Guía de Teoría y Propiedades de los Logaritmos

1. COLEGIO CANIGUA
Cuarto Año
Matemática Guía No.4
La Función Logarítmica
Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma   log   a f x  x donde "a" es una constante (un número) y
se le denomina la base del logaritmo.
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.
log n
a b  n  a  b
Se lee “logaritmo de b en base a es igual a n”, o “logaritmo en base a de b es igual a n”, siempre se debe cumplir con la
condición general de que la base “a” debe ser mayor que cero y a la vez distinta de uno:
a  0 y a  1 0,1 a 1,     
Para aclarar el concepto, podríamos decir que el logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciación:
2
3
lo g 9  2  3  9 Se lee, logaritmo de 9 en base 3 es igual a 2.
Esto significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar como potencia.
El gráfico siguiente nos muestra el nombre que recibe cada uno de los elementos de una potencia al expresarla como logaritmo.
Entonces, ¿Qué es un logaritmo?
Se define logaritmo en una cierta base
“b” de un número “a”, como el
exponente al que hay que elevar la base
“b” para obtener el número “a”.
CONDICIONES DE LOS LOGARITMOS
No existe el logaritmo de un número con base negativa: log a
x


No existe el logaritmo de un número negativo: log  a
x
 
No existe el logaritmo de cero: log 0
x


2. Propiedades de los logaritmos
El logaritmo de 1 en cualquier base siempre es cero: log 1 0 x 
El logaritmo de a en su misma base a es uno: log 1 a a 
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los multiplicandos: logx a.b  logx a logx b
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos; logaritmo del dividendo menos logaritmo del divisor:
log log log x x x
a
a b
b
 
El logaritmo de una potencia es igual al producto de la potencia por el logaritmo de la base: log log b
x x a  b a
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando divido por el índice de la raíz:
log
log n x
x
a
a
n

La función logarítmica que más se utiliza en matemáticas es la función "logaritmo neperiano" y se simboliza normalmente como
ln  x, la función logaritmo en base 10 se simboliza normalmente como
Logaritmos neperianos o naturales:
Son los que tienen base e. Se representan por ln x o L x , la base e tampoco se escribe, se entiende cuando aparece ln .
Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:
ln 1 = 0; puesto que e0 = 1
ln e2 = 2; puesto que e2 = e2
ln e−1 = −1; puesto que e−1 = e−1
El número e tiene gran importancia en las matemáticas. No es un número racional ya que no proviene del cociente de dos
números enteros y su valor con seis cifras decimales, es e  2,718281...
Logaritmos decimales:
Son los que tienen base 10. Se representan por log  x, (la base 10 no se escribe, queda implícita).
Ejercicio 1. Calcula el valor de la variable desconocida en los siguientes casos (utiliza la definición de logaritmo).
3 1/2 3 10 log 9 log 8 log 625 4 log 2 log 4 log 1 0 a a  k  k  x  x  
Para que la función tenga sentido y se pueda dibujar se debe cumplir 1ue a > 0 y a 1. Las funciones exponencial y
logarítmica son una inversa de la otra, gráficamente se observa viendo que son simétricas respecto a la recta y = x.

3. Siempre suponiendo, a partir de ahora, que a  0 y que a 1, se observan en todos los casos que la función existe sólo para
valores de x mayores que 0, a diferencia de la exponencial que existe para cualquier valor de x, (comprueba esta condición
utilizando la definición de logaritmo para ver que el logaritmo de un número negativo o el de 0 no existen).
Decimos entonces que: El dominio de la función logarítmica es R
o el intervalo 0,    que en todos los casos la función pasa
por el (1,0), por tanto la gráfica siempre: CORTA AL EJE DE LAS ABSCISAS en el punto (1,0), siempre se acercará al eje Y, sin
llegar a cortarlo; hacia abajo en el caso en que a 1y hacia arriba en caso de a 1, se dice entonces: EL EJE Y ES SE
COMPORTA COMO UNA ASÍNTOTA VERTICAL.
Aplicando la definición de logaritmos se obtienen los logaritmos decimales de las potencias de diez:
5
4
3
2
1
lg100000 lg10 5
lg10000 lg10 4
lg1000 lg10 3
lg100 lg10 2
lg10 lg10 1
 
 
 
 
 
200
1
2
3
4
1
lg 0,1 lg lg10 1
10
1
lg 0,01 lg lg10 2
100
1
lg 0,001 lg lg10 3
1000
1
lg 0,0001 lg lg10 4
10000




   
   
   
   
Los números que no son potencias exactas de 10, no tienen como logaritmo un número entero, sino un número decimal, la
parte entera de un logaritmo se conoce como característica y la parte decimal como mantisa.
Calculemos el logaritmo de un número decimal:
lg507,2307  x
100 507,2307 1000
lg100 lg503,2307 lg1000
2 lg507,2307 3
 
 
 
Entonces en el lg507,2307  2,705206
2
705206
caraterística
mantisa


Entonces el logaritmo de 507,2307
será un número que estará
comprendido entre 2 y 3, es decir
será de la forma 2, xxx...
Si el número al que le buscamos el
logaritmo es menor que uno, la
característica será negativa, si por el
contrario es mayor que uno la
característica será positiva.
NOTA: La característica de un número puede ser positiva o negativa, sin
embargo la mantisa de un logaritmo SIEMPRE, será POSITIVA.

4. Propiedades de los logaritmos:   log   a f x  x
log b n an b
a
  
log 1
log 1 0
log . log log
log log log
log log
log
log
a
x
x x x
x x x
b
x x
n x
x
a
a b a b
a
a b
b
a b a
a
a
n


 
 

