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   Se denomina sólido de
    revolución o volumen de
    revolución, al sólido obtenido
    al rotar una región del plano
    alrededor de una recta
    ubicada en el mismo, las
    cuales pueden o no
    intersecarse. Dicha recta se
    denomina eje de revolución.
   Sea f una función continua y
    positiva en el intervalo [a,b].
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    figura rota alrededor del eje
    X, está genera un sólido de
    revolución cuyo volumen
    tratamos de determinar.
 Usaremos para el cálculo del volumen de
  revolución el llamado método de discos.
 Observando que las secciones transversales que se
  generan son discos de radio r = f(x) con y
  recordando que el volumen de un cilindro es
 Si rotamos la función y = f(x) alrededor del eje x ,
  con x entre a y b, la integral siguiente

 calcula el volumen del sólido generado.
 Con la sentencia anterior podemos calcular el
  volumen poniendo en la opción output = integral y
  con la opción output = value calculamos el valor
  numérico de la integral.
   Volumen de un sólido de revolución con
    cavidades
   En los siguientes ejemplos desarrollados veremos dos
    dificultades en el cálculo del volumen, una es la
    rotación de un área a través de otro eje que no es el
    eje coordenado, y la otra dificultad es el cálculo de
    volúmenes de sólidos con cavidad, cuyas secciones
    transversales son coronas o arandelas.
   Tendrá más éxito en hallar el volumen si le dedica
    tiempo necesario al dibujo de las figuras.
   No improvise!! Sólo es necesario tener en cuenta
    cómo hallar el área de una sección transversal del
    sólido.
   Observación: La variable de integración depende del
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Solidos de revolución

  • 1.
  • 2. Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no intersecarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.  Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.
  • 3.  Usaremos para el cálculo del volumen de revolución el llamado método de discos.  Observando que las secciones transversales que se generan son discos de radio r = f(x) con y recordando que el volumen de un cilindro es  Si rotamos la función y = f(x) alrededor del eje x , con x entre a y b, la integral siguiente   calcula el volumen del sólido generado.  Con la sentencia anterior podemos calcular el volumen poniendo en la opción output = integral y con la opción output = value calculamos el valor numérico de la integral.
  • 4. Volumen de un sólido de revolución con cavidades  En los siguientes ejemplos desarrollados veremos dos dificultades en el cálculo del volumen, una es la rotación de un área a través de otro eje que no es el eje coordenado, y la otra dificultad es el cálculo de volúmenes de sólidos con cavidad, cuyas secciones transversales son coronas o arandelas.  Tendrá más éxito en hallar el volumen si le dedica tiempo necesario al dibujo de las figuras.  No improvise!! Sólo es necesario tener en cuenta cómo hallar el área de una sección transversal del sólido.  Observación: La variable de integración depende del eje alrededor del cual gira la región; la rotación alrededor del eje x requiere integración respecto de la variable x ; mientras que la rotación alrededor del eje y requiere integración respecto de la variable y.  Primer ejemplo:  Sea la región limitada por y=x e