Este documento presenta información sobre el sistema de coordenadas polares. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar ecuaciones polares comunes como rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes aprendan a graficar estas curvas y a trabajar con coordenadas polares.
Este documento describe diferentes tipos de matrices y operaciones con ellas. Define matrices como conjuntos de elementos ordenados en filas y columnas, y describe matrices fila, columna, cuadrada, traspuesta, nula, diagonal, escalar, unidad e triangular. Explica cómo sumar, restar, multiplicar matrices por escalares, y calcular el producto de matrices. También cubre matrices inversibles y cómo calcular la inversa de una matriz usando el método de Gauss-Jordan.
Este documento presenta el sistema de coordenadas polares y cómo graficar ecuaciones en este sistema. Explica que las coordenadas polares (r, θ) describen un punto como la distancia r desde el origen y el ángulo θ. Luego detalla cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas mediante sus ecuaciones polares correspondientes. Finalmente, proporciona ejercicios para que el estudiante aplique estos conceptos.
El documento explica el Teorema del Binomio, el cual expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. Se describen las características del desarrollo del binomio (a+b)n, incluyendo que el número de términos es n+1 y que los exponentes de a y b suman n en cada término. También se explica cómo calcular el r-ésimo término y cómo el teorema se puede expresar a través de combinaciones. Finalmente, se indica que la fórmula también es aplicable
1) El documento define la parábola y sus elementos clave como el vértice, foco, eje de simetría y directriz.
2) Se presentan cuatro formas de la ecuación de la parábola incluyendo ejemplos para ilustrar cómo calcular cada elemento.
3) El objetivo es que el lector pueda identificar los componentes de la parábola a partir de su ecuación y representarla gráficamente.
El documento describe diferentes métodos para calcular la integral definida numéricamente, como la fórmula de los trapecios, la regla de Simpson, el método de Romberg, y la cuadratura de Gauss. Explica los algoritmos para aplicar estos métodos y calcular la integral aproximada de una función en un intervalo dado.
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticasTania Contento
El documento describe tres métodos para resolver ecuaciones cuadráticas: la fórmula general, completando el trinomio cuadrado perfecto, y por trinomio de la forma ax2+bx+c. Proporciona ejemplos de cada método y cita cuatro fuentes bibliográficas relacionadas con ecuaciones cuadráticas.
1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente.
2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto.
3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de
El documento presenta un resumen de las funciones trigonométricas y coordenadas polares para el curso de Cálculo I. Incluye ejercicios resueltos sobre funciones seno y coseno con gráficas, composición de funciones, y conversiones entre coordenadas cartesianas y polares. El profesor asigna tareas como graficar funciones usando software y resolver problemas sobre temas como áreas, volúmenes y precios con descuentos aplicando conceptos de funciones.
Este documento describe diferentes tipos de matrices y operaciones con ellas. Define matrices como conjuntos de elementos ordenados en filas y columnas, y describe matrices fila, columna, cuadrada, traspuesta, nula, diagonal, escalar, unidad e triangular. Explica cómo sumar, restar, multiplicar matrices por escalares, y calcular el producto de matrices. También cubre matrices inversibles y cómo calcular la inversa de una matriz usando el método de Gauss-Jordan.
Este documento presenta el sistema de coordenadas polares y cómo graficar ecuaciones en este sistema. Explica que las coordenadas polares (r, θ) describen un punto como la distancia r desde el origen y el ángulo θ. Luego detalla cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas mediante sus ecuaciones polares correspondientes. Finalmente, proporciona ejercicios para que el estudiante aplique estos conceptos.
El documento explica el Teorema del Binomio, el cual expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. Se describen las características del desarrollo del binomio (a+b)n, incluyendo que el número de términos es n+1 y que los exponentes de a y b suman n en cada término. También se explica cómo calcular el r-ésimo término y cómo el teorema se puede expresar a través de combinaciones. Finalmente, se indica que la fórmula también es aplicable
1) El documento define la parábola y sus elementos clave como el vértice, foco, eje de simetría y directriz.
2) Se presentan cuatro formas de la ecuación de la parábola incluyendo ejemplos para ilustrar cómo calcular cada elemento.
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El documento describe diferentes métodos para calcular la integral definida numéricamente, como la fórmula de los trapecios, la regla de Simpson, el método de Romberg, y la cuadratura de Gauss. Explica los algoritmos para aplicar estos métodos y calcular la integral aproximada de una función en un intervalo dado.
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticasTania Contento
El documento describe tres métodos para resolver ecuaciones cuadráticas: la fórmula general, completando el trinomio cuadrado perfecto, y por trinomio de la forma ax2+bx+c. Proporciona ejemplos de cada método y cita cuatro fuentes bibliográficas relacionadas con ecuaciones cuadráticas.
1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente.
2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto.
3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de
El documento presenta un resumen de las funciones trigonométricas y coordenadas polares para el curso de Cálculo I. Incluye ejercicios resueltos sobre funciones seno y coseno con gráficas, composición de funciones, y conversiones entre coordenadas cartesianas y polares. El profesor asigna tareas como graficar funciones usando software y resolver problemas sobre temas como áreas, volúmenes y precios con descuentos aplicando conceptos de funciones.
El documento presenta conceptos básicos de bioestadística y vectores. Introduce la medición de longitud y desplazamiento, explicando que la longitud es una cantidad escalar mientras que el desplazamiento es una cantidad vectorial que contiene magnitud y dirección. También explica cómo identificar direcciones usando referencias al este, norte, oeste y sur, y cómo representar vectores usando coordenadas polares y rectangulares. Finalmente, muestra ejemplos de cómo calcular componentes de vectores y la fuerza resultante de vectores perpendiculares.
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
Este documento presenta el método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El método implica reescribir el sistema en términos del operador diferencial, eliminar una variable mediante multiplicación de ecuaciones, obtener la solución de la ecuación característica y sustituir en el sistema original para encontrar la solución general. Se ilustra el método con un ejemplo de sistema de dos ecuaciones de primer orden.
El documento explica el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Específicamente, dice que para toda función continua integrable, la derivada de su integral es igual a la función original. También introduce conceptos como la integral definida, la suma de Riemann y el límite de la suma como definición de la integral.
El Teorema Fundamental del Cálculo establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Específicamente, la derivada de la integral de una función es igual a la función original, y la integral de la derivada de una función es igual a la función original más una constante. Este teorema unificó el cálculo diferencial y el cálculo de áreas, y es fundamental en el análisis matemático.
Este documento describe los conceptos de derivación implícita, rectas tangentes y normales. Explica que la derivación implícita se utiliza para calcular la pendiente de una gráfica y determinar la recta tangente. Detalla que una recta tangente tiene una pendiente igual a la derivada de la función en ese punto, mientras que una recta normal es perpendicular a la tangente. Además, explica cómo calcular los ángulos de intersección entre dos curvas a partir de las pendientes de sus rectas tangentes en los puntos de intersección.
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones algebraicas y trascendentes. Explica que la derivada de una constante es cero, la de x es 1, y la de x^n es nx^(n-1). También cubre las fórmulas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, así como funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Finaliza con 12 ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Este documento resume las características geométricas y algebraicas de la parábola. Explica que una parábola es el lugar geométrico de puntos equidistantes a una recta directriz y un punto fijo llamado foco. También describe cómo trazar parábolas usando un compás y regla, y cómo obtener las ecuaciones ordinarias y la ecuación general de una parábola a partir de sus elementos geométricos como el vértice, foco y directriz.
Este documento describe las series de potencias y sus propiedades. Explica que una serie de potencias es una serie de la forma Σan(x-c)n donde an son los coeficientes. Discuten la convergencia de tales series y definen el radio de convergencia. Luego describen que una serie de potencias define una función en su intervalo de convergencia y que dicha función es derivable y sus derivadas pueden expresarse como otras series de potencias.
Este documento describe la parábola geométrica. Explica que una parábola es el lugar geométrico de puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y una recta llamada directriz. Detalla los elementos clave de una parábola como el vértice, foco, directriz y parámetro. Además, presenta la ecuación analítica de una parábola general y un ejemplo numérico. Por último, explica la propiedad de reflexión de una parábola parabólica que hace que la luz incidente paral
Métodos directos para solución de sistemas ecuaciones linealesCesar Mendoza
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo su representación matricial, tipos de sistemas (incompatible, determinado e indeterminado), y métodos para resolverlos como sustitución, igualación, reducción y el método de Gauss. También describe la forma escalonada y reducida de una matriz y cómo la eliminación de Gauss puede usarse para encontrar la inversa de una matriz.
Ecuación de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadaskeniarmendez18
Este documento explica cómo obtener la ecuación de una elipse cuando sus ejes son paralelos a los ejes de coordenadas. También describe cómo hallar los elementos de una elipse (centro, vértices, focos) a partir de su ecuación reducida. Finalmente, presenta un ejemplo resuelto de cómo reducir la ecuación de una elipse y calcular sus elementos.
Este documento define y explica los diferentes tipos de asíntotas que pueden tener las funciones: asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Describe cómo calcular cada tipo de asíntota dependiendo de si el grado del numerador es mayor, menor o igual al grado del denominador al simplificar la función. Incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular cada tipo de asíntota. Finalmente, proporciona dos problemas de ejemplo para que el lector practique calcular las asíntotas de funciones.
El documento explica cómo calcular el área bajo una curva utilizando integrales. Describe los pasos para calcular el área limitada por una función, incluyendo hallar los puntos de corte con el eje x, calcular una primitiva de la función, y sumar las diferencias entre los valores de la primitiva en los puntos de corte. Proporciona ejemplos de cálculos de áreas para funciones como parábolas, rectas y cúbicas.
Este documento presenta los objetivos de aprendizaje relacionados con la ecuación de la recta. Los estudiantes aprenderán a reconocer la expresión algebraica y gráfica de la ecuación de la recta, identificar la pendiente e intercepto, y analizar las posiciones relativas de dos rectas. También aprenderán a establecer las relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y resolver problemas modelados con la ecuación de la recta.
Este documento presenta información sobre el uso de matrices en ingeniería. Explica que las matrices tienen múltiples aplicaciones en áreas como el cálculo estructural, la ingeniería de tránsito, la topografía, el dibujo asistido por computadora, la estática y la hidráulica. También incluye ejemplos de cómo representar datos como cantidades de materias primas y salarios de empleados usando matrices.
El documento explica las ecuaciones diferenciales de primer orden con coeficientes homogéneos. Una ecuación diferencial relaciona una variable independiente con una variable dependiente y sus derivadas. Si los coeficientes M(x,y) y N(x,y) tienen el mismo grado total, la ecuación es de coeficientes homogéneos y su solución se obtiene mediante sustituciones como y = vx o x = vy. El documento proporciona varios ejemplos de cómo resolver este tipo de ecuaciones diferenciales mediante multiplicación de ambos l
Aplicación de la integral definida en la arquitectura. Propiedades de las int...Sara Castañeda Mendoza
Este documento explica conceptos fundamentales sobre la integral. La integral es una suma infinita de áreas pequeñas que representa el área total bajo una curva. Se usa para calcular áreas, volúmenes y propiedades físicas. Los arquitectos aplican las integrales para diseñar edificios con formas complejas y calcular áreas y volúmenes irregulares.
Este documento presenta la unidad 5 sobre la parábola y su ecuación cartesiana. Explica cómo construir una parábola, define sus elementos como el foco, directriz y vértice, y deduce la ecuación de la parábola a partir de su definición geométrica como lugar geométrico. También resuelve problemas aplicando los conceptos sobre la parábola.
Este documento introduce los números complejos, incluyendo su definición, operaciones básicas y formas polares y exponenciales. Explica cómo resolver ecuaciones polinómicas con coeficientes reales y complejos, encontrando raíces complejas a través de fórmulas y división sintética. Proporciona varios ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta el sistema de coordenadas polares y cómo graficar ecuaciones en este sistema. Explica las transformaciones entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas usando ecuaciones polares. Incluye ejemplos y ejercicios para la práctica.
Este documento presenta el sistema de coordenadas polares y cómo graficar ecuaciones en este sistema. Explica las transformaciones entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas usando ecuaciones polares. Incluye ejemplos y ejercicios para la práctica.
El documento presenta conceptos básicos de bioestadística y vectores. Introduce la medición de longitud y desplazamiento, explicando que la longitud es una cantidad escalar mientras que el desplazamiento es una cantidad vectorial que contiene magnitud y dirección. También explica cómo identificar direcciones usando referencias al este, norte, oeste y sur, y cómo representar vectores usando coordenadas polares y rectangulares. Finalmente, muestra ejemplos de cómo calcular componentes de vectores y la fuerza resultante de vectores perpendiculares.
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
Este documento presenta el método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El método implica reescribir el sistema en términos del operador diferencial, eliminar una variable mediante multiplicación de ecuaciones, obtener la solución de la ecuación característica y sustituir en el sistema original para encontrar la solución general. Se ilustra el método con un ejemplo de sistema de dos ecuaciones de primer orden.
El documento explica el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Específicamente, dice que para toda función continua integrable, la derivada de su integral es igual a la función original. También introduce conceptos como la integral definida, la suma de Riemann y el límite de la suma como definición de la integral.
El Teorema Fundamental del Cálculo establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Específicamente, la derivada de la integral de una función es igual a la función original, y la integral de la derivada de una función es igual a la función original más una constante. Este teorema unificó el cálculo diferencial y el cálculo de áreas, y es fundamental en el análisis matemático.
Este documento describe los conceptos de derivación implícita, rectas tangentes y normales. Explica que la derivación implícita se utiliza para calcular la pendiente de una gráfica y determinar la recta tangente. Detalla que una recta tangente tiene una pendiente igual a la derivada de la función en ese punto, mientras que una recta normal es perpendicular a la tangente. Además, explica cómo calcular los ángulos de intersección entre dos curvas a partir de las pendientes de sus rectas tangentes en los puntos de intersección.
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Este documento describe las series de potencias y sus propiedades. Explica que una serie de potencias es una serie de la forma Σan(x-c)n donde an son los coeficientes. Discuten la convergencia de tales series y definen el radio de convergencia. Luego describen que una serie de potencias define una función en su intervalo de convergencia y que dicha función es derivable y sus derivadas pueden expresarse como otras series de potencias.
Este documento describe la parábola geométrica. Explica que una parábola es el lugar geométrico de puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y una recta llamada directriz. Detalla los elementos clave de una parábola como el vértice, foco, directriz y parámetro. Además, presenta la ecuación analítica de una parábola general y un ejemplo numérico. Por último, explica la propiedad de reflexión de una parábola parabólica que hace que la luz incidente paral
Métodos directos para solución de sistemas ecuaciones linealesCesar Mendoza
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo su representación matricial, tipos de sistemas (incompatible, determinado e indeterminado), y métodos para resolverlos como sustitución, igualación, reducción y el método de Gauss. También describe la forma escalonada y reducida de una matriz y cómo la eliminación de Gauss puede usarse para encontrar la inversa de una matriz.
Ecuación de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadaskeniarmendez18
Este documento explica cómo obtener la ecuación de una elipse cuando sus ejes son paralelos a los ejes de coordenadas. También describe cómo hallar los elementos de una elipse (centro, vértices, focos) a partir de su ecuación reducida. Finalmente, presenta un ejemplo resuelto de cómo reducir la ecuación de una elipse y calcular sus elementos.
Este documento define y explica los diferentes tipos de asíntotas que pueden tener las funciones: asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Describe cómo calcular cada tipo de asíntota dependiendo de si el grado del numerador es mayor, menor o igual al grado del denominador al simplificar la función. Incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular cada tipo de asíntota. Finalmente, proporciona dos problemas de ejemplo para que el lector practique calcular las asíntotas de funciones.
El documento explica cómo calcular el área bajo una curva utilizando integrales. Describe los pasos para calcular el área limitada por una función, incluyendo hallar los puntos de corte con el eje x, calcular una primitiva de la función, y sumar las diferencias entre los valores de la primitiva en los puntos de corte. Proporciona ejemplos de cálculos de áreas para funciones como parábolas, rectas y cúbicas.
Este documento presenta los objetivos de aprendizaje relacionados con la ecuación de la recta. Los estudiantes aprenderán a reconocer la expresión algebraica y gráfica de la ecuación de la recta, identificar la pendiente e intercepto, y analizar las posiciones relativas de dos rectas. También aprenderán a establecer las relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y resolver problemas modelados con la ecuación de la recta.
Este documento presenta información sobre el uso de matrices en ingeniería. Explica que las matrices tienen múltiples aplicaciones en áreas como el cálculo estructural, la ingeniería de tránsito, la topografía, el dibujo asistido por computadora, la estática y la hidráulica. También incluye ejemplos de cómo representar datos como cantidades de materias primas y salarios de empleados usando matrices.
El documento explica las ecuaciones diferenciales de primer orden con coeficientes homogéneos. Una ecuación diferencial relaciona una variable independiente con una variable dependiente y sus derivadas. Si los coeficientes M(x,y) y N(x,y) tienen el mismo grado total, la ecuación es de coeficientes homogéneos y su solución se obtiene mediante sustituciones como y = vx o x = vy. El documento proporciona varios ejemplos de cómo resolver este tipo de ecuaciones diferenciales mediante multiplicación de ambos l
Aplicación de la integral definida en la arquitectura. Propiedades de las int...Sara Castañeda Mendoza
Este documento explica conceptos fundamentales sobre la integral. La integral es una suma infinita de áreas pequeñas que representa el área total bajo una curva. Se usa para calcular áreas, volúmenes y propiedades físicas. Los arquitectos aplican las integrales para diseñar edificios con formas complejas y calcular áreas y volúmenes irregulares.
Este documento presenta la unidad 5 sobre la parábola y su ecuación cartesiana. Explica cómo construir una parábola, define sus elementos como el foco, directriz y vértice, y deduce la ecuación de la parábola a partir de su definición geométrica como lugar geométrico. También resuelve problemas aplicando los conceptos sobre la parábola.
Este documento introduce los números complejos, incluyendo su definición, operaciones básicas y formas polares y exponenciales. Explica cómo resolver ecuaciones polinómicas con coeficientes reales y complejos, encontrando raíces complejas a través de fórmulas y división sintética. Proporciona varios ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta el sistema de coordenadas polares y cómo graficar ecuaciones en este sistema. Explica las transformaciones entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas usando ecuaciones polares. Incluye ejemplos y ejercicios para la práctica.
Este documento presenta el sistema de coordenadas polares y cómo graficar ecuaciones en este sistema. Explica las transformaciones entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas usando ecuaciones polares. Incluye ejemplos y ejercicios para la práctica.
Precalculo de villena 04 - coordenadas polaresrojasdavid1001
Este documento presenta información sobre el sistema de coordenadas polares. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar diferentes ecuaciones en el sistema polar, incluyendo rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. También incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes practiquen la representación gráfica de estas curvas en coordenadas polares.
Este documento trata sobre las coordenadas polares. Explica cómo se definen las coordenadas polares de un punto, incluyendo el radio polar y el ángulo polar. También cubre cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar curvas dadas por ecuaciones polares. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento trata sobre las coordenadas polares. Explica cómo se definen las coordenadas polares de un punto, incluyendo el radio polar y el ángulo polar. También cubre cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar curvas dadas por ecuaciones polares. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares. Define las coordenadas polares de un punto como la distancia (r) desde el origen y el ángulo (θ) medido desde el eje polar. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares y cómo trazar curvas dadas sus ecuaciones polares. También cubre conceptos como coordenadas polares generalizadas y ejercicios de conversión de sistemas.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares. Define las coordenadas polares de un punto como la distancia (r) desde el origen y el ángulo (θ) medido desde el eje polar. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares y cómo trazar curvas dadas sus ecuaciones polares. También cubre conceptos como coordenadas polares generalizadas y ejercicios de conversión de sistemas.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo se definen las coordenadas polares de un punto, la relación entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo convertir entre los dos sistemas. También explica cómo graficar curvas dadas por ecuaciones polares y encontrar las ecuaciones de curvas de segundo grado en coordenadas polares. Finalmente, presenta ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
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Este documento explica el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo calcular las coordenadas polares de un punto, la relación entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo convertir entre los dos sistemas. También incluye ejemplos de cómo resolver problemas geométricos usando coordenadas polares.
El documento presenta nociones básicas de geometría analítica. Introduce el sistema de coordenadas cartesianas y explica cómo ubicar puntos usando coordenadas. También define la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos y presenta ejemplos de cálculos de distancias y perímetros. Finalmente, muestra cómo determinar el centro de una circunferencia dados tres puntos.
Este documento presenta conceptos matemáticos relacionados con curvas en coordenadas polares. Explica cómo definir una curva mediante su ecuación polar, calcular la pendiente de la tangente, y analizar simetrías. También incluye ejemplos como la cardioide y la lemniscata para ilustrar estas ideas.
Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica - Don DannyDaniel Vliegen
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos de geometría analítica. Incluye problemas relacionados con puntos, rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Cada problema está explicado con un método y las fórmulas necesarias para resolverlo. El documento proporciona soluciones concisas y paso a paso para comprender mejor los conceptos de geometría analítica.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares. Explica cómo se definen las coordenadas polares de un punto (r, θ) y cómo cambiar entre coordenadas polares y cartesianas. Incluye ejemplos de cómo obtener las coordenadas polares de puntos dados y convertir ecuaciones entre los sistemas de coordenadas. Finalmente, resuelve problemas que involucran realizar estas conversiones y determinar ecuaciones en diferentes sistemas.
GUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA EN LEARNINGLeydis Julio
El documento describe los conceptos de pensamiento espacial y sistemas geométricos, incluyendo las gráficas de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola en el plano cartesiano y cómo resolver problemas aplicando las ecuaciones de las cónicas. El estudiante aprenderá a definir estas gráficas y a resolver problemas matemáticos de manera crítica.
El documento describe los conceptos de pensamiento espacial y sistemas geométricos, incluyendo las gráficas de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola en el plano cartesiano y cómo resolver problemas aplicando las ecuaciones de las cónicas. El estudiante aprenderá a definir estas gráficas y tomar una actitud crítica al argumentar problemas matemáticos correctamente.
Este documento presenta información sobre las guías de estudio para la unidad de competencia sobre el pensamiento espacial y sistemas geométricos en el grado décimo de matemáticas. Incluye objetivos sobre definir gráficas de conicas como la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola y resolver problemas aplicando sus ecuaciones. También presenta contenidos sobre distancia entre puntos, pendiente de rectas, ecuaciones de rectas y circunferencias, y elementos de la parábola.
Este documento presenta información sobre las guías de estudio para la unidad de competencia sobre el pensamiento espacial y sistemas geométricos en el grado décimo de matemáticas. Incluye objetivos sobre definir gráficas de conicas como la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola y resolver problemas aplicando sus ecuaciones. También presenta contenidos sobre distancia entre puntos, pendiente de rectas, ecuaciones de rectas y circunferencias, y elementos de la parábola.
Este documento describe dos problemas fundamentales de la geometría analítica: 1) Dada una ecuación, interpretarla geométricamente mediante la construcción de su gráfica, y 2) Dada una figura geométrica, determinar su ecuación. Explica cómo construir la gráfica de una ecuación mediante la obtención de puntos que satisfacen la ecuación, y cómo analizar propiedades de la curva como su intersección con los ejes y su simetría.
El documento describe el sistema de coordenadas polares, el cual define la posición de un punto en un plano bidimensional mediante una distancia (r) y un ángulo (θ) con respecto a un origen. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar puntos y ecuaciones en el sistema polar. También cubre el cálculo del área de una región definida por ecuaciones polares.
El documento describe el sistema de coordenadas cartesianas, que utiliza dos ejes perpendiculares para localizar puntos en un plano. René Descartes ideó este sistema en el que cada punto se designa mediante un par ordenado de números. Las coordenadas son abscisas (valores en el eje x) y ordenadas (valores en el eje y). El documento también explica conceptos como cuadrantes, distancia entre puntos y división de segmentos.
Presentación de la conferencia sobre la basílica de San Pedro en el Vaticano realizada en el Ateneo Cultural y Mercantil de Onda el jueves 2 de mayo de 2024.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
1. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
77
4
4.1 EL SISTEMA POLAR
4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES
4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS
POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS,
ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS,
ESPIRALES.
Objetivos:
Se pretende que el estudiante:
• Grafique Rectas, circunferencias, parábolas, elipses,
hipérbolas, limacons, rosas, lemniscatas, espirales en
coordenadas polares
2. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
78
4.1 EL SISTEMA POLAR
El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las
coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si
hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte
desde el origen y que tiene ángulo de giro θ , tendríamos otra forma de
definir un punto.
Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera,
mencionar el valor de r y el valor de θ . Esto se lo va a hacer indicando
el par ordenado ( )θ,r , en este caso se dice que son las coordenadas
polares del punto.
Se deducen las siguientes transformaciones:
De rectangulares a polares:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=θ
+=
x
y
yxr
arctg
22
De polares a rectangulares:
⎩
⎨
⎧
θ=
θ=
sen
cos
ry
rx
Una utilidad de lo anterior la observamos ahora.
Ejemplo
Encuentre las coordenadas polares del punto )1,1(P
SOLUCIÓN:
Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:
3. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
79
Utilizando las transformaciones
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
π
==θ
=+=
4
arctg
211
1
1
22
r
Además se podría utilizar otras equivalencias polares:
)3,2()5,2()7,2(),2( 4444
ππππ
−−=−=−= (Analícelas)
Para representar un punto en el plano, conociendo sus
coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas
rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser
muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia
ángulos y magnitudes.
Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o
Plano Polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas
concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación.
Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama
“Eje 2
π
”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama
“Polo”.
4. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
80
Ejercicios propuestos 4.1
1. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas.
Exprese dichos puntos con 0>r y con 0<r .
a. )
2
,1(
π
b. )0,3(
c. )
3
2
,4(
π
− d. ),1( π−
e. )
2
3
,2(
π
−
2. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Luego
encuentre las coordenadas cartesianas de dichos puntos.
a. )
4
,2(
π
e. )3,4( π
b. )
3
,1(
π
− f. )
3
2
,2(
π
c. )
6
7
,4(
π
− g. )
3
5
,2(
π
−−
d. )
2
3
,
2
3
(
π
h. )
4
5
,4(
π
−
3. Encuentre las coordenadas polares de los siguientes puntos.
a. )1,1(− b. )2,32( −
c. )3,1( −− d. )4,3(
4. (INVESTIGACIÓN) Encuentre la distancia entre los puntos dados en coordenadas polares.
Verifique su respuesta hallando la distancia, utilizando coordenadas cartesianas.
a. )
4
3
,3()
6
,1(
π
−
π
. b. )4,1()
4
,2( π−
π
c. )
6
,1()
3
,1(
π
−
π
Eje Polar
Polo
Eje
2
π
15
30
45
60
75
105
120
135
150
165
180
195
210
225
240
255 270 285
300
315
330
345
5. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
81
4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES
Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la
forma )(θ= fr . Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia,
podemos obtener una tabla de valores para ciertos puntos y luego
representarlos en el sistema polar; luego sería cuestión de trazar la
gráfica siguiendo estos puntos.
Ejercicio Propuesto 4.2
1. Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada.
a. 2)sen( =θr b. )sen(2 θ=r
c.
)cos(1
1
θ−
=r d. )2sen(2
θ=r
e. θ=2
r f.
)cos(42
3
θ−
=r
2. Encuentre la ecuación polar de la curva descrita por la ecuación cartesiana dada.
a. 5=y e. 1+= xy
b. 2522
=+ yx f. yx 42
=
c. 12 =xy g. 122
=− yx
d. 222222
bayaxb =+ h.
p
x
y
4
2
=
3. Realice una tabla de valores y trace punto a punto en un plano polar, la gráfica de:
1.
θ
=
cos
6
r
2.
θ
=
sen
6
r
3. θ= cos6r
4. θ+= cos33r
5. θ+= cos36r
6. θ+= cos63r
7.
θ+
=
cos33
9
r
8.
θ+
=
cos36
9
r
9.
θ+
=
cos63
9
r
6. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
82
4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS
POLARES
Se trata ahora de presentar ecuaciones polares típicas que
permitan por inspección describir su lugar geométrico.
4.3.1 RECTAS
4.3.1.1 Rectas tales que contienen al polo.
La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen
pertenece a ella, es de la forma mxy =
Realizando las transformaciones respectivas:
φ=θ
=
θ
θ
θ=θ
=
tgtg
cos
sen
cossen
m
rmr
mxy
Resulta, finalmente:
φ=θ
Ejemplo
Graficar
4
π
=θ
Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es
una recta, que pasa por el polo con un ángulo de 4
π
. Es decir:
7. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
83
4.3.1.2 Rectas tales que NO contienen al polo y se
encuentran a una distancia "d" del polo.
Observemos la siguiente representación gráfica:
Del triangulo tenemos: ( )
r
d
=φ−θcos
Por tanto, la ecuación del mencionado lugar geométrico
sería:
( )φ−θ
=
cos
d
r
Ejemplo
Graficar
( )6
cos
4
π
−θ
=r
8. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
84
SOLUCIÓN:
Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es
una recta, que se encuentra a una distancia de 4 unidades del polo y la medida del
ángulo de la perpendicular a la recta es 6
π
. ES decir:
Ahora veamos casos especiales:
1. Si 0=φ entonces la ecuación resulta
θ
=
cos
d
r . Una recta
vertical.
Al despejar resulta dr =θcos es decir dx = .
2. Si 2
π
=φ entonces la ecuación resulta:
( ) θ
=
θ+θ
=
−θ
= πππ
sensensencoscoscos 222
ddd
r
Una recta horizontal.
9. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
85
3. Si π=φ entonces la ecuación resulta:
( ) θ−
=
πθ+πθ
=
π−θ
=
cossensencoscoscos
ddd
r
Una recta vertical.
4. Si 2
3 π
=φ entonces la ecuación resulta:
( ) θ−
=
θ+θ
=
−θ
= πππ
sen3sensen3coscos3cos 222
ddd
r
Una recta horizontal.
4.3.2 CIRCUNFERENCIAS
4.3.2.1 Circunferencias con centro el polo.
La ecuación cartesiana de una circunferencia es:
222
ayx =+
Aplicando transformaciones tenemos:
( ) ( )
( )
22
2222
22222
222
222
sencos
sencos
sencos
ar
ar
arr
arr
ayx
=
=θ+θ
=θ+θ
=θ+θ
=+
Resultando, finamente:
ar =
10. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
86
Ejemplo
Graficar 2=r
SOLUCIÓN:
Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una
circunferencia con centro el polo y que tiene radio 2.
4.3.2.2 Circunferencias tales que contienen al polo y
tienen centro el punto ( )φ,a
Observemos el gráfico:
De allí obtenemos el triángulo:
11. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
87
Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos:
( )
( )φ−θ=
φ−θ−+=
cos2
cos2
2
222
arr
arara
Resultando, finalmente:
( )φ−θ= cos2ar
Ejemplo
Graficar ( )3
cos4 π
−θ=r
SOLUCIÓN:
Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una
circunferencia tal que el polo pertenece a ella y su centro es el punto ( )3
,2 π
. Por tanto su
gráfico es:
Casos especiales, serían:
1. Si 0=φ tenemos ( ) θ=−θ= cos20cos2 aar
Que transformándola a su ecuación cartesiana, tenemos:
( )
( ) 222
2222
22
2
02
2
2
2
cos2
ayax
ayaaxx
axyx
axr
r
x
ar
ar
=+−
+=++−
=+
=
=
θ=
12. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
88
Una circunferencia con centro el punto )0,(a y radio ar =
2. Si π=φ tenemos ( ) θ−=π−θ= cos2cos2 aar
Una circunferencia con centro el punto )0,( a− y radio ar =
3. Si 2
π
=φ tenemos ( ) θ=−θ= π
sen2cos2 2
aar
Una circunferencia con centro el punto ),0( a y radio ar =
13. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
89
4. Si 2
3 π
=φ tenemos ( ) θ−=−θ= π
sen23cos2 2
aar
Una circunferencia con centro el punto ),0( a− y radio ar =
4.3.3 CÓNICAS tales que el foco es el polo y su recta
directriz está a una distancia "d" del polo
Observe la figura.
Se define a la parábola ( 1=e ), a la elipse ( 10 << e ) y a la hipérbola
( 1>e ) como el conjunto de puntos del plano tales que:
( ) ( )lPdeFPd ,, =
14. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
90
Entonces:
( ) ( )
( )[ ]
( )
( )
( )[ ]
( )φ−θ+
=
=φ−θ+
=φ−θ+
φ−θ−=
φ−θ−=
=
cos1
cos1
cos
cos
cos
,,
e
ed
r
eder
ederr
eredr
rder
lPdeFPd
Casos especiales son:
1. Si 0=φ tenemos
θ+
=
cos1 e
ed
r
2. Si π=φ tenemos
θ−
=
cos1 e
ed
r
3. Si
2
π
=φ tenemos
θ+
=
sen1 e
ed
r
4. Si
2
3
π
=φ tenemos
θ−
=
sen1 e
ed
r
Ejemplo 1
Graficar
θ+
=
cos1
6
r
SOLUCIÓN:
En este caso " 1=e " (el coeficiente del coseno) por tanto tenemos una parábola con
foco el polo (el origen) y directriz con ecuación cartesiana " 6=x " (a la derecha y
paralela al eje
2
π
). Parábola cóncava a la izquierda.
15. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
91
Ejemplo 2
Graficar
θ−
=
cos1
6
r
SOLUCIÓN:
Como el ejemplo anterior, es una parábola; pero ahora como hay un signo negativo en
la función trigonométrica, la recta directriz tendrá ecuación cartesiana “ 6−=x " (a la
izquierda y paralela al eje
2
π
). Cóncava hacia la derecha.
Ejemplo 3
Graficar
θ+
=
sen1
6
r
SOLUCIÓN:
Es una parábola con foco el polo y recta directriz 6=y (paralela y arriba del eje polar).
Cóncava hacia abajo.
16. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
92
Ejemplo 4
Graficar
θ−
=
sen1
6
r
SOLUCIÓN:
Es una parábola con foco el polo y recta directriz 6−=y (paralela y abajo del eje polar).
Cóncava hacia arriba.
Ejemplo 5
Graficar
θ+
=
cos1
6
2
1
r
SOLUCIÓN:
En este caso "
2
1=e " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una elipse con un foco el
polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar.
NOTA: La ecuación de esta cónica pudo haber sido dada de la siguiente forma también:
θ+
=
cos2
12
r ¿Por qué?
17. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
93
Ejemplo 6
Graficar
θ−
=
cos1
6
2
1
r
SOLUCIÓN:
Es una elipse con un foco el polo y el otro a su derecha en el eje polar.
Ejemplo 7
Graficar
θ+
=
sen1
6
2
1
r
SOLUCIÓN:
Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje
2
π hacia abajo.
18. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
94
Ejemplo 8
Graficar
θ−
=
sen1
6
2
1
r
SOLUCIÓN:
Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje
2
π hacia arriba.
Ejemplo 9
Graficar
θ+
=
cos21
6
r
SOLUCIÓN:
En este caso " 2=e " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una hipérbola con un foco el
polo y el otro foco a su derecha en el eje polar.
19. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
95
Ejemplo 10
Graficar
θ−
=
cos21
6
r
SOLUCIÓN:
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar.
Ejemplo 11
Graficar
θ+
=
sen21
6
r
SOLUCIÓN:
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje
2
π hacia arriba.
20. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
96
Ejemplo 12
Graficar
θ−
=
sen21
6
r
SOLUCIÓN:
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje
2
π hacia abajo.
4.3.4 CARACOLES
Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: θ±= cosbar o de
la forma θ±= senbar
Consideremos tres casos:
1. Si ba = se llama CARDIOIDES
Ejemplo 1
Graficar θ+= cos66r
Esta gráfica presenta simetría al eje polar, es decir: )()( θ−=θ ff
22. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
98
2. Si ba > se llaman LIMACON O CARACOL SIN RIZO
Ejemplo 1
Graficar θ+= cos36r
Ejemplo 2
Graficar θ−= cos36r
Ejemplo 3
Graficar θ+= sen36r
Esta gráfica presenta simetría al eje
2
π
, es decir: )()( θ=θ−π ff
23. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
99
Ejemplo 4
Graficar θ−= sen36r
3. Si ba < se llaman LIMACON O CARACOL CON RIZO
Ejemplo 1
Graficar θ+= cos63r
Nota: Determine los ángulos de formación del rizo.
Ejemplo 2
Graficar θ−= cos63r
24. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
100
Ejemplo 3
Graficar θ+= sen63r
Ejemplo 4
Graficar θ−= sen63r
4.3.5 ROSAS
Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma
( )θ= nar cos o ( )θ= nar sen para Nnn ∈∧> 1
De aquí consideramos dos casos:
1. Si n es PAR es una rosa de n2 petálos
25. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
101
Ejemplo
Graficar ( )θ= 2sen4r
SOLUCIÓN:
Por inspección concluimos que es una rosa de 4 pétalos
2. Si n es IMPAR es una rosa de n petálos
Ejemplo
Graficar ( )θ= 3cos4r
SOLUCIÓN:
Por inspección concluimos que es una rosa de 3 pétalos
26. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
102
4.3.6 LEMNISCATAS
Tienen ecuación polar de la forma θ= 2cos2
ar o de la forma
θ= 2sen2
ar
Ejemplo 1
Graficar θ= 2cos42
r
Ejemplo 2
Graficar θ−= 2cos42r
27. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
103
Ejemplo 3
Graficar θ= 2sen42
r
4.3.7 ESPIRALES
Consideramos dos tipos:
4.3.7.1 Espiral de Arquímedes.
Su ecuación polar es de la forma θ= ar
Ejemplo
Graficar θ= 2r
28. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
104
4.3.7.2 Espiral de Logarítmica.
Su ecuación polar es de la forma θ
= b
aer
Ejemplo
Graficar θ
= 3
2er
Ejercicios propuestos 4.3
1. Trace la gráfica representada por la ecuación polar dada.
1. 5=r
2.
4
π
=θ
3. )sen(2 θ=r
4. )cos(θ−=r
5. )cos(3 θ−=r
6.
)sen(1
2
θ−
=r
7.
)sen(2
2
θ−
=r
8.
)sen(21
2
θ−
=r
9. )cos(21 θ−=r
10. )sen(23 θ+=r
11. π≤θ≤θ−= 0;sen42r
12. ))cos(1(3 θ−=r
13. )sen(42 θ+=r
14. 0)sen(52 =θ+−r
15. )3sen( θ=r
16. )5sen( θ=r
17. )4cos(2 θ=r
18. )2cos(42
θ=r
19. )2sen(32
θ=r
20. )3cos(6 θ−=r
21. θ−= 3sen4r
22. 0, >θθ=r
23. )cos()sen( θ+θ=r
24. 0)cos()sen( =θ+θ
2. Graficar en un mismo plano
⎩
⎨
⎧
+=
=
θ
θ
cos1
cos3
r
r
y determine los puntos de intersección.
3. Graficar en un mismo plano
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+=
=
θ
θ
cos1
3
r
senr y determine los puntos de intersección.
4. Graficar en un mismo plano
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
θ−=
2
2cos82
r
r y determine los puntos de intersección.
5. Graficar en un mismo plano
3
2
4 4
r
sen
r sen
θ
θ
⎧
=⎪
+⎨
⎪ = +⎩
y determine los puntos de intersección.
6. Represente en el plano polar la región comprendida en el interior de ( )θ2cos4=r y exterior a 2=r
7. Sea ( )
2 3
, :
1
r sen
p r
r
θ
θ
≤⎧
⎨
≥⎩
, determine ( ),Ap r θ