El documento describe los conceptos básicos de vectores en el plano, incluyendo sistemas de coordenadas, sumas y productos de vectores, módulo, dirección, sentido, bases canónicas y producto escalar. Explica cómo cada punto en el plano puede representarse mediante coordenadas y cómo los vectores pueden expresarse como combinaciones lineales de vectores de una base dada.

1. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Puntos en el plano. Coordenadas 1º BA H L R T
C IL E A O
Un sistema de referencia en el plano está formado por dos rectas: OX (llamada eje
de abcisas) y OY (llamada eje de ordenadas) que se cortan en un punto O (llamado
origen de coordenadas)
Y
p2 • P (p1, p2) Cada punto del plano queda unívocamente
determinado por sus coordenadas
1
p1
O 1 X

2. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 E conjunto R
l 2
1º BA H L R T
C IL E A O
R2 = { ( x , y ) / x ∈ R, y ∈ R}
Primera componente Segunda componente
x = x'
(x, y) = (x’, y’) ⇔ y'
y=

3. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Operaciones en R2
1º BA H L R T
C IL E A O
Suma de pares: (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’)
Producto de un número por un par: k(x, y) = (kx, ky)

4. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Sentido de la suma de pares 1º BA H L R T
C IL E A O
•C
3
B• 6 5
2
A• 5
11
• Paso de A a B: 5 derecha, 2 arriba
• Paso de B a C: 6 derecha, 3 arriba
• Para pasar de B a C directamente: (5, 2) + (6, 3) = (11, 5)

5. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Vectores fijos en el plano 1º BA H L R T
C IL E A O
Vector fijo:
Es un segmento orientado, con el sentido del recorrido que va desde el
origen al extremo.
→ B Extremo
AB
Origen A

6. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 ó
M dulo 1º BA H L R T
C IL E A O
El módulo de un vector fijo es la longitud del segmento [AB]
→ B
AB
A →
Se representa |AB|

7. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Dirección 1º BA H L R T
C IL E A O
Dirección de un vector fijo: es la dirección de la recta que pasa por A y B
Todos estos vectores
tienen la misma dirección.

8. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Sentido 1º BA H L R T
C IL E A O
Sentido de un vector fijo es el recorrido de la recta cuando nos trasladamos desde A a B
Estos vectores
tienen la misma dirección y
sentido contrario.

9. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Vectores equipolentes 1º BA H L R T
C IL E A O
Dos vectores fijos son equipolentes si y sólo si tienen igual módulo, igual dirección e
igual sentido
L vectores en el plano
os

10. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 L vectores libres del plano
os 1º BA H L R T
C IL E A O
Dado un vector fijo, el conjunto de todos los vectores equipolentes con él, se dice que
forman un vector libre. Al conjunto de los vectores libres del plano se le llama V2.
C B
A
D •
→ →
El vector fijo AB es un representante del vector libre [AB]
→ →
•
El vector fijo CD es un representante del vector libre [CD]

11. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Suma de vectores libres 1º BA H L R T
C IL E A O
→
→ v
u →
u
• → →
O u+v
→
v

12. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 O forma de sumar vectores libres: regla del paralelogramo
tra 1º BA H L R T
C IL E A O
→
u → → →
u u+v
•
O
→
v
→
v

13. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Producto de un número real por un vector 1º BA H L R T
C IL E A O
→
→
u u →
–u
→ →
u → → –2 u
3u –u
→
u

14. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Combinación lineal de vectores 1º BA H L R T
C IL E A O
→ →
• dos vectores a y b , una combinación lineal de estos dos vectores es
Dados
cualquier expresión de la forma m . → donde m y n son números reales.
a +n.→
b en
•
El resultado de una combinación lineal de vectores es otro vector:
m.→ →a +n.→ b = u
→
2 .b
→
→ → .b
b 3. a+2
•
→
a
→
3 .a

15. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Coordenadas de un vector libre 1º BA H L R T
C IL E A O
Si → →
•a y b son dos vectores del plano V2 linealmente independientes , entonces
cualquier otro vector → expresar como combinación lineal de dichos
u se puede
vectores. Además dicha combinación lineal es única.
→ →
•dice entonces que B = { a , b } es base de V2.
Se
→
y .b
→
→ → .b
→
b u= x. a+y
•
→
a
→
x .a
Se dice que x e y son las coordenadas de→ la base B = {→
u respecto de a ,→
b }. Se
escribe →
u = (x, y).

16. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 B canónica de V. C
ase 2
oordenadas de un vector libre 1º BA H L R T
C IL E A O
Y
→ → →
→ a B ={ i , j } es la base
yj
canónica de V2
→ →→
x i +y j =a
→ →
j (x, y) son las coordenadas de a en
la base B
→ → X
O i
xi

17. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Producto escalar de dos vectores 1º BA H L R T
C IL E A O
→→ →. → ∧
. v = | u | | v | cos (→ →
u u,v)
→
v
→
u'
→
∧
→→
v ∧
→→
u,v u,v
→ → →
v' u u
→ →
. → | . |→ → →
. → | . |→
u v =|u v' | u v =|v u' |

18. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 ó
M dulo de un vector 1º BA H L R T
C IL E A O
Y
→
u
y
→ → →
|u|=+ u . u = x2 + y 2
→
| u | = x2 + y2
→
j
→ x X
O i

19. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Ángulo de dos vectores 1º BA H L R T
C IL E A O
→
v
→ ∧ →
→ v = u . → xx' + yy'
cos ( u , v ) =
→ x2 + y2 x'2 + y'2
. |→
∧
→→
|u| v|
u,v
→
u

20. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Vectores unitarios 1º BA H L R T
C IL E A O
Y
→
→ a
yj
→
j
→
O u
→ → → X
-u i
xi
→
(
u = 2
x
x +y2,
y
x2 + y2 ) –→
u = – ( 2
x
x +y 2 ,–
y
x 2 + y2 )

21. Vectores en el plano M áticas I
atem
5 1 Vectores perpendiculares. B ortonormales
ases 1º BA H L R T
C IL E A O
Vectores perpendiculares 270º
→
b →
a
→ →
→→ 90º
a ⊥ a . b =0
b ⇔ →
b
→
a
→ → -1
Vectores unitarios u es unitario si y sólo si | u |=1 →
a
|→
a|
→
a
Vectores unitarios de la misma dirección que uno dado: 1 →
a
→
|a|
Base ortonormal: formada por vectores perpendiculares dos a dos y unitarios