Sistemas Vinculados

1. Clase N° 3 – TPN° 3
Equilibrio de los Cuerpos Vinculados
Curso de Estática y
Resistencia de Materiales
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la
Universidad de Buenos Aires

2. Veamos el concepto de
Grados de Libertad:
En el plano, los Grados de Libertad (GL) de una
chapa son 3 (capacidad de desplazarse
horizontalmente “x”, capacidad de desplazarse
verticalmente “y” y capacidad de rotar en el
plano “z”):
𝐅𝒁 = 𝟎
𝐌𝑿
𝐁
= 𝟎
𝐌𝐘
𝐂
= 𝟎
3 Grados de
Libertad
en el plano
x
y
z
desplazamientos
horizontales X
desplazamientos
verticales Y
rotaciones Z
𝐅𝐗 = 𝟎
𝐅𝐘 = 𝟎
𝐌𝐙
𝐀
= 𝟎
desplazamientos
en profundidad Z
rotaciones Y
rotaciones X
Por lo que plantear su equilibrio implica
que la sumatoria de fuerzas horizontales,
fuerzas verticales y rotaciones en el plano
“z” (respecto de un punto arbitrario “A”
sean nulas
Mientras que en el espacio, los Grados de
Libertad (GL) de una chapa son 6 (a los
anteriores hay que agregarles capacidad de
desplazarse en profundidad “z”, capacidad de
rotar en el plano “x” y capacidad de rotar en el
plano “y”):
Por lo que plantear su equilibrio habrá
que agregar que la sumatoria de fuerzas
en profundidad, rotaciones en el plano
“x” y rotaciones en el plano “y” (respecto
de puntos arbitrarios “B” y “C” sean nulas

3. Veamos los distintos
tipos de Sistemas:
Un sistema será isostático si posee tanto
vínculos como Grados de Libertad existan;
será hipostático si posee menos vínculos
que los Grados de Libertad existentes y será
hiperestáticos si son mayores.
𝐅𝒁 = 𝟎
𝐌𝑿
𝐁
= 𝟎
𝐌𝐘
𝐂
= 𝟎
3 Grados de
Libertad
en el plano
x
y
z
desplazamientos
horizontales X
desplazamientos
verticales Y
rotaciones Z
𝐅𝐗 = 𝟎
𝐅𝐘 = 𝟎
𝐌𝐙
𝐀
= 𝟎
desplazamientos
en profundidad Z
rotaciones Y
rotaciones X
• (isostático) GL = n° vínculos
• (hipostático) GL > n° vínculos
• (hiperestáticos) GL < n° vínculos
Los vínculos pueden ser externos (cuando vinculan el
sistema al resto del universo) o internos cuando vinculan
chapas o elementos del sistema entre sí)
vínculo externo vínculo externo
vínculo interno
vínculo interno

4. Veamos los distintos
tipos de vínculos: Vínculos Externos:
desplazamientos
verticales
desplazamientos
horizontales
rotaciones
RV
RH
RV
desplazamientos
verticales
desplazamientos
horizontales
rotaciones
desplazamientos
verticales
desplazamientos
horizontales
rotaciones
RH
RV
ME
permite restringe
permite restringe
restringe
No permite desplazamientos ni rotaciones
vínculo
chapa/barra
Vinculo de
Primera
Especie
(apoyo móvil)
chapa/barra
vínculo
Vinculo de
Segunda
Especie
(apoyo fijo)
chapa/barra
vínculo
Vinculo de
Tercera
Especie
(empotramiento)
reacciones en el vínculo : RV , RH y ME
reacciones en el vínculo : RV y RH
reacciones en el vínculo: RV

5. Veamos los distintos
tipos de vínculos: Vínculos Interiores:
reacciones en el vínculo : RH
RH
3 Grados de Libertad
(en el plano)
3 Grados de Libertad
(en el plano)
desplazamientos
verticales
desplazamientos
horizontales
rotaciones
permite restringe
Vinculo de
Primera
Especie
(barra horizontal)
RH

6. Veamos los distintos
tipos de vínculos: Vínculos Interiores:
3 Grados de Libertad
(en el plano)
3 Grados de Libertad
(en el plano)
desplazamientos
verticales
desplazamientos
horizontales
rotaciones
permite restringe
reacciones en el vínculo : RV y RH
RH
RV
RH
RV
Vinculo de
Segunda
Especie
(articulación)

7. Veamos los distintos
tipos de vínculos: Vínculos Interiores:
reacciones en el vínculo : ME y RH
ME
RH
ME
RH
3 Grados de Libertad
(en el plano)
3 Grados de Libertad
(en el plano)
desplazamientos
verticales
desplazamientos
horizontales
rotaciones
permite restringe
Vinculo de
Segunda
Especie
(doble barra horizontal)

8. Estudiemos ahora los
sistemas Isostáticos:
vínculo externo vínculo externo
vínculo interno
vínculo interno
barra 1
barra
3
A
B
O12
O23
1. Estudio de la isostaticidad del sistema.
Para que un sistema sea isostático deberá cumplirse que:
𝑮𝑳 = 𝑵° 𝒅𝒆 𝑽í𝒏𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔
Los grados de libertad (GL), en el plano, son 3 por cada chapa/barra que conforma el
sistema:
𝑮𝑳 = 𝟑 𝑮𝑳/𝒄𝒉𝒂𝒑𝒂 ∙ 𝟑 𝒄𝒉𝒂𝒑𝒂𝒔 = 𝟗(𝑮𝑳)
En cuanto a los vínculos, se deben considerar tanto los externos (VE) como los internos (VI)
Vínculos externos (VE):
Vínculos internos (VI):
𝑮𝑳 = 𝑵° 𝒅𝒆 𝑽í𝒏𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 = 𝑽𝑬𝑹𝑰𝑭𝑰𝑪𝑨
𝑽𝑬 = 𝟑 + 𝟐 = 𝟓
𝑽𝑰 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒
𝑽𝑬 + 𝑽𝑰 = 𝟓 + 𝟒 = 𝟗
Vínculos totales:
𝑪𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒂𝒓𝒊𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒐
𝒏𝒐 𝒔𝒖𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆

9. O23
Estudiemos ahora los
sistemas Isostáticos:
vínculo externo vínculo externo
vínculo interno
vínculo interno
barra 1
barra
3
A
B
O12
O23
1. Estudio de la isostaticidad del sistema.
Además los vínculos externos deben estar distribuidos por el sistema de chapas/barra
de forma tal que no superen los 3 vínculos por chapa:
𝑽𝑬𝑹𝑰𝑭𝑰𝑪𝑨
𝑬𝒔𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊é𝒏
𝒆𝒔 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒂𝒓𝒊𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒏𝒐 𝒔𝒖𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
Barra 2: 0 vínculos (≤ 3)
Barra 1: 3 vínculos (≤ 3) Barra 3: 2 vínculos (≤ 3)
barra 1
barra
3
A
B
O12
O23
Obsérvese que el siguiente sistema que pose la misma cantidad de vínculos externos
no es isostático:
Total: 5 vínculos
Barra 1: 4 vínculos (> 3) Barra 2: 0 vínculos (≤ 3)
Barra 3: 1 vínculo (≤ 3) Total: 5 vínculos
Barra 1: resulta hiperestática
Barra 2 y Barra 3: resultan hipostáticas

10. vínculo externo vínculo externo
vínculo interno
vínculo interno
barra 1
A O12
O23
Estudiemos ahora los
sistemas Isostáticos:
B
1. Estudio de la isostaticidad del sistema.
Además, las barras extremas no deben ser hipostáticas.
𝑵𝑶 𝑽𝑬𝑹𝑰𝑭𝑰𝑪𝑨
𝑬𝒔𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊é𝒏
𝒆𝒔 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒂𝒓𝒊𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒏𝒐 𝒔𝒖𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
La condición anterior se sigue cumpliendo, los vínculos externos están distribuidos por
el sistema de chapas/barra de forma tal que no superen los 3 vínculos por chapa…
B
barra
3
Asumamos que el vínculo B se encuentra en la barra 2
en lugar de la barra 3.
Barra 1: 3 vínculos (≤ 3)
Barra 2: 2 vínculos (≤ 3)
Barra 3: 0 vínculos (≤ 3)
…pero ahora la barra 3 puede rotar alrededor de O23

11. Estudiemos ahora los
sistemas Isostáticos:
1. Estudio de la isostaticidad del sistema.
Además los vínculos externos NO deben ser aparentes:
3 Grados de
Libertad
en el plano
Las verticales que pasan por los vínculos externos de
primera especie se cortan en el punto impropio ()
3 Grados de
Libertad
en el plano
P
Las verticales que pasan por los 2 vínculos externos de
primera especie se cortan en un punto P
Los vínculos permiten rotaciones
en torno a P
Hay vínculos aparentes…
Hay vínculos aparentes…
Los vínculos permiten desplazamientos
horizontales

…pues tres vínculos restringen
sólo dos grados de libertad
…si la vertical que pasan por el 3er vínculo
de primera especie también pasa por el
punto P

12. Estudiemos ahora los
sistemas Isostáticos:
1. Estudio de la isostaticidad del sistema.
Además los vínculos externos NO deben ser aparentes:
3 Grados de
Libertad
en el plano
La vertical que pasa por el vínculos externo de
primera especie pasa por el vínculo externo (o
interno) de segunda especie (punto P)
Los vínculos permiten rotaciones en torno a P
Hay vínculos aparentes pues tres vínculos restringen
sólo dos grados de libertad
P
En nuestro ejemplo no hay vínculos externos de primera especie:
vínculo externo vínculo externo
vínculo interno
vínculo interno
barra 1
barra
3
A
B
O12
O23
𝑽𝑬𝑹𝑰𝑭𝑰𝑪𝑨
NO hay vínculos aparentes
por lo tanto
EL SISTEMA ES
ISOSTÁTICO

13. 1. Estudio de la isostaticidad
del sistema.
2. Dibujo del “Diagrama de
Cuerpo Libre” (DCL)
3. Cálculo de las “Reacciones
de Vínculo Externo” (RVE)
4. Dibujo del “Diagrama de
Cuerpo Libre Equilibrado”
(DCLE)
Para la estructura
de la figura se pide:
D C H
A
2 m 3 m
2 m
J
F
5 KN/m
15 KN
40 KN
I
50 KN
E G
3 m 2 m
3
m
4
m
2
m
20 KNm
B
45°
Ejemplo
z
y

14. 1. Estudio de la isostaticidad
del sistema.
Para la estructura
de la figura se pide:
D C H
A
2 m 3 m
2 m
J
F
5 KN/m
15 KN
40 KN
I
50 KN
E G
3 m 2 m
3
m
4
m
2
m
20 KNm
B
45°
Para que un sistema sea
isostático deberá cumplirse
que:
𝑮𝑳 = 𝑵° 𝒅𝒆 𝑽í𝒏𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔
Los grados de libertad (GL), en el
plano, son 3 por cada chapa que
conforma el sistema:
𝑮𝑳 = 𝟑 ∙ 𝟑 = 𝟗
En cuanto a los vínculos, se deben
considerar tanto los externos (VE)
como los internos (VI)
Vínculos externos (VE):
2
1
1
1
𝑽𝑬 = 𝟐 + 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 = 𝟓 Vínculos internos (VI):
2 2
𝑽𝑰 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒
Vínculos totales: 𝑽𝑬 + 𝑽𝑰 = 𝟓 + 𝟒 = 𝟗
𝑮𝑳 = 𝑵° 𝒅𝒆 𝑽í𝒏𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 = 𝑽𝑬𝑹𝑰𝑭𝑰𝑪𝑨
z
y

15. 1. Estudio de la isostaticidad
del sistema.
D C H
A
2 m 3 m
J
F
5 KN/m
15 KN
40 KN
I
50 KN
E G
3 m 2 m
3
m
4
m
2
m
20 KNm
B
45°
Además no deben existir
vínculos ficticios, para lo
cual las normales trazadas
por los vínculos de 1era
especie no deben pasar por
los restantes vínculos ni
cortarse en un punto:
𝑽𝑬𝑹𝑰𝑭𝑰𝑪𝑨
Por último, los vínculos externos
(VE) deberán estar distribuidos en
el sistema de forma tal de no ser
superior a 3 por chapa:
Chapa izquierda:
2
2 ≤ 3
Chapa central:
2 m
1
1 ≤ 3
Chapa derecha:
2 m
1
1
2 ≤ 3
𝑽𝑬𝑹𝑰𝑭𝑰𝑪𝑨
𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆, 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒆𝒔 𝑰𝑺𝑶𝑺𝑻𝑨𝑻𝑰𝑪𝑶
…y la chapas 1 y la chapa
3 no son hipostáticas
z
y

16. D C H
A
2 m 3 m
2 m
J
F
5 KN/m
15 KN
40 KN
I
50 KN
E G
3 m 2 m
3
m
4
m
2
m
20 KNm
B
45°
2. Dibujo del “Diagrama de
Cuerpo Libre” (DCL).
Para ello reemplazamos los
vínculos externos por las
reacciones que producen
VA
HA
VF
HJ
HI
Los signos con los que se
grafiquen estas reacciones no
importan en esta instancia,
dado que al calcular sus
valores, de aparecer con signo
positivo (+), indicarán que el
sentido adoptado es el
correcto, mientras que si
aparecen con signo negativo (-)
deberán invertirse
z
y

17. D C H
A
2 m 3 m
2 m
J
F
5 KN/m
15 KN
40 KN
I
E G
3 m 2 m
3
m
4
m
2
m
20 KNm
B
50 KN
45°
3. Cálculo de las “Reacciones
de Vínculo Externo” (RVE).
Reemplacemos la carga distribuida
por su resultante, tal que:
VA
HA
VF
HJ
HI
𝑹𝒒 = 𝟓
𝑲𝑵
𝒎
∙ 𝟐 + 𝟑 𝒎 = 𝟐𝟓 𝑲𝑵
25 KN
…actuando a una distancia a del
extremo D:
2,5 m
𝒂 =
𝟐 + 𝟑
𝟐
𝒎 = 𝟐, 𝟓 𝒎
Reemplacemos la fuerza de 50 KN
por sus componentes, tal que:
𝑷𝑯 = 𝟓𝟎 𝑲𝑵 ∙ cos 𝟒𝟓° = 𝟑𝟓, 𝟑𝟔 𝑲𝑵
𝑷𝑽 = 𝟓𝟎 𝑲𝑵 ∙ sin 𝟒𝟓° = 𝟑𝟓, 𝟑𝟔 𝑲𝑵
35,36 KN 35,36 KN
z
y

18. D C H
A
2 m 3 m
2 m
J
F
15 KN
40 KN
I
E G
3 m 2 m
3
m
4
m
2
m
20 KNm
B
3. Cálculo de las “Reacciones
de Vínculo Externo” (RVE).
Planteamos las ecuaciones de
equilibrio de la estática:
VA
HA
VF
HJ
HI
25 KN
2,5 m
35,36 KN 35,36 KN
𝐅𝐇 = 𝟎
𝐅𝐕 = 𝟎
𝐌𝐀 = 𝟎
…son 3 ecuaciones y 5 incógnitas. Debemos
plantear otras 2 ecuaciones linealmente
independientes para resolver el problema:
…pero no sólo el sistema debe estar
en equilibrio sino cada una de las
chapas. Así, podemos plantear para
la chapa izquierda (en dónde
aparecerán las reacciones que se
indican), las siguientes ecuaciones:
𝐅𝐇
𝐈
= 𝟎
𝐅𝐕
𝐈
= 𝟎
𝐌𝐄
𝐈
= 𝟎
RHD
RVD
…donde RVD y RHV son incógnitas pero que si se toman
momentos respecto de E generan momento nulos…
𝐌𝐄
𝐈
= 𝟎
…sólo tendrá
por incógnitas
VA y HA:
z
y

19. D C H
A
2 m 3 m
2 m
J
F
15 KN
40 KN
I
E G
3 m 2 m
3
m
4
m
2
m
20 KNm
B
3. Cálculo de las “Reacciones
de Vínculo Externo” (RVE).
Planteamos las ecuaciones de
equilibrio de la estática:
VA
HA
VF
HJ
HI
25 KN
2,5 m
35,36 KN 35,36 KN
𝐅𝐇 = 𝟎
𝐅𝐕 = 𝟎
𝐌𝐀 = 𝟎
…son 3 ecuaciones y 5 incógnitas. Debemos
plantear otras 2 ecuaciones linealmente
independientes para resolver el problema:
𝐅𝐇
𝐈
= 𝟎
𝐅𝐕
𝐈
= 𝟎
𝐌𝐄
𝐈
= 𝟎
RHI
RVI
…análogamente, planteando el
equilibrio para la chapa
derecha será:
𝐌𝐆
𝐃
= 𝟎 …sólo tendrá por incógnitas HJ y HI:
𝐅𝐇
𝐃
= 𝟎
𝐅𝐕
𝐃
= 𝟎
𝐌𝐆
𝐃
= 𝟎
z
y

20. D C H
A
2 m 3 m
2 m
J
F
15 KN
40 KN
I
E G
3 m 2 m
3
m
4
m
2
m
20 KNm
B
3. Cálculo de las “Reacciones
de Vínculo Externo” (RVE).
VA
HA
VF
HJ
HI
25 KN
2,5 m
35,36 KN 35,36 KN
…son 3 ecuaciones y 5 incógnitas. Debemos
plantear otras 2 ecuaciones linealmente
independientes para resolver el problema:
RHI
RVI
…por lo que si se seleccionan
las siguientes ecuaciones:
…se tendrá un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas VA , HA , VF , HJ y HI:
Planteamos las ecuaciones de
equilibrio de la estática:
𝐅𝐇 = 𝟎
𝐅𝐕 = 𝟎
𝐌𝐀 = 𝟎
𝐅𝐇
𝐈
= 𝟎
𝐅𝐕
𝐈
= 𝟎
𝐌𝐄
𝐈
= 𝟎
𝐅𝐇
𝐃
= 𝟎
𝐅𝐕
𝐃
= 𝟎
𝐌𝐆
𝐃
= 𝟎
…y las reacciones de vínculo internas RVD , RHD , RVI , RHI podemos obtenerlas a partir de:
z
y

21. D C H
A
2 m 3 m
2 m
J
F
15 KN
40 KN
I
E G
3 m 2 m
3
m
4
m
2
m
20 KNm
B
3. Cálculo de las “Reacciones
de Vínculo Externo” (RVE).
Reemplazando valores en las
ecuaciones resulta:
VA
HA
VF
HJ
HI
25 KN
2,5 m
35,36 KN 35,36 KN
…son 3 ecuaciones y 5 incógnitas. Debemos
plantear otras 2 ecuaciones linealmente
independientes para resolver el problema:
𝐅𝐇 = 𝐇𝐀 − 𝟑𝟓, 𝟑𝟔 + 𝐇𝐉 + 𝐇𝐈 = 𝟎
𝐅𝐕 = −𝐕𝐀 + 𝟏𝟓 + 𝟐𝟓 − 𝐕𝐅 + 𝟒𝟎 + 𝟑𝟓, 𝟑𝟔 = 𝟎
𝐌𝐀 = 𝟐𝟎 − 𝟏𝟓 ∙ 𝟐 + 𝟐𝟓 ∙ 𝟎, 𝟓 − 𝐕𝐅 ∙ 𝟓 + 𝟒𝟎 ∙ 𝟕 +
+𝟑𝟓, 𝟑𝟔 ∙ 𝟏𝟎 + 𝟑𝟓, 𝟑𝟔 ∙ 𝟕 − 𝐇𝐉 ∙ 𝟗 − 𝐇𝐈 ∙ 𝟑 = 𝟎
𝐌𝐄
𝐈
= 𝐕𝐀 ∙ 𝟑 + 𝐇𝐀 ∙ 𝟕 + 𝟐𝟎 − 𝟏𝟓 ∙ 𝟓 − 𝟐𝟓 ∙ 𝟐, 𝟓 = 𝟎
𝐌𝐆
𝐃
= 𝐇𝐈 ∙ 𝟒 − 𝐇𝐉 ∙ 𝟐 + 𝟑𝟓, 𝟑𝟔 ∙ 𝟑 = 𝟎
…y resolviendo el sistema se tiene:
𝐇𝐀 = −𝟐, 𝟑𝟑𝟔𝟔6 … KN
𝐇𝐉 = 𝟏𝟐𝟖, 𝟑𝟗𝟖𝟑𝟑𝟑 … KN
𝐇𝐈 = −𝟗𝟎, 𝟕𝟏𝟏𝟔𝟔𝟔 … KN
𝐕𝐀 = 𝟔𝟏, 𝟐𝟖𝟓𝟓𝟓 … KN
𝐕𝐅 = 𝟓𝟒, 𝟎𝟔𝟒𝟒𝟒 … KN
z
y

22. 5 KN/m
D C H
2 m 3 m
2 m
J
F
15 KN
40 KN
I
E G
3 m 2 m
3
m
4
m
2
m
20 KNm
B
4. Dibujo del “Diagrama de
Cuerpo Libre Equilibrado”
(DCLE).
VA
HA
VF
HJ
HI
25 KN
2,5 m
2,33666… KN
61,28555… KN
54,06444… KN
128,398333… KN
90,711666… KN
𝐇𝐀 = −𝟐, 𝟑𝟑𝟔𝟔6 … KN
𝐇𝐉 = 𝟏𝟐𝟖, 𝟑𝟗𝟖𝟑𝟑𝟑 … KN
𝐇𝐈 = −𝟗𝟎, 𝟕𝟏𝟏𝟔𝟔𝟔 … KN
𝐕𝐀 = 𝟔𝟏, 𝟐𝟖𝟓𝟓𝟓 … KN
𝐕𝐅 = 𝟓𝟒, 𝟎𝟔𝟒𝟒𝟒 … KN
A
50 KN
45° 35,36 KN
35,36 KN
Reemplazamos las reacciones
de vínculo por sus valores
cambiando el sentido de
aquellas que dieron valores
negativos y reestablecemos
las cargas distribuidas y las
fuerzas oblicuas
z
y

23. Bibliografía
Estabilidad I – Enrique Fliess

24. Muchas Gracias