Este documento trata sobre las expresiones algebraicas, incluyendo su clasificación, operaciones y propiedades. Define expresiones algebraicas como combinaciones de números y letras relacionadas mediante operaciones matemáticas. Explica que las expresiones algebraicas se clasifican en monomios, binomios, trinomios y polinomios dependiendo del número de términos. Además, describe cómo realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con expresiones algebraicas utilizando propiedades como la distributiva.

1. Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. GALILEO GALILEI EXPRESIONES ALGEBRAICAS SU CLASIFICACIÓN Y OPERACIONES POR : ING. MARGARITA PATIÑO JARAMILLO ING. CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO

2. INTRODUCCIÓN A LA UNIDAD En ocasiones has visto expresiones como la siguiente: a + b = b + a Con ella representamos la propiedad conmutativa de la suma. Esta propiedad es cierta para cualquier par de números y por ello utilizamos letras en lugar de valores concretos. En Matemáticas es frecuente utilizar expresiones que combine números y letras o solamente letras. Esto lo hacemos cuando, como en el caso anterior, expresamos relaciones que se dan para todos los números. También cuando desconocemos el valor de algún dato lo representamos con una letra hasta que lo hallamos. Y también cuando no conocemos el valor numérico de algún dato y hemos de escribir una expresión en la que interviene aunque no se trate de hallar su valor. Las expresiones que resultan de combinar números y letras relacionándolos con las operaciones habituales se llaman expresiones algebraicas . La parte de las Matemáticas que utiliza las expresiones algebraicas se llama Álgebra .

3. COMPETENCIAS: Utilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos . Saber interpretar la información lingüística en su expresión numérica en un texto dado. Dominar el uso de la calculadora como ayuda para la resolución de problemas matemáticos. Utilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos. Resuelve expresiones algebraicas utilizando las propiedades y operaciones algebraicas. En una situación específica: Realiza operaciones con polinomios .

4. Para un buen desempeño con el tema de las expresiones algebraicas, es necesario un buen dominio en las propiedades y operaciones descritas en el capítulo de conjuntos numéricos. 2. Tener muy en cuenta la ley de los signos. 3. Tener buena habilidad y destreza en realización de cálculos en los que intervienen operaciones con signos de agrupación. CONOCIMIENTOS PREVIOS

5. Para estudiar esta unidad, debes conocer los siguientes conceptos: EXPRESIÓN ALGEBRAICA : Una expresión algebraica es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas. Adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación 3y – 2xy + 8 Expresión algebraica términos La expresión algebraica esta conformada por TÉRMINOS Nuestra expresión Algebraica modelo está conformada por tres términos: ( 3y ), (-2xy), (8) Entonces, UN TÉRMINO es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos separados únicamente por la multiplicación o la división. Aquí no hay sumas ni restas para separarlos.

6. GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO: Se denomina grado absoluto de un término algebraico a la suma de los exponentes de su factores literales: 3x 3 , este término es de grado tres -5x 2 y 3 , es de grado 5, porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 2 + 3 = 5 GRADO RELATIVO : Está dado por el exponente de la variable considerada. -5x 2 y 3 : Es de 2º grado con respecto a la variable x. -5x 2 y 3 : Es de 3er grado con respecto a la variable y.

7. Las expresiones Algebraicas se clasifican de acuerdo al número de términos que la componen en: MONOMIOS, BINOMIOS, TRINOMIOS Y POLINOMIOS CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS MONOMIOS. POLINOMIO GRADO DE UN POLINOMIO OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA Y RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN REGLADE RUFFINI

8. MONOMIOS. Los monomios son expresiones algebraica de un solo término. Ejemplos: 7xy 2) –0,5xy 3) 4ab 4) -5xyz 5) 52abc 6) 3xz Debes tener en cuenta que en un monomio hay: un factor numérico que se llama coeficiente , que en los ejemplos anteriores serían : 7 ,-0.5, 4 ,-5, 52, 3 respectivamente, Una parte constituida por letras y sus exponentes que se llama parte literal, como son xy , xy , ab, xyz para nuestros ejemplos anteriores . Los monomios que tienen la misma parte literal se llaman monomios semejantes, o simplemente términos semejantes, como son : 5xy 2 , -7xy 2 , 3xy 2 .

9. POLINOMIO Un Polinomio es una expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos: Ejemplos: 1) -7x 2 + 4x – 5xy 3) 5a 2 + 3ab - ab 2 - 2 2) 6x 4 - 5x 3 + x 2 + 4x + 9 4) 6x 3 + 2x 2 – x +1 De acuerdo a la cantidad de sumandos el polinomio recibe otras denominaciones que son: Binomio y Trinomio :

10. BINOMIO Binomio : es un Polinomio que consta de dos términos. Ejemplos: 1) 5x 2 y + 2x 2 y 3 3) 4a 2 b + 4a 3 b 3 5) 8m 3 n 2 - 2mn 2 2) -4x + 3y 4) 6x 2 y 2 z - 3xy 6) – 4x -2xy Trinomio : es un Polinomio que consta de tres términos. Ejemplos: 1) 5x + 6y + 3z 3) 4mn 2 + 2m 2 n – 3mn 5) a 2 +b 2 + 3ab 3 + ab 2) –1 + ab + 3a 2 b 4) -3xy 2 z + 3x 2 y 2 z +x2y 2 z 3 6) x 3 y 2 + xy 2 +3xy TRINOMIO

11. El grado de un polinomio está determinado por el término de mayor grado absoluto. Ejemplo: 2x 3 y + 5xy 2 - x z + 1 es de grado 4, OBSERVA : el término 2x 3 y que es de grado 4. El grado de un polinomio respecto de una variable es el mayor exponente con que figura dicha variable . Así en el ejemplo anterior es de grado 3 respecto de x , de grado 2 respecto de y , de grado 1 respecto de z GRADO DE UN POLINOMIO

12. Taller para identificar las características de las expresiones algebraicas

13. Los Polinomios pueden sumarse, restarse, multiplicarse, dividirse y elevarse a cualquier potencia real. Por ejemplo una SUMA de polinomios puede expresarse como: OPERACIONES CON POLINOMIOS

14. 4 + 1 = 5 SUMA y RESTA 1. Solo se pueden sumar o restar TÉRMINOS SEMEJANTES. 2. La suma o resta de dos o más monomios semejantes es otro monomio semejante a los anteriores y que tiene por coeficiente la suma o resta de los coeficientes de cada monomio. 3. Si no son semejantes se deja la operación indicada YA QUE NO SE PODRÁN SUMAR. EJEMPLO 1: 4 b + b = 5b EJEMPLO2: 7xy – 3xy = 4xy EJEMPLO3: - 5xy 2 – 3xy 2 = - 8xy 2 EJEMPLO4: 2x 3 y 2 + 2xy = Se asume, que si no existe un valor numérico (coeficiente) antes de la letra, se asume que vale uno (1) No se pueden sumar, pues no se cuenta con términos semejantes

15. La suma de dos o más polinomios puede realizarse sumando sus términos semejantes. Esta operación puede hacerse en forma vertical o en horizontal o fila. Su representación sería como se presenta a continuación: EJEMPLO: Sume los dos Polinomios siguientes Primero ordenemos en forma descendente el polinomio P(y), con relación a la variable y. Como segundo paso, es conveniente disponer los polinomios en forma vertical de tal manera que coincidan los términos semejantes de ambos polinomios, así obtienes la siguiente presentación y podrás sumarlos más fácilmente:

16. EJEMPLO: Resuelve la siguiente suma de polinomios utilizando el método horizontal: Para dar solución a este ejercicio, sigue los pasos que se describen a continuación: Agrupa términos semejantes utilizando las propiedades conmutativa y asociativa de la adición. Sigue

17. Es tu respuesta Ahora podrás reducir términos semejantes, es decir, súmalos: Otro ejemplo: Realizar la suma de polinomios indicada: Para dar solución a esta suma, debes proceder de igual manera que en el ejemplo anterior: Como último paso, debes ordenar el polinomio, esto lo haces teniendo en cuenta los exponentes de la variable x; entonces Ordena de mayor a menor (orden descendente), y te quedará así: - 7x 3 +4x 2 +8x +3

18. RESTA DE POLINOMIOS EJEMPLO1: Realizar la siguiente resta de monomios: 15x – 10x Para dar solución debes restar los coeficientes 15 -10, ya que estamos operando con términos semejantes; por lo tanto, tu respuesta será igual a 5x. Respuesta: 15x – 10x = 5x EJEMPLO2: realizar la siguiente resta de polinomios: P(x) – Q(x). Sea P(x) = y Q(x) = 1. Para dar solución a esta resta observemos la siguiente disposición en forma horizontal:

19. 2. Destruye el paréntesis aplicando la ley de signos: 3. Operando con los términos semejantes, se obtiene: EJEMPLO3: Realizar la siguiente resta de polinomios, utilizando la forma vertical : Para dar solución, observa de nuevo como el signo menos afecta el sustraendo: No olvides que para restar dos polinomios deben cambiarse todos los signos al sustraendo y sumar algebraicamente . Minuendo Sustraendo Diferencia

20. EJEMPLO 4: Realizar la siguiente resta utilizando el método horizontal: Para dar solución, no olvides escribir en forma horizontal los polinomios cuidando de cambiar el signo a los términos del sustraendo. Teniendo en cuenta el cambio de los signos, la operación se convierte en una suma de polinomios: Ahora, efectúa las operaciones:

21. Taller para practicar la suma y resta depolinomios

22. 1. MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO MONOMIO: Para multiplicar dos monomios entre sí se procede de la siguiente manera: Se multiplican los signos (Es decir, se aplica ley de signos) Se multiplican sus coeficientes. Cuando tenemos letras iguales o bases, se suman los exponentes para cada una. Ejemplo 1: 3x 2 (-5x 3 y) = - 15 x 2+3 y = -15x 5 y Ejemplo 2: MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

23. 2. MULTIPLICACIÓN DE UNA CONSTANTE POR UN POLINOMIO Al efectuar esta multiplicación, se utiliza la propiedad distributiva del producto, y el resultado es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio inicial y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por la constante. 3. Multiplicación de un monomio por un polinomio: Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación y las propiedades de potenciación, es decir se suman los exponentes de los términos semejantes, sin olvidar aplicar la ley de los signos . 12y 2 - 30y + 15xy -21

24. EJEMPLO : Realizar la siguiente multiplicación de un monomio (11x 3 ) por el polinomio 2x 5 – 4x 2 + 5x – 12 El producto resultante de esta multiplicación es:

25. 4. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS: Para multiplicar dos polinomios entre sí, se multiplica cada término del primer polinomio por todos y cada uno de los términos del segundo polinomio con sus correspondientes signos, es decir, se está utilizando nuevamente la propiedad distributiva del producto lo mismo que las propiedades de la potenciación. Esta operación la podrás realizar de forma horizontal o vertical

26. 5. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS UTILIZANDO EL MÉTODO HORIZONTAL: EJEMPLO1: Efectuar la siguiente multiplicación del polinomio por Para realizar la multiplicación expresamos cada factor así: Multiplicando cada término del primer polinomio por cada uno del segundo te obtiene: 6x 4 - 4x 3 + 6x 2 + 15x 3 - 10x 2 + 15x

27. 6. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS UTILIZANDO EL MÉTODO VERTICAL: EJEMPLO 1: multiplicar los polinomios: P( x ) = 7 x 3 - 5 x + 2 y Q( x ) = 2 x 2 + 5 x - 1 Para realizar la multiplicación disponemos los polinomios de la siguiente forma, para multiplicar cada término, y luego sumar los términos semejantes:

28. EJEMPLO 2: Realizar la siguiente multiplicación de polinomios:

29. 1. DIVISIÓN DE MONOMIOS Para dividir dos monomios se dividen sus coeficientes y para cada letra común en el dividendo y divisor se restan sus exponentes. EJEMPLO 1: Realizar las siguientes divisiones de monomios Note que el exponente de x en el numerador es menor que el exponente de x en el denominador, por lo tanto, al realizar la resta de éstos su diferencia es negativa e igual a -2; lo que significa que debemos representarlo como exponente positivo, por lo tanto, se podrá lograr llevándolo al denominador, según propiedades de los exponentes. DIVISIÓN

30. Ejemplo: Algunas propiedades de los exponentes para tener en cuenta:

31. 2. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO: En el caso de que el dividendo sea un polinomio y el divisor un monomio, se puede representar indicando la división de cada uno de los monomios del dividendo entre el monomio divisor. EJEMPLO1: Observe que ya tiene tres divisiones de monomios, y su resultado es:

32. EJEMPLO2 : Realizar la siguiente división de un polinomio por un monomio: Para dar solución dividimos cada uno de los términos del polinomio del dividendo por el monomio , veamos Realizando la división de monomios, obtenemos:

33. DIVISIÓN DE POLINOMIOS: Para dividir dos polinomios siempre, el grado del dividendo debe ser mayor o igual al grado del divisor. Además, siempre deben estar ambos polinomios ordenados en forma descendente. En el caso de que falte algún término del divisor , debe dejarse su espacio o colocar un cero (0) para poder operar correctamente. Para que no te quede ninguna duda, estúdiate las siguientes reglas:

34. REGLAS PARA LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS: 1 . El dividendo y el divisor se deben expresar en orden descendente con respecto a una misma letra. 2. Procede luego a dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtendrás así el primer término del cociente. 3. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de éste producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponde de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor. 4. Para continuar se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente. 5. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. Y así sucesivamente.

35. Debes recordar estos nombres y su ubicación: El grado del cociente siempre es la resta entre el grado del dividendo y el grado del divisor DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE RESIDUO

36. EJEMPLO: Realizar la siguiente división de polinomios: entre Para dar solución a esta división, realizaremos paso a paso las reglas enunciadas para esta división: 1. El dividendo y el divisor se deben expresar en orden descendente con respecto a una misma letra. Observa que los polinomios ya estar están ordenados: Este es el dividendo: Este es el divisor: 2. Ahora procede a dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtendrás así el primer término del cociente.

37. Corresponde al primer término de tu cociente. 3. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de éste producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponde de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor, veamos: Observa que multiplicaste 2x (2x 2 – x + 1) = + 4x 3 - 4x 2 + 2x, pero para restar del dividendo lo pasas con el signo contrario: - 4x 3 + 4x 2 - 2x

38. Ahora realizamos la resta: 4. Para continuar se divide el primer término del resto (4x 2 ) entre el primer término del divisor (2x 2 ) y tendremos el segundo término del cociente que es 2. Primer término del Cociente Resto

39. 5. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. Y así sucesivamente. Divisor Dividendo Cociente Residuo

40. La respuesta a esta división se debe expresar de la siguiente forma:

41.  PARA TENER EN CUENTA: Al igual que en una división normal , se puede comprobar que : dividendo = divisor por cociente + residuo Si los coeficientes del primer término del dividendo y del divisor no dan una división exacta debemos utilizar fracciones (algunas veces se usan decimales si no son periódicos), veamos un ejemplo1:

42. EJEMPLO 1 : realizar la división: La disposición de ambos polinomios es la siguiente: Observa que debes dejar este espacio o colocar cero porque la variable x no existe y además, el polinomio está ordenado en forma descendente

43. Realizando la división obtenemos: Observa que cuando en el resto queda la letra principal con un exponente de grado menor que el del divisor, se ha concluido la división.

44. EJEMPLO 2: Efectuar la siguiente división del polinomio P(x) entre Q(x), si Observa que aquí se han colocado los ceros en el espacio que ocuparían las variables x 3 y x, si te gusta más, puedes dejar los espacios.

45. Realizando la división, obtenemos:

46. La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x ± a , donde a es cualquier numerito. Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a” de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”. Paolo Ruffini (1765-1822). Matemático y médico italiano. En el año 1799 publicó el libro “Teoría general de las ecuaciones”, en el cual aparece la regla que lleva su nombre. REGLADE RUFFINI

47. EJEMPLO 1: Realizar la siguiente división, entre , utilizando la regla de Ruffini: Para dar solución a este polinomio utilizaremos el método que ya hemos estudiado, y luego compararemos comparemos con el método de Ruffini: Ahora realizaremos la división utilizando el método de Ruffini y compararemos los resultados de ambas divisiones y lo fácil que es aplicar éste método 

48. Aplicando la regla de Ruffini tenemos: Recordemos el polinomio que vamos a dividir:  Para dividir polinomios usando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos que aplicamos al ejemplo: Ordenar el polinomio (dividendo) de forma decreciente. Se escriben los coeficientes del dividendo (recuerde que si faltan términos se deben dejar los espacios o colocar los ceros como ya se estudió en la división): 5 -3 2 -7 3 5. Ahora ya se puede preparar la tabla de Ruffini, como se verá a continuación: ÷ ÷

49. 6. Colocamos el término independiente del divisor x -1 , que en este caso es 1 , entonces el término independiente pasará con signo contrario +1 Término independiente del divisor con signo contrario Coeficientes del dividendo

50. 7. Bajamos el primer coeficiente (5 para este ejemplo). 8. Realizamos un proceso repetitivo, de izquierda a derecha, que consiste primero multiplicar el primer coeficiente (5) por el divisor (1), el resultado se coloca a la derecha del segundo coeficiente del dividendo. Al multiplicar 5 x 1= 5

51. Ahora se suma esta segunda columna y este resultado nuevamente se multiplica por el divisor (1). Este procedimiento se repite hasta el último término del diivdendo. 9. El último número obtenido es el residuo de la división, que en nuestro ejemplo es cero (0). Los anteriores a la izquierda del cero representan el cociente. Residuo Cociente

52. La respuesta para la división utilizando el método de Ruffini, se expresa de la siguiente manera: Se toman los valores correspondientes al cociente y se les asigna la letra definida en el dividendo, pero empezando con un exponente disminuido en 1 respecto al dividendo: Que es tu respuesta para la división

53. Taller para practicar las operaciones de multiplicación, división de polinomios y la regla de Ruffini

54. STEWART JAMES, REDLIN LOTHAR, Pr cálculo, quinta edición J. Rodriguez S. A. Astorga M. Expresiones Algebraicas M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodriguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-expresionesalgebraicas/pdf/expresiones-algebraicas.pdf