Este documento define y explica los diferentes tipos de asíntotas que pueden tener las funciones: asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Describe cómo calcular cada tipo de asíntota dependiendo de si el grado del numerador es mayor, menor o igual al grado del denominador al simplificar la función. Incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular cada tipo de asíntota. Finalmente, proporciona dos problemas de ejemplo para que el lector practique calcular las asíntotas de funciones.

1. SALINAS AQUIJE T.W.
ASÍNTOTAS

6. Definición de una asíntota
 Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y
tienden a infinito, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la función.
 No todas las funciones tienen asíntotas.
Las asíntotas de una función pueden ser:
Verticales Horizontales Oblicuas

7. Asíntotas curvilíneas

10. Tipos de asíntotas
x = c
y
x
Asíntotas Verticales
x = c
y
x

12. Tipos de asíntotas
y = L
y = f(x)
y
x
y = L
y = f(x)
y
x
Asíntotas Horizontales

15. Tipos de asíntotas
Asíntotas Oblicuas
y
x
y = ax + b

17. Asíntotas verticales
+∞=−
→
)(lim xf
cx
−∞=−
→
)(lim xf
cx
+∞=+
→
)(lim xf
cx
La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple alguna
de las siguientes condiciones:
+∞=+
→
)(lim xf
cx
Ejemplo:
−∞=
−−
→ 2
1
lim
2 xx
+∞=
−+
→ 2
1
lim
2 xx
2
1
)(
−
=
x
xf
La recta x = 2 es una asíntota vertical

18. Asíntotas horizontales
Lxf
x
=
−∞→
)(lim Lxf
x
=
+∞→
)(lim
La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se cumple
alguna de las siguientes condiciones:
Ejemplo:
1
2
)(
−
=
x
x
xf
2
1
2
lim =
−−∞→ x
x
x
2
1
2
lim =
−+∞→ x
x
x
La recta y = 2 es una asíntota horizontal

19. Asíntotas oblicuas
a
x
xf
x
=
−∞→
)(
lim
a
x
xf
x
=
+∞→
)(
lim
baxxf
x
=−
−∞→
))((lim
La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se
cumple alguna de las siguientes condiciones:
a)
b) baxxf
x
=−
+∞→
))((lim
Ejemplo:
1
2
)(
2
−
=
x
x
xf
2
2
lim
)(
lim 2
2
=
−
=
±∞→±∞→ xx
x
x
xf
xx
2)2
1
2
(lim))((lim
2
=−
−
=−
±∞→±∞→
x
x
x
axxf
xx
La recta y = 2x+2 es una asíntota oblicua

20. Asíntotas de funciones racionales
Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la
función simplificada es igual a 0.
Recuerda que se simplifica cancelando los factores comunes del numerador y
denominador.
Asíntotas Verticales

21. Ejemplo 1: Calcular las asíntotas verticales
( )
x
x
xf
22
52
+
−
=Dada la función
Calculamos los valores de x
que hacen 0 el denominador:
2 + 2x = 0 ⇒ x = -1
La recta x = -1 es la única
asíntota vertical de la
función.
Asíntota vertical
x = -1

22. Primero simplicamos la función.
( )
9
12102
2
2
−
++
=
x
xx
xf
( )( )
( )( )
3
42
33
423
9
12102
3
2
−
+
=
−+
++
=
−
++
x
x
xx
xx
x
xx
La(s) asíntota(s) aparecen cuando el
denominator (después de simplificar)
es igual a 0.
x – 3 = 0 ⇒ x = 3
La recta vertical x = 3 es la única
asíntota vertical de esta función.
Ejemplo 2: Calcular las asíntotas verticales

23. ( )
6
5
2
−−
−
=
xx
x
xg
( )( )32
5
6
5
2
−+
−
=
−−
−
xx
x
xx
x
El denominador es igual a 0 cuando
x + 2 = 0 ⇒ x = -2
o
x - 3 = 0 ⇒ x = 3
Esta función tiene dos asíntotas
verticales, una x = -2 y la otra x = 3
Ejemplo 3: Calcular las asíntotas verticales

24. Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes
condiciones (ambas condiciones no pueden ocurrir en la misma función):
• El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En
este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0.
• El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este
caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente
de mayor grado del numerador y b es el del denominador.
Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la
función no tiene asíntota horizontal.

25. Ejemplo 4: Calcular las asíntotas horizontales
0
27
53
lim 3
2
=
−
−+
−∞→ x
xx
x
( )
27
53
3
2
−
−+
=
x
xx
xf
0
27
53
lim 3
2
=
−
−+
+∞→ x
xx
x
Tiene una asíntota horizontal en
la recta y = 0 porque el grado del
numerador (2) es menor que el
grado del denominador (3).
La recta horizontal y = 0 es
la asíntota horizontal.

26. Ejemplo 5: Calcular las asíntotas horizontales
5
6
975
536
lim 2
2
=
−+
+−
±∞→ xx
xx
x
( )
975
536
2
2
−+
+−
=
xx
xx
xg
El grado del numerador (2) es
igual al grado del denominador
(2), luego la recta y = 6/5 es una
asíntota horizontal.
La recta y = 6
/5 es la
asíntota horizontal.

27. Ejemplo 6: Calcular las asíntotas horizontales
( )
1
952
2
3
+
−+−
=
x
xx
xf
No tiene asíntotas
horizontales porque el
grado del numerador es
mayor que el grado del
denominador.

28. Asíntotas oblicuas
Las asíntotas oblicuas aparecen cuando
el grado del numerador es exactamente
una unidad mayor que el grado del
denominador.

29. Ejemplo 7: Calcular las asíntotas oblicuas
( )
1
952
2
23
+−
−++
=
xx
xxx
xf
Tiene una asíntota oblicua
porque el grado del numerador
(3) es uno más que el grado del
denominador (2).
1
952
lim
)(
lim 23
23
=
+−
−++
=
±∞→±∞→ xxx
xxx
x
xf
xx
3
1
943
lim))((lim 2
2
=
+−
−+
=−
±∞→±∞→ xx
xx
xxf
xx
La recta y = x + 3 es
asíntota oblicua

30. Problemas
Calcula las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
de las funciones:
( )
2
2
2 15
7 10
x x
f x
x x
+ −
=
+ +
Vertical: x = -2
Horizontal : y = 1
Oblicua: no tiene
( )
2
2 5 7
3
x x
g x
x
+ −
=
−
Vertical: x = 3
Horizontal : no tiene
Oblicua: y = 2x +11