Este documento describe los principios fundamentales de la superposición de ondas y las oscilaciones. La superposición de ondas senoidales produce una nueva onda senoidal cuya amplitud y fase dependen de las características de las ondas originales. La superposición de ondas de frecuencias cercanas produce pulsaciones que varían en amplitud. Las oscilaciones pueden ser libres, amortiguadas o forzadas, dependiendo de si reciben energía externa. La resonancia ocurre cuando la frecuencia forzada coincide con la frecuencia natural del sistema, produ

1. SUPERPOSICIÓN DE
ONDAS
La forma de onda resultante de la superposición de ondas se obtiene
sumando algebraicamente cada una de las ondas senoidales que componen
ese movimiento complejo.
Si superponemos ondas senoidales de igual frecuencia, aunque con
eventuales distintas amplitudes y/o fases, obtendremos otra onda senoidal
con la misma frecuencia, pero con distinta amplitud y fase. Eventualmente
esas ondas pueden cancelarse, por ejemplo si tuvieran igual amplitud pero
una diferencia de fase de 180º.
En algunos campos de la acústica puede resultar también interesante el caso
de la superposición de ondas senoidales que se desarrollan sobre ejes
perpendiculares. No estudiaremos aquí esos casos.
De particular interés resulta el caso de superposición de ondas senoidales de
distinta frecuencia y eventual distinta amplitud y fase (por constituir el caso
descrito por Fourier para la descomposición de los movimientos complejos).
Si bien la descomposición de todo movimiento complejo en una
superposición de distintas proporciones de movimientos armónicos simples
es estrictamente cierta para el caso de movimientos complejos periódicos,
determinadas aproximaciones matemáticas nos permiten descomponer
también todo movimiento no periódico en un conjunto de movimientos
simples.
Si superponemos parciales no armónicos obtendremos una forma de onda
no periódica, como la mostrada en la Figura 01.

2. FIGURA 01: Onda compleja no periódica
La superposición de ondas senoidales cuyas frecuencias guarden una
relación sencilla de números enteros (es decir, armónicos) resultará en un
movimiento complejo periódico. Las próximas figuras muestran la
resultante de la superposición de distintos armónicos de una serie.
La Figura 02 muestra la resultante de superponer el segundo y el tercer
armónico de una seria, es decir dos sonidos separados por un intervalo de
quinta.

3. FIGURA 02: Resultante de la superposición del segundo y tercer armónico
La Figura 03 muestra la resultante de la superposición del cuarto y quinto
armónico de una serie, es decir sonidos separados por un intervalo de
tercera mayor.

4. FIGURA 03: Resultante de la superposición del cuarto y quinto armónico
La siguiente figura ilustra la resultante de la superposición de sonidos
separados por un intervalo de octava, es decir el primer y segundo armónico
de la serie.

5. FIGURA 04: Resultante de la superposición del primer y segundo armónico

6. FIGURA 05: Resultante de la superposición del primer y segundo armónico
pero con diferentes amplitudes y ángulos de fase
Nótese que la forma de onda resultante en todos estos casos varía en función
de la amplitud y la fase de cada una de las ondas senoidales que
superponemos. La Figura 05 muestra las resultantes de superponer octavas
con distintas amplitudes y fases. Es notoria la diferencia de las formas de
ondas resultantes.
Las Figuras 06 y 07 muestran cómo varía la resultante en función de
variaciones en el ángulo de fase de las componentes del movimiento

7. complejo. La única diferencia entre ambas figuras es el ángulo de fase del
segundo y tercer armónicos. Mientras que en la Figura 06 todas las
componentes tienen igual ángulo de fase, en la Figura 07 el segundo
armónico tiene una diferencia de fase de 90º con respecto a la fundamental,
mientras que la diferencia de fase del tercer armónico con la fundamental es
de 180º. La forma de onda resultante de esencialmente distinta en uno y otro
caso.
Lo curioso es que en este caso nuestro sistema auditivo será incapaz de
distinguir diferencia alguna entre ambos sonidos correspondientes a cada
una de las resultantes. Por más que las formas de onda son radicalmente
distintas, para nosotros el sonido será exactamente el mismo.

8. FIGURA 06: Suma de los tres primeros armónicos con igual fase

9. FIGURA 07: Suma de los tres primeros armónicos con distintas fases

10. PULSACIONES
La superposición de ondas de frecuencias ƒ1 y ƒ2 muy cercanas entre sí
produce un fenómeno particular denominado pulsación (o batido).
En esos casos nuestro sistema auditivo no es capaz de percibir
separadamente las dos frecuencias presentes, sino que se percibe una
frecuencia única promedio (ƒ1 + ƒ2) / 2, pero que cambia en amplitud a una
frecuencia de ƒ2 - ƒ1 .
Es decir, si superponemos dos ondas senoidales de 300 Hz y 304 Hz,
nuestro sistema auditivo percibirá un único sonido cuya altura corresponde a
una onda de 302 Hz y cuya amplitud varía con una frecuencia de 4 Hz (es
decir, cuatro veces por segundo).
FIGURA 01: Pulsaciones producida por la superposición de dos ondas de
frecuencias muy cercanas
Las pulsaciones se perciben para diferencias en las frecuencias de hasta
aproximadamente 15-20 Hz. Diferencias mayores de 15-20 Hz le dan al
sonido percibido un carácter áspero, mientras que si la diferencia aumenta
comienzan nuevamente a percibirse las dos ondas simultánea y
separadamente.

11. OSCILACIONES
Oscilación libre
En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y
oscile libremente hasta detenerse por causa de la
amortiguación, recibe el nombre de oscilación libre. Éste
es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una
guitarra.
FIGURA 01: Oscilación libre. La envolvente dinámica
muestra fases de ataque y caída
Oscilación amortiguada
Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al
sistema en oscilación, éste seguiría vibrando
indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se conoce
como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el
producto del choque de las partículas (moléculas) y la
consecuente transformación de determinadas cantidades
de energía en calor. Ello resta cada vez más energía al
movimiento (el sistema oscilando), produciendo
finalmente que el movimiento se detenga. Esto es lo que
se conoce como oscilación amortiguada.

12. FIGURA 02: Oscilación amortiguada
En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma
varía en el tiempo (según una curva exponencial),
haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar a cero. Es
decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la
guitarra) se detiene finalmente en su posición de reposo.
La representación matemática es
, donde es el coeficiente
de amortiguación. Notemos que la amplitud
es
también una función del tiempo (es decir, varía con el
tiempo), mientras que a y son constantes que dependen
de las condiciones de inicio del movimiento.
No obstante, la frecuencia de oscilación del sistema (que
depende de propiedades intrínsecas del sistema, es decir,
es característica del sistema) no varía (se mantiene
constante) a lo largo de todo el proceso. (Salvo que se
estuviera ante una amortiguación muy grande.)

13. Oscilación autosostenida
Si logramos continuar introduciendo energía al sistema,
reponiendo la que se pierde debido a la amortiguación,
logramos lo que se llama una oscilación autosostenida.
Éste es por ejemplo el caso cuando en un violín frotamos
la cuerda con el arco, o cuando soplamos sostenidamente
una flauta.
FIGURA 03: Oscilación autosostenida. La envolvente
dinámica presenta una fase casi estacionaria (FCE),
además de las fases de ataque y caída
La acción del arco sobre la cuerda repone la energía
perdida debido a la amortiguación, logrando una fase (o
estado) casi estacionaria. Preferimos llamarla fase casi
estacionaria -y no estado estacionario, como suele
encontrarse en alguna literatura- debido a que, en
condiciones prácticas, resulta sumamente difícil que la
energía que se introduce al sistema sea exactamente igual
a la que se pierde producto de la amortiguación. En
consecuencia, la amplitud durante la fase casi estacionaria
no es en rigor constante, sino que sufre pequeñas
variaciones, cuya magnitud dependerá de nuestra
habilidad para compensar la energía perdida.
Si la energía que se repone al sistema en oscilación es
menor a la que se pierde producto de la fricción
obtenemos una oscilación con amortiguación menor,
cuyas características dependen de la relación existente
entre la energía perdida y la que se continúa

14. introduciendo. También en este caso el sistema termina
por detenerse, aunque demore más tiempo. (En música lo
llamaríamos decrescendo.)
Por el contrario, si la energía que introducimos al sistema
es mayor que la que se pierde por la acción de la fricción,
la amplitud de la oscilación crece en dependencia de la
relación existente entre la energía perdida y la que se
continúa introduciendo. (En música lo llamaríamos
crescendo.)
Oscilación forzada
Las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza
periódica y de magnitud constante (llamada generador G)
sobre un sistema oscilador (llamado resonador R). En
esos casos puede hacerse que el sistema oscile en la
frecuencia del generador (ƒg), y no en su frecuencia
natural (ƒr). Es decir, la frecuencia de oscilación del
sistema será igual a la frecuencia de la fuerza que se le
aplica. Esto es lo que sucede por ejemplo en la guitarra,
cuando encontramos que hay cuerdas que no pulsamos
pero que vibran "por simpatía".
Debe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una
fuerza periódica sobre un sistema se produce una
oscilación forzada. La generación de una oscilación
forzada dependerá de las características de amortiguación
del sistema generador y de las del resonador, en particular
su relación.
Resonancia
Si, en el caso de una oscilación forzada, la frecuencia del
generador (ƒg) coincide con la frecuencia natural del
resonador (ƒr), se dice que el sistema está en resonancia.
La amplitud de oscilación del sistema resonador R
depende de la magnitud de la fuerza periódica que le
aplique el generador G, pero también de la relación

15. existente entre ƒg y ƒr.
Cuanto mayor sea la diferencia ente la frecuencia del
generador y la frecuencia del resonador, menor será la
amplitud de oscilación del sistema resonador (si se
mantiene invariable la magnitud de la fuerza periódica
que aplica el generador). O, lo que es lo mismo, cuanto
mayor sea la diferencia entre las frecuencias del generador
y el resonador, mayor cantidad de energía se requerirá
para generar una determinada amplitud en la oscilación
forzada (en el resonador).
Por el contrario, en el caso en que la frecuencia del
generador y la del resonador coincidieran (resonancia),
una fuerza de pequeña magnitud aplicada por el generador
G puede lograr grandes amplitudes de oscilación del
sistema resonador R. La Figura 04 muestra la amplitud de
oscilación del sistema resonador, para una magnitud
constante de la fuerza periódica aplicada y en función de
la relación entre la frecuencia del generador ƒg y la
frecuencia del resonador ƒr.
FIGURA 04: Curva de resonancia a = f (t)
ƒg/ƒr = 1 => Resonancia
En un caso extremo el sistema resonador puede llegar a
romperse. Esto es lo que ocurre cuando un cantante rompe

16. una copa de cristal emitiendo un sonido con la voz. La
ruptura de la copa no ocurre solamente debido a la
intensidad del sonido emitido, sino fundamentalmente
debido a que el cantante emite un sonido que contiene una
frecuencia igual a la frecuencia natural de la copa de
cristal, haciéndola entrar en resonancia. Si las frecuencias
no coincidieran, el cantante debería generar intensidades
mucho mayores, y aún así sería dudoso que lograra
romper la copa.
El caso de resonancia es importante en el estudio de los
instrumentos musicales, dado que muchos de ellos tienen
lo que se conoce como resonador, como por ejemplo la
caja en la guitarra. Las frecuencias propias del sistema
resonador (caja de la guitarra) conforman lo que se
denomina la curva de respuesta del resonador. Los
parciales cuyas frecuencias caigan dentro de las zonas de
resonancia de la caja de la guitarra serán favorecidos
frente a los que no, de manera que el resonador altera el
timbre de un sonido.
PROPAGACIÓN DEL
SONIDO
Una oscilación que se propaga en un medio (con velocidad finita) recibe el
nombre de onda. Dependiendo de la relación que exista entre el sentido de la
oscilación y el de la propagación, hablamos de ondas longitudinales,
transversales, de torsión, etc. En el aire el sonido se propaga en forma de ondas
longitudinales, es decir, el sentido de la oscilación coincide con el de la

17. propagación de la onda.
Medio
Podemos definir a un medio como un conjunto de osciladores capaces de entrar
en vibración por la acción de una fuerza.
Cuando hablemos de un medio, y a no ser que se indique específicamente otra
cosa, nos estaremos refiriendo al aire. Esto se debe nuevamente a razones
prácticas, en la medida en que el aire es el medio más usual en el que se realiza
la propagación del sonido en los actos comunicativos por medio de sistemas
acústicos entre seres humanos, ya sea mediante el habla o la música.
Para que una onda sonora se propague en un medio, éste debe cumplir como
mínimo tres condiciones fundamentales: ser elástico, tener masa e inercia.
Las ondas sonoras no se propagan en el vacío, pero hay otras ondas, como las
electromagnéticas, que sí lo hacen.
El aire en tanto medio posee además otras características relevantes para la
propagación del sonido:
la propagación es lineal, que quiere decir que diferentes ondas sonoras
(sonidos) pueden propagarse por el mismo espacio al mismo tiempo sin
afectarse mutuamente.
es un medio no dispersivo, por lo que las ondas se propagan a la misma
velocidad independientemente de su frecuencia o amplitud.
es también un medio homogéneo, de manera que el sonido se propaga
esféricamente, es decir, en todas las direcciones, generando lo que se
denomina un campo sonoro.
Propagación
Como ya mencionáramos, un cuerpo en oscilación pone en movimiento a las
moléculas de aire (del medio) que lo rodean. Éstas, a su vez, transmiten ese
movimiento a las moléculas vecinas y así sucesivamente. Cada molécula de aire
entra en oscilación en torno a su punto de reposo. Es decir, el desplazamiento
que sufre cada molécula es pequeño. Pero el movimiento se propaga a través del
medio.

18. Entre la fuente sonora (el cuerpo en oscilación) y el receptor (el ser humano)
tenemos entonces una transmisión de energía pero no un traslado de materia. No
son las moléculas de aire que rodean al cuerpo en oscilación las que hacen entrar
en movimiento al tímpano, sino las que están junto al mismo, que fueron puestas
en movimiento a medida que la onda se fue propagando en el medio.
El (pequeño) desplazamiento (oscilatorio) que sufren las distintas moléculas de
aire genera zonas en las que hay una mayor concentración de moléculas (mayor
densidad), zonas de condensación, y zonas en las que hay una menor
concentración de moléculas (menor densidad), zonas de rarefacción. Esas zonas
de mayor o menor densidad generan una variación alterna en la presión estática
del aire (la presión del aire en ausencia de sonido). Es lo que se conoce como
presión sonora. Ver Figura 01.
FIGURA 01: La distancia entre las barras representa las zonas de mayor o menor
presión sonora
Si el cuerpo que genera la oscilación realiza un movimiento armónico simple, las
variaciones de la presión en al aire pueden representarse por medio de una onda
sinusoidal. Por el contrario, si el cuerpo realiza un movimiento complejo, las
variaciones de presión sonora deberán representarse por medio de una forma de
onda igual a la resultante de la proyección en el tiempo del movimiento del
cuerpo. Ver Figura 02.

19. FIGURA 02: Variaciones de presión en el aire (condensación y rarefacción) en
el caso de un movimiento armónico simple.
Los puntos representan las moléculas de aire.
Como dijimos, en el aire el sonido se propaga esféricamente, es decir en todas
direcciones. Podemos imaginarnos al sonido propagándose como una esfera
cuyo centro es la fuente sonora y que se va haciendo cada vez más grande. O, lo
que es lo mismo, que va aumentando cada vez su radio. Por razones de
comodidad, para estudiar el sonido podremos hacerlo desde uno de esos dos
puntos de vista, a veces como una esfera creciendo, o como un radio
(eventualmente todos los radios) de la misma (rayos).
Imaginemos entonces una cadena de partículas (moléculas) entre la fuente
sonora y el receptor (un rayo). Entre el instante en que la fuente sonora pone en
movimiento a la partícula más cercana y el instante en que la primer partícula
transmite su movimiento a la segunda transcurre un tiempo determinado. Es
decir, cuando la primer partícula entra en movimiento, la tercera -por ejemploaún está en su posición de reposo. Recordemos también que las partículas de aire
sólo oscilan en torno a su posición de reposo.

20. Podemos decir entonces que cada partícula se encontrará en una situación
distinta del movimiento oscilatorio. Es decir, cada partícula tendrá una situación
de fase (ángulo de fase) distinta. En algún lugar de la cadena encontraremos una
partícula cuya situación de fase coincide con la de la primera, aunque la primer
partícula estará comenzando su segundo ciclo oscilatorio, mientras que la otra
recién estará comenzando su primer ciclo.
La distancia que existe entre dos partículas consecutivas en igual situación de
fase se llama longitud de onda ( ). También podemos definir la longitud de
onda como la distancia que recorre una onda en un período de tiempo T. La
longitud de onda está relacionada con la frecuencia f (inversa del período T) por
medio de la velocidad de propagación del sonido (c), de manera que c = · f.
Las ondas sonoras tienen longitudes de onda de entre 2 cm y 20 m
aproximadamente.
No debemos confundir la velocidad de propagación de la onda con la velocidad
de desplazamiento de las partículas. Éstas realizan un movimiento oscilatorio
muy rápido, cuya velocidad es distinta a la velocidad de propagación de la onda.
La velocidad de propagación de la onda sonora (velocidad del sonido) depende
de las características del medio en el que se realiza dicha propagación y no de las
características de la onda o de la fuerza que la genera. En el caso de un gas
(como el aire) es directamente proporcional a su temperatura específica y a su
presión estática e inversamente proporcional a su densidad. Dado que si varía la
presión, varía también la densidad del gas, la velocidad de propagación
permanece constante ante los cambios de presión o densidad del medio.
Pero la velocidad del sonido sí varía ante los cambios de temperatura del aire
(medio). Cuanto mayor es la temperatura del aire mayor es la velocidad de
propagación. La velocidad del sonido en el aire aumenta 0,6 m/s por cada 1º C
de aumento en la temperatura.
La velocidad del sonido en el aire es de aproximadamente 344 m/s a 20º C de
temperatura, lo que equivale a unos 1.200 km/h (1.238,4 km/h, para ser
precisos). Es decir que necesita unos 3 s para recorrer 1 km. (Como posible
referencia recordemos que la velocidad de la luz es de 300.000 km/s.)
El sonido se propaga a diferentes velocidades en medios de distinta densidad. En
general, se propaga a mayor velocidad en líquidos y sólidos que en gases (como
el aire). La velocidad de propagación del sonido es, por ejemplo, de unos 1.440
m/s en el agua y de unos 5.000 m/s en el acero.

21. Ondas estacionarias
Hasta ahora hemos hablado de ondas propagándose en un medio, es decir ondas
viajeras.
Las ondas estacionarias son el resultado de la interferencia de dos ondas viajeras
iguales propagándose en direcciones contrarias. Por ejemplo, una onda que llega
perpendicularmente a una pared y se refleja sobre sí misma.
La característica de las ondas estacionarias es que se generan puntos
(eventualmente líneas o planos) en los cuales la amplitud de oscilación es
siempre cero (nodos) y otros en los que es siempre máxima (antinodos o
vientres). La distancia entre dos nodos será la mitad de la longitud de onda de la
onda estacionaria ( / 2).
Dada una frecuencia que genera una onda estacionaria, los múltiplos de dicha
frecuencia (es decir los armónicos) también producirán ondas estacionarias. El
orden del armónico determinará la cantidad de nodos que se producen. Por
ejemplo, el primer armónico generará un nodo, el segundo dos y así
sucesivamente.
Las ondas estacionarias son relevantes en el funcionamiento de los instrumentos
musicales (las cuerdas, las columnas de aire encerradas en un tubo), pero
también en las resonancias modales (los modos de resonancia) de las
habitaciones.