Este documento presenta información sobre generalidades del dibujo técnico. Explica los instrumentos de dibujo, formatos normalizados, márgenes, rotulación, plegado de láminas y otras nociones básicas como escalas y líneas. Cubre también temas como construcciones geométricas, proyecciones, perspectivas, intersecciones y desarrollos. En total, el documento contiene seis secciones principales que abarcan conceptos fundamentales para la comprensión y práctica del dibujo técnico.

1. INDICE
PROLOGO…………………………………………………………………………………………………ii
INTRODUCCION…………………………………………………………………………….……………1
I. GENERALIDADES…………………………………………….………………….……………2
1.1. Instrumentos de dibujo……………………………………............................................................3
1.2. Formatos………………………………………………………......................................................4
1.3. Márgenes………………………………………………………………………………………...10
1.4. Rotulación………………………………………………………………………………………..10
1.5. Plegado…………………………………………………………………………………………..14
1.6. Escrituras………………………………………………………………………………………...16
1.7. Escala………………………………………………………………………………………….....18
1.8. Líneas…………………………………………………………………………………………….19
II. DIBUJOGEOMETRICO………………………………………………………………………...23
2.1. Construcción geométrica…………………………………………………………………..…….23
2.2. Enlaces…………………………………………………………………………….………..……30
2.3. Curvas geométricas………………………………………………………………………………33
III. DIBUJO EN PROYECCIONES……………………………………………………………..….43
3.1. Proyección……………………………………………………….………………………………43
3.2. Clases de proyección………………………………………………………………………….....44
3.3. Elementos del sistema diédrico……………………………………………………………...…..45
3.4. Giros de planos de proyección………………………………………………….………………..47
3.5. Planos de perfil…………………………………………………………………………………..48
3.6. Convencionalismo y anotaciones………………………………………………………..………48
3.7. Normas para la realización de ejercicios………………………………………………...………49
3.8. Cota de un punto…………………………………………………………………………….…...50
3.9. Alejamiento de un punto…………………………………………………………………..….….51
3.10. Línea de referencia……………………………………………………………………..51
3.11. Proyección diédrica…………………………………………………………...………..52
3.12. Proyección triédrica………………………………………………………..…………52
3.13. Proyección de un punto………………………………………………………………...52
3.14. Proyección de la recta……………………………………………………………….….54
3.15. Proyección de planos………………………………………………………...…………56
3.16. Proyección de cuerpos…………………………………….……………………………58
3.17. Otros planos de proyección………………………………………………..….………..60
3.18. Verdadera magnitud de una arista……………………………………………………...60
3.19. Abatimientos…………………………………………………………………………....62
IV. PERSPECTIVAS………………………………………………………………………………...63
4.1. Vistas…………………………………………………………………………………………….63
4.2. Perspectiva Caballera………………………………………………………………...………….65
4.3. Proyección isométrica…………………………………………………………………...……….73
V. INTERSECCIONES Y PENETRACIONES………………………………………………...….80
5.1. Intersecciones de rectas……………………………………………….…………………………80
5.2. Intersección de planos…………………………………………………………...………………80

2. 5.3. Intersecciones de un sólido con un plano………………………………………………………..81
5.4. Intersección de superficies……………………………………………………….………………87
VI. DESARROLOS………………………………………………………………………………….99
6.1. Desarrollo por paralelas………………………………………………………………………….99
6.2. Desarrollo radial………………………………………………………………………………..102
6.3. Desarrollo por triangulación……………………………………………………………………103
6.4. Desarrollo e intersecciones de tuberías y empalmes……………………...……………………104
6.5. Desarrollo de cuerpos de revolución en matricería …………………………..………………..105
6.6. Desarrollo de piezas industriales……………………………………………………………….111
BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………………...112
ANEXOS…………………………………………………………………………………………...……113
EJERCICIOS……………………………………………………………………………….……………118

3. 1
INTRODUCCION
Durante el transcurso de la historia las imágenes gráficas de diferentes
objetos han servido como medio importante de comunicación entre las
personas, razón por la cual, en la actualidad el dibujo y la delineación han
alcanzado un desarrollo altamente técnico.
En tales circunstancias ha creído que es menester elaborar un texto
básico, que reúna varios conceptos, fundamentos, ejercicios y aplicaciones
prácticas sobre el dibujo, el mismo que facilite al lector su preparación en
el arte gráfico y contribuya de alguna manera al progreso tecnológico de
nuestro país.
El presente trabajo abarca conocimientos previos fundamentales sobre
instrumentos de dibujo, formatos rotulados, escritura normalizada, escalas,
tipos y grupos de líneas.
Estudia también el proceso de construcción y trazado de las
construcciones geométricas fundamentales, enlaces y curvas técnicas más
importantes.
Continúa con conocimientos progresivos y metódicos sobre las
proyecciones diédricas y triédricas.
Además estudia los principios y técnicas de representación de piezas
industriales en perspectiva caballera y proyección isométrica.
Finalmente, se dan a conocer los procedimientos más adecuados para
resolver las intersecciones y desarrollos.
En cada uno de los temas indicados anteriormente, se incluyen figuras
que ayudarán a entender fácilmente todo su contenido.

4. 2
I. GENERALIDADES
1.1. INSTRUMENTOS DE DIBUJO
Los instrumentos de dibujo nos permiten realizar de manera rápida y
precisa las diversas representaciones. Dentro de estos, los más empleados en
la ejecución de los dibujos técnicos son:
 Tablero o mesa de dibujo.
 Láminas de formatos normalizados.
 Lápices 3H, HB y 2B.
 Sacapuntas.
 Raspador o tablilla con papel de lija.
 Portaminas.
 Minas.
 Gomas de borrar.
 Regla.
 Regla de T.
 Escuadras de 450
y 600
.
 Goniómetro o transportador de ángulos.
 Compás y sus accesorios.
 Plumas o rapidógrafos para tinta china.
 Tinta china.
 Normógrafos.
 Plantillas de curvas.
 Cinta adhesiva.
 Franela para limpieza de útiles.
Es recomendable que los útiles sean de buena calidad, además para
mantenerlos en perfecto estado y tenerlos siempre a punto es conveniente
limpiarlos, revisarlos periódicamente, arreglarlos cuando se han deteriorado y
reponerlos cuando se han gastado.
1.2. FORMATOS
Se llama formato al tamaño, posición y dimensiones normalizadas en
milímetros que se da a una lámina de papel.
Su deducción se ha realizado siguiendo las reglas de referencia, semejanza y
doblado.

5. 3
1.2.1. REGLA DE REFERENCIA
El formato está referido al sistema métrico decimal. La superficie del
formato origen es igual a un metro cuadrado (fig. 1).
Fig. 1. Superficie del formato origen.
Nombrando sus dimensiones por X e Y, resulta que X (Y) = 1 m2
Se transforma al cuadro del formato origen en un rectángulo de área
equivalente (fig.2) con unas medidas determinadas.
Fig. 2. Formato A0 841X1189 = 1m2
.
La referencia o designación se hace con una letra (A, B ó C según la
serie) y un número, según el tamaño.
La serie de formatos se consigue dividiendo en dos el inmediato superior, y
así sucesivamente.
1.2.2. REGLA DE SEMEJANZA
Los formatos son todos semejantes entre sí. La relación entre los lados
mayor y menor de cualquier formato, en la misma la del lado del cuadrado a su
diagonal. De aquí que: x : y = √2 (Fig. 3)

6. 4
Fig. 3. Relación entre los lados de cualquier formato.
La superficie del rectángulo equivalente al formato origen es: X.Y =
1000.1000 = 106
mm2
Teniendo en cuenta que
𝑋
𝑌
=
1
√2
Resulta:
Y = X √2
Que, sustituida en la primera igualdad, la convierte en:
X.Y = X.X √2 = X2
√2 = 106
mm2
Con lo cual
X2
=
106
√2
X=
103
√2
4 =
1000
1,189
= 841,042≅ 841 mm
Y= X Y= X√2 = 841. √2 ≅ 1189 mm
1.2.3. REGLA DE DOBLADO
Todo formato se obtiene doblando por la mitad la lámina del formato
anterior. Así, tendrá una superficie igual a la mitad del formato anterior y, a su
vez, el doble que la siguiente.
1.2.4. SERIE PRINCIPAL DE LOS FORMATOS
Los formatos de la serie principal se designan por la letra A, seguida de un
número de referencia, correlativo para cada formato.
El formato origen se, designa por A0 y los demás formatos por A1, A2, A3, A4,
A5, etc.

7. 5
En la tabla 1, se consignan las medidas de cada formato y demás datos
necesarios de papel vegetal y heliográfico.
Tabla 1. Formatos de la serie principal.
Formato Lámina recortada Área de dibujo Lámina sin recortar
medidas mínimas
A0
A1
A2
A3
A4
A5
841 X 1189
594 X 841
420 X 594
297 X 420
210 X 297
148 X 210
831 X 1179
584 X 831
410 X 584
287 X 410
200 X 287
138 X 200
880 X 1230
625 X 880
450 X 625
330 X 450
240 X 330
165 X 240
Observaciones:
 Según las dimensiones de las piezas que se van representar, se elige,
en cada caso, el formato más adecuado.
 Generalmente, en los formatos pequeños y concretamente en el A4, se
adopta como norma la posición vertical.
1.2.5. SERIES AUXILIARES DE LOS FORMATOS
Para el tamaño de papeles, tales como sobres, carpetas, archivadores, etc.,
se utilizan las series auxiliares B y C (tabla 2).

8. 6
La serie auxiliar B está constituida por los formatos, cuyos lados son los
respectivos medios geométricos, entre cada dos consecutivos de la serie A.
Los medios geométricos entre la serie A y B, forman la serio C.
Tabla 2. Formatos de las series auxiliares.
Formato Lámina recortada Área de dibujo Lámina sin recortar
medidas mínimas
B0
B1
B2
B3
B4
B5
B6
1000 X 1414
707 X 1000
500 X 707
353 X 500
250 X 353
176 X 250
125 X 176
C0
C1
C2
C3
C4
C5
C6
917 X 1297
648 X 917
458 X 648
324 X 458
229 X 324
162 X 229
114 X 162
1.3. MÁRGENES
Las dimensiones recomendadas para márgenes y la división de la superficie
de la lámina en recuadros se realizará según lo indicado en la figura 4.
Las divisiones se designan en los recuadros horizontales con números, de
izquierda a derecha, empezando con el 1, y en los recuadros verticales con
letras mayúsculas, de arriba hacia abajo, empezando por la A. Estas divisiones
tienen por objeto la ubicación rápida y precisa de cualquier detalle del dibujo.
1.4. ROTULACION
La rotulación se realiza en un rectángulo que se coloca en la parte inferior
derecha de las láminas, con una serie de casillas en las que se anotan diversos
datos, tales como:
a) Denominación.
b) Número del dibujo.
c) Siglas o nombre de la firma propietaria o confeccionaría de la lámina.
d) Fechas y nombres correspondientes a la ejecución, revisión y
aprobación de la lámina.
e) Materiales.
f) Escala.
g) Símbolo de disposición de las vistas»
h) Tolerancias.

9. 7
Fig.4. Márgenes y división del área de dibujo
i) Marca de registro para señalar originales y copias.
j) Sustituciones.
k) Peso a masa, en caso necesario.
Cada empresa o institución adopta el formato de cajetín que cree más
conveniente y la disposición de las indicaciones que deben figurar en el mismo
(figs. 5 y 6).

10. 8
La denominación del dibujo debe ser lo más corta posible y permitirá
identificar exactamente la clase de aparato, elemento, conjunto o pieza
dibujados.
Es esencial un sistema metódico para la numeración de dibujos. El sistema
de numeración será de la competencia de cada firma o departamento técnico;
pero, en general, debe sujetarse a las siguientes recomendaciones:
Debe llevarse un registro para la localización de los números de los dibujos
con un índice de referencia.
Debe usarse un sistema de numeración directa y consecutiva, de acuerdo a
las condiciones generales.
Es ventajoso indicar el año de realización del dibujo, (las dos últimas cifras),
junto al número de orden y separado por un guión; de esta manera se limita el
número de serie a un año, lo cual facilita la localización de un dibujo.
Fig. 5. Cajetín de rotulación (UEFRU)

11. 9
Fig. 6. Cajetín de rotulación (INEN)
Las indicaciones sobre los materiales empleados en la fabricación de las
piezas deben, en lo posible, referirse a designaciones normalizadas.
Deben indicarse la escala principal y las escalas auxiliares empleadas
en el dibujo.
Los dibujos registran todas las modificaciones y alteraciones que se
realicen en el recuadro correspondiente.
En caso necesaria, la modificación sin describirá en un informe
separado, debiéndose anotar, en este caso, el número del informe en el
recuadro.
En el recuadro de sustituciones se hace referencia a otras láminas, por
ejemplo: sustituye a…………………; o sustituido por……………….
1.5. PLEGADO
Para el archivo de copias de planos y dibujos, las láminas recortadas se
doblarán al formato A4.
El método de plegado de las láminas se indica en la figura 7.
La lámina debe plegarse de modo que la rotulación quede visible en la parte
anterior.

12. 10
Formato Esquema de plegado Pliegues
longitudinales
Pliegues
transversales
A0
841x1189
mm
A1
594x841
A2
420x594
A3
297x420
Dibujos plegados para el archivo
Fig. 7. Plegado de láminas

13. 11
Letras y números (ISO 3996)
Características de la escritura normalizada: legible, uniforme, adecuada
para micro fotos.
1.6. LA ESCRITURA
En la escritura y representación se usan líneas del mismo espesor.
La escritura puede ser vertical o con una inclinación hacia la derecha de 150
(cursiva)
Se prefiere la posición vertical:
Altura nominal en mm:
2,5 3,5 5 7 10 14 20
Ejercicios
Altura nominal h
2,5 3,5 5 7
altura de la mayúscula (h)
10/10 h
2,5 3,5 5 7
altura de la minúscula (c) 7/10 h -
2,5 3,5 5
espesor de las líneas 1/10 h 0,25 0,35 0,5 0,7
distancia mínima entre renglones (b)
14/10 h
3,5 5 7 10
distancia mínima entre letras 2/10 h
0,5 0,7 1 1,4
Las alturas h y c deben ser menores que 2,5 mm. Si se usan
simultáneamente mayúsculas y minúsculas hay que elegir por lo menos una
altura de 3,5 mm.

14. 12
Las letras y números se designan por la altura. Las alturas nominales de
las letras y números, así como los espesores optativos de los trazos
correspondientes, se indican en la tabla 3.
Tabla 3. Altura y espesor de caracteres ( )
Altura de la letra
mayúscula (h)
2,5 3,5 5 7 10 14 20
Espesor del
trazo (d)
(1/14) h 0,18 0,25 0,35 0,5 0,7 1 1,4
(1/10) h 0,25 0,35 0,5 0,7 1 1,4 2
Las letras mayúsculas, minúsculas, espacios entre letras y renglones, se
relacionan entre sí en base a la altura h, según se indica en la tabla 4 y en la
figura 9.
Tabla 4. Características de los caracteres.
Característica Símbolo
Espesor
(1/14) h (1/10) h
Altura de las mayúsculas
Altura d9 las minúsculas
Distancia entra letras
Distancia entre renglones
h
c
a
b
1h
0,7h
0,14h
1,6h
1h
0,7h
0,2h
1,6h
Altura, espesor y características de los caracteres.
Para la escritura en los dibujos se utilizarán de preferencia letras
mayúsculas con espesor de trazo igual a (1/10) h en escritura vertical. Deben
emplearse letras minúsculas solamente en casos especiales, como símbolos y
abreviaciones establecidas internacionalmente.
La altura escogida de las letras debe ser la adecuada para el tamaño y
propósito del dibujo, sobre todo en aquellos documentos que son reducidos
por medios fotográficos, a fin de asegurar la suficiente legibilidad y claridad de
la escritura.
La escritura en un dibujo debe efectuarse de modo que pueda leerse
cuando se mantiene el dibujo en su posición de empleo, excepto sí se traba de
acotamientos.

15. 13
1.7. ESCALAS
Las escalas adoptadas para el dibujo deben guardar relación con el grado
de exactitud requerido. En general, se adoptará la escala más grande que sea
posible y conveniente.
Las escalas utilizadas para dibujo técnico mecánico se indican en la tabla 5.
Tabla 5. Escalas.
Reducción
1 : 2,5
1 : 5
1 : 10
1 : 20
1 : 50
1 : 100
1 : 200
1 : 500
1 : 1000
Natural 1. 1
Aplicación
2 : 1
5 : 1
10 : 1
La escala principal del dibujo se indicará con escritura grande en el
recuadro correspondiente del cajetín de rotulación. Las escalas auxiliares se
indicarán junto a los dibujos correspondientes.

16. 14
1.8. LINEAS
1.8.1. TIPOS DE LINEAS
Los diversos tipos de líneas usados en dibujo técnico y su aplicación se
indican en la tabla 6.
Tabla 6. Tipos de líneas y su aplicación
REPRESENTACIÓN DESIGNACIÓN APLICACIÓN
A Línea continua gruesa - contornos, aristas visibles
B Línea continua fina - Líneas de cota y auxiliares
- Rayados en cortes y
secciones
- Contornos de secciones
rebatidas
- Contornos y aristas
imaginarias
- Contornos de piezas
contiguas
C Línea continua fina
(a mano alzada)
- Límite de vistas o cortes
parcia les, cuando no
coinciden con un eje
D Línea de segmentos
(media)
- Cortos y aristas ocultas
E línea fina de
segmentos
largos y puntos
alternados
- Ejes de simetría
- Posiciones extremas de
piezas móviles
- Piezas situadas delante de
un plano de corte
- Circunferencias de centros
de agujeros en bridas, etc.
- Circunferencias primitivas
de engranajes
- Ubicación de elementos
no detallados (placa de
características)
F Línea de segmentos
largos y puntos
alternados, fina y
gruesa en los
extremos
- Planos de corte
G Línea gruesa de
segmentos cortos y
largos alternados
- Indicación de
superficies que deben
someterse a un
tratamiento
complementario.

17. 15
1.8.2. ESPESOR DE LINEAS
El espesor de las líneas está normalizado y corresponde a la serie 0,13 -
0,18 -0,25 -0,35 -0,50 -0,70 -1,0 -1,4 -2,0 (valores en mm). La relación entre
un valor y el siguiente es de 1: √2 , es decir, corresponde a la misma relación
de formatos y de tamaños de caracteres de escritura, con lo cual se obtienen
nuevamente espesores de líneas y caracteres de escritura normalizados, luego
de realizar ampliaciones o reducciones de un dibujo. Esto significa una
racionalización considerable y permite, además, una reducción en el número de
instrumentos de trazado y escritura.
1.8.3. GRUPOS DE LINEAS
Al combinar los tipos de líneas con los espesores normalizados se forman
grupos de líneas definidos por el espesor de la línea gruesa. Se ha
determinado la relación del espesor de los diversos tipos de líneas, con objeto
de conseguir el óptimo contraste entre ellas y facilitar la interpretación de un
dibujo.
Los grupos de líneas están indicados en la tabla 7.
Tabla 7. Grupos de Líneas
Tipo de línea Grupos de líneas (espesor en os)
0,25 0,35 0,50 0,7 1,0 1,4
A 0,25 0,35 0,50 0,7 1,0 1,4
B 0,13 0,18 0,25 0,35 0,5 0,7
C 0,13 0,18 0,25 0,35 0,5 0,7
D 0,18 0,25 0,35 0,5 0,7 1,0
E
F
0,13 0,18 0,25 0,35 0,5 0,7
0,13 0,18 0,25 0,35 0,5 0,7
G 0,25 0,35 0,50 0,7 1,0 1,4
Según el tamaño y clase de dibujo, se escogerá el grupo de líneas más
conveniente. En la representación gráfica de un dibujo, deben emplearse
únicamente líneas correspondientes a un mismo grupo.

18. 16
II. DIBUJO GEOMETRICO
2.1. CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS
Muchas veces al realizar los dibujos es necesario recurrir a ciertas
construcciones geométricas, que el delineante debe conocer y saber ejecutar
con precisión y rapidez.
Las construcciones que se tratarán a continuación son las más importantes
y las que se emplean con mayor frecuencia.
2.1.1. DADA UNA RECTA r Y UN PUNTO P DE LA MISMA, TRAZAR POR
P LA PERPENDICULAR A LA RECTA r.
1) Haciendo centro en P, y con cualquier abertura de compás, se traza la
semicircunferencia 1-2.
2) Haciendo centro en 1 y en 2, con una misma abertura cualquiera de
compás, pero mayor que la anterior, se trazan dos arcos que se cortan
en A.
3) La recta que pasa por P y A es la perpendicular pedida.
2.1.2. DADO UN SEGMENTO AB, TRAZAR UNA PERPENDICULAR POR
SU EXTREMO A

19. 17
1) Haciendo centro en A, con cualquier abertura de compás, se traza el
arco 1-2.
2) Con la misma abertura de compás, haciendo centro en 1, se traza el
arco A-2.
3) Se traza la recta 1-2, que se prolonga hacia arriba.
4) Haciendo centro en 2 con radio 2-1, se traza el arco 1-A-3.
5) Uniendo A con 3, se obtiene la perpendicular pedida.
2.1.3. DIVIDIR UN SEGMENTO AB EN UN NUMIERO DADO DE PARTES
IGUALES (7 PARTES)
1) Por A se traza a voluntad una semirrecta AC.
2) Se marca sobre AC, partiendo de A, 7 segmentos iguales A-1, 1-2, 2-3,
3-4, 4-5, 5-6, 6-7 de cualquier longitud.
3) Se une el punto 7 con el punto B y por los otros puntos de división 1, 2,
3, 4, etc., se trazan otras tantas paralelas al segmento 7B. estas
paralelas cortan el segmento dado AB en los puntos 1, 2, 3, 4, etc., que
resuelven el problema propuesto.
2.1.4. BISECCION DEL ANGULO FORMADO POR DOS SEMIRRECTAS
r1 y r2 PARTIENDO DE UN PUNTO A

20. 18
1) Haciendo centro en A, con una abertura cualquiera de compás, se traza
un arco que corta a las dos semirrectas dadas en 1 y 2.
2) Haciendo centro respectivamente en 1 y en 2, se trazan dos arcos con
un mismo radio cualquiera, que se cortan en B.
3) La semirrecta que pasa por A y B resuelve el problema propuesto.
2.1.5. TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO RECTO DADO
1) Haciendo centro en el vértice del ángulo recto, con cualquier abertura de
compás, se traza el arco BC.
2) Haciendo centro en B y en C, y siempre con la misma abertura de
compás, se corta el arco C en los puntos 1 y 2.
3) Uniendo el vértice del ángulo con los puntos 1 y 2 se tienen las dos
semirrectas que resuelven el problema.
2.1.6. DIVIDIR UN ANGULO EN CUATRO PARTIS IGUALES
Este problema se resuelve aplicando 3 veces consecutivas la construcción de
la bisectriz de un Angulo.

21. 19
2.1.7. CONSTRUIR UN ANGULO IGUAL A OTRO ANGULO DADO POR
1 A 2
1) Haciendo centro en A, con un radio cualquiera, se traza el arco 1-2.
2) Sobre la semirrecta A “2”, haciendo centro en A, y con el mismo radio
escogido anteriormente, se traza el arco 2 1.
3) Con una abertura de compás exactamente igual a la distancia entre los
puntos 1 y 2 y haciendo centro en 2' se corta el arco trazado
anteriormente en 1.
4) Uniendo una recta 1 con A' se obtiene el ángulo 1'A'2', igual al ángulo
dado.
2.1.8. INSCRIBIR EN UNA CIRCUNFERENCIA UN POLIGONO
REGULAR DE n LADOS
2.1.8.1. CASO DE QUE n SEA IMPAR (7)

22. 20
1) Se traza un diámetro AB de la circunferencia y se le divide en n partes
iguales.
2) Haciendo centro en A y en B, con abertura de compás igual al diámetro
AB, se trazan dos arcos de circunferencia que se cortarán en C y D.
3) Desde C y D se trazan las semirrectas que, pasando por los puntos de
orden par de AB, cortarán a la circunferencia en los puntos E, F, G, H, I,
J, que, junto con el punto A, constituyen los vértices del polígono pedido
2.1.8.2. CASO DE QUE N SEA PAR (8)
1) Y 2) Se opera como en el caso anterior.
3) Desde C y D se trazan las semirrectas que pasan por los puntos de división
de orden impar. Se prosigue del mismo modo antes explicado.
2.2. ENLACES
Enlace es la unión armónica de dos o más líneas, ya sean curvas o rectas,
de modo que parezcan una línea continua.
2.2.1. TANGENTE
Es la recta que toca a una curva en un punto. Naturalmente, resulta
perpendicular al radio que una aquel punto con el centro de la curva.
2.2.2. PROCESO EN LA EJECUCION DE UN ENLACE
Para efectuar un enlace en forma correcta hay y que realizar una a serie de
trazados tal como a continuación se indica:

23. 21
1) Se determina el centro del arco o circunferencia, por medio de trazos
geométricos apropiados.
2) Se determinan los puntos de tangencia, con objeto de saber dónde ha
de comenzar el enlace y dónde ha de terminar.
3) Se traza el arco de enlace.
2.2.3. EJERCICIOS DE ENLACES
2.2.3.1. UNIR DOS RECTAS PERPENDICULARES, MEDIANTE UN
ARCO DE RADIO DADO
1) Se trazan las rectas perpendiculares dadas h y s.
2) A la distancia de r, se trazan paralelas a h y s, que se cortan en el
punto 0.
3) Haciendo centro en 0 y radio 0H se traza el arco pedido desde el
punto H hasta el Punto T, siendo éstos los puntos de tangencia.
2.2.3.2. UNIR DOS RECTAS QUE FORMAN UN ANGULO MAYOR DE
900
POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO DADO
1) Se trazan las rectas dadas n y s de modo que formen un ángulo mayor
de 900
.
2) A la distancia de r, se trazan paralelas a n y s, que se cortan en el punto
0.
3) Pasando por 0, se levantan perpendiculares a n y s, las cuales
determinan los puntos H y T de tangencia.
4) Haciendo centro en 0 y radio en 0H, se traza el arco pedido.

24. 22
2.2.3.3. ENLAZAR DOS RECTAS, QUE FORMAN UN ANGULO AGUDO,
POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO DADO
1) Se trazan las rectas n y S.
2) A la distancia r, se trazan paralelas a n y s.
3) Pasando por 0, se levantan perpendiculares a n y s, las cuales
determinan los puntos de tangencia T y H.
4) Tomando 0 por centro, y con radio 0H, se obtiene el arco pedido.
2.3. CURVAS GEOMETRICAS
2.3.1. OVALO
Es una curva cerrada y plana, compuesta por cuatro arcos de
circunferencia, iguales dos a dos. Tiene dos ejes de simetría perpendiculares
entre sí.
2.3.1.1. CONSTRUIR UN OVALO CONOCIENDO EL EJE MAYOR
1) Se traza el eje mayor dado AB. Se divide AB en tres partes iguales.
2) Haciendo centro en 0 y en o' sucesivamente, con un radio 0A, se trazan
circunferencias que determinan los puntos C y D.
3) Uniendo 0 y 0' con C y con D quedan determinados los puntos de
tangencia E, F, H e I.
4) Haciendo centro en D y en C, y con un radio DE, se trazan los arcos que

25. 23
completan el óvalo.
2.3.1.2. CONSTRUIR UN OVALO CONOCIENDO EL EJE MENOR
1) Se traza el eje menor dado AB. A partir de A y de B, si trazan líneas a
450
respecto al eje vertical.
2) Invirtiendo el cartabón, y a partir de A y de B, se trazan líneas a 450
, que
determinan los puntos C y D.
3) Con un radio AB, se hace centro primero en A y luego en B y se trazan
arcos que determinan los puntos E, F, H e I.
4) Con un radio CH, y haciendo centro primero en C y luego en D, se
trazan los arcos que completan el óvalo.
2.3.1.3. CONSTRUIR UN OVALO CONOCIENDO LOS DOS EJES
1) Se trazan loa dos s ejes AB y CD, da forma que se corten en su punto
medio 0.
2) Con centro en 0 y radio 0A, se traza el arco AE. Se une A con C.
3) Con centro en C y radio CE, se traza un arco EF que determina el punto
F.
4) Se halla la mediatriz de AF, la cual nos da los puntos H e I.
5) Con centro en 0 y radio 0H, se traza un arco que determina el punto J.
Con centro en 0 y radio en 0I, se traza un arco que determina el punto K.
6) Si unimos K e I con H y J, sus prolongaciones nos producirán los puntos
de tangencia T, R, P y S. Los centros para trazar los arcos son: H, J,

26. 24
K e I.
2.3.2. OVOIDE
Es una curva cerrada y plana, compuesta por dos arcos de circunferencia
iguales y otros dos desiguales. Tiene un eje de simetría.
2.3.2.1. CONSTRUIR UN OVOIDE CONOCIENDO EL EJE MENOR
1) Se traza el eje menor AB y se halla su mediatriz. Con centro en 0, y
radio, 0A, se describe una circunferencia. Se une C con A y con B.
2) Con centro en A y en B, sucesivamente, y con un radio AB, se trazan
arcos que determinan los puntos D y E.
3) Con centro en C y radio CD se traza el arco que completa el ovoide.
2.3.2.2. CONSTRUIR UN OVOIDE CONOCIENDO EL EJE MAYOR
Se traza el eje mayor AB y se divide en seis partes iguales. Se traza, por la
división 2 una perpendicular al eje.
Haciendo centro en esa misma división 2, y con un radio 2-6 se traza un arco
que determina los puntos C y D. Se unen estos puntos C y D con la división 5.
Haciendo centro en la división 2. con un radio 2A, se traza una
semicircunferencia.
Haciendo centro en C y luego en D, con un radio CF, se trazan arcos que
determinan los puntos H e I.
Y con centro en la división 5, y con radio 5H, se traza el arco que completa el
ovoide.

27. 25
2.3.2.3. CONSTRUIR UN OVOIDE CONOCIENDO LOS DOS EJES
1) Se traza el eje menor AB.
2) Se halla la mediatriz de AB. Con centro en J, y radio 0A, se traza una
circunferencia. A partir de C, se lleva el eje mayor CD.
3) Con centro en F, y radio FD, se traza una circunferencia. Partiendo de A,
se traslada la distancia FD, que nos da el punto E, y se halla la mediatriz
de EF.
4) Con centro en 0, y radio 0H, se, traza un arco que determina el punto S.
5) Uniendo los puntos S y H con F, resultan los puntos de tangencia T y N.
6) Haciendo centro en H y en S, con un radio HT, se trazan los arcos que
completan (al, ovoide.
2.3.3. ESPIRAL
Es una curva plana engendrada por un punto que se desplaza
uniformemente a lo largo de una recta, a la vez que ésta gira alrededor de uno
de sus extremos con velocidad angular constante.
Paso en una espiral, es la distancia longitudinal que se desplaza el punto en
una vuelta completa.

28. 26
1) Se traza un segmento igual a MN.
2) Se divide el segmento en un número cualquiera de partes iguales.
3) Haciendo centro en M y con radios M1, M2..... M12 se trazan
circunferencias completas.
4) Se divide la circunferencia en 12 partes iguales y se trazan los radios
respectivos.
5) La intersección de los radios con los arcos correspondientes determina
los diversos puntos de la espiral.
2.3.4. HELICE
Es la curva del espacio engendrada por un punto que se desplaza a lc,
largo de una a recta directriz, mientras ésta gira uniformemente alrededor de
otra central llamada eje.
2.3.4.1. TRAZAR UNA HELICE CILINDRICA
Para el trazado de una hélice cilíndrica, conociendo el diámetro y el paso
de la hélice, se dibujan las proyecciones del cilindro exterior. La base circular
se divide en un número de partes iguales, y la altura, de longitud igual al paso,
divide en el mismo número de partes. Se enumeran las divisiones de la planta,
empezando por la izquierda, y las divisiones del alzado partiendo de la base
hacia arriba.
Cada uno de los puntos señalados en la planta se proyecta en la vista de
alzado. La intersección de las rectas proyectadas y las horizontales de la vista
de alzado, de igual numeración para ambas, determinan los puntos por r-
donde se trazará la hélice cilíndrica.
2.3.5. ELIPSE
Es una curva cerrada y plana formada por puntos que tienen la propiedad
de que la suma de las distancias de cada uno de ellos a otros dos fijos de su
plano, llamados focos, es constante e igual al eje mayor de la elipse.

29. 27
2.3.5.1. CONSTRUIR UNA ELIPSE CONOCIENDO LOS DOS EJES
1) Se trazan los dos ejes perpendiculares AB y CD que se cortan en su
punto medio.
Haciendo centro en D, y con una abertura 0B, se traza un arco que
determina los puntos F y F', llamados focos.
2) Se determinan unos puntos cualesquiera sobre el eje AB y entre FF'.
Haciendo centro en F, con una abertura A3, se traza un arco. Con centro
en F' y abertura 3B, se traza otro arco que determina el punto P.
3) Se sigue el mismo procedimiento con el que se ha determinado P y
quedarán hallados los puntos P', P" y P"'.
4) Siguiendo este mismo proceso se van determinando los puntos que
corresponda. Enlazados todos, tendremos la elipse pedida.
2.3.5.2. CONSTRUIR UNA ELIPSE SIRVIENDOSE DE LAS
CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS TRAZADAS CON LOS
SEMIEJES POR RADIOS
1) Se trazan las circunferencias y un diámetro cualquiera EJ.
Por el punto E, se traza una paralela a CD y por F otra paralela a AD.
La intersección de ambas nos da el punto H. Se hace lo mismo por el
punto J y se obtiene el punto R.
2) Se trazan nuevos diámetros con los cuales se podrán determinar otros
puntos más.
3) Se unen los diversos puntos determinados y se obtiene la elipse pedida.

30. 28
III. DIBUJO EN PROYECCIONES
3.1. PROYECCION
Llámese proyección de un punto 0 sobre un plano P, a la intersección con el
mismo de la línea proyectante 1 que pasa por dicho punto (Fig. 10).
Fig. 10. Proyección de un punto 0 sobre un plano P.
Proyectar una figura o cuerpo del espacio, desde un punto sobre un plano,
consiste en trazar rectas que partiendo del punto, pasan por todos los puntos
de la figura o cuerpo, prolongándose hasta chocar con el plano de proyección,
obteniendo la proyección de la figura o cuerpo del espacio.
3.2. CLASES DE PROYECCION
3.2.1. PROYECCION CONICA
Cuando todos los rayos de proyección parten desde un centro de
proyección (Fig. 11).
Fig. 11. Proyección Cónica

31. 29
3.2.2. PROYECCION CILINDRICA
Cuando el centro de proyección se supone situado en el infinito y las rectas
de proyección son paralelas entre sí. La proyección cilíndrica puede ser
cilíndrica ortogonal y oblicua.
3.2.3. PROYECCION CILINDRICA ORTOGONAL
Cuando las rentas proyectantes son perpendiculares a los planos de
proyección (Fig. 12).
Fig. 12. Proyección Cilíndrica Ortogonal.
3.2.4. PROYECCION CILINDRICA OBLICUA
Cuando las rectas proyectantes son oblicuas al plano de proyección. Fig.
13).
Fig. 13. Proyección cilíndrica oblicua.
3.3. ELEMENTOS DEL SISTEMA DIEDRICO
3.3.1. PLANOS DE PROYECCION
Son los planos que constituyen los diedros sobre los cuales se efectúan las
proyecciones correspondientes del cuerpo o figura a representar (Fig. 14).

32. 30
Fig. 14. Planos de Proyección.
Uno de los planos es vertical, designado por PV y el otro es horizontal,
designado por PH.
Estos planos son consideran ilimitados, opacos, perpendiculares entre sí y
dividen el espacio en cuatro diedros, según el orden y posición que indica la
figura 14.
3.3.2. LINEA DE TIERRA
Es la línea de intersección formada por los planos de proyección. Se
representa por dos trazos cortos dibujados uno en cada extremo y por debajo
de ella (Fig. 14).
3.3.3. PLANOS BISECTORES
Son dos planos perpendiculares entre sí que dividen a cada diedro en dos
partes iguales, resultando el espacio dividido en ocho partes llamadas octantes
(Fig. 15).
Fig. 15. Planos bisectores
Todos los puntos contenidos en los planos bisectores equidistan de los planos
de proyección.

33. 31
3.4. GIROS DE LOS PLANOS DE PROYECCION
Para representar las proyecciones obtenidas sobre los planos de
proyección, se efectúa un giro del PH, alrededor de la línea de tierra, hasta
hacerlo coincidir con el PV.
De esta forma, las proyecciones están contenidas en un solo plano. (Fig. 16).
Fig. 16. Giros de los planos de proyección.
3.5. PLANO DE PERFIL
Cuando es preciso obtener una tercera proyección ortogonal de un punto,
recta o cuerpo, se recurre al empleo de un tercer plano de proyección,
perpendicular al PV y PH, que se llama plano de perfil PP (Fig. 17).
Fig. 17. Plano de perfil

34. 32
3.6. CONVENCIONALISMOS Y ANOTACIONES
Para facilitar la lectura de las proyecciones se ha adoptado un sistema de
anotación que permite identificar y relacionar cada uno de los elementos
geométricos, ya sean puntos, rectas o planos, tanto si se consideran en el
espacio como si se hace referencia a sus proyecciones. Es el siguiente:
1) La línea de tierra se representa por una línea continua con dos trazos en
cada Extremo. Se designa por LT.
2) Los, puntos se designan con letras mayúsculas; por ejemplo: el punto P.
- En el espacio P.
- En proyección P`.
- En proyección vertical P''.
- En el plano de perfil P".
3) Las rectas se, designan con letras minúsculas, por ejemplo la recta r.
- En el espacio r.
- En proyección horizontal r.
- En proyección vertical r.
- En el plano de perfil r.
4) Los planos se designan con letras del alfabeto griego, por ejemplo el
plano a.
- En el espacio a.
- En proyección horizontal a1.
- En proyección vertical a2.
3.7. NORMAS PARA LA REALIZACION DE EJERCICIOS
Procúrese realizar los ejercicios con pulcritud y claridad de tal forma que se
puedan distinguir fácilmente los datos, del resultado y de las líneas auxiliares.
Para ello efectúense:
- Los datos y la LT, con línea continua de anchura intermedia.
- Las proyecciones del resultado, con línea continua gruesa.
- Las líneas de referencia y auxiliares con línea continua fina, indicando
preferiblemente el principio y el final de su longitud.
- Las partes ocultas, con línea de segmentos.
- La letra correspondiente, inmediatamente después de trazada cada
línea, con objeto de evitar confusiones.
3.8. COTA DE UN PUNTO
Es la distancia entre la proyección vertical del punto y la línea de tierra LT
(Fig. 18).

35. 33
Fig. 18. Cota y alejamiento de un punto.
La cota es positiva si el punto está por encima del plano horizontal, es decir,
en el 1. y 2. diedro. Si el punto está en el plano horizontal, la cota es cero; los
dos puntos del 3. y 4. diedro tienen cota negativa.
3.9. ALEJAMIENTO DE UN PUNTO
Es la distancia entre la proyección horizontal del punto y la línea de tierra LT
(Fig. 18).
La suma de la cota y el alejamiento es igual a la distancia entre el alzado y
la planta.
El alejamiento es positivo, si el punto está contenido en el 1. y 4. diedro y
negativo, si los puntos están situados en el 2. y 3. diedro.
3.10. LINEA DE REFERENCIA
Es la línea que une las dos proyecciones de un punto y es perpendicular a
la línea de tierra LT. Se representa por una línea continua fina (Fig. 19).
Fig. 19. Línea de Referencia

36. 34
3.11. PROYECCION DIEDRICA
Es la Proyección que se efectúa sobre los planos de un diedro.
3.12. PROYECCION TRIEDRICA
Es la proyección ortogonal que se efectúa sobre tres planos, que son:
vertical, horizontal y de perfil.
3.13. PROYECCIONES DE UN PUNTO
3.13.1. PROYECCIO11 DE UN PUNTO SITUADO EN EL ESPACIO
Sea el punto F a proyectar. Se trazan perpendiculares a los planos de
proyección que pasen por F y se tendrá que F" será la proyección vertical y F'
la horizontal. Una vez efectuado el giro de los planos, las proyecciones F" y F'
estarán situadas en línea recta perpendicular a la línea de tierra LT.
3.13.2. PROYECCION DE UN PUNTO CONTENIDO EN UNO DE LOS
PLANOS DE PROYECCION
La proyección del punto están en el plano en que se halla contenido y se
confunde con el propio punto; la otra proyección se encuentra en la línea de
tierra LT.

37. 35
3.13.3. PROYECCION DE UN PUNTO SITUADO EN LA LINEA DE
TIERRA LT
Ambas proyecciones se confunden con el punto dado.
3.13.4. PROYECCION TRIEDRICA ORTOGONAL DE UN PUNTO
3.14. PROYECCIONES DE LA RECTA
3.14.1. TRAZAS DE UNA RECTA
Son los puntos donde la recta corta a los planos de proyección. Así, cuando
la recta r encuentra el plano PH, se llama traza horizontal a1 punto B'. La traza
vertical será el punto A", que es donde la recta corta al plano vertical.

38. 36
3.14.2. PROYECCION DE UNA RECTA PARALELA A LA LT
En ambas proyecciones, la recta estará representada paralela a la LT.
3.14.3. PROYECCIÓN DE UNA RECTA PERPENDICULAR AL PH.
La proyección horizontal será un punto, y la vertical se representará por una
recta perpendicular a la LT.
3.14.4. PROYECCILON DE UNA RECTA PERPENDICULAR A LA LT Y
OBLICUA A LOS DOS PLANOS DE PROYECCION, O RECTA
DE PERFIL.

39. 37
Las dos proyecciones horizontal y vertical se representarán perpendiculares
a la LT.
3.14.5. PROYECCIONES DE TRES RECTAS CONTENIDAS EN EL PV
Las proyecciones de las tres rectas quedan representadas en su verdadera
magnitud sobre el mismo plano. Coincidiendo su proyección horizontal sobre la
LT.

40. 38
3.15. PROYECCION DE PLANOS
3.15.1. TRAZAS DEL PLANO
Son las intersecciones de las rectas de un plano con cada uno de los planos
de proyección.
3.15.2. PROYECCION DE UN PLANO PERPENDICULAR A LOS
PLANOS DE PROYECCION
Sus trazas están, una a continuación de otra, sobre una perpendicular a la LT.
Se llama también plano de perfil.

41. 39
3.15.3. PROYECCION DE UN PLANO PERPENDICULAR AL PLANO
VERTICAL Y OBLICUO AL PLANO HORIZONTAL
La traza horizontal es perpendicular a la LT; este plano se llama proyectante
vertical.
3.15.4. PROYECCION DE UN PLANO PERPENDICULAR AL PLANO
HORIZONTAL Y OBLICUO AL PLANO VERTICAL
La traza vertical es perpendicular a la LT; este plano se llama
proyectante horizontal.

42. 40
3.15.5. PROYECCION DE UN PLANO PARALELO AL PLANO
VERTICAL, EN EL QUE ESTA TRAZADO UN RECTANGULO
Su única traza es la horizontal, que es la paralela a la LT.
3.16. PROYECCION DE CUERPOS
3.16.1. PROYECCION DE UN PRISMA PARALELO A LOS PLANOS DE
PROYECCION
La representación de un prisma recto queda perfectamente definida con
el sistema diédrico, ya que las caras frontal y superior están representadas en
verdadera magnitud en las proyecciones vertical y horizontal respetivamente.

43. 41
Cuando las proyecciones de dos lados se superponen, predomina la
proyección del lado más alejado del plano.
En la vista del I alzado la proyección corresponde a la cara frontal C B F G;
igualmente la proyección representada en planta corresponderá a la cara
superior DCBE.
3.16.2. PROYECCION TRIEDRICA DE UN CUERPO CON UN
MECANIZADSC SUPERIOR
Se procede de igual forma que en la proyección diédrica, es decir, se
efectúan las proyecciones de las caras paralelas opuestas a los planos de
proyección del cuerpo sobre los tres planos de proyección, hasta que forman
un único plano con el plano vertical y se habrán obtenido las proyecciones
triédricas del cuerpo.
3.17. OTROS PLANOS DE PROYECCION
Plano auxiliar de proyección PA
A1 proyección de A sobre PA
Además de los tres planos considerados hasta ahora, PH, PV, PP, se
utilizan otros planos de proyección, si la representación de una figura
geométrica no queda suficientemente clara con los planos conocidos. El nuevo
plano o planos auxiliares tendrán la posición adecuada al objetivo que se
persigue.

44. 42
Se utiliza un plano auxiliar, por ejemplo, para hallar la verdadera dimensión
de las secciones que se producen al cortar oblicuamente diversas figuras
geométricas.
3.18. VERDADERA MAGNITUD DE UNA ARISTA
Así se llama a la longitud real de una arista de un cuerpo que se encuentre
inclinada respecto al eje vertical.
La longitud real se obtiene girando la arista alrededor del eje, sobre un
extremo, hasta colocarla en un plano frontal.
3.18.1. REALIZACION GRAFICA DE LA VERDADERA MAGNITUD DE
UNA ARISTA.
1) Haciendo centro en V' en la proyección horizontal y con un radio V' C',
se traza un arco hasta el encuentro con la traza del plano frontal
que pasa por V en el punto C1'.
2) Se proyecta C1 sobre el alzado obteniéndose el punto C1".
3) Uniendo V" y C1", se tendrá la magnitud real de la arista.

45. 43
3.19. ABATIMIENTOS
Se entiende por abatir un plano w sobre otro plano H. el girar el plano w,
alrededor de su traza e con el plano H, hasta que coincida con éste.
La traza e, que es el eje sobre el que gira el plano que se va a abatir, se
llama charnela y se designa por medio de la letra ch. .
El plano sobre el que se abate es uno de los planos de proyección o un
plano paralelo a él, por lo cual, todos los elementos contenidos en el plano
abatido quedan situados, tras el abatimiento, sobre el plano de proyección; por
consiguiente, se proyectan sin deformación alguna, o sea, en verdadera
magnitud.
Al efectuar un abatimiento se ha de especificar:
1) El plano que se abate.
2) Alrededor de qué charnela se gira.
3) El sentido en el que se va a girar para hacerlo coincidir con el otro plano.

46. 44
IV. PERSPECTIVAS
4.1. VISTAS
4.1.1. DENOMINACION DE LAS VISTAS
Las vistas son los elementos, básicos para la representación de un objeto,
observado según una dirección y un sentido.
Del sinnúmero de direcciones según las cuales puede observarse un objeto,
se han seleccionado tres direcciones perpendiculares entre sí, y sobre cada
una de ellas se han tomado los dos sentidos posibles, como se indica en la
figura 20.
Las vistas, así observadas son:
- Vista de frente, según la flecha A.
- Vista de arriba, según la flecha B.
- Vista de izquierda, según la flecha C.
- Vista de derecha, según la flecha D.
- Vista de abajo, según la flecha E.
- Vista de atrás, según la flecha F.
4.1.2. DISPOSICION DE LAS VISTAS
Existen dos métodos para la disposición de las vistas, el método E
(Europeo) o del primer diedro, y el método A (Americano) o del tercer diedro.
En el método E, la disposición de las vistas con relación a la vista de frente
se indica en la figura 21. La vista de atrás puede colocarse indistintamente a la
derecha o izquierda, según sea conveniente. El símbolo distintivo de este
método de proyección de las vistas se indica en la figura 22.
En el método A, la disposición de las vistas con relación a la vista de frente
se indica en la figura 23. La vista de atrás puede colocarse indistintamente a la
derecha o izquierda, según sea conveniente. El símbolo distintivo de este
método de proyección de las vistas se indica en la figura 24.
El método establecido como norma nacional para la disposición de las
vistas en toda clase de dibujos técnicos es el método E, cuyo símbolo distintivo
debe inscribirse en el recuadro correspondiente del cajetín de rotulación,
debajo de la indicación de la escala.

47. 45
4.2. PERSPECTIVA CABALLERA
Es la representación de una nueva utilización de proyecciones cilíndricas
oblicuas.
Este sistema da una imagen parcial deformada de la pieza (Figs. 25 y 26);
pero proporciona a los poco iniciados, una imagen más comprensible que la
que da una proyección ortogonal.
La perspectiva caballera se utiliza, sobre todo, para representación con
carácter de iniciación (funcionamiento de aparatos). Estas representaciones,
generalmente sombreadas, contienen muy pocas cotas.
4.2.1. EJES DEL SISTEMA
La perspectiva caballera consta de tres ejes, que se cortan en un mismo
punto y que, en el espacio, son perpendiculares entre sí. En el plano de dibujo,
o plano de proyección, se representan según se indica en la figura 27.

48. 46
Fig. 27. Ejes del sistema.
4.2.2. PLANOS
Cada dos, de los tres ejes del sistema, determinan los siguientes planos
(Fig. 28).
Fig. 28. Planos
- Plano frontal, formado por los ejes Z y X.,
- Plano horizontal, formado por los ejes X e Y.
- Plano de perfil, formado por los ejes Y y Z.
4.2.3. LÍNEAS DE FUGA
Las rectas que son paralelas al eje Y, se llaman líneas de fuga. Los ejes Z y
X son fijos (Fig. 29).

49. 47
Fig. 29. Líneas de fuga.
4.2.4. INCLINACION DE LAS LINEAS DE FUGA
La inclinación de las líneas de fuga se determina dando el valor del ángulo
que deben formar las líneas de fuga y el eje X (Fig. 30).
Fig. 30. Inclinación de las líneas de fuga.
Los valores más aconsejables para estos ángulos de las líneas de fuga son
300
, 450
, y 600
, si bien la perspectiva caballera normalizada determina el valor
fijo de 450
. Este valor se debe mantener constante para todas las líneas de
fuga de una misma figura.
4.2.5. DIRECCION DE LAS LINEAS DE FUGA
Pueden presentarse de cuatro formas distintas, según se indica en la figura 31.

50. 48
Fig. 31. Dirección de las líneas de fuga.
1) Dirección que muestra la cara superior y la cara derecha de la pieza.
2) Dirección que muestra la cara superior y la cara izquierda de la pieza.
3) Dirección que, muestra la cara inferior y la cara derecha de la pieza.
4) Dirección que muestra la cara inferior y la cara izquierda de la pieza.
En todos, los casos permanece invariable la cara frontal.
4.2.6. REDUCCION DE LAS LINEAS DE FUGA
Las aristas que son perpendiculares, al plano frontal, una vez
proyectadas sobre este plano, resultan líneas rectas oblicuas, según se ha
visto en la figura 31.
En consecuencia, la longitud de una línea de fuga es menor que la longitud
real de la arista considerada (fig. 29).
Todas las líneas de fuga de un mismo dibujo se representan reducidas, con
la misma relación de reducción. Los coeficientes de reducción más frecuentes
son 0,5, 0,6 y 0,7. Si bien el coeficiente de reducción de la perspectiva
caballera normalizada es 0,5 (Fig. 32).
Fig. 32 Reducción de las líneas de fuga.

51. 49
4.2.7. PROCESO PARA LA REPRESENTACION DE UNA PIEZA EN
PERSPECTIVA CABALLERA
Para ello:
1) Se debe determinar la cara de partida de la pieza, la inclinación,
dirección y reducción de las líneas de fuga, lo cual exige un estudio
cuidadoso de las características de la pieza a representar.
2) Se trazan los ejes de la perspectiva caballera.
3) Se inscribe la pieza en un paralelepípedo rectangular, teniendo
presentes la cara de partida 1, la inclinación 2, dirección y reducción de
las líneas de fuga

52. 50
4) Se dibujan las líneas situadas en el plano frontal en su tamaño y forma
real 4.
Se determinan las líneas correspondientes al plano horizontal 5 y plano de
perfil 6, teniendo en cuenta el coeficiente de reducción.
5) Una vez suprimidas las partes sobrantes de la pieza, se trazan las líneas
que van determinando la forma de la misma7.
6) Trazar las líneas restantes hasta completar la perspectiva.
A y B líneas no paralelas al sistema
La representación en perspectiva caballera se limita a las piezas de
formas sencillas.
Las líneas no paralelas a los ejes del sistema determinan,
indirectamente, por la unión de puntos que pertenecen a otras líneas que
son paralelas al sistema: por ejemplo, las líneas A y B.

53. 51
4.2.8. PERSPECTIVA CABALLERA DE UN CIRCULO
El círculo se proyecta en verdadera magnitud sobre el plano frontal (Fig. 33)
El circulo, proyectado sobre el plano horizontal y de perfil, da como
proyección una elipse (Fig. 33).
Fig. 33. Perspectiva caballera de un círculo.
Un método sencillo de construcción de la elipse (Fig. 33), consiste en
inscribir el círculo en un cuadrado. Se traza luego la diagonal AB, que corta al
círculo en el punto E, y, uniéndolo con C, se determina el punto D.
En las proyecciones del cuadrado se sigue un proceso idéntico,
determinándose una serie de puntos de la elipse.
4.3. PROYECCION ISOMETRICA
La proyección isométrica es un caso particular de las proyecciones
axonométricas, el caso más sencillo de todos, ya que las tres escalas de cada
uno de los ejes del sistema son iguales. De ahí viene su nombre: isométrica,
de: ISO, igual y MÉTRICA, medida. O sea, que las tres escalas de medida para
cada uno de los ejes, son iguales.
Para lograr esta propiedad, el plano axonométrico de proyección deberá
formar ángulos iguales con cada uno de los ejes. Esto se conseguirá
haciéndolo pasar por aquellos puntos de los ejes que estén a la misma
distancia del vértice o centro del sistema.
Al proyectar isométricamente los tres ejes y dibujar el triángulo de trazas, se
obtendrá el dibujo de un triángulo equilátero y sus tres bisectrices cortándose
en el centro. Las bisectrices serán los ejes del sistema.
El eje vertical se designa con la letra Z; el que va hacia la derecha, con la
letra X; y el que va hacia la izquierda, con la letra Y (fig. 34).

54. 52
Al hacer la proyección isométrica de una figura cualquiera, por ejemplo un
cubo, todas las aristas quedarán reducidas en su longitud.
Por tanto, para saber cuánto medirá la proyección de una arista del cubo se
deberá multiplicar la longitud real de la arista por el coeficiente de reducción,
que en este caso es 0,816.
Para hacer la operación inversa, es decir, para hallar la dimensión real da
una arista a partir de la proyección de la misma, hay que dividir el valor de la
proyección por el coeficiente de reducción.
Como todo esto resulta muy laborioso, cuando se trata de representar
piezas o instalaciones complicadas, la perspectiva isométrica normalizada
prescribe que la escala de medida en cada eje sea la real: 1:1, sin ninguna
reducción.
4.3.1. PLANOS
Cada dos, de los tres ejes del sistema, determinan los siguientes planos
(Fig. 34).
Fig. 34. Planos.
- Plano horizontal, formado por los ejes Y y X.
- Plano primero vertical, formado por los ejes Z y X.
- Plano segundo vertical, formado por los ejes Z e Y.

55. 53
4.3.2. VARIACIONES DE POSICION DE LOS EJES
Cuando hay que representar órganos de máquinas, suele ocurrir casos
en los que conviene variar la posición de los ejes. Los ejes pueden tomar el
sentido que desee; pero los ángulos que forman los ejes, no pueden cambiarse
(Fig. 35).
Fig. 35. Variaciones de posición de los ejes.
4.3.3. PROYECCION ISOMETRICA DE LA CIRCUNFERENCIA
En la proyección isométrica, lo mismo que en cualquier otro tipo de
proyección, las circunferencias proyectadas se convierten en elipses que, en
este caso, se pueden sustituir por óvalos de sencilla construcción.
Para la construcción del óvalo isométrico se circunscribe un cuadrado a la
circunferencia y se trazan sus diagonales así como los diámetros que pasan
por los puntos de tangencia (Fig. 36).

56. 54
Fig. 36. Proyección isométrica de la circunferencia

57. 55
Luego se obtiene la proyección isométrica del cuadrado y de las líneas
trazadas en él. La figura resultante será un rombo formado por dos triángulos
equiláteros juntos (Fin. 36).
Finalmente, se inscribe un óvalo en el rombo.
4.3.4. PROCESO PARA DIBUJAR UNA PIEZA EN ISOMÉTRICO
- Determinar la arista de partida de la pieza (en este caso el punto A).
- Trazar los ejes.
- Inscribir la pieza dada en un paralelepípedo rectangular capaz.

58. 56
- Trazar las líneas contenidas en los planos del sistema 1.
- Suprimir las líneas sobrantes.
- Trazar las líneas restantes, hasta completar la perspectiva.

59. 57
V. INTERSECCIONES Y PENETRACIONES
5.1. INTERSECCION DE RECTAS
La intersección de dos rectas, da como resultado un punto, común a dichas
rectas que se cortan (fig. 37).
Fig. 37. Intersección de rectas.
5.2. INTERSECCION DE PLANOS
La intersección de dos planos, da como resultado una recta, común a
dichos planos que se cortan (fig. 38)
Fig. 38. Intersección de planos.

60. 58
5.3. INTERSECCION DE UN SOLIDO CON UN PLANO
La intersección de un sólido con plano, da como resultado una superficie,
llamada sección del sólido con el plano considerado (fig. 39)
Fig. 39. Intersección de un sólido con un plano.
5.3.1. SECCIONES CONICAS
Son las superficies producidas por la intersección de un plano con un cono
de revolución. Según la inclinación del plano secante con el eje del cono, se
obtienen cuatro secciones características: sección circular, elíptica, parabólica
e hiperbólica.
5.3.1.1. SECCION PRODUCIDA EN UN CONO POR UN PLANO
PERPENDICULAR AL EJE DEL CONO
El cono de la figura 40 es cortado por el plano B2. Este determina en el
plano de proyección horizontal una sección circular.

61. 59
Fig. 40. Sección circular.
5.3.1.2. SECCION PRODUCIDA EN UN CONO POR UN PLANO
PROYECTANTE VERTICAL
Sea B2 - B1 el plano que corta al cono de la figura41. El círculo de la
proyección horizontal se divide en partes iguales resultando los puntos 1, 2, 3…
Los cuales se refieren al plano de proyección vertical según los puntos 1, 2, 3…
Estos puntos, unidos en el vértice V" y al cortarse con la traza B2 del plano
vertical, determinan los puntos A, B, C… Entonces, si se trasladan al plano
horizontal, originan los puntos A', F, E… que unidos forman la sección elíptica
representada.
Fig. 41. Sección elíptica
En la misma figura y por medio de una vista auxiliar se ha representado la
verdadera magnitud de la sección elíptica producida.

62. 60
5.3.1.3. SECCION PRODUCIDA EN UN CONO POR UN PLANO QUE
ES PARALELO A UNA DE SUS GENERATRICES
Sea el plano B2 - B1 que corta el cono de la figura 42. El círculo de la
proyección horizontal se divide en partes iguales, que determinan los puntos 1',
2', 3'… los cuales se refieren al plano vertical, según 1", 2", y 3''… Estos
puntos unidos con el vértice V" y al cortarse con la traza vertical B2 del plano,
originan los puntos A", B", C''… Refiriéndolos al plano horizontal se determinan
los puntos A', B', C'… que, unidos, forman la sección parabólica.
Fig. 42. Sección parabólica.
En la misma finura y valiéndose de una vista auxiliar se muestra la
verdadera magnitud de la sección parabólica.
5.3.1.4. SECCION PRODUCIDA EN UN CONO POR UN PLANO QUE
ES PARALELO A SU EJE.
Sea el plano B2 - B1 que corta al cono de la figura 43. A continuación se
trazan varios planos paralelos al plano de proyección horizontal, como el 𝜋 2y
W2 que al cortarse con la generatriz V"P", determina los puntos A"2 y B"2. Si
dichos puntos se trasladan al plano horizontal original A'1 y B'1.

63. 61
Fig. 43. Sección hiperbólica.
Con centro en V' y con radios V'A'1 y V'B'1 se trazan los arcos que, al
cortarse con la traza horizontal B1, determinan los puntos E', F', H', A' y B'.
Estos puntos más el punto C' y D' juntamente con los puntos H", F". E",... se
refieren al plano de perfil α1 -α2, quedando determinados los puntos D, E, F,...
que forman la sección hiperbólica buscada.
5.3.2. SECCIONES PLANAS
Se denomina sección plana al polígono formado por las intersecciones de
un plano con las caras de un poliedro.
Los vértices del polígono son, a su vez, las intersecciones de las aristas del
poliedro con el plano secante (Fig. 44).
Fig. 44. Sección producida en un cubo por un plano proyectante vertical.

64. 62
Como las caras de un poliedro son siempre planas, la sección producida
estará contenida en el plano secante, ya que las intersecciones de superficies
planas con dicho plano serán rectas contenidas en él.
5.4. INTERSECCION DE SUPERFICIES
Cuando dos superficies cuales quiera se cortan entre sí, se produce una
línea de intersección, común a ambas. Esta línea de intersección será una
recta cuando las superficies que se corten sean planas, por tanto, para hallar
dicha recta bastará determinar la posición da dos puntos de la misma y unirlos
después, con un trazo recto.
 Cuando una de las dos superficies sea curva y la otra plana, la línea de
intersección será una curva plana: circunferencia, elipse, parábola, etc.
 Si las dos superficies que se cortan son curvas, la línea de intersección
será una curva alabeada en la mayoría de los casos y, por tanto, no
podrá ser contenida en un plano.
5.4.1. CLASES DE INTERSECCION
La intersección de dos sólidos geométricos puedo presentar distintas
formas, según el volumen del espacio compartido por las figuras que se cortan.
Se suelen considerar los casos siguientes:
5.4.1.1. MORDEDURA
Se origina cuando un sólido se adentra parcialmente en el otro sin llegar a
abarcar toda su sección, ni ser abarcado por el otro (Fig. 45).
Fig. 45. Mordedura
Por tanto, la línea de intersección producida será única y continua,
recorriéndola en un solo sentido se llegará al punto de partida.

65. 63
5.4.1.2. PENETRACION
Se produce cuando un sólido se adentra en el otro, hasta llegar a abarcarlo
en toda su sección, o ser abarcado por él (Fig. 46). Esto da lugar a dos
líneas de intersección: la correspondiente a la entrada de la superficie
abarcada y la correspondiente a la salida.
Fig. 46. Penetración.
5.4.1.3. PENETRACION TANGENCIAL
Es un caso particular de penetración que se da cuando uno de los sólidos
que se cortan es de revolución y éste se halla en posición de tangencia con
una arista o generatriz de la otra figura. En este caso, la intersección de
entrada y la de salida tienen un punto común, que es el de tangencia (Fig. 47).
Fig. 47. Penetración tangencial.

66. 64
5.4.1.4. PENETRACION MÁXIMA
Se da este caso cuando hay penetración tangencial en los dos contados de
ambas piezas. Se produce entre sólidos que tienen la misma anchura en la
zona de penetración y cuyas aristas o generatrices exteriores se cortan en los
dos costados. Entonces la penetración abarca toda la anchura de los dos
sólidos y la intersección de entrada tienen dos puntos comunes con la de
salida, que son los puntos de tangencia (Fig. 48).
Fig. 48. Penetración máxima
5.4.2. METODOS EMPLEADOS PARA LA DETERMINACION DE LAS
INTERSECCIONES
5.4.2.1. METODO DE LOS PLANOS AUXILIARES CORTANTES
Para determinar la intersección de dos sólidos, se les corta mediante planos
auxiliares con el fin de obtener en cada uno de ellos secciones planas fáciles
de trazar (triángulos, rectángulos, círculos). Estas secciones están limitadas
mediante rectas o círculos, cuyos puntos de intersección pertenecen a la vez a
las superficies de los dos sólidos a unir; estos puntos están, pues, situados en
la intersección buscada (Fig. 49).

67. 65
Fig. 49. Método de los planos auxiliares cortantes.
El plano α es paralelo a XY y a ZU, y determina una sección rectangular
en cada cilindro.
Las intersecciones de las generatrices C y D con la generatriz A dan dos
puntos de intersección: 1 y 4
Las intersecciones de las generatrices C y D con la generatriz B dan otros dos:
2 y 3 de la intersección.
5.4.2.2. METODO DE LAS ESFERAS AUXILIARES CORTANTES
La intersección de sólidos de revolución: esfera, cilindro, y cono, cuyos ejes
coinciden, es siempre una circunferencia. Por ser ésta una curva plana, al ser
proyectada de canto, quedará reducida a un segmento rectilíneo.
Esta sencilla propiedad es la base del método de las esferas auxiliares
cortantes (Fig. 50).

68. 66
Fig. 50. Método de las esferas auxiliares cortantes.
5.4.3. INTERSECCION DE UN CONO Y UN CILINDRO, CUYOS EJES SE
CORTAN PERPENDICULARMENTE
Si se toma separadamente cada uno de los sólidos, cuya intersección se
desea obtener, y en el punto de intersección de sus ejes se coloca el centro de
una esfera auxiliar cortante de radio un poco mayor que el del cilindro, y se
traza ésta, se obtendrán las intersecciones indicadas en las figuras 51 y 52,
que son circunferencias perpendiculares a los ejes del cilindro y del cono,
respectivamente.

69. 67
Fig. 51. a, en perspectiva; b, en proyección.
Fig. 52. a, en perspectiva; b, en proyección
Si se juntan, luego, las dos figuras, se observa que las intersecciones de
la esfera con el cono, se cortan con las intersecciones producidas por la misma
esfera en el cilindro (Fig. 53).

70. 68
Fig. 53. a, en perspectiva; b, en proyección
Ahora bien, esos puntos que sonde triple intersección, puesto que
pertenecen a los tres sólidos, son puntos que indican por donde pasará la
línea de intersección buscada; o sea de la solución.
Repitiendo esta misma operación con otras esferas de mayor radio, se
obtendrá los puntos necesarios para poder trazar la intersección completa (Fig.
54).
Fig. 54. Intersección de un cono y un cilindro, cuyos ejes se cortan
perpendicularmente.
Uniendo los puntos hallados, con la ayuda de una plantilla de curvas, se
obtendrá la línea de intersección buscada.

71. 69
5.4.4. PENETRACION DE UN CILINDR3 Y UN PRISMA
1) Se trazan varios planos auxiliares cortantes en la base del cilindro de la
vista de perfil y se trasladan a las vistas horizontal y vertical (Fig. 55).
Fig. 55. Penetración de un cilindro y un prisma.
2) Se trasladan las intersecciones del prisma y el cilindro a la vista vertical,
las mismas que al cortarse, con los planos horizontales forman los
puntos de intersección.
Los puntos de la curva, dada la simetría del sistema, se determinan de
cuatro en cuatro, por lo que la construcción es bastante rápida,
3) Finalmente, se traza la curva que ha resultado configurada por los
puntos obtenidos.
5.4.5. INTERSECCION DE CUERPOS CONICOS
Si un cono está introducido en una esfera auxiliar constante, las
superficies de ambos cuerpos se tocan según circunferencias.

72. 70
De aquí se parte para suponer que los dos conos que se cortan están al
mismo tiempo metidos en una esfera y se empieza por considerar el punto n,
que se produce por las intersecciones de los conos con la esfera (Fig. 56).
Fig. 56. Intersección de cuerpos cónicos.
En el punto n, se forman dos circunferencias de contacto, que aparecen
en la representación como rectas paralelas a las base de los conos.
Para el punto 0, se utiliza una nueva esfera auxiliar más pequeña. Los
dos conos producen también circunferencias de intersección con ella, que en la
figura son nuevamente líneas rectas paralelas a las bases de los conos.
El punto p, es el vértice de la curva y se determina mediante una esfera
cuyo contorno aparente corta al cono horizontal y sea tangente al cono vertical.
Por último, se unen ordenadamente los puntos obtenidos hasta
completar la curva de intersección buscada.

73. 71
VI. DESARROLLOS
El desarrollo de un cuerpo es la representación de su superficie exterior,
extendida en un plano.
Tienen una gran importancia los desarrollos cuando se trata de cortar
correctamente las planchas en calderería, en instalaciones de tuberías, en
recipientes de chapa y de cartón, en fontanería y piezas industriales (Fig. 57).
Fig. 57. Desarrollos.
La forma de la pieza a desarrollar exige uno u otro sistema de trazado.
6.1. DESARROLLO POR PARALELAS
Los primas tienen caras paralelas que, al cortarse forman aristas también
paralelas.
Para hallar el desarrollo de esta clase de cuerpos, se trazan líneas
perpendiculares a la línea de despliegue. Estas líneas son paralelas y de ahí el
término desarrollo por paralelas.
6.1.1. DESARROLLO TOTAL DE UN PRISMA DE BASE RECTANGULAR
4 6
4 3 2 1
5

74. 72
1) Se dibujan el alzado y la planta del prisma.
2) Se traza el segmento HH (línea de despliegue), de longitud equivalente
al perímetro de la base.
3) Sobre el segmento HH, se llevan las distancias E'F', F'G', G'H'. H'E', que
determinan los puntos H, E, F, G y H.
4) Sobre los puntos anteriores se levantan perpendiculares. Se lleva a una
de estas la altura del prisma F"B" y se obtiene el punto D, trazando
luego por este último la paralela DD al segmento HH.
5) Haciendo centro en A y en E, y con un radio AD, se traza un arco de
cuadrante que determina los puntos H y D.
Partiendo de ella, se dibujan las bases del prisma, con lo que se obtiene el
desarrollo pedido.
6.1.2. DESARROLLO TOTAL DE UN CILINDRO
1) Se dibujan el alzado y la planta.
2) Se traza el segmento CC, de longitud equivalente al perímetro de la
circunferencia del cilindro.
3) Sobre los puntos C y C, se levantan las perpendiculares CA iguales a la
altura C" A" del cilindro, obteniéndose el rectángulo CAAC como
desarrollo de la superficie lateral del cilindro.
4) Sobre cualquier punto de los segmentos AA y CC y con el radio
correspondiente, se trazan dos circunferencias con lo que se tendrá,
finalmente, el desarrollo pedido.
6.2. DESARROLLO RADIAL
En los desarrollos en línea radial, las aristas o elementos salen de un
mismo punto. Estas líneas no aparecen, de ordinario, en su verdadera
magnitud en vistas regulares. Por tanto, hay que hallar las longitudes reales
para que el desarrollo sea correcto.
6.2.1. DESARROLLO TOTAL DE UNA PIRAMIDE RECTA DE BASE
RECTANGULAR

75. 73
1) Se dibujan el alzado y la planta de la pirámide
2) Se determina la verdadera magnitud V"B1" de una arista lateral VB.
3) Con el radio V" y B1", y con centro en V, se traza un arco de
circunferencia.
4) Se trasladan a este arco las longitudes de cada uno de los lados de la
base, con lo que se obtiene los puntos C, D, A, B y C, que unidos con V,
determinan el desarrollo de la superficie lateral de la pirámide.
5) Se dibuja finalmente el rectángulo ABCD, y se tiene el desarrollo total
pedido.
6.2.2. DESARROLLO TOTAL DE UN CONO DE REVOLUCION RECTO
1) Se dibujan el alzado y la planta de cono.
2) Con centro en V, y con un radio igual a la generatriz, se traza un arco
AA, cuyo ángulo central α se halla por la fórmula que se indica en el
desarrollo.
3) Se dibuja la circunferencia de la base y se obtendrá el desarrollo
completo.