Semana 12

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA y

CEPUNS 1
1
g(x) 
1
2

Ciclo 2013-II
2
2
 5 x
6 6

TRIGONOMETRÍA
f(x)= Senx

1

“ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS” Semana Nº 12

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ECUACIÓN S OLUCIÓN

Son igualdades condicionales donde la variable (x) o Si : Tanx  N  x  K  Vp ; K Z
arcos de la forma (ax + b) se encuentran afectados Obs : Vp = ArcTan(N)
de algún operador trigonométrico como el seno,
coseno, etc. INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
F.T. (ax + b) = N ............... (*)
Es de la forma : Inecuación Trigonométrica: Es una desigualdad
Donde el valor principal (Vp) es el valor del ángulo o condicional que involucra funciones trigonométricas
arco (ax + b) definido en el "rango" de la función por lo menos una.
trigonométrica inversa. Ejemplos:
Vp = Arc F (N)
.T. * Sen2x > Cosx
De (*) : * Tan2x + Cot2x > Cscx
Además N debe pertenecer al dominio de la
Sen 3 xCosx  SenxCos 3 x  1
función trigonométrica; a y b son constantes reales * 4
con a  0 .
Sen 2 x  1
Ejemplo : De las ecuaciones trigonométricas * 3
elementales, con sus respectivos valores
principales : Inecuación Trigonométrica Elemental : Una
 
Sen 3 x  3  Vp  ArcSen  3   
 2  3
inecuación trigonométrica se llamará elemental,
*
2   cuando es de la forma :

Cos  2 x      1  Vp  ArcCos   1   2 
    F.T.(Kx  )  a , x : incógnita
 4 2  2 3 
*
Tan  3 x     1  Vp  ArcTan (1)   
  Ejemplos:
*  5 8 4
Cos 2 x  3
* 2
EXPRESIONES GENERALES DE TODOS LOS * Tan 3 x  1
ARCOS QUE TIENEN LA MISMA FUNCIÓN
TRIGONOMÉTRICA Resolución de una Inecuación Trigonométrica
Elemental:
ECUACIÓN S OLUCIÓN Se estila seguir dos métodos:

Si : Senx  N  x  K  (1)K Vp ;  k Z Senx  1
Resolver: 2
Obs : Vp = ArcSen(N)
Método I:
ECUACIÓN S OLUCIÓN En la circunferencia trigonométrica, ubicamos
todos los arcos "x" cuyos senos sean mayores
Si : Cosx  N  x  2K   Vp ; K Z 1
Obs : Vp = ArcCos(N) que 2 , así:

1
Centro Preuniversitario de la UNS S-12 Ingreso Directo

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
y
A)   B) K     C)   
k      K   
 4  6  12 
5 1  Senx  1   E) x  5   
D) K    
 2 6 K 6 

6 2 6  18   4
El conjunto solución general será :
RESOLUCIÓN
 2 2 n   6x  5   2 n  ; n  Z
 
2 tg x 2 ctg x 6
6
x  ctgx2  ; 5   2 n 
  n 3tgx ; n Z
x2 + y2 = 1
ctg2 x  3 6
6
 x  k 
 RPTA.: B
6
Senx  1    x  5 
2 6 6
2) Dado el sistema:
El conjunto solución general será :

  2 n  x  5   2n  ; n  Z xy
2

 
6 6
cos x  3  2 cos y
x    2n  ; 5   2n  ; n Z
2= 1 6 6 Indique una solución general de y   k  
A)    B)    C)   
Método II : k    k    k   
 24   12   10 
Graficamos en un mismo sistema coordenado las D)   E)  
funciones: k    k   
 6  3
f(x)  Senx  g(x)  1 RESOLUCIÓN
2
Los puntos de intersección en un periodo del Senx : Como: x    y  cos x  cos    y   seny
2  
2
osea en 0 ; 2 , se obtienen con :


f(x)  g(x)  Senx  1
Luego en: cos x   
3  2 cos y , se tiene:
2
  
tgy  2  3  y  k   ,k  
 x    x  5  12 
6 6
y RPTA.: B

1 3) Dado el sistema:
g(x) 
1 6
sen x  sen y 
1 2 2
2
2 2
cos x  cos y 
 5 x 2
6 6 Halle: “x” y “y”, si 0  x   ; 0  y  
f(x)= Senx
A) x  7  ;y   B) x  7  ;y  
1 12 12 10 10
C) x  3  ;y   D) x  2  ;y  
PROBLEMA S RESUELTOS 4 2 3 4
E) x   ;y  3 
1) Determinar todas las soluciones de la ecuación: 8 8
1  tgx 3  ctgx RESOLUCIÓN
 k  Como:
1  tgx 3  ctgx
a) senx  seny  6  2sen  x  y  cos  x  y   6 …(1)
2  2   2  2
   

2

Como: 5) Halle la suma de las soluciones de la ecuación:
ctg x – csc 2x = 1
b) cos x  cos y  2  2cos x  y  cos x  y   2 ….(2)
2  2   2  2 Para ángulos positivos menores de 360º
   
(1)  (2) A) 360º B) 630º C) 450º D) 660º E) 810º
RESOLUCIÓN
x  y 2  ……… 
tg   3xy 3   cos x

1
1
 2  sen x 2 sen x cos x
También:
2cos2 x  1  2senx cos x
 a : sen x  sen y  2 sen x sen y  3 ……(3)
2
2 2
tg 2x =1
2
1 de donde: x  k   
b : cos x  cos y  2 cos x cos y  .….(4)
2 2 2
2 8
2 Se pide: RPTA.: B
(3) + (4):  Soluc  630º

 
2  2cos  x  y   2  cos  x  y   0  x  y  …  6) Halle la suma de las 3 primeras soluciones
2
positivas de la ecuación: sen 5x  10º  2
      : 2x  7   x  7  2
6 12
A) 111º B) 133º C) 122º D) 132º E) 123º
      :   RPTA.: A RESOLUCIÓN
2y   y 
6 12
2  2
sen 5x  10º   VP  arc sen   45º
2  2 

4) Determine la suma de soluciones de la ecuación:  
senx  3 cos x  1 ;x  0;2   5x  10º  180º n   1n 45º
 
A) 2  B) 3  C) 5  D) 3  E)  x  36º n   1 9º  2º;n
n

3 5 3 2 6 Si: n = -1 x = - 43º
RESOLUCIÓN
n= 0 x = 11º
senx  3 cos x  1 n= 1 x = 29º
1  3 cos x  senx n= 2  x = 83º
1 3 1    11º 29º 83º  123º RPTA.: E
 cos x  sen x
2 2 2
1 7) Indique el número de soluciones positivas y
 cos 30º cos x  sen30º sen x
2 menores a una vuelta de la
1 ecuación: sec x  cos x  sen x
 cos  x  30º  60º
2 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2 RESOLUCIÓN
* 0º < x < 360º
1
* sec x  cos x  senx  1
2  cos x  senx
300º cos x
 1  cos2 x  senx cos x  sen2x  senx cos x
C.T.
 sen2x  senx cosx  0  senx  senx  cosx   0
i) x  30º  60º  x  30º  
6 i) senx  0  x  0º,180º,360º,...
3
ii) x  30º  300º  x  270º  ii) senx  cos x  0  senx  cos x  senx  1
2 cos x
  3 5 tg x= 1 x = 45º, 225º, …
 6  2  3 RPTA.: C 
 Son “3” soluciones: 180;45º;225º
RPTA.: C

3

8) Resolver y dar la suma de soluciones de la 4) Resolver para x:
ecuación: 3  2senx  1  2(4  Senx)
cos 2 x  sen x  0; x  0º;360º
 
a) k  (1) k  , k  Z b) 
A) 450º B) 630º C) 540º D) 360º E) 300º k  (1) k , k  Z
4 3
RESOLUCIÓN
c) k  (1) k  , k  Z d) 
cos 2 x  sen x  0;x  0º;360º 2k  (1) k , k  Z
  6 4
1  2 sen x  senx  0
2 e) No tiene solucion en R
(3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I)
0  2 sen2x  senx  1
2 sen x 1 5) Los valores de x, comprendidos entre 0 y 3 ,
sen x -1 2
que resuelve la ecuación trigonométrica:
0  2senx  1  senx  1 2Sen2x – sen x – 1 = 0 , son:
a)  2 b)  7 c) 2 5
y y y
i) 1 IIIC: x = 210º 2 3 2 6 3 6
senx  
2
d)  3 e) 3
IVC: x = 330º y  y
3 4 2
(3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 – II)
ii) sen x = 1 x = 90º
6) Si: 4
senx  1  cos x  0 , entonces la suma
   90º 210º 330º  630º RPTA.: B
de las soluciones, x , tal que x  0;2  , es:

a)  b) 3 c) 2 d)  e) 0
PROBLEMA DE CLASE
2 2
(3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 – II)
Sen 2 x  Cos 
1) Resolver: 9 ; nZ 7) Resolver:
n   (1) 5    n   (1)n 7  
    SenxCosy  4
a)  18 
b)  2 36  5 ........... (1)
n   (1)n 7   2 n   (1)n   SenyCosx  1
   
c)  18 
d)  9 5 ........... (2)

 n   (1)n 5   x , y  0 ; 90º
  Para :
e)  2 18  a) x = 63º30' ; y= 26º30'
b) x = 53º ; y= 37º
2) Resolver la ecuación: Tg 2 + Ctg  = 8.Cos2  c) x = 71º30' ; y= 18º30'
d) x = 67º30º ; y= 22º30'
a)  5 b)   c) 
y y y e) x = 60º ; y= 30º
24 24 24 2 12
d)   e)  5
y y x x
8) Si : 1 y 2 son los dos primeros valores
12 2 12 12
positivos de "x" que verifican :
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2010 ) 2
2Sen x  Cosx  1 ,
3) Un valor de que satisface a la ecuación: Sen (x  x ) x x
Calcule : 2 1 , si : 1 2
2 3 4 5
tg  tg  tg  Cos .tg 3 1 1  3
7 7 7 7 a) 2 b) 2 c) 1 d) 2 e) 2

a) 0 b)  c)  d) 3 e)
2 2 3
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS )

4

9) Resolver: (Sen4x+Cos4x)(Senx+Cosx)=1+Sen5x a)     b)    
Indique la suma de los tres primeros valores 2n  , 2n  n  ,n 5
3 9 3 9 3 12 3 12
positivos de "x"
c)    d)   
7 2n  ,2n  2n  ,2n 
3 6 3 3 18 18
a) 2 b) 3  c)  d) 3 e) 4 
e)  
n  , n 
10) Resolver : Secx = 6Senx ; nZ 6 6

 (1)n  
  (1)n 

n   ArcSen 1   n   ArcSen 1  PROBLEMAS DE REPASO

 2 6  2
 b)  2 6
a)

 (1)n   n  (1)n
  

ArcSen 1   ArcSen 1  1) Si: x  0,  resuelve la inecuación:
n   
 1senx  1tgx  ctgx   0
 2 3  2 2 3
c)   d)   2senx
 
 n  (1)n


ArcSen 2  a)   5 b)  5   5  c)
 0;    ; ; 6 ; 6 
 2
 2 3 6  6 6 6  
e)
d)   5    e)  5  
11) Señale la suma de las dos menores soluciones 6 ; 6  2
   
;
6 6
 
2
positivas de la ecuación:
2 4 4 2) Resuelva la ecuación:
Sen x  Sen x  Cos x  1
a) 90º b) 180º c) 270º d) 225º e) 135º
cos 2x  3 cos x  2  0;x  0;2
a) 5 7 b) 3 5
;   ; ;   ;
12) Resolver: 6 6 4 4
1  1  2  1 1 c) 2 4 d) 
;   ; 0;   ;2
Cos 2 x Sen 2 x Tan 2 x Cot 2 x 3 3 2
Luego, señale la suma de las dos primeras e)  3
soluciones positivas. 0;  ;2
4 4
a) 90º b) 135º c) 180º d) 225º e) 270º
3) Resuelva inecuación:
13) Resuelva :
2 sen 4 x  cos 4 x , x   2 ; 
(Tan 2 x  Cot 2 x)  | Tan 2 x  Cot 2 x |  6
,kZ a) 5 4 b) 11 7
 k     k     ;  ;
    3 3 6 6
a)  4 8  b)  2 8  c) 7 13 d) 3 13
k    k     k     ;  ;
      6 12 2 12
c)  4
d)  16 
e)  8 8  e) 7 5
 ;
4 4
14) Determinar todos los valores de “x” que
satisfacen a inecuación 4) Resuelva la inecuación e indique el número de
1
sen 3x .sen 3x  cos 3x . cos 3 x  ; k  Z soluciones: sen 2x  4 cos x  4, x  0;4 
2
a) 1 b)2 c)3 d) 4 e) 5
a)    b)    c)  k  
k   k     
 4  2  2 4 5) Determinar un conjunto solución de la
d)  k   e)  k   ecuación: sen 12x  4sen 2 4x  3, n  Z
     
 2 8  2 6
a)  n   b)  n   c)  
      n  
 4 12   3 6  2
15) Obtener todos los valores de “x” que
d)  n   e)  n  
satisfacen a inecuación:      

8 cos 3 x  3 1  2 3. cos x   8 24   4 24 

5

0 ;  13) Sume las dos primeras soluciones positivas de:
6) Resolver en el intervalo de la
2 Sen 2 x  1
inecuación: Tan x  Tanx  0 2
 ;  0 ;   ;    a) 180º b) 360º c) 90º d) 270º e) 135º
 
a) 4 2 b) 4 c) 4 2
 ;   ;   ; 3     14) Sume las dos primeras soluciones positivas de :
 
d) 2 2 e) 4 4 2 Cos 3 x  1
2
a) 120º b) 240º c) 300º d) 260º e) 270º
7) Resolver:
2Cos5x . Cosx - Cos6x = 1 ; nZ
15) Sume las dos primeras soluciones positivas de :
 n   n 
    Tan (2x  30 º )  3
a) 2n b) 4 n c) n d)  2  e)  4 
a) 170º b) 180º c) 200º d) 210º e) 150º
8) Sume las tres primeras soluciones positivas de 0 ; 2
la ecuación: 16) Resolver en el intervalo de la

Sen 5 x  Sen 3 x  3 (Cos 5 x  Cos 3 x) Senx  1
inecuación : 2
a) 135º b) 180º c) 165º d) 160º e) 210º
 ; 5    ; 5 
3 x a) 6 6  
b)  6 6 
Sen Cos x  Sen x Cos 3 x  1
9) Resolver: 2 2 2 2 4   ; 5   ; 2   ; 2 
  3  3 
en el intervalo de
0 ; 2 c)  6 6 d)  3  e) 3 

 ; 5  ; 2   ; 5 
 6  0 ; 2
a) 6 6
b) 3 3
c)  6  17) Resolver en el intervalo de la
  ; 2  0 ;     5  ;   1  Cosx  1

d)  3 3  e) 6  6
  
 inecuación : 2 2
  ; 2   4  ; 5 
 3 
0 ; 2 a)  3  3 3
10) Resolver en
Sen2x > Cosx   ; 5   7  ; 11 
6
 6 6 6 
 ;  5 ; 3 b)
a) 6 2
b) 6 2   ; 2  4  ; 5  
3
 3 3 3 
7  ; 2 c)
c) 6
d) a  b e) a  c   ; 5    7  ; 1 1
6
 6  6 6
d)
11) Dada la ecuación:
  ; 2  7  ; 5  
Cosx + Cos2x + Cos3x = 0, 6
e)  3 6 3 
Hallar la suma de todas las soluciones de dicha
ecuación, si estas soluciones están
18) Al resolver la ecuación:
comprendidas entre 0 y 2 (radianes).
Cos 4 x  Sen 4 x  2Cos 
a)  b) 2 c) 4  d) 3  e) 6 
Cos 2 x Sen 2 x
x  x2 Luego, señale la menor solución positiva.
12) Si: 1 son las dos menores soluciones     
positivas de la ecuación : a) 4 b) 6 c) 3 d) 8 e) 12
3  5 Tan 2 x  Tan 2 5 x(5  3 Tan 2 x) Tal que : x1  x 2 ,
Halle: x2/x1
a) 3 b) 6 c) 4 d) 8 e) 5

6

Semana 12

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a Semana 12

Similar a Semana 12 (20)

Más de Rodolfo Carrillo Velàsquez

Más de Rodolfo Carrillo Velàsquez (20)

Semana 12