Este documento presenta ejemplos de cómo calcular derivadas de diferentes funciones, incluyendo derivadas de límites, productos, cadenas, cocientes, logaritmos y exponentes. También incluye un ejemplo de aplicación donde se calcula la cantidad óptima a producir y vender para maximizar los ingresos totales.

1. EJEMPLOS DE DERIVADAS

Derivada de un límite
1)
𝒇(𝒙) = 𝒙 𝟑 + 𝟓
∆𝑦 = (𝑥 + ∆𝑥)3 + 5 − (𝑥 3 + 5)
∆𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 ∆𝑥 + 3𝑥∆𝑥 2 + ∆𝑥 3 + 5 − 𝑥 3 − 5
∆𝑦 = 3𝑥 2 ∆𝑥 + 3𝑥∆𝑥 2 + ∆𝑥 3
Δ𝑦 ∆𝑥(3𝑥 2 + 3𝑥∆𝑥 + ∆𝑥 2 )
=
Δ𝑥
∆𝑥
Δ𝑦
= 3𝑥 2 3𝑥∆𝑥 + ∆𝑥 2
Δ𝑥
lim 3𝑥 2 + 3𝑥∆𝑥 + ∆𝑥 2 = 3𝑥 2 + 3𝑥(0) + 02
∆𝑥→0
𝑓´(𝑥) = 3𝑥 2
𝒇(𝒙) =
2)
𝟑
𝒙𝟐
∆𝑦 =
3
3
− 2
2
(𝑥 + ∆𝑥)
𝑥
∆𝑦 =
3𝑥 2 − 3(𝑥 + ∆𝑥)2
(𝑥 + ∆𝑥)2 𝑥 2
∆𝑦 =
−3∆𝑥(2𝑥 + ∆𝑥)
(𝑥 + ∆𝑥)2 𝑥 2
Δ𝑦
−3∆𝑥(2𝑥 + ∆𝑥)
=
Δ𝑥 (𝑥 + ∆𝑥)2 𝑥 2 . ∆𝑥
Δ𝑦
−3(2𝑥 + ∆𝑥)
=
Δ𝑥 (𝑥 + ∆𝑥)2 𝑥 2
lim
−3(2𝑥 + ∆𝑥)
−3(2𝑥 + 0)
−6𝑥 −6
=
= 4 = 3
+ ∆𝑥)2 𝑥 2
(𝑥 + 0)2 𝑥 2
𝑥
𝑥
𝑥→0 (𝑥

2. 𝑓´(𝑥) =
−6
𝑥3

Derivada de producto
1)
𝒇(𝒙) =
𝟓𝒙+𝟐
√ 𝒙 𝟐 +𝟏
𝑓(𝑥) = (5𝑥 + 2) . (𝑥 2 + 1)−1/2
𝑎 = 5𝑥 + 2
𝑏 = (𝑥 2 + 1)−1/2
𝑎=5
𝑏=
−1
(𝑥 2
2
+ 1)−3/2 (2𝑥)
𝑏 = −𝑥(𝑥 2 + 1)−3/2
𝑓(𝑥) = 5(𝑥 2 + 1)−1/2 + (5𝑥 + 2) . −𝑥(𝑥 2 + 1)−3/2
𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 1)−3/2 [5(𝑥 2 + 1) − 𝑥(5𝑥 + 2)]
𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 1)−3/2 [5 − 2𝑥]
𝑓(𝑥) =
2)
5 − 2𝑥
(𝑥 2 + 1)3/2
𝒇(𝒙) = (𝟑𝒙 + 𝟕)(𝒙 − 𝟏) 𝟐
𝑎 = 3𝑥 + 7
𝑏 = (𝑥 − 1)2
𝑎=3
𝑏 = 2(𝑥 − 1)(1)
𝑏 = 2(𝑥 − 1)
𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 1)2 + (3𝑥 + 7) 2(𝑥 − 1)
𝑓(𝑥) = 3(𝑥 2 − 2𝑥 + 1) + 2(3𝑥 + 7)(𝑥 − 1)
𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 1)(𝑥 − 1) + 2(3𝑥 + 7)(𝑥 − 1)
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)[3(𝑥 − 1) + 2(3𝑥 + 7)]
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1[3𝑥 − 3 + 6𝑥 + 14]
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1[9𝑥 + 11]
𝑓(𝑥) = 9𝑥 2 + 11𝑥 − 9𝑥 − 11
𝑓(𝑥) = 9𝑥 2 + 2𝑥 − 11

3. 
Derivada en cadena
1)
𝒇(𝒙) = (𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙) 𝟒
𝑓(𝑥) = 4(𝑥 2 + 3𝑥)3 (2𝑥 + 3)
𝑓(𝑥) = (8𝑥 + 12)(𝑥 2 + 3𝑥)3
2) 𝒙 =
𝟏
𝟑
√ 𝒕 𝟑 +𝟏
1
𝑥 = 1(𝑡 3 + 1)−3
𝑥=
4
−1 3
(𝑡 + 1)−3 (3𝑡 2 )
3
𝑥 = −𝑡 2 (𝑡 3 + 1)−4/3
𝑥=
−𝑡 2
(𝑡 3 + 1)4/3

Derivada de cociente
𝑥
1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥+2
𝑎= 𝑥
𝑏 = 3𝑥 + 2
𝑎=1
𝑏=3
𝑓(𝑥) =
1(3𝑥 + 2) − 𝑥(3)
(3𝑥 + 2)2
𝑓(𝑋) =
3𝑥 + 2 − 3𝑥
(3𝑥 + 2)2
𝑓(𝑥) =
2
(3𝑥 + 2)2

4. 2) 𝒇(𝒕) =
𝒕
𝒕+𝟏
𝑎= 𝑡
𝑏 = 𝑡+1
𝑎=1
𝑏=1
𝑓(𝑡) =
1(𝑡 + 1) − (𝑡. 1)
(𝑡 + 1)2
𝑓(𝑡) =
𝑡+1− 𝑡
(𝑡 + 1)2
1
𝑓(𝑡) =

(𝑡+1)2
Derivada de logaritmos
1)
𝑭(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 (
𝟑𝒙 𝟐 +𝟓
)
𝒙𝟑
𝐹(𝑥) = 𝐿𝑜𝑔(3𝑥 2 + 5) − 𝐿𝑜𝑔(𝑥 3 )
𝐹(𝑥) = 𝐿𝑜𝑔(3𝑥 2 + 5) − 3𝑙𝑜𝑔𝑥
𝐹 ′ (𝑥) =
1
3
(6𝑥) − (1)
3𝑥 2 + 5
𝑥
𝐹 ′ (𝑥) =
6𝑥
3
−
2+5
3𝑥
𝑥
2)
𝟐
𝑭(𝒙) = (𝟑𝒙 𝟐 + 𝟏) 𝑳𝒏 (𝟓𝒙 𝟐 )
𝑎 = (3𝑥 2 + 1)2
𝑎′ = 2(3𝑥 2 + 1)(6𝑥)
𝑎′ = 12𝑥(3𝑥 2 + 1)
𝑏 = 𝐿𝑛 (5𝑥 2 )
𝑏′ =
1
(10x)
(5𝑥 2 )
𝑏′ =
10𝑥
5𝑥 2

5. 𝑏′ =
2
𝑥
𝑏 ′ = 12𝑥(3𝑥 2 + 1) 𝑙𝑛(5𝑥 2 ) + (3𝑥 2 + 1)2
𝑏′ =
2
𝑥
2
(3𝑥 2 + 1)(6𝑥 2 𝐿𝑛(5𝑥 2 ) + (3𝑥 2 + 1)2 )
𝑥

Derivada de exponente
1)
𝒇(𝒙) = 𝒆 𝟑𝒙
𝑓′(𝑥) = 𝑒 3𝑥
2)
2 +2

1 2
(𝑥 + 1 − 12 )(2𝑥)
2
( )
2
2
𝑒 (𝑋 +1)
𝑓(𝑥) = 𝑒 (𝑋
𝟐 +𝟏
1
2 +1)(2)
1
𝑓(𝑥) =
+ 𝟐
(6)
𝒇(𝒙) = 𝒆√ 𝒙
𝑓(𝑥) = 𝑒 (𝑋
𝟐 +𝟐
1
2 +1)(2)
(𝑥 2 + 1 − 12 )
Problemas de aplicación de derivadas
Los ingresos totales de producir y vender X cantidad de artículos está dada por
𝑰(𝒙) =
𝟏 𝟑
𝒙 − 𝟐𝟓𝒙 𝟐 − 𝟓𝟎𝟎𝟎𝒙 + 𝟏𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟑
a. Cuanto se debe producir y vender para que los ingresos seas máximos y mínimos
b. Que ingresos son máximos y mínimos
c. Grafique los ingresos máximos y mínimos
Se deriva así:
𝐼(𝑥) = 𝑥 2 − 50𝑥 + 5000
Se factoriza así:
𝑰(𝒙) = (𝒙 − 𝟏𝟎𝟎)(𝒙 + 𝟓𝟎)
Valores que hacen CERO (0) el polinomio:
𝑥 = 100 𝑥 = −50
𝐼(𝑥) = 2𝑥 − 50

6. Reemplazar a x * 100
𝐼 ′′ (100) = 2(100) − 50
𝐼´´(100) = 150
𝐼 ′′ (−50) = 2(−50) − 50
𝐼 ′′ (−50) = −150
Reemplazar en la fórmula original
1
𝐼(100) = (100)3 − 25(100)2 − 5000(100) + 1750000
3
𝐼(100) = 1333333
 Los ingresos son mínimos cuando se producen y venden 100 unidades y son 1333333
1
𝐼(−50) = (−50)3 − 25(−50)2 − 5000(−50) + 1750000
3
𝐼(−50) = 1895833
GRAFICA