equilibrio de cuerpos rigidos

1. - 1 -
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE
CHOTA
Msc. Lic. Fís. Elmer Walmer Vásquez Bustamante

2. - 2 -
En el caso de un cuerpo rígido, el sistema de fuerzas más general se puede expresar
mediante una fuerza resultante R y un par resultante C.
Por tanto, para que esté en equilibrio un cuerpo rígido deberán anularse la fuerza
resultante R y el par resultante C.
Introducción
Vectorialmente:














0
0
k
M
j
M
i
M
C
k
F
j
F
i
F
R
z
y
x
z
y
x
Escalarmente:












0
0
0
0
0
0
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
Estas últimas ecuaciones son condiciones necesarias para el equilibrio de un cuerpo
rígido. Cuando a partir de estas ecuaciones se puedan determinar todas las fuerzas que
se ejercen sobre el cuerpo, serán también condiciones suficientes para el equilibrio.

3. - 3 -
Las fuerzas y momentos que se ejercen sobre un cuerpo rígido pueden ser exteriores o
interiores.
- Fuerzas exteriores: Fuerza que sobre un cuerpo rígido ejerce otro cuerpo. Ej.- Peso
- Fuerzas interiores: Fuerzas que mantienen unidas las partículas del cuerpo rígido o, si el cuerpo de
interés está compuesto de varias partes, las fuerzas que mantienen unidas dichas partes.
Las fuerzas exteriores pueden dividirse en fuerzas aplicadas y fuerzas de reacción.
- Fuerzas aplicadas: Fuerzas que sobre el cuerpo ejercen agentes exteriores.
- Fuerzas de reacción: Fuerzas que sobre el cuerpo ejercen los apoyos y las conexiones.
Como las fuerzas interiores son, dos a dos, de igual módulo y recta soporte pero de
sentidos opuestos, no tendrán efecto sobre el equilibrio del cuerpo rígido en su conjunto.
Por tanto, en este capitulo solo nos ocuparemos de las fuerzas exteriores y de los
momentos que esta originan.

4. - 4 -
Diagramas de sólido libre
La mejor manera de identificar todas las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo de interés es
seguir el método del diagrama de sólido libre.
Este diagrama de sólido libre debe mostrar todas las fuerzas aplicadas y todas las reacciones
vinculares que se ejercen sobre el cuerpo.
Procedimiento básico:
Primer paso: Decidir qué cuerpo o combinación de cuerpos se va a considerar en el DSL.
Segundo paso: Preparar un dibujo o esquema del perfil de este cuerpo aislado o libre.
Tercer paso: Seguir con cuidado el contorno del cuerpo libre e identificar todas las fuerzas que
ejercen los cuerpos en contacto o en interacción que han sido suprimidos en el proceso de
aislamiento.
Cuarto paso: Elegir el sistema de ejes de coordenadas a utilizar en la resolución del problema e
indicar sus direcciones sobre el DSL.

5. - 5 -
Idealización de apoyos y conexiones bidimensionales
A continuación se indican los tipos habituales de apoyos y conexiones utilizados en
cuerpos rígidos sometidos a sistemas bidimensionales de fuerzas, junto con las F y
M que se utilizan para representar sus acciones sobre el cuerpo rígido en el DSL.
Atracción gravitatoria
Peso de cuerpo W.
Recta soporte: pasa por el centro de gravedad del
cuerpo y dirigida al centro de la Tierra.
Hilo, cuerda, cadena o cable flexible
Ejerce siempre una fuerza R de tracción sobre el
cuerpo.
Recta soporte: tangente al hilo, cuerda, cadena o
cable flexible en el punto de amarre

6. - 6 -
Conexión rígida
Puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de
tracción o de compresión.
Recta soporte: dirigida según el eje de conexión.
Bola, rodillo o zapata
Pueden ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de
compresión.
Recta soporte: normal a la superficie de apoyo.

7. - 7 -
Superficie lisa (plana o curva)
Puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de
compresión.
Recta soporte: normal a la superficie lisa en el
punto de contacto del cuerpo con la superficie.
Pasador liso
Puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de módulo R y
dirección θ desconocidos.
Debido a ello, la fuerza R suele representarse en el DSL
mediante sus componentes rectangulares Rx y Ry.

8. - 8 -
Superficie rugosa
Pueden resistir una fuerza tangencial de rozamiento Rt así
como una fuerza normal de compresión Rn.
Debido a ello, la fuerza R es de compresión dirigida según un
ángulo θ desconocido.
La fuerza R suele representarse en el DSL mediante sus
componentes rectangulares Rn y Rt.
Pasador en una guía lisa
Solo puede transmitir una fuerza R perpendicular a las
superficies de la guía.
Se supondrá un sentido para R en el DSL pudiendo ser
hacia abajo y a la izquierda o hacia arriba y a la derecha.

9. - 9 -
Collar sobre un árbol liso
Conexión con pasador
Conexión fija
Apoyo fijo
Puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R y un
momento M.
Como no se conoce ni el módulo ni la dirección de R,
esta suele representarse mediante sus componentes
rectangulares.

10. - 10 -
Resorte elástico lineal
La fuerza R que ejerce el resorte sobre el cuerpo
es proporcional a la variación de longitud del
resorte.
Sentido: dependiendo si el resorte está alargado
o acortado.
Recta soporte: coincide con el eje del resorte.
Polea ideal
El pasador que conecta una polea ideal con un
miembro puede ejercer sobre el cuerpo una
fuerza R de módulo y dirección desconocidos.
Como el pasador es liso, la tensión T del cable
será constante para satisfacer el equilibrio de
momentos respecto al eje de la polea.

11. - 11 -
Idealización de apoyos y conexiones tridimensionales
A continuación se indican los tipos habituales de apoyos y conexiones
utilizados en cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas
tridimensionales, junto con las F y M que se utilizan para representar sus
acciones sobre el cuerpo rígido en el DSL.
Rótula
Puede transmitir una fuerza R pero no momentos. Esta fuerza suele representarse
mediante sus tres componentes rectangulares.

12. - 12 -
Cojinete de bolas
El cojinete de bolas ideal (liso) tiene por misión transmitir una
fuerza R en una dirección perpendicular al eje del cojinete.
Si el cojinete tiene la dirección del eje y, la acción del cojinete
se representa en el DSL por las componente Rx y Rz.
Gozne (Bisagra)
Normalmente destinado a transmitir una fuerza R en una
dirección perpendicular al eje del pasador del gozne.
Su diseño puede también permitir transmitir una componente de la fuerza a lo largo del
eje del pasador.
Ciertos goznes pueden transmitir pequeños momentos respecto a ejes perpendiculares
a ejes del pasador.
Las parejas de goznes alineadas adecuadamente solo transmiten fuerzas en las
condiciones de utilización normales.

13. - 13 -
Cojinete de empuje
Ha de transmitir componentes de fuerza tanto perpendiculares
como paralelas al eje del cojinete.
Ciertos cojinetes de empuje pueden transmitir pequeños
momentos respecto a ejes perpendiculares al eje del árbol.
Las parejas de cojinetes alineados adecuadamente solo
transmiten fuerzas en condiciones normales de funcionamiento.
Chumacera
Han de transmitir una fuerza R en una dirección
perpendicular a su eje.
Ciertas chumaceras pueden transmitir pequeños momentos
respecto a ejes perpendiculares al eje del árbol.
Las parejas de chumaceras alineadas adecuadamente solo
transmiten fuerzas perpendiculares al eje del árbol.

14. - 14 -
Articulación lisa de pasador
Ha de transmitir una fuerza R en una dirección
perpendicular al eje del pasador, pero también
puede transmitir una componente de la fuerza según
dicho eje.
También pueden transmitir pequeños momentos
respecto a ejes perpendiculares al eje del pasador.
Apoyo fijo
Puede resistir tanto una fuerza R como un par C. Se
desconocen los módulos y direcciones de fuerza y
par por lo que en el DSL se representan las tres
componentes rectangulares de cada uno.

15. PROBLEMA 1
- 15 -
DSL

16. PROBLEMA 2
- 16 -
DSL

17. PROBLEMA 3
- 17 -
DSL

18. PROBLEMA 4
- 18 -
DSL

19. PROBLEMA 5
- 19 -
DSL

20. - 20 -
Equilibrio en dos dimensiones
Problema bidimensional: en él, las fuerzas que intervienen están contenidas en un plano y los ejes
de todos los pares son perpendiculares al plano que contiene las fuerzas.
Las ecuaciones de equilibrio se reducen (vectorialmente) a:
Así, tres de las seis ecuaciones escalares independientes del equilibrio se satisfacen
automáticamente:
Por tanto, sólo hay tres ecuaciones escalares independientes para el equilibrio de un cuerpo rígido
sometido a un sistema bidimensional de fuerzas:
La tercera ecuación se refiere a la suma de momentos de todas las fuerzas respecto a un eje z que
pase por un punto cualquiera A perteneciente al cuerpo o no.
Esta últimas ecuaciones constituyen las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de
un cuerpo rígido sometido a un sistema bidimensional de fuerzas.








0
0
k
M
C
j
F
i
F
R
z
y
x


 

 0
0
0 y
x
z M
M
F


 

 0
0
0 A
y
x M
F
F

21. - 21 -
En la primera figura se aprecian la resultante R y el par resultante
C de un sistema bidimensional cualquiera de fuerzas que se
ejercen sobre un cuerpo rígido.
La resultante puede expresarse mediante sus componentes
rectangulares (figura 2).
Si se cumple la condición:
Si además se cumple que:
Para todo punto B del cuerpo o exterior a él, que no se halle en el
eje y, la ecuación sólo puede satisfacerse si
Así pues, otro sistema de ecuaciones escalares para el equilibrio
en problemas bidimensionales es:
en donde los puntos A y B han de tener coordenadas x diferentes.
0
0 


 C
A
M

 

 j
F
F y
x R
0
  0
B
M   0
y
F


 

 0
0
0 B
A
x M
M
F
Hay otras dos maneras de expresar las ecuaciones de equilibrio
de un cuerpo sometido a un sistema bidimensional de fuerzas.
1

22. - 22 -
2 Las ecuaciones de equilibrio para un sistema bidimensional de fuerzas
se pueden escribir también utilizando tres ecuaciones de momentos.
Si se cumple la condición:
Además para un punto B del eje x que pertenezca o no al cuerpo
(excepto en el punto A), la ecuación podrá satisfacerse
sólo si
Así pues,
Para todo punto C, perteneciente al cuerpo o no, que no esté sobre
el eje x, la ecuación solo podrá satisfacerse si
Así pues, otro sistema de ecuaciones escalares para el equilibrio en
problemas bidimensionales es:
donde A, B y C son tres puntos cualesquiera no alineados.
0
0 


 C
A
M

 i
Fx
R
  0
B
M
  0
y
F


 

 0
0
0 C
B
A M
M
M
  0
C
M   0
x
F

23. - 23 -
Cuerpos (miembros) de 2 fuerzas
El equilibrio de un cuerpo sometido a dos fuerzas se presenta
con bastante frecuencia por lo que se le presta especial atención.
Ejemplo: barra de conexión de peso despreciable (figura).
Las fuerzas que sobre la barra ejercen los pasadores lisos
situados en A y B se pueden descomponer en componentes
según el eje de la barra y perpendicular a él. Aplicado
ecuaciones de equilibrio:
Las fuerzas Ay y By forman un par que debe ser nulo si la barra
está en equilibrio, por tanto:
Así pues, en los miembros de dos fuerzas, el equilibrio exige
que las fuerzas sean de igual módulo y recta soporte, pero
opuestas. La forma del miembro no influye en este sencillo
requisito. Los pesos de los miembros deben ser despreciables.
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
B
A
B
A
F
B
A
B
A
F










0
0
0
0
0

 y
y B
A

24. - 24 -
Cuerpos (miembros) de 3 fuerzas
El equilibrio de un cuerpo bajo la acción de tres fuerzas constituye también una
situación especial.
Ejemplo:
Si un cuerpo está en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas las rectas soportes de
éstas deben ser concurrentes (pasar por un punto común).
Si no fuera así, la fuerza no concurrente ejercería un momento respecto al punto de
concurso de las otras dos fuerzas.
Caso particular: Un cuerpo sometido a tres fuerzas paralelas. El punto de concurso es
el infinito.
DSL de AB

25. - 25 -
Reacciones hiperestáticas y ligaduras parciales
Tenemos un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas coplanarias. Este puede sustituirse
por uno equivalente formado por una fuerza que pase por un punto arbitrario A y un par.
Para que el cuerpo esté en equilibrio, los apoyos deben poder ejercer
sobre el cuerpo un sistema fuerza-par igual y opuesto (ligaduras).
Ejemplo: Consideremos los apoyos de la figura a)
El pasador en A puede ejercer fuerzas en x y en y que eviten la traslación
del cuerpo pero no puede ejercer un momento que impida la rotación
entorno a A. La barra B origina una fuerza en y generando así un
momento respecto a A que impida la rotación del cuerpo.
Cuando las ecuaciones de equilibrio sean suficientes para determinar las
fuerzas incógnitas en los apoyos el cuerpo está determinado
estáticamente con ligaduras adecuadas (isostáticas).

26. - 26 -
Tres reacciones vinculares para un cuerpo sometido a un sistema de
fuerzas coplanario no siempre garantizan que el cuerpo esté determinado
estáticamente con ligaduras isostáticas.
Ejemplo 1: El pasador en A puede ejercer fuerzas en x y en y que eviten la traslación
del cuerpo, pero como la recta soporte de Bx pasa por A, no ejerce el momento
necesario para evitar la rotación en torno a A.
El cuerpo está ligado parcialmente (insuficientemente) y las ecuaciones de
equilibrio no son suficientes para determinar todas las reacciones incógnitas.
Lo mismo ocurre en el siguiente ejemplo.

27. - 27 -
Ejemplo 2: Sus tres conexiones pueden evitar la rotación en torno a un punto cualquiera y la
traslación del cuerpo en la dirección y pero no la traslación del cuerpo en la dirección x.
Un cuerpo con un número adecuado de reacciones está insuficientemente ligado cuando las
ligaduras estén dispuestas de tal manera que las fuerzas en los apoyos sean concurrentes
o paralelas.

28. - 28 -
Los cuerpos ligados parcialmente pueden estar en equilibrio bajo
la acción de sistemas de fuerzas específicos.
Ejemplo: Las reacciones RA y RB de la viga se pueden determinar usando
Sin embargo, la viga está insuficientemente ligada ya que se movería en la dirección x
si cualquiera de las cargas aplicadas tuviera una pequeña componente según x.




0
0
A
y
M
F

29. - 29 -
Así, las 3 ecuaciones independientes de equilibrio no proporcionan suficiente
información para determinar las 4 incógnitas.
Los cuerpos ligados con apoyos de más están indeterminados estáticamente ya que serán
necesarias relaciones referentes a propiedades físicas del cuerpo (sistemas
hiperestáticos). Los apoyos que no son necesarios para mantener el equilibrio del cuerpo
se llaman superabundantes. Ejemplos:
Si en vez de una conexión rígida en B colocamos un pasador,
se obtiene una reacción adicional Bx que no es necesaria para
evitar el movimiento del cuerpo.
DSL
DSL

30. - 30 -
Resolución de problemas
Pasos para analizar y resolver problemas:
1. Leer atentamente el enunciado.
2. Identificar el resultado que se pide.
3. Preparar un esquema a escala y tabular la información de que se dispone.
4. Identificar las ecuaciones de equilibrio a utilizar para obtener el resultado.
5. Dibujar el diagrama de sólido libre adecuado.
6. Aplicar las ecuaciones adecuadas de fuerzas y momentos.
7. Registrar la respuesta con el número adecuado de cifras significativas y las
unidades apropiadas.
8. Estudiar la respuesta y determinar si es razonable. Como comprobación,
escribir otras ecuaciones de equilibrio y ver si las satisface la solución.

31. PROBLEMA 6
- 31 -
DSL

32. PROBLEMA 7
- 32 -
DSL

33. PROBLEMA 8
- 33 -
DSL

34. PROBLEMA 9
- 34 -
DSL

35. PROBLEMA 10
- 35 -
DSL

36. PROBLEMA 11
- 36 -
DSL

37. PROBLEMA 12
- 37 -
DSL

38. - 38 -
Equilibrio en tres dimensiones
Un sistema genérico, tridimensional, de n fuerzas y n pares puede sustituirse por un
sistema equivalente constituido por fuerzas concurrentes no coplanarias y un sistema
de pares no coplanarios cuyas resultantes se pueden expresar así:












k
M
j
M
i
M
C
k
F
j
F
i
F
R
z
y
x
z
y
x
La fuerza resultante R, junto con el par resultante C, constituyen la resultante del
sistema genérico tridimensional de fuerzas.
Así pues, un cuerpo rígido sometido a un sistema genérico tridimensional de fuerzas
estará en equilibrio si R = C = 0, lo que exige que












0
0
0
0
0
0
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
6 ec. escalares de equil. indep.
Estas son las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio del cuerpo.

39. PROBLEMA 13
- 39 -
DSL

40. PROBLEMA 14
- 40 -
DSL

41. PROBLEMA 15
- 41 -
DSL

42. PROBLEMA 16
- 42 -
DSL