒓 es:
y = r cos  (5)
Usando estas componentes el vector 𝒓 se puede definirse como:
cos θ = z/r
cos  = y/r

Solución. En la Fig.9 ubicamos el punto A en el sistema (X,Y,Z) y
luego usamos las coordenadas como componentes del vector
posición 𝒂. Esto es:
ax = – 4, ay = 5, az = – 8
𝒂y
𝒂z
𝒂x
o Y
X
Z
Figura 9
𝒊
𝒋
𝒌
A(– 4, 5, – 8 )
𝒂


θ
𝒂 = - 4 𝒊 + 5 𝒋 - 8 𝒌
a = (−𝟒) 𝟐 + 𝟓 𝟐 + (−𝟖) 𝟐 = 𝟏𝟎𝟓  10,25
de módulo
y dirección determinada por los ángu-
los directores:
 = cos-1 (-4/ 𝟏𝟎𝟓 )  113,0°
 = cos-1 (5/ 𝟏𝟎𝟓)  60,8º
θ = cos-1 (-8/ 𝟏𝟎𝟓)  141,3º
Por lo tanto, el vector posición es la
suma
Ejemplo 3. Graficar y definir el vector posición del punto A (– 4, 5,–8).
𝒓 = r cos  𝒊 + r cos  𝒋 + r cos  𝒌 (6)

Ejemplo 4. Una fuerza F = 125 [N] forma los ángulos  = 62o,  =
56o y θ = 48º con los semiejes positivos del sistema (X,Y,Z). Expre-
sar la fuerza en función de sus componentes rectangulares.
Solución
Como en este caso nos dan el módulo del
vector y su dirección, calculamos el módulo
de cada componente y las dibujamos sobre
el respectivo semieje del sistema (X,Y,Z), tal
como se ilustra en la Fig.10.
X
Y
Z
Figura 10
𝐅y
𝐅z
48o
62o
56o
𝐅
Fx = 125 cos 62° = 58,68 [N], compo-
nente paralela al semieje +X
Fy = 125 cos 56° = 69,90 [N], compo-
nente paralela al semieje +Y.
Fz = 125 cos 48° = 83,64 [N], compo-
nente paralela al semieje +Z.
Ahora, sumamos estas componentes para obtener el vector fuerza
𝑭 = 58,68 𝒊 + 69,90 𝒋 + 83,64 𝒌 N

Ejemplo 5. Un avión vuela con una rapidez de V = 680 Km/h y una
dirección definida por los ángulos  = 125o,  = 48o y θ = 142º con
respecto a un sistema (X,Y,Z) ubicado en Tierra. Expresar la velo-
cidad en función de sus componentes rectangulares.
X
Y
Z
Figura 11
Solución Este ejemplo es similar al ante-
rior, entonces, calculamos el módulo de ca-
da una de las componentes y las dibujamos
en el sistema (X,Y,Z) de la Fig.11.
Vx = 680 cos 125° = -390,03 Km/h, para-
lela al semieje X negativo
Vy = 680 cos 48° = 455,01 Km/h, para-
lela al semieje Y positivo
Vz = 680 cos 142° = - 535,85 Km/h, para-
lela al semieje Z positivo 𝐕z
𝐕x
142o
125o
48o
𝐕
𝐕y
𝐕 = -390,03 𝐢 + 455,01 𝐣 -535,85 𝐤 [km/h]
Ahora, sumamos estas componentes
y obtenemos el vector velocidad

Ejemplo 6. Las componentes de una fuerza son: Fx = 480 N, Fy =-310
N y Fz = -390 N. Expresar el vector fuerza en función de sus compo-
nentes y calcular su módulo y dirección.
Solución: Como en este caso nos dan
las componentes, las dibujamos en el
sistema (X,Y,Z) de la Fig.12 y formamos
el vector fuerza total.
Y
Z
X
-310 𝒋
480 𝒊
-390 𝒌
𝐅
Figura 12
𝑭 = 480 𝐢 - 310 𝐣 - 390 𝒌
F = 𝟒𝟖𝟎 𝟐 + −𝟑𝟏𝟎 𝟐 + −𝟑𝟗𝟎 𝟐
= 10 𝟒𝟕𝟖𝟔  691,81 [N]
de módulo:
y dirección definida mediante los ángu-
los directores:
 = cos-1 [480/(10 𝟒𝟕𝟖𝟔)] = 46,1°
 = cos-1 [-310/(10 𝟒𝟕𝟖𝟔)] = 116,6°
θ = cos-1 [-390/(10 𝟒𝟕𝟖𝟔 )] = 124,3°


Ejemplo 7. Hallar la resultante de los siguientes vectores fuerza ex-
presados en Newtons: 𝑭1 = 8 𝒊 – 7 𝒋 – 5 𝒌 ; 𝑭2 = 8 𝒋 – 6 𝒌 ;
𝑭3 = – 9 𝒊 + 3 𝒋 – 9 𝒌 ; 𝑭4 = – 3 𝒊 + 5 𝒌
Solución,
Simbólicamente la resultante de estas fuerzas está definida por la
expresión:
Para facilitar esta suma, escribimos los vectores en filas, de manera tal que
sus componentes se muestren en columnas con los vectores unitarios. si
faltara una componente se deja en blanco o coloca cero. Luego sumamos
algebraicamente por columnas los coeficientes de cada vector unitario.
𝑭1 + 𝑭2 + 𝑭3 + 𝑭4 = (8 – 9 – 3) 𝒊 + (– 7+8 +3) 𝒋 + (– 5 – 6 – 9+5) 𝒌
𝐑 = 𝑭1 + 𝑭2 + 𝑭3 + 𝑭4
𝑭1 = 8 𝒊 – 7 𝒋 – 5 𝒌
𝑭2 = 8 𝒋 – 6 𝒌
𝑭3 = – 9 𝒊 + 3 𝒋 – 9 𝒌
𝑭4 = – 3 𝒊 + 5 𝒌

Este proceso de sumar los coeficientes de los vectores unitarios 𝒊, 𝒋, 𝒌
equivale a sumar las componentes de cada uno de los vectores sobre los
semiejes de coordenadas. Es decir que:
Este vector y sus respectivas componen-
tes se muestran en la Fig.13.
y su dirección esta definida por los
ángulos directores:
El módulo de la resultante es:
R = (-4)2 + (4)2 + (-15)2 = 257  16,03 [N]
Finalmente, el vector resultante es:
𝑹 = - 4 𝒊 + 4 𝒋 – 15 𝒌
Rx = Fx = (8–9–3) = – 4 suma de componentes sobre el eje X
Ry = Fy = (–7+8+3) = 4 suma de componentes sobre el eje Y
Rz = Fz = (–5–6–9+5) = –15 suma de componentes sobre el eje Z
𝐑


Figura 13
Z
X
Y
-15 𝒌
-𝟒 𝒊
4 𝒋

 = cos-1 (– 4/ 257 )  104,4°
 = cos-1 ( 4/ 257)  75,6°º
 = cos-1(–15/ 257)  159,3o

Vector posición relativo entre dos puntos.
Es el vector que ubica un punto respecto a otro, cuando ambos
están ubicados respecto al mismo sistema de coordenadas.
En la Fig.14, ubicamos los puntos
R1(x1,y1,z1) y R2(x2,y2,z2) mediante los
vectores posición
𝐫2
𝐫21
𝐫1
Gráfica y simbólicamente este vector se define como la diferencia
del vector posición del punto final menos el vector posición del
punto inicial (7)𝐫21 = 𝐫2 – 𝐫1
Entonces, el vector posición relativo
del punto R2 respecto al punto R1 es
el vector que va desde R1 (punto de
referencia o punto inicial) hasta R2
(punto que se quiere ubicar o punto
final).
𝐫1 = x1 𝒊 + y1 𝒋 + z1 𝒌
𝐫2 = x2 𝒊 + y2 𝒋 + z2 𝒌
o
X
Z
Y
Figura 14
𝒊 𝒋
𝒌
R1(x1,y1,z1)

R2(x2,y2,z2)


Efectuando la resta con las componentes se tiene
NOTA.- Según esta la Ec.(8), una forma práctica de obtener las
componentes del vector posición, consiste en restar las coor-
denadas del punto final del vector menos las coordenadas del
punto inicial.
𝐫2 = x2 𝒊 + y2 𝒋 + z2 𝒌
– 𝐫1 = – x1 𝒊 – y1 𝒋 – z1 𝒌
 (x2 –x1) = (r21)x que es la componente del vector
posición 𝐫21 paralela al eje X.
𝐫21 = 𝐫2 – 𝐫1 = (x2 – x1 ) 𝒊 + (y2 –y1 ) 𝒋 + (z2 –z1 ) 𝒌 (8)
Donde:
 (y2 –y1) = (r21)y que es la componente del vector
posición 𝐫21 paralela al eje Y.
 (z2 –z1) = (r21)z que es la componente del vector
posición 𝐫21 paralela al eje Z.

El módulo del vector posición relativo 𝐫12 se obtiene con:
r21 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2 (9)
y su dirección con:  = cos-1 [(x2 – x1) / r21 )]
 = cos-1 [(y2 – y1) / r21 )]
θ = cos-1 [(z2 – z1) / r21 )]
(10)
De igual forma, en la Fig.15, graficamos
y definimos el vector posición relativo
del punto R1 respecto al punto R2
mediante la expresión:
R2(x2,y2,z2)

𝐫2
𝐫12
𝐫1
R1(x1,y1,z1)

o
X
Z
Y
Figura 15
𝒊 𝒋
𝒌(11)𝐫12 = 𝐫1 – 𝐫2
𝐫12 = 𝐫1 – 𝐫2 = (x1 – x2 ) 𝒊 + (y1 –y2) 𝒋 + (z1 –z2) 𝒌
De módulo:
r12 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 + (z1 – z2)2 (12)
y dirección:  = cos-1 [(x1 – x2) / r12)];  = cos-1 [(y1 – y2) / r12 )];
θ = cos-1 [(z1 – z2) / r12 )]
(13)

Ejemplo 8. Dados los puntos R1 (6,-7, 8) y R2 (-7,7,4); hallar el vector
posición del punto R2 respecto al punto R1 .
𝐫2𝐫1
𝐫21
𝐫1 = 6 𝒊 - 7 𝒋 + 8 𝒌
El vector posición de R1 es:
6-7
R1 (6,-7,8)
8
o
X
Y
Z
Figura 16
𝒊 𝒋
𝒌
𝐫2 = -7 𝒊 + 7 𝒋 + 4 𝒌
El vector posición de R2 es:
de módulo: r12 = 381 19,52 y
𝐫2 = -7 𝒊 + 7 𝒋 + 4 𝒌
- 𝐫1 = -6 𝒊 + 7 𝒋 - 8 𝒌
𝐫21 = -13 𝒊 + 14 𝒋 - 4 𝒌
y el vector posición de R2
respecto a R1, esta dado
por el vector diferencia:
𝐫21 = 𝐫2 – 𝐫1
Solución. Dibujamos y definimos los vectores posición de cada uno
de los punto respecto al sistema (X,Y,Z), como se muestra en la
Fig.16.
Restando:
R2 (-7,7,4)
-7
7
4
dirección:  = 131,8o,  = 44,2o,
θ = 101,8°

Ejemplo 9. Los puntos M (9,-8,14); N (6, 12,-3) y P (-6,10,5) están
definidos en el sistema de coordenadas (X,Y,Z). a) Definir los vectores
posición 𝒎, 𝒏, 𝒑 de estos puntos usando los vectores unitarios 𝒊, 𝒋, 𝒌 ,
para luego determinar: b) el vector posición 𝒓pm del punto P respecto
al punto M, c) el vector posición 𝒓pn del punto P respecto al punto N,
d) el vector posición 𝒓mn del punto M respecto al punto N y e) el
vector 𝒔 = 2 𝒑 - 𝒎 - ( 𝒏/3).
𝐩
𝐦1
𝐦 = 9 𝒊 -8 𝒋 + 14 𝒌
El vector posición de M es:
o
X
Y
Z
Figura 17
𝒊 𝒋
𝒌
𝐧 = 6 𝒊 + 12 𝒋 - 3 𝒌
El vector posición de N es:
y el vector posición de P
es:
Solución. a) Dibujamos y definimos los vector posición de cada
punto respecto al sistema (X,Y,Z), como se muestra en la Fig.17.
P (-6,10,5)
-6
10
5
𝐩 = -6 𝒊 + 10 𝒋 + 5 𝒌
9
-8
M (9,-8,14)
14
12
6
-3
N (6,12,-3)
𝐧

b) Según la (Fig. 17), el vector posición de P respecto a M es:
𝐫pm = 𝐩 - 𝐦
𝐩
𝒎
o
X
Y
Z
(Figura 17)
𝒊 𝒋
𝒌
P (-6,10,5)
-5
M (9,-8,14)
𝐧
N (6,12,-3)
𝐫pm = (-6-9) 𝒊 + (10+8) 𝒋 + (5-14) 𝒌
Aplicando la NOTA de la Diap.17 calcu-
lamos las componentes del vector posi-
ción 𝐫pm restando las coordenadas del
extremo final (P) menos las coordena-
das del extremo inicial (M) del vector.
Por lo tanto:
𝐫pm = -15 𝒊 + 18 𝒋 -9 𝒌
de módulo 𝐫pm = 𝟔𝟑𝟎 y dirección  = cos-1(-15/ 𝟔𝟑𝟎 ) = 126,7°;
 = cos-1(18/ 𝟔𝟑𝟎 ) = 44,2°;  = cos-1(-9/ 𝟔𝟑𝟎 ) = 111,0°
c) Según la (Fig. 17), el vector posición de P respecto a N es:
𝐫pn = 𝐩 - 𝐧
𝐫pn
𝐫pn = - 12 𝒊 -2 𝒋 + 8 𝒌
de módulo 𝐫pn = 𝟐𝟏𝟐 y dirección  = cos-1(-12/ 𝟐𝟏𝟐 ) = 145,5°;
 = cos-1(-2/ 𝟐𝟏𝟐 ) = 97,9°;  = cos-1(8/ 𝟐𝟏𝟐 ) = 56,7°
𝐫pm
𝐫pn = (-6-6) 𝒊 + (10-12) 𝒋 + (5+3) 𝒌

d) Según la Fig. 17, el vector posición de M respecto a N es:
Queda como ejercicio para el estudiante
desarrollar esta pregunta
𝐫mn = 𝐦 - 𝐧
e) El vector 𝒔 = 2 𝒑 - 𝒎 - ( 𝒏/3) se obtiene definiendo los vectores y
luego colocándolos en filas y columnas en base a los vectores
unitarios.
2 𝐩 = 2(-6 𝒊 + 10 𝒋 + 5 𝒌 )
- 𝐦 = -(9 𝒊 - 8 𝒋 + 14 𝒌 )
- 𝒏/3 = -(6 𝒊 + 12 𝒋 - 3 𝒌 )/3
- 𝒏/3 = -2 𝒊 - 4 𝒋 + 𝒌
2 𝐩 = -12 𝒊 + 20 𝒋 + 10 𝒌
- 𝐦 = -9 𝒊 + 8 𝒋 - 14 𝒌
𝒔 = (-12-9-2) 𝒊 + (20 + 8 - 4) 𝒋 + (10-14+1) 𝒌
𝒔 = -23 𝒊 + 24 𝒋 - 3 𝒌
Con módulo 𝐬 = 𝟏𝟏𝟏𝟒 y dirección  = cos-1(-23/ 𝟏𝟏𝟏𝟒 ) = 133,6°;
 = cos-1(24/ 𝟏𝟏𝟏𝟒 ) = 44,0°;  = cos-1(-3/ 𝟏𝟏𝟏𝟒 ) = 95,2°

2. a) Dibujar y definir los vectores
posición de cada uno de los
puntos de la Fig. 18 y luego su-
marlos, b) Dibujar y definir el
vector posición del punto B
respecto al punto A y c) Dibujar
y definir el vector posición del
punto D respecto al punto C.
Z
Figura 18
Y
X
A(-6,-5,8)
C( 7,-9,0)
B(-12,10,-9)
D(10,9,-7)
1. Para los puntos: L (-9, -3, 6); M (7, -5,4) y N (8, 7, -9) ubicados en
el sistema (X,Y,Z). a) Definir y graficar el vector posición de cada
punto usando los vectores unitarios 𝒊, 𝒋, 𝒌. Luego, usando estos
vectores calcular: b) el vector: 𝑫 = 𝒍 - 𝒎 - 𝒏, c) el vector posición
del punto M respecto al punto L y d) un vector unitario paralelo al
vector posición del punto M respecto al punto L.
Ejercicio EV-02
3.- Obtener un vector de magnitud 14 que tenga la misma dirección
que el vector 𝒓 = 7 𝒊 - 5 𝒋 - 8 𝒌 .

4.- Para los puntos A(–3 –5, 4), B(–5,7,3) y C(6,10, –14) definir los
vectores posición 𝒂, 𝒃, 𝒄, usando los vectores unitarios 𝒊, 𝒋, 𝒌, y lue-
go determinar: a) el vector 𝑺 = 3 𝒂 + 𝒃 - ( 𝒄)/2, b) el vector posición
de A respecto a B y c) el vector posición de C respecto a B.
5.- La posición de un avión que vuela a 5,0 km de altura, la situamos a
1,5 km Norte y a 2,5 km Este. a) ¿cuál es la distancia directa del avión
medida desde la posición de observación? b) ¿Con qué ángulo, res-
pecto al norte observamos al avión? y c) ¿con que ángulo de
elevación observamos el avión?
Producto escalar o producto punto de dos vectores.
θo
𝐁
𝐀
Figura 19
El producto escalar de los vectores 𝐀 y 𝐁 de la Fig. 19 se define
mediante el producto aritmético de los módulos de los vectores y el
coseno del ángulo que forman en un origen común.
Donde:
𝐀 𝐁 = A B cos θ• (14)
A , es el módulo del primer factor y B es
el el módulo del segundo factor.

, es el ángulo entre los vectores con origen común, tal que:
0°  θ  180o
El punto entre los vectores es el símbolo de esta operación y•
Propiedades fundamentales:
1. 𝐀 • 𝐁 = 𝐁 • 𝐀 Propiedad Conmutativa.
2. 𝐀 • ( 𝐁 + 𝐂 ) = 𝐀 • 𝐁 + 𝐀 • 𝐂 Propiedad Distributiva
3. Si 𝐀 • 𝐁 = 0, sabiendo que: A  0 y B  0, entonces los dos
vectores son perpendiculares.
5. Si los vectores se expresan en función de sus componentes rec-
tangulares
4. 𝐀 • 𝐀 = A A cos 0° = A2, entonces A = 𝐀 • 𝐀 , permite calcular
el módulo del vector 𝐀.
Forma canónica
𝐀 = Ax 𝒊 + Ay 𝒋 + Az 𝒌
𝐁 = Bx 𝒊 + By 𝒋 + Bz 𝒌
Se demuestra que el producto escalar de ellos se calcula mediante
la expresión:
𝐀 • 𝐁 = Ax Bx + Ay By + Az Bz (15)

Algunas aplicaciones.
1. Cálculo del ángulo entre dos vectores o rectas.
θ = cos-1 [( 𝐀 • 𝐁 )/A B] (16)
que permite calcular el ángulo  entre los vectores 𝐀 y 𝐁 .
2. Cálculo de la ´proyección ortogonal de un vector sobre otro.
𝐀 𝐁 = A (B cos θ)•
De la definición del producto escalar se obtiene la expresión
La definición del producto escalar podemos escribirse como
Donde (B cos θ) = BA, define la proyec-
ción ortogonal (o perpendicular) del
vector 𝐁 sobre el vector 𝐀 como se
muestra en la Fig.20. Esto es:
θo
𝐁
𝐀
Figura 20
BA = ( 𝐀 • 𝐁 ) / A (17)
La Ec.(17) también se puede escribir en la forma: BA = ( 𝐀/A) • 𝐁,
donde ( 𝐀/A) = A es un vector unitario paralelo a 𝐀. Por lo tanto:
(18)BA =  𝑨 • 𝐀

De igual forma la proyección ortogonal de A sobre B esta defini-
da por: AB = ( 𝐀 • 𝐁)/B= 𝐀 • ( 𝐁/B), donde ( 𝐁 /B) = B es un vector
unitario paralelo a 𝐁. Por lo tanto: AB = 𝐀 • B
𝐅
θ = 290
Figura 21 𝐱
Solución
Como en este caso 𝐫 = 𝐱 ten-
dremos
W = 𝐅 • 𝐱 = F x cos θ
Ejemplo 10. Hallar el trabajo que realiza la fuerza F = 582 [N], al
desplazar el bloque de la Fig.21 una distancia x = 5 [m].
X
Para explicar mejor esta definición dibujamos los vectores 𝐅 y 𝐱 con
origen común O, tal como se muestra en la Fig.22.
Entonces, según la definición:
W = (582)(5) cos 29° = W = 2545,14 [J]
𝐱
θ = 290
𝐅
o
Figura 22
3.- El trabajo realizado por una fuerza se define como el producto
escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.
W = 𝐅 • 𝐫 = F r cos θ

Ejemplo 11. Si 𝐀 = – 8 𝒊 + 7 𝒋 – 12 𝒌, 𝐁 = – 5 𝒊 + 8 𝒌 y 𝐂 = 9 𝒊 + 4 𝒋 + 6 𝒌
Calcular: a) 𝐀 • 𝐁, b) 𝐁 • 𝐀, c) el ángulo entre 𝐀 y 𝐁, d) la componente
de 𝐀 sobre 𝐁, e) 𝐀 • ( 𝐁 + 𝐂), f) 𝐂 • 𝐂, y g) el ángulo entre ( 𝐁 – 𝐂) y
( 𝐀 + 𝐂)
Solución. a) Para ejecutar el producto escalar ordenamos los vectores
en filas y columnas en base a los vectores unitarios
𝐀 = – 8 𝒊 + 7 𝒋 – 12 𝒌
𝐁 = – 5 𝒊 + 0 8 𝒌
𝐀 • 𝐁 = (– 8)(– 5) + (7)(0)+ (– 12)(8)
𝐀 • 𝐁 = –56
b) Esta pregunta queda como ejercicio para el estudiante.
c) El ángulo θ entre los vectores se obtiene despejándolo de la fórmula
del producto escalar. Esto es:
θ = cos-1 [( 𝐀 • 𝐁)/A B]
y en el denominador tenemos los módulos de los vectores.
( 𝐀 • 𝐁) = –56 (valor obtenido en la pregunta (a)
Donde, el numerador es el producto escalar:
A = 257  16,03 y B = 89  9,43

Por lo tanto, reemplazando valores obtenemos:
θ = cos-1 [– 56/ (257)(89) ]  111,7o
d) La componente de 𝐀 sobre 𝐁 se obtiene aplicando la fórmula:
AB = ( 𝐀 • 𝐁 ) / B
Donde: ( 𝐀 • 𝐁) = –56, según la respuesta obtenida en (a) y
B = 89  9,43
𝐀
𝐁111,7O
AB = – 5.94
Figura 23
El signo negativo en la respuesta significa que la componente AB está
en sentido opuesto al vector 𝑩, tal como se muestra en la Fig.23.
Las preguntas: e) y f) quedan como ejercicios para el estudiante.
Reemplazando valores se obtiene: AB  (– 56)/ 89  – 5.94

g) Una forma de resolver este problema es renombrando a los dos
vectores por: 𝐃 = ( 𝐁 – 𝐂) y 𝐒 = ( 𝑨 + 𝐂), para luego calcular el ángulo
entre 𝐃 y 𝐒 usando la expresión:
 = cos-1 [( 𝐃 • 𝐒)/DS]
( 𝐁 – 𝐀) = (– 5 – 9) 𝒊 – 4 𝒋 + ( 8 – 6) 𝒌
𝐃 = – 14 𝒊 – 4 𝒋 + 2 𝒌 𝐒 = 𝒊 + 11 𝒋 – 6 𝒌
( 𝑨 + 𝐂 ) = (–8+9) 𝒊 + (7+4) 𝒋 + (–12+6) 𝒌
𝐂 = 9 𝒊 + 4 𝒌 + 6 𝒌
𝐀 = – 8 𝒊 + 7 𝒋 – 12 𝒌
de módulo: 𝐃 = 𝟐𝟏𝟔 de módulo: 𝐒 = 𝟏𝟓𝟖
– 𝐂 = – 9 𝒊 – 4 𝒋 – 6 𝒌
𝐁 = – 5 𝒊 + 8 𝒌
Ahora calculemos los nuevos vectores.
El producto escalar de estos vectores es:
𝐃 = – 14 𝒊 – 4 𝒋 + 2 𝒌
𝐒 = 𝒊 + 11 𝒋 – 6 𝒌
( 𝐃 • 𝐒) = (– 14)( 1) + (– 4)(11) + (2)(–6)
( 𝐃 • 𝐒) = –70
 = cos-1 ( )
–70
(𝟐𝟏𝟔)(𝟏𝟓𝟖)Por lo tanto, el ángulo es:  = 112,3°

Ejemplo 12. Para los puntos P (8,–9,–10); Q (12, –16,– 8) y T (15, –11,7)
ubicados en el sistema (X,Y,Z). a) Definir los vectores posición 𝒑, 𝒒, 𝒕
de cada uno de los puntos, b) calcular la proyección del vector ( 𝐭 + 𝐩 )
sobre el vector ( 𝐩- 𝐪), c) calcular el ángulo que forma el vector ( 𝐭–3 𝐩)
con el vector [ 𝐩 – ( 𝐪 /4 )] y d) vectores unitarios paralelos a: 𝒑, 𝒒, 𝒕 .
Solución. a) Los vectores posición de los puntos P, Q, T son
respectivamente.
𝐩 = 8 𝒊 – 9 𝒋 – 1𝟎 𝒌 𝐪 = 12 𝒊 – 16 𝒋 – 8 𝒌 𝐭 = 15 𝒊 – 11 𝒋 + 7 𝒌
b) Para calcular la proyección de ( 𝐭 + 𝐩) = 𝐒 sobre ( 𝐩- 𝐪) = 𝐃 primero
definimos estos vectores mediante las siguientes operaciones:
𝐭 = 15 𝒊 – 11 𝒋 + 7 𝒌,
𝐩 = 8 𝒊 – 9 𝒋 – 1𝟎 𝒌
𝐩 = 8 𝒊 – 9 𝒋 – 1𝟎 𝒌
– 𝐪 = –12 𝒊 +16 𝒋 + 8 𝒌
( 𝐭 + 𝐩 ) = (15+8) 𝒊 + (– 11– 9) 𝒋 + (7–10) 𝒌
( 𝐩 – 𝐪 ) = (8 –12) 𝒊 + (–9 +16) 𝒋 + (– 10+8) 𝒌
𝐒 = 2𝟑 𝒊 – 2𝟎 𝒋 –3 𝒌
𝐃 = –4 𝒊 + 7 𝒋 – 2 𝒌

Si 𝐬 = ( 𝐭 + 𝐩 ) = 23 𝒊 – 2𝟎 𝒋 –3 𝒌 y 𝐃 = ( 𝐩– 𝐪 ) = –4 𝒊 + 7 𝒋 – 2 𝒌 , con D = 𝟔𝟗
Donde: 𝐒 = 23 𝒊 – 20 𝒋 –3 𝒌
𝐃 = –4 𝒊 + 7 𝒋 –2 𝒌
Por lo tanto, reemplazando valores obtenemos:
La proyección de 𝐒 sobre 𝐃 se obtiene usando:
SD = ( 𝐒 • 𝐃 )/D
( 𝐒 • 𝐃) = (23)(–4) + (–20)(7) + (–3)(– 2)
= – 226
SD = (-226))/ 𝟔𝟗
= -27,2
El signo negativo en la respuesta significa que la componente SD
está en sentido opuesto al vector 𝑫, como se mostró en la Fig.23,
pag.29.
c) Para calcular el ángulo simplificamos las definiciones haciendo:
𝐦 = ( 𝐭–3 𝐩) y 𝐧 = [ 𝐩 –( 𝒒 /4 )].

Esto es:
El ángulo es entonces:
θ = cos-1 (–421/ (𝟏𝟕𝟎𝟔)(𝟏𝟏𝟒 )  162,7o
d) El vector unitario paralelo al vector 𝒑 es: 𝒖p = 𝒑/p
𝒖p  0, 𝟓𝟏 𝒊 – 0,5𝟕 𝒋 – 0,6𝟒 𝒌
𝐩 = 8 𝒊 – 9 𝒋 – 1𝟎 𝒌
𝒎 = (15–24) 𝒊 + (–11+27) 𝒋 + (7+30) 𝒌
de módulo: m = 𝟏𝟕𝟎𝟔
𝐦 = –9 𝒊 + 16 𝒋 + 37 𝒌
– 𝒒/𝟒 = –3 𝒊 + 4 𝒋 + 𝟐 𝒌
𝒏 = (8–3) 𝒊 + (–9 +4) 𝒋 + (–10+2) 𝒌
de módulo: n = 𝟏𝟏𝟒
𝐧 = 5 𝒊 – 5 𝒋 – 8 𝒌
Ahora: 𝐦 = –9 𝒊 + 16 𝒋 + 37 𝒌
𝐧 = 5 𝒊 – 5 𝒋 – 8 𝒌
𝐦 • 𝐧 = (–9)(5) + (16)(–5) + (37)(–8)
𝐦 • 𝐧 = –421
𝐭 = 15 𝒊 – 11 𝒋 + 7 𝒌
– 3 𝐩 = –24 𝒊 + 27 𝒋 + 3𝟎 𝒌
𝒖p = (8 𝒊 – 9 𝒋 – 1𝟎 𝒌 )/ 𝟐𝟒𝟓 =
𝟖
𝟐𝟒𝟓
𝒊 –
𝟗
𝟐𝟒𝟓
𝒋 –
𝟏𝟎
𝟐𝟒𝟓
𝒌

El vector unitario paralelo al vector 𝒒 es: 𝒖q = 𝒒/q
𝒖q = (12 𝒊 – 16 𝒋 – 8 𝒌 )/ 𝟒𝟔𝟒 𝒖q  0, 𝟓𝟖 𝒊 – 0,7𝟒 𝒋 – 0,37 𝒌
El vector unitario paralelo al vector 𝒕 es: 𝒖t = 𝒕/t
𝒖t = (15 𝒊 – 11 𝒋 + 7 𝒌 )/ 𝟑𝟗𝟓 𝒖t  0,75 𝒊 – 0,5𝟓 𝒋 + 0,35 𝒌
Tarea: Verificar que estos vectores son efectivamente unitarios
Producto Vectorial o producto aspa de dos vectores.
El producto vectorial de los vectores 𝐀 y 𝐁 que forman el ángulo  en
el origen común, es el vector 𝐂 definido mediante la expresión:
Figura 24
𝐁
𝐀
θ
o
 El vector producto 𝐂 es perpendicular a
los vectores 𝐀 , 𝐁 y de un sentido igual al
de avance de un tornillo de giro a la
derecha, cuando es girado de 𝐀 hacia 𝐁
tal como se ilustra en la Fig.24.
𝐂
 Donde el “aspa x “ entre los vectores es
el símbolo de esta operación.
𝐂 = 𝐀 x 𝐁 (19)
𝒖

 Usando el vector unitario 𝒖 perpendicular al plano que forman 𝐀 y
𝐁 , el producto vectorial también se define mediante la expresión:
𝐂 = 𝐀 x 𝐁 = A B sen  𝒖 (20)
El sentido también se determina mediante la regla de la mano
derecha usando el dedo pulgar para indicar el sentido del vector
producto ( 𝐂 ) cuando el índice (vector 𝐀) gira hacia el dedo medio
(vector 𝐁 )
 Donde A y B son los módulos de los vectores que se multiplican y
θ es el ángulo que ambos forman en el origen común, tal que
(0o  θ  180º.
Propiedades fundamentales del producto vectorial:
2.- 𝐀 x ( 𝐁 + 𝐂 ) = 𝐀 x 𝐁 + 𝐀 x 𝐂 , propiedad distributiva.
1.- 𝐀 x 𝐁 = - 𝐁 x 𝐀 , no es conmutativo
3.- 𝐀 x 𝐀 = A A sen 0o = 0

4.- Si los vectores 𝐀 y 𝐁 se expresan en función de sus componen-
tes rectangulares en el sistema (X,Y,Z)
El producto vectorial se obtiene desarrollando un determinante for-
mando con los vectores unitarios en la primera fila y las compo-
nentes de 𝐀 y 𝐁 en la segunda y tercera fila, respectivamente.
𝐀 = Ax 𝒊 + Ay 𝒋 + Az 𝒌 , 𝐁 = Bx 𝒊 + By 𝒋 + Bz 𝒌
𝐀 x 𝐁 =
Ay Az
By Bz
Ax Az
Bx Bz
Ax Ay
Bx By
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)
= 𝒊 - 𝒋 + 𝒌Ax Ay Az
Bx By Bz
𝒊 𝒋 𝒌
- 𝒋 [AxBz – AzBx] + 𝒌 [AxBy – AyBx]𝐀 x 𝐁 =
Luego, en cada menor, multiplicamos sus elementos en forma diagonal.
Al producto diagonal hacia abajo le restamos el producto diagonal hacia
arriba.
(21)𝒊 [AyBz – AzBy]
Si aplicamos el método de menores complementarios en el desa-
rrollo de este determinante anulamos fila y columna donde se ubica
cada vector unitario a fin de obtener tres determinantes de menor
orden.

26/03/2019 01:09 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora
37
El signo negativo que antecede al vector unitario 𝒋 se debe a su posición en el
determinante (según la matemática), (primera fila, segunda columna) .
Algunas Aplicaciones
1. El módulo del vector producto es igual al área del paralelogramo
formado por lo vectores 𝐀 y 𝐁 con origen común. S = A B sen 
θ
Figura 25
𝐂
𝐁
𝐀
Si en este paralelogramo elegimos el
vector 𝐀 como base del paralelogra-
mo, la altura estará definida por:
Entonces, el área del paralelogramo
es: (23)S = A h
h = B sen θ
Esto se demuestra en la Fig.25, donde hemos girado la Fig.24
alrededor del vector 𝐂, para observar mejor el paralelogramo .
Introduciendo el signo negativo de 𝒋 en el paréntesis y reordenando obte-
nemos:
[AyBz – AzBy] 𝒊 + [AzBx – AxBz] 𝒋 + [AxBy – AyBx] 𝒌𝐀 x 𝐁 = (22)

2. El cálculo de un vector perpendicular a dos vectores coplanarios
a la vez. Un ejemplo de este tipo de vector es el Torque o Momen-
to de una fuerza aplicada a un cuerpo que lo hace rotar con res-
pecto a un eje de rotación.
Ejemplo 13. Para abrir la puerta como la de la Fig.
26 se aplica una fuerza F = 380 [N] en un punto
ubicado a una distancia r = 1,20 [m] de las
bisagras. Si 𝒓 y 𝑭 están en el plano (X,Y) forman-
do un ángulo  = 49°, calcular el momento o
torque de esta fuerza respecto al eje Z.
Solución.
X
Y
Z
Eje de
rotación
𝒌
𝒓
Figura 26

𝑭
θ
El momento o torque  de la fuerza, respecto al eje
Z de las bisagras, se obtiene mediante el producto
vectorial.
 = 𝒓 x 𝑭
Como los vectores 𝒓 y 𝐅 están en el plano (X,Y), el vector producto  es
paralelo al eje Z (eje de las bisagras) y perpendicular a tal plano.

Para visualizar mejor el vector torque  en la
Fig.27, dibujamos los vectores 𝒓 y 𝑭 a partir
de un origen común O
49o
𝐫
𝐅
Figura 27
Usando valores, el módulo del torque o
momento es:
 = r F sen θ = (380)(1,20)(sen 49°)
Como el torque es un vector perpendicular al plano (X,Y) entonces es
paralelo al vector unitario 𝒌 , por lo tanto su forma vectorial es:
 = 344,15 𝒌 [m.N]

𝒌
o
Solución: Para obtener el producto vectorial formamos el determinante y
lo resolvemos por el método de los menores complementarios.
Ejemplo 14. Dados los vectores: 𝐀 = 5 𝒊 + 8 𝒋 – 7 𝒌, 𝐁 = – 9 𝒊 – 3 𝒋 + 6 𝒌 ,
calcular: a) 𝐀 x 𝐁, y b) el área del paralelogramo formado por 𝐀 y 𝐁.
8 -7
-3 6= 𝒊
(-)
(+)
5 -7
-9 6
5 8
-9 - 3
(-)
(+)
(-)
(+)
5 8 -7
-9 -3 6
𝒊 𝒋 𝒌a)
𝐂 = 𝐀 x 𝐁 = - 𝒋 + 𝒌
 = 344,15 [m.N]

𝐂 = [(8)(6) –(–3)(–7)] 𝒊 – [(5)(6) – (– 9)(– 7)] 𝒋 + [(5)(– 3) – (– 9)(8)] 𝒌
Simplificando: 𝐂 = 𝐀 x 𝐁 = 27 𝒊 + 33 𝒋 + 57 𝒌
Con módulo: C = 𝐀 x 𝐁 = 27)2+(33)2+(57)2 = 5067  71,18
y dirección:   67,7º ;   62,4º ; θ  36,8o
b) El área del paralelogramo formado por 𝐀 y 𝐁 es igual al módulo del
vector producto. Esto es: Area = C = 71,18 unidades de superficie
Ejemplo 15. Los puntos A(7,-10,13), B(5,6,-6), C(-9,11,7), son los
vértices de un triángulo en el espacio (X,Y,Z). Calcular el área del
triángulo usando el producto vectorial.
A
C
B
X
Y
Z
Figura 28
Solución: En la Fig.28 ubicamos los puntos
y los unimos para formar el triángulo.
Figura 29
Este triángulo es la
mitad del paralelo-
gramo de la Fig.29.
Por lo tanto:
Área Triángulo = ½ (Área paralelogramo)

Por lo tanto, el área de nuestro triángulo puede obtenerse dividiendo
entre dos al producto vectorial de dos vectores con vértice común.
En la Fig.30, definimos los vectores 𝒃 y 𝒄 con vértice común en A.
Usando estos vectores el triángulo se
puede representar como la mitad de su
producto vectorial.
𝒄 = [– 9 – 7] 𝒊 + [11 –(–10)] 𝒋 + [7 –13)] 𝒌
𝒃 = [5 – 7] 𝒊 + [6 – (– 10)] 𝒋 + [-6 – 13] 𝒌
𝒄 = – 16 𝒊 + 21 𝒋 – 6 𝒌
𝒃 = –2 𝒊 + 16 𝒋 – 19 𝒌
𝐓 =
𝒃 𝐱 𝒄
𝟐𝒊 𝒋 𝒌
– 2 16 –19
–16 21 – 6
𝐓 = ½ = ½ [(–96+399) 𝒊 –(12–304) 𝒋 + (–42+256)] 𝒌
A(7,-10,13)
C(-9,11,7)
B(5,6,-6)
X
Y
Z
Figura 30
𝒄
𝐓 = 151,5 𝒊 + 146 𝒋 + 107 𝒌 Área Triángulo = T = 55717,25  236,05
unidades de superficie

Triple Producto Escalar
El triple producto escalar de los vectores no coplanarios 𝐀 , 𝐁 y 𝐂
de la Fig.31 es el escalar definido mediante la expresión:
𝐀 • ( 𝐁 x 𝐂 ) (24)
𝐀
𝐂
o
 𝐁 Figura 31
El paréntesis indica que prime-
ro debemos ejecutar el produc-
to vectorial (x) y luego el pro-
ducto escalar (•)
Mediante esta operación obte-
nemos un escalar que represen-
ta el volumen del paralelepípedo formado por los vectores 𝐀, 𝐁 y
𝐂, como aristas de origen común.
Al ejecutar primero el producto vectorial ( 𝐁 x 𝐂 ), obtenemos un
vector perpendicular a la base del paralelepípedo, el mismo que
está ubicado dentro de éste, tal como se muestra en la Fig. 32 que
sigue.

En la Fig.32 la base del paralelepípedo esta representado por el
producto vectorial.
h

𝑨
𝑪
o 𝑩

Figura 32
S
𝑩 x 𝑪
𝒖
Si ahora ejecutamos el produc-
to escalar de 𝑨 con el vector
producto anterior se tiene:
( 𝑩 x 𝑪 ) = B C sen  𝒖
Cuyo módulo es igual al área S
de la base del paralelepípedo
B C sen  = S
𝑨 • ( 𝑩 x 𝑪 ) = 𝑨 • (B C sen ) 𝒖
Donde: A cos  = h, es la altura del paralelepípedo y
= A (B C sen ) cos 
Que puede reordenarse en la forma:
𝑨 • ( 𝑩 x 𝑪 ) = (A cos  )(B C sen )
B C sen  = S, es el área del paralelogramo base
𝑨 • ( 𝑩 x 𝑪 ) = h S = V, es el volumen del
paralelepípedo
Por lo tanto:
(25)

Si los vectores se dan en función de sus componentes cartesianas.
El triple producto escalar se obtiene desarrollando el determinante
formado por las componentes de los vectores en el siguiente orden
𝐀 = Ax 𝒊 + Ay 𝒋 + Az 𝒌
𝐁 = Bx 𝒊 + By 𝒋 + Az 𝒌
𝐂 = Cx 𝒊 + Cy 𝒋 + Cz 𝒌
= Volumen del paralelepípedo formado por tres
vectores no coplanarios
Desarrollando el determinante por menores complementarios se tiene:
𝐀 • ( 𝐁 x 𝐂 ) = (27)
𝐀 • ( 𝐁 x 𝐂 ) =
Ax Ay Az
Bx By Bz
Cx Cy Cz
= V (26)
(ByCz – BzCy )Ax – (BxCz – BzCx)Ay + (BxCy – ByCx )Az

Nota. Es importante indicar que al definir el triple producto escalar debemos cuidar que
el vector producto de dos de ellos sea un vector que al ubicarlo perpendicular a la
base quede dentro del paralelepípedo. Porque de no ser así, el triple producto
puede resultar negativo. Si este es el caso, aún podemos considerar el valor
absoluto del resultado como el volumen del paralelepípedo.
Solución
Ubicamos los puntos, trazamos y
definimos los vectores posición de
cada uno de los vértices, tal como
se muestran en la Fig.36.
M
P
𝒑
𝒎
N
𝒏
Y
Z
X Figura 33
𝒎 = 7 𝒊 + 4 𝒋 + 2 𝒌
𝒏 = - 5 𝒊 + 6 𝒋
𝒑 = 2 𝒊 -4 𝒋 + 8 𝒌
Estos vectores son aristas del pa-
ralelepípedo de la Fig.33, cuya base
lo conforman los vectores 𝒎 y 𝒏 .
o
Ejemplo 16. Sean M(7,4,2); N(-5,6,0) y P(2,-4,8) los vértices de un para-
lelepípedo. Dibujar el paralelepípedo y calcular su volumen.

2 -4 8
7 4 2
-5 6 0
V = 𝒑 • ( 𝒎 x 𝒏) =
V = 2[(4)(0) – (6)(2)]
V = 512 [unidades de volumen]
4 2
6 0
2
7 2
-5 0
-(-4)
7 4
-5 6
+ 8
Para obtener el valor de este triple producto formamos un determinan-
te con las componentes de los vectores, según el orden en que se
multipliquen.
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)
+ 4[(7)(0) – (–5)(2)]+ 8[(7)(6) – (–5)(4)]
Desarrollamos este determinante usando el método de los menores
complementarios (o cualquier otro método).
V =
El volumen de este paralelepípedo se obtiene mediante el triple pro-
ducto escalar
V = 𝒑 • ( 𝒎 x 𝒏)

Se demuestra que el triple producto escalar no cambia si permuta-
mos los vectores alrededor del punto y el aspa en el siguiente
orden:
Ejercicio EV-03
1. Definir los vectores posición, 𝒍, 𝒎, 𝒏 de los puntos L (–7, –8, 9); M (8,
–8,5) y N (9, 6, –3) usando los vectores unitarios 𝒊, 𝒋, 𝒌 y luego con
ellos calcular: a) La proyección de 𝒍 sobre 𝒎, b) El ángulo que forma el
vector ( 𝒎 - 𝒍 ) con el vector [ 𝒍 x ( 𝒏 / 3)] y c) el volumen del
paralelepípedo formado por los vectores 𝒍 , 𝒎 y 𝒏.
2. Los puntos A (10, -5,-15); B (11, 14, -9) y C (6, -4,7) están ubicados en
el sistema (X,Y,Z). Usando los vectores unitarios 𝒊 , 𝒋 , 𝒌, defina los
vectores posición: 𝒂 , 𝒃 , 𝒄 de cada uno de estos puntos, para luego
calcular el ángulo que forma el vector ( 2 𝒄 - 𝒃 ) con el vector [ 𝒃
x ( 𝒂 /5 )]
V = 𝒑 • ( 𝒎 x 𝒏) = 𝒎 • ( 𝒏 x 𝒑) = 𝒏 • ( 𝒑 x 𝒎) = 𝒑 • ( 𝒎 x 𝒏)1 (27)

3. a) Calcular, usando métodos vectoriales, la altura del paralelepípedo
determinado por los vectores 𝒂 = 𝒊 + 𝒋 + 𝒌 , 𝒃 = 2 𝒊 + 4 𝒋 - 𝒌, 𝒄 = 𝒊 + 𝒋
+ 3 𝒌, expresados en metros, considerando que 𝒂 y 𝒃 forman una de
las bases del paralelepípedo y b) calcular las otras alturas.
4. Calcular el vector unitario perpendicular a los vectores 𝒑 = 5 𝒊 + 3 𝒋 +
7 𝒌 y 𝒑 = -8 𝒊 + 6 𝒋 - 4 𝒌 .
5. Los puntos F (9, -7,-4); G (20, -16,12) y H (11, 6, -9) están defini-
dos por sus coordenadas, en metros, en el sistema (X,Y,Z). a) Definir
los vectores posición 𝒇, 𝒈 , 𝒉 de cada uno de los puntos, usando los
vectores unitarios 𝒊, 𝒋, 𝒌 ; luego calcular: b) el ángulo que forma el
vector diferencia ( 𝒉 - 𝒇) con el vector producto ( 𝒈 / 4 ) x 𝒇 y c) el
volumen del paralelepípedo formado por los vectores 𝒇, 𝒈 y 𝒉.
6. En el sistema (X,Y,Z) se ubican los puntos: M (12, -8,-4); N (9,-12,5)
y P (9, 18, -15) expresados en metros. a) Definir los vectores
posición: 𝒎, 𝒏, 𝒑 usando los vectores unitarios 𝒊, 𝒋, 𝒌, y b) calcular el
ángulo que forma el vector suma de los tres vectores con el vector
producto [( 𝒍 /3 ) x 𝒎/𝟐].

7. Definir los vectores posición 𝒑, 𝒒, 𝒓 de los puntos P(–6, 9,–12); Q (–11,
–13, 7) y R (6, 8, –4), usando los vectores unitarios 𝒊, 𝒋, 𝒌, y luego con
ellos calcular: a) el ángulo que forma el vector [ 𝒓 – ( 𝒑 /3) ] con el
vector ( 𝒒 x 𝒑) y b) el volumen del paralelepípedo formado por los
vectores 𝒑 , 𝒒, 𝒓.
8. Los puntos M (4,-5, 4); N (-4,-6, 5) y P (3, 5,-3) son los vértices de un
triángulo en el sistema (X,Y,Z), expresados en metros. a) Ubicar los
puntos y luego dibujar el triángulo, b) calcular el valor de los tres
ángulos inter-nos y c) el área del triángulo usando métodos
vectoriales.
9. Los siguientes tres puntos están definidos respecto al sistema (X,Y,Z)
mediante las coordenadas: A (12, -16,-8); B (6, -8,3) y C (9, 6, -15).
Defina los vectores posición: a, b, c de cada uno de los puntos
usando los vectores unitarios i, j, k. Luego, usando estos vectores,
calcular el ángulo que forma el vector [c – (a/4 ) –b ] con el vector
[( c/ 3) x b ].

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