Matemática 6° Básico, tomo 2

MATEMÁTICA
Segundo Semestre ∙ Año 2017
Cuaderno de trabajo
6°

Créditos de imagen de portada
Título: Compound of five cubes
Autor: Fdecomite
URL: https://www.flickr.com/photos/thegman/7386890258/in/photolist-cfKK7S-cfKQnA-cfKPxf-cfKHvS-cfKLZG
Licencia: CC BY 2.0
Modificación: Cambio de color y ampliación del fondo en Adobe Photoshop.

SEXTO
Básico
MATEMÁTICA
Cuaderno de trabajo del alumno
Semestre II ∙ Año 2017
Derechos reservados Aptus Chile

5
Unidad 3
6º Básico, Segundo Semestre
Ficha
Clase 1
Ejemplo:
Un ángulo corresponde a la región comprendida por la unión de dos rayos con un vértice común.
Para medir un ángulo utilizamos un transportador y la medida se expresa en grados.
Estimar y medir ángulos
Obserca cada ángulo y completa con“más”o“menos”.I.
1. 2.
3. 4.
∢ PQR mide de 90º
∢ ABC mide de 90º
∢ α mide de 180º
∢ LMN mide de 1º
∢ ABC
B C
A
∢ α
α
B
A C
Q R
P
α
N
M
L

6 6º Básico, Segundo Semestre
Unidad 3
Ficha
Clase 1
Mide los siguiente ángulos.II.
1.
3.
5.
7.
2.
4.
6.
8.
B C
A
P
R
Q
∢ ABC =
∢ DEF =
∢ PQR =
∢ IJK =
∢ P =
∢ LMN =
∢ β =
∢ α =
α
M N
L
E F
D
P
βK
I
J
Páginas 66, 67 y 68.
Referencias Cuadernillo del Alumno MINEDUC

7
Unidad 3
Ficha
Clase 2
Ejemplo:
Observa que si el ∢ ABC mide 90º, podemos estimar que el ∢ DBC mide aproximadamente 70º.
Si el ∢ DBC mide 70º, podemos calcular la medida del ∢ ABD restando 90º – 70º = 20º.
∢ ABD = 20º
Estimar y medir ángulos
Estima la medida de cada ángulo y luego mídelo.I.
1. 2.
3. 4.
Estimo que mide:
Estimo que mide:
Estimo que mide:
Estimo que mide:
Mide:
Mide:
Mide:
Mide:
B
A
C
D

Unidad 3
Ficha
Clase 2
Calcula la medida de cada ángulo restando la medida conocida a 90º o 180º.II.
1.
3.
5.
7.
2.
4.
6.
h.
∢ AOB =
∢ AOL =
∢ AOC =
∢ COD =
∢ LOM =
∢ LOM =
∢ ROQ =
∢ SOR =
0
40º
A C
B
O
30º
A M
L
BO
A
C
45º
O
170º
L
S
R
AO
C
D
60º
O
P
M
L
20º
L O
M
N
10º
O
120º
P R
Q

9
Unidad 3
Ficha
Clase 3
Ejemplo:
Recuerda que rectas perpendiculares son aquellas que se cruzan formando ángulos rectos o de 90º.
Para construir una recta perpendicular a otra puedes seguir los siguientes pasos:
- Dibuja una recta (L1) y marca en ella un punto cualquiera (P)
- Ubica el centro del transportador en el punto P cuidando que el ángulo 0º esté sobre la recta
- Mide 90º, marca este punto (R) y une el punto P y el R
- L1 perpendicular a L2
Trazar líneas perpendiculares
Usando un transportador, traza una perpendicular a cada segmento
que pase por el punto indicado.
I.
1. 2.
3. 4.
L2
L1
L1 � L2
P
R
L1
G1
A1
L1
A
R O
P

Unidad 3
Ficha
Clase 3
Usando un transportador, traza una perpendicular a cada triángulo
que pase por el vértice indicado.
II.
1. Vértice C 2. Vértice A
C
BA
C
BA
3. Vértice P 4. Vértice L
R
QP
N
ML
5. Vértice O 6. Vértice M
Q
OM
L
NM

11
Unidad 3
Ficha
Clase 4
Ejemplo:
Recuerda que rectas paralelas son aquellas que nunca se cruzan o intersectan, la distancia entre
ellas es siempre la misma.
Para construir una recta paralela a otra puedes seguir los siguientes pasos:
- Traza una perpendicular a AB, RS perpendicular a AB.
- Traza una perpendicular a la recta RS, MN paralela a AB.
Trazar líneas paralelas y perpendiculares
Usando un transportador, traza una paralela que pase por el punto indicado.I.
1. 2.
MN ⫽ AB
O
R
S
B
N
A
M
A LB M
C
N

Unidad 3
Ficha
Clase 4
Usando un transportador, traza una recta paralela a cada paralelogramo que pase por el
vértice indicado.
II.
3. 4.
2.1.

13
Unidad 3
Ficha
Clase 5
Ejemplo:
Observa que los ángulos pueden clasificarse según su medida:
Construir ángulos
Construye los siguientes ángulos a partir de los rayos y medidas dadas. Clasifícalos.I.
1. 2.
3. 4.
∢ = ∢ =
∢ = ∢ =
Ángulos agudos:
miden menos de 90º.
Ángulos rectos:
miden justo 90º.
Ángulos obtusos: miden más
de 90º y menos de 180º.
30º 90º
∢δ = 90º∢γ = 110º
∢β = 80º∢α = 60º
150º

Unidad 3
Ficha
Clase 5
Dibuja un círculo, divídelo en 4 ángulos de igual medida y anota la medida de cada uno.II.
Dibuja un círculo, divídelo en 6 ángulos de diferente medida y anota la medida de cada uno.III.
Dibuja un círculo, divídelo en dos semi círculos. En cada uno, marca un ángulo agudo y uno
obtuso. Anota sus medidas.
IV.

15
Unidad 3
Ficha
Clase 6
Ejemplo:
Observa que puedes dibujar un ángulo utilizando regla y compás.
Sigue los siguientes pasos:
- Traza una recta y marca un punto, P.
- Coloca el centro del compás en el punto, traza un arco que cruce la recta y marca otro punto, Q.
- Sin mover la abertura del compás, coloca la punta en el punto Q y traza otro arco que se cruce con
el anterior.
- Traza un rayo desde el punto P que pase por la intersección de ambos arcos, R.
Construir ángulos
Utilizando regla y compás construye los siguientes ángulos.I.
1. Un ángulo agudo: 2. Un ángulo obtuso:
R
QP
∢ RPQ

Unidad 3
Ficha
Clase 6
3. Un ángulo recto.
5. Un ángulo recto y a partir de este,
uno de 45º.
4. Un ángulo de 30º y a partir de este,
uno de 60º.
uno de 100º.
uno de 120º.
uno de 40º.

17
Unidad 3
Ficha
Clase 7
Ejemplo:
Observa que utilizando un transportador y un compás puedes dibujar un ángulo y luego copiarlo.
Para esto, sigue los siguientes pasos:
- Construye un ángulo ABC, por ejemplo de 60º.
- Dibuja un rayo cualquiera, DE.
- Utilizando el compás y tomando B como centro, dibuja un arco en el ∢ ABC y tomando D como
centro y con la misma abertura, dibuja otro arco en DE.
- Mide con el compás el arco dibujado en el ∢ ABC y manteniendo la abertura, corta el arco
dibujado en la recta DE. Traza un rayo desde el punto D.
Copiar ángulos
Utilizando un transportador y compás realiza las siguientes actividades.I.
∢ ABC = ∢ FDE
A
CB
F
ED
1. Dibuja un ∢ de 45º y cópialo.

Unidad 3
Ficha
Clase 7

19
Unidad 3
Ficha
Clase 8
Ejemplo:
Observa cómo construir un triángulo conociendo las medidas de sus tres lados.
Construir triángulos
Construye cada triángulo según la medida de sus lados o ángulos.I.
1. Medida de los lados: 5 cm, 5 cm, 5 cm.
A B
5 cm
C D
6 cm
A B
7 cm
Este triángulo se construyó conociendo las medidas de sus tres ángulos: ∢ 30º, ∢ 30º, ∢ 120º.6
cm
C
5cm
A B7 cm
30º 30º
120º

Unidad 3
Ficha
Clase 8
3. Medida de los ángulos: 80º, 40º, 60º.
4. Medida de los lados: 7 cm, 4 cm, 4 cm.
5. Medida de los ángulos: 70º, 50º, 60º.
2. Medidas de sus ángulos: 90º, 45º, 45º.
Página 76.

21
Unidad 3
Ficha
Clase 9
Ejemplo:
Observa cómo construir un triángulo conociendo
la medida de 2 de sus lados y 1 ángulo.
Construir triángulos
Construye cada triángulo según la medida de sus lados o ángulos.I.
1. Medidas de dos lados: 6 cm y 3 cm
Medida de un ángulo: 60º
Observa cómo construir un triángulo conociendo
la medida de 2 de sus lados y 1 ángulo. 6cm
50º
Lado = 6 cm
Lado = 8 cm
∢ = 50º
Lado = 5 cm
Lado = 7 cm
∢ = 60º 60º
A M
C
7 cm
5 cm

Unidad 3
Ficha
Clase 9
4. Medidas de dos ángulos: 40º y 70º
Medida de un lado: 8 cm
2. Medidas de dos ángulos: 50º y 80º
Medida de un lado: 7 cm
Página 76.

23
Unidad 3
Ficha
Clase 10
Ejemplo:
Clasificar triángulos según la medida de sus lados
Clasifica los siguientes triángulos según la medida de sus lados.I.
Equiláteros:
Son aquellos que
tienen sus tres lados
de igual medida.
Isósceles:
Son aquellos que
tienen dos lados de
igual medida.
Escalenos: Son
aquellos que tienen
sus tres lados de
diferente medida.
5 cm
4 cm2 cm3 cm 3 cm
3 cm
4 cm
3 cm
4 cm
Lado a Lado b Lado c Clasificación
6 cm
5 cm
16 cm
2 cm
7 cm
11 cm
6 cm
12 cm
10 cm
2 cm
7 cm
13 cm
6 cm
5 cm
25 cm
2 cm
10 cm
13 cm

Unidad 3
Ficha
Clase 10
Dibuja 2 triángulos equiláteros y anota las medidas de sus lados.II.
Dibuja 2 triángulos isósceles y anota las medidas de sus lados.III.
Dibuja 2 triángulos escalenos y anota las medidas de sus lados.IV.

25
Unidad 3
Ficha
Clase 11
Ejemplo:
Observa que puedes clasificar triángulos según la medida de sus ángulos.
Clasificar triángulos según la medida de sus ángulos
Clasifica estos triángulos según la medida de sus ángulos.I.
Acutángulos:
Son aquellos que tienen
tres ángulos agudos o
menores de 90º.
Obtusángulos:
Son aquellos
que tienen un
ángulo obtuso.
80º
40º 60º
Rectángulos:
Son aquellos que
tienen un ángulo
recto o de 90º.
90º 45º
45º
120º
40º 20º
Ángulo A Clasificación
60º
90º
130º
20º
60º
25º
60º
45º
30º
70º
50º
125º
60º
45º
20º
90º
70º
30º
Ángulo B Ángulo C

Unidad 3
Ficha
Clase 11
Dibuja 2 triángulos rectángulos y anota las medidas de sus ángulos.II.
Dibuja 2 triángulos acutángulos y anota las medidas de sus ángulos.III.
Dibuja 2 triángulos obtusángulos y anota las medidas de sus ángulos.IV.
Páginas 74 y 75.

27
Unidad 3
Ficha
Clase 12
Ejemplo:
Observa que puedes clasificar triángulos según la medida de sus ángulos.
Clasificar triángulos
Clasifica cada triángulo según la medida de sus lados y ángulos.I.
Observa que puedes construir
un triángulo equilátero
acutángulo. Es decir, con sus 3
lados de igual medida y sus 3
ángulos agudos.
También puedes construir
un triángulo isósceles
obtusángulo. Es decir, con
2 de sus lados de igual
medida y 1 ángulo obtuso.
Y también puedes construir
un triángulo isósceles
acutángulo. Es decir, con 2
lados de igual medida y 3
ángulos agudos.
60º 60º
60º
60º 60º
60º
120º
70º 70º
40º
1. 2.
3. 4.
110º
50º 50º
80º

Unidad 3
Ficha
Clase 12
Construye cada triángulo según su clasificación y anota las medidas.II.
1. Isósceles obtusángulo.
2. Isósceles acutángulo.
3. Escaleno rectángulo.
Páginas 74 y 75.

29
Unidad 3
Ficha
Clase 13
1. Haz un teselado con triángulos equiláteros de lado 3 cm.
Ejemplo:
Cuando cubrimos una superficie o plano superponiendo figuras sin dejar espacio entre ellas,
lo que hacemos es una teselación.
Teselar figuras 2D
Realiza cada actividad.I.

Unidad 3
Ficha
Clase 13
2. Haz un teselado con cuadrados y triángulos equiláteros de lado 2 cm.
3. Construye un hexágono regular.
Luego, haz una teselación utilizando solo hexágonos de estas medidas.
Páginas 84 y 85.

31
Unidad 3
Ficha
Clase 14
2. Rota el siguiente rectángulo en 90º, con centro en A y en sentido antihorario.
Ejemplo:
Observa que una figura puede ser trasladada, reflejada o rotada.
Realizar movimientos de traslación, reflexión y rotación
Realiza cada actividad.I.
Traslación Rotación
El triángulo ABC se
ha trasladado 3
unidades a la derecha y
1 hacia arriba.
El triángulo ABC se ha
rotado en 90º.
A
A’
C
C’
B
A
A’
C
C’
B
B’
Reflexión
El trapecio ABCD ha
sido reflejado sobre el
eje x.
A A’
D D’
C C’
B
Y
B’
A
C
B
D
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8

Unidad 3
Ficha
Clase 14
2. Traslada el siguiente triángulo 2 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia arriba.
3. Refleja el siguiente trapecio sobre el eje vertical.
A
A
C
C
D
B
B
8
7
6
5
4
3
2
1
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Páginas 82 y 83.

33
Unidad 3
Ficha
Clase 15
Ejemplo:
Observa que cuando haces teselaciones, haces rotaciones, reflexiones y traslaciones.
Aplicar los movimientos de rotación, reflexión y traslación para teselar
Utilizando regla y compás o transportador dibuja un triángulo equilátero, determina un
vértice y realiza una teselación aplicando el movimiento de rotación.
I.
En esta teselación,
rotamos y trasladamos
el triángulo.
En esta teselación,
trasladamos la figura.

Unidad 3
Ficha
Clase 15
Dibuja un cuadrado y realiza una teselación aplicando el movimiento de traslación.II.
Dibuja un hexágono regular y realiza una teselación aplicando el movimiento
de reflexión o rotación.
III.
Páginas 84 y 85.

35
Unidad 3
5 cm
2 cm
Ficha
Clase 16
Ejemplo:
Observa que un cubo tiene 6 caras que son cuadrados congruentes.
Y para calcular el área de un cubo puedes calcular el área de una de sus caras y multiplicar este
resultado por 6.
Para calcular el área de un cuadrado multiplicas dos de sus lados.
Calcular el área de un cubo
Calcula el área de cada cubo.I.
Si a = 3, el área de uno de los cuadrados es, 3 ∙ 3 = 9
Área del cubo = 6 ∙ 9 = 45 cm2
a
a
Área de uno de los 6 cuadrados = a ∙ a
Área del cubo = 6 ∙ a ∙ a
1. 2.
Área = Área =

Unidad 3
Ficha
Clase 16
7 cm 10 cm
3. 4.
Área = Área =
R =
3. Si el área de un cubo es 54 cm2
, ¿Cuál es la medida de cada arista de los cuadrados que lo forman?
R =
3. Si el área de un cubo es 600 cm2
, ¿cuál es la medida de cada arista de los cuadrados que lo forman?
Páginas 88 y 89.

37
Unidad 3
Ficha
Clase 17
5 cm
4 cm
2 cm
Ejemplo:
Observa que un paralelepípedo es una figura 3D formada por 6 rectángulos, sus caras opuestas son
paralelas y congruentes.
Para calcular el área de un paralelepípedo podemos calcular el área de cada cara diferente, luego
calcular su doble y sumarlas.
Calcular el área de un paralelepípedo
Calcula el área de cada paralelepípedo.I.
6 cm
7 cm
5 cm
1. 2.
Área = Área =
a = 3 ∙ 2 = 6 cm2
6 ∙ 2 = 12 cm2
b = 2 ∙ 1 = 2 cm2
2 ∙ 2 = 4 cm2
c = 3 ∙ 1 = 3 cm2
3 ∙ 2 = 6 cm2
Área total: 12 + 4 + 6 = 22 cm2
a a
b
b
c c

Unidad 3
Ficha
Clase 17
Haz una red de un paralelepípedo que tenga aristas de 6 cm, 8 cm y 12 cm. Calcula su área.II.
Haz una red de un paralelepípedo que tenga 2 caras cuadradas y 4 rectangulares.
Calcula su área.
III.
Si el área de este paralelepípedo es 262 cm2
.
¿Cuál es la medida de la arista que no conocemos?
IV.
R =
Páginas 88 y 89.

39
Unidad 3
Ficha
Clase 18
Ejemplo:
Observa que aunque los lados de los cuadrados que forman el cubo“a”miden 1 cm y los lados de
los cuadrados del cubo“b”miden 2 cm, el área total del cubo“a”no corresponde a la mitad del área
del cubo“b”.
Comparar áreas de cubos y paralelepípedos
Calcula el área de cada par de figuras 3D y compáralas.I.
1.
Área del cubo a = Área del cubo b =
1 cm
1 cm 2 cm
2 cm
3 cm
6 cm
Área total = 6 cm2
Área total = 24 cm2
a) b)
a) b)

Unidad 3
Ficha
Clase 18
2.
Área del cubo a = Área del paralelepípedo b =
5 cm
4 cm
6 cm
2 cm
a) b)
3.
Área del cubo a = Área del cubo b =
100 cm
10 cm
a) b)
4.
2 cm
a) b)
1 cm
3 cm 6 cm
1 cm
2 cm
Área del paralelepípedo a = Área del paralelepípedo b =

41
Unidad 3
Ficha
Clase 19
Ejemplo:
Recuerda que para calcular el área de un cubo, solo necesitas conocer la medida de una de
sus aristas.
Calcular el área de cubos y paralelepípedos
Calcula el área de cada figura 3D.I.
1. 2.
Área = Área =
Área de una cara: 3 ∙ 3 = 9 cm2
Área total: 9 ∙ 6 = 54 cm2
Y para calcular el área de un paralelepípedo, necesitas conocer las medidas de 3 de sus
aristas y 2, si las bases son cuadrados.
3 cm
3 cm
1 cm
2 cm
a
c
b
Área de a = 2 ∙ 3 = 6 cm2
6 ∙ 2 = 12 cm2
Área de b = 2 ∙ 1 = 2 cm2
2 ∙ 2 = 4 cm2
Área de c = 3 ∙ 1 = 3 cm2
3 ∙ 2 = 6 cm2
Área total: 12 + 4 + 6 = 22 cm2
7 cm
6 cm
1 cm
4 cm

Unidad 3
Ficha
Clase 19
3. 4.
Área = Área =
20 cm
5 cm
1 cm
Resuelve:II.
R =
1. ¿Cuál es la medida de la arista de un cubo de área 384 cm2
?
R =
2. ¿Cuál es el área de un cubo si la suma de sus aristas es 36 cm2
?
R =
3. El área de un paralelepípedo es 82 cm2
, el área de dos de sus caras es 6 cm2
, el área de otras dos caras
es de 14 cm2
. ¿Cuál es el área de las dos caras que faltan?
Páginas 88 y 89.

43
Unidad 3
Ficha
Clase 20
Ejemplo:
Observa que puedes resolver problemas de área:
“En una pieza, la altura es de 3 metros y el ancho es de 5 metros. Si el largo corresponde a la mitad
de la suma del alto y ancho, ¿cuál es el área de la pieza?
Resolver problemas relativos a áreas
Resuelve.I.
Alto: 3 m
Ancho: 5 m
Largo: 3 + 5 = 8, 8 : 2 = 4 m
Área total: 3 ∙ 5 = 15 m2
15 ∙ 2 = 30 m2
5 ∙ 4 = 20 m2
0 ∙ 2 = 40 m2
3 ∙ 4 = 12 m2
12 ∙ 2 = 24 m2
Área total: 15 + 40 + 24 = 79 m2
1. Las longitudes de las aristas de 4 cubos forman la siguiente secuencia: 1, 3, 5, 7.
¿Qué secuencia forman las áreas de estos cubos?
R =
2. En una sala, la altura es de 3 m y el ancho es de 7 m. Si estos números forman una secuencia, ¿cuánto
mide el largo?, ¿cuál es el área?
R =

Unidad 3
Ficha
Clase 20
3. En una sala, el largo mide 2 metros más que el ancho y el alto mide la mitad del largo. Si el área del piso
es 24 m2, ¿cuánto mide el largo, el ancho, y el alto?
R =
¿Cuál es el área de la sala?
R =
¿Cuál es el área de cada uno?
R =
R =
4. Las longitudes de las aristas de dos paralelepípedos son:
a) 1 cm, 3 cm, 5 cm
b) 7 cm, 9 cm, 11 cm
¿De cuánto en cuánto aumentan las longitudes de las aristas de ambos paralelepípedos?
R =
¿Existe alguna relación entre las áreas?
Páginas 88 y 89.

45
Unidad 3
Ficha
Clase 21
Ejemplo:
Observa que cuando dos rectas se cruzan perpendicularmente se forman 4 ángulos rectos o de 90º.
Identificar ángulos cuando dos rectas se cruzan
Observa las siguientes rectas secantes y responde.I.
L2
L1
L1 ⫽ L2
AB � CD
b
f
d
h
a
e
c
g
B
A
DC
Al trazar dos paralelas cortadas por una transversal se forman 8 ángulos.
∢ a y ∢ b son suplementarios.
∢ e y ∢ h son opuestos por el vértice y miden lo mismo.
∢ a y ∢ e son correspondientes y miden lo mismo.
∢ d y ∢ h son correspondientes y miden lo mismo.
∢ a y ∢ b son adyacentes y sus medidas suman 180º.
1. Anota dos ángulos opuestos por el vértice:
2. Anota dos ángulos suplementarios:
3. Anota dos pares de ángulos adyacentes :
4. Mide los ángulos con transportador :
5. ¿Cuál es el resultado de ∢ a - ∢ b?:
6. ¿En cuánto debe disminuir el < a para que las rectas sean perpendiculares?:

Unidad 3
Ficha
Clase 21
Observa las siguientes rectas secantes y responde.
Observa y completa.
III.
II.
1. Anota un par de ángulos congruentes:
2. Anota un par de ángulos opuestos por el vértice:
3. Anota un par de ángulos suplementarios:
4. Anota todos los ángulos que miden 35º:
5. Anota todos lo ángulos que miden 145º:
6. ¿Cuánto tendría que medir un ángulo para ser complementario al ∢ t?:
L
1
// L
2
L
2
L
1
m
b
e
s
t
a
d
p
1. En la figura el ángulo α mide 72º. Determina y anota la medida de los otros ángulos si L1
// L2
.
α
L
2
L
1
Páginas 72 y 73.

47
Unidad 3
Ficha
Clase 22
Ejemplo:
Observa que si prolongas los lados de un paralelogramo puedes identificar ángulos opuestos por el
vértice, correspondientes, adyacentes, etc.
Identificar ángulos en paralelogramos
Observa el siguiente paralelogramo y responde.I.
1. ¿Cuáles son los ángulos opuestos del paralelogramo?:
2. ¿Cómo son las medidas de los ángulos opuestos de un paralelogramo?:
3. ¿Qué ángulos son opuestos por el vértice?:
4. Si son opuestos por el vértice, ¿cómo son sus medidas?:
5. Si el ángulo LOM y el ángulo NOP son iguales, ¿cómo son los ángulos LMN y MNP?:
N
L M
P
a i
e m
b j
f n
c k
g ñ
d l
h o
Por ejemplo:
∢ i y ∢ l son opuestos por el vértice y miden lo mismo.
∢ m y ∢ n son suplementarios, suman 180º.
∢ b y ∢ f son correspondientes y miden lo mismo.
∢ m y ∢ n son adyacentes y suman 180º.
O

Unidad 3
Ficha
Clase 22
Observa el siguiente rectángulo y sus diagonales.I I.
1. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un rectángulo?:
2. ¿Cuánto mide el < ABD?:
3. ¿Cuánto miden los ángulos ABC y DBC?:
4. ¿Qué ángulos son opuestos por el vértice?:
5. Anota un par de ángulos que midan 180º:
6. Prolonga los lados del rectángulo y encierra un par de ángulos opuestos por el vértice.
6. Marca con una cruz un par de ángulos complementarios.
O
A
C
B
D
Responde:
Páginas 81.

49
Unidad 3
Ficha
Clase 23
x = _______
x = _______ x = _______ x = _______
x = _______
X
87º
19º
X
35º 60º X60º
60º
X
45º
X140º
30º
Ejemplo:
Observa que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º.
Comprobar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º
Calcula la medida de X.I.
60º 60º
60º
20º
70º 110º
40º 30º
Triángulo equilátero
60º + 60º + 60º = 180º
Triángulo Rectángulo
90º + 70º + 20 º = 180º
Triángulo Obtusángulo
110º + 40º + 30º = 180º

Unidad 3
Ficha
Clase 23
87º
32º
x
140º 105ºx
81º
70º x
72º
67ºx
x = _______
x = _______ x = _______
x = _______
a)
c)
b)
d)
Encuentra la medida del ángulo X.II.
Responde:III.
1. ¿Puede haber un triángulo con dos ángulos rectos?, ¿por qué?:
2. Si un triángulo tiene un ángulo obtuso, ¿cómo son los dos ángulos restantes?, ¿por qué?:
Páginas 78 y 79.

51
Unidad 3
Ficha
Clase 24
Ejemplo:
Comprobar cuánto miden los ángulos interiores de un cuadrilátero
Observa cada paralelogramo y anota la medida que falta.I.
Recuerda que un paralelogramo es una figura 2D con
2 pares de lados opuestos paralelos y congruentes.
La suma de las medidas de los ángulos interiores
de un paralelogramo es 360º, sus ángulos opuestos
miden lo mismo y los que están en un mismo lado
suman 180º.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo
es 180º.
Si trazamos una diagonal en un paralelogramo
obtenemos dos triángulos y 180º + 180º = 360º.
a
b
∢ x =
∢ x + ∢ y =
120º
x
x
y
1.
2.

Unidad 3
Ficha
Clase 24
∢ x =
∢ x + ∢ y =
125º
x
3.
4.
57º
x
Resuelve.III.
1. Si la suma de dos ángulos de un paralelogramo es 134º, ¿cuál es la suma de los ángulos que faltan?
2. Si la suma de 3 ángulos interiores de un rombo es 245º, ¿cuál es la medida del cuarto ángulo?
3. Si la suma de los ángulos opuestos de un paralelogramo es 210º,
¿cuánto miden cada uno de los ángulos que no se conocen?
Páginas 80.

53
Unidad 3
Ficha
Clase 25
Ejemplo:
Recuerda que rectas secantes son aquellas que se cruzan en un punto. Si se intersectan formando
ángulos rectos, son perpendiculares.
Calcular ángulos en rectas paralelas
Repasa un par de lados paralelos en cada figura 2D.I.
Rectas paralelas son aquellas que no se cruzan ni se cruzarán nunca.
1. 2.
3. 4.

Unidad 3
Ficha
Clase 25
Repasa un par de aristas perpendiculares en cada paralelepípedo.
Repasa un par de aristas paralelas en cada paralelepípedo.
II.
III.
1.
1.
2.
2.
Observa que L1 es paralela a L2.IV.
1. Anota 1 par de ángulos suplementarios:
2. Anota todos los ángulos que miden lo mismo que el ∢ a:
3. Anota un par de ángulos adyacentes:
4. ¿Cuánto suman los ángulos e, f, g y h?:
5. Mide el ∢ h y calcula las medidas del resto de los ángulos:
L
2
L
1
f
b
c
he
a d
s
Páginas 73.

55
Unidad 3
Ficha
Clase 26
Ejemplo:
Observa que si prolongas los lados de un paralelogramo podrás distinguir sus ángulos exteriores.
Calcular ángulos externos en figuras 2D
b g
d
a h
j
c
e l
i
f k
Los ángulos que aparecen en el dibujo son
ángulos exteriores.
∢ a y ∢ c son opuestos por el vértice.
∢ h y ∢ i son suplementarios.
∢ b y ∢ d son ángulos correspondientes.
∢ g y ∢ h son ángulos adyacentes.
Encuentra la medida de cada ángulo.I.
1. 2.
3. 4.
x
x
x
100º
60º
55º
70º
x 40º
120º
x =
x =
x =
x =

Unidad 3
Ficha
Clase 26
Encuentra la medida de cada ángulo.II.
Encuentra la medida de cada ángulo.III.
c
b
g
ed
f
a
107º
∢ x = ∢ z =∢ y =
∢ a = ∢ c =
∢ d =
∢ b =
∢ f = ∢ g =
z75º
x
y
60º
Página 81.

57
Unidad 3
Ficha
Clase 27
Ejemplo:
Observa que una figura 3D tiene volumen, es decir, ocupa un lugar en el espacio y tiene tres
dimensiones: largo, ancho y alto.
Calcular volumen de cubos y paralelepípedos
Para calcular el volumen de un cubo puedes multiplicar su
largo por su ancho por su alto.
Como todas sus caras son iguales, sus aristas también
miden lo mismo:
3 cm ∙ 3 cm ∙ 3 cm = 27 cm3
.
Para calcular el volumen de un paralelepípedo también
puedes multiplicar su largo por su ancho por su alto:
3 cm ∙ 2 cm ∙ 5 cm = 30 cm3
.
3 cm
3 cm
3 cm
4 cm
6 cm
2 cm
Calcula el volumen de cada figura 3D.I.
1. 2.
3. 4.
V =
V =
x =
x =
1 cm
3 cm
10 cm
5 cm
2 cm
2 cm
15 cm

Unidad 3
Ficha
Clase 27
Resuelve.II.
1. ¿Cuánto miden las aristas de un cubo si su volumen es 343 cm3
?
2. ¿Cuál es el volumen de un cubo en que cada arista mide la mitad de 11 + 5?
3. ¿Cuál es el volumen de un cubo en que el área de cada una de sus caras es 36 cm2
?
4. ¿Cuál es el volumen de un paralelepípedo cuyo largo es de 10 cm, su ancho es la mitad de su largo y su
alto es el doble del largo?
5. El alto de un paralelepípedo es 10 cm y su volumen es 250 cm3
. Si su largo y ancho son iguales, ¿cuánto
miden?
es 24 cm2
, ¿cuánto mide el largo, el ancho y el alto?
es 24 cm2
, ¿cuánto mide el largo, el ancho y el alto?
Páginas 90 y 91.

59
Unidad 3
Ficha
Clase 28
Ejemplo:
Observa el siguiente paralelepípedo.
Resolver problemas de volumen
Para calcular el volumen del paralelepípedo debes conocer las medidas de su largo, ancho y alto.
Solo sabes que a = 20 cm, entonces, para conocer b y c, reemplaza a por 20 y divide.
a
o
a = 20 cm
a = 20 cm
c
b
Calcula el volumen de cada cubo.I.
b = a
2
c = a
4
20
4
c = a
4
5 cmob = a
2
20
2
10 cm= =
Volumen = 20 ∙ 10 ∙ 5 = 100 cm3
.
1. Cubo de arista 10 cm.
4. ¿Cómo se relacionan las medidas de las aristas de estos cubos?
5. ¿Por cuánto debes multiplicar 1 000 para obtener 8 000 y 8 000 para obtener 64 000?
6. Entonces, ¿qué puedes concluir?

Unidad 3
Ficha
Clase 28
Resuelve.II.
1. Si un cubo tiene un área total de 600 cm2
. ¿Cuánto miden sus aristas?
¿Cuál es su volumen?
2. Si un cubo tiene un área de 294 cm2
, ¿cuánto miden sus aristas?
¿Cuál es su volumen?
3. Agustín quiere pintar una pieza en que el largo es 6 m y su volumen es 30 m3
.
¿Cuánto mide su ancho y su alto?
¿Cuántos metros cuadrados debe pintar?
Páginas 90 y 91.

Unidad 4
Ficha
Clase 1
Ejemplo:
Recuerda que cuando quieres mostrar y comparar dos conjuntos de datos relacionados, puedes
utilizar un gráfico de barra doble.
Asistentes a una obra de teatro
durante 4 días a las 7:00 pm y 9:00 pm.
Interpretar gráficos de barra doble
I. Observa el gráfico y responde:
70
60
55
50
45
40
35
30
0
7:00 PM
9:00 PM
Jueves Viernes Sábado Domingo
Asistentes
Horarios
Y
X
a. ¿Qué representan las barras achuradas y las barras sin pintar?
R:
b. ¿En qué días asistió más público a las 7:00 que a las 9:00?
R:
c. ¿En qué día se dio la mayor diferencia entre la cantidad de asistentes a las 7:00 y a las 9:00?
R:
d. ¿Cuál fue la diferencia aproximadamente?
R:
e. ¿En qué día asistió más público?
R:
f. ¿Cuántas personas vieron la obra aproximadamente entre jueves y domingo?
R:

Unidad 4
Observa el gráfico y responde.
Este gráfico muestra la asistencia de niños y adultos a una exposición de arte durante una
semana.
II.
Ficha
Clase 1
a. ¿En qué día(s) asistieron más niños que adultos?
b. ¿Qué día tuvo mayor asistencia total?
c. ¿Qué título le pondrías al gráfico?
d. ¿Cuántos niños asistieron a la exposición entre el lunes y el viernes?
e. ¿Cuántos adultos asistieron a la exposición entre sábado y domingo?
f. ¿Cuál es la diferencia de asistencia entre niños y adultos en el día miércoles ?
R:
60
50
40
30
20
10
0
Adultos
Niños
Lunes Martes MiércolesJ ueves
Asistentes
Y
X
Viernes Sábado Domingo
Dìas
R:
R:
R:
R:
Páginas 108 y 109.
R:

Unidad 4
Ficha
Clase 2
Ejemplo:
Recuerda que para construir un gráfico de barra doble debes tener en cuenta los siguientes puntos:
-Poner un título.
-Nombrar y graduar correctamente ambos ejes.
-Distinguir las barras correspondientes a ambos grupos de datos.
Construir gráficos de barra doble
I. Observa las tablas y construye un gráfico de barra doble para cada una de ellas.
Temperaturas mínimas y máximas de una semana del mes de junio en Santiago
Días Tº mínimas Tº máximas
Lunes 5º 13º
Martes 2º 15º
Miércoles 7º 16º
Jueves 4º 12º
Viernes 8º 16º
Sábado 7º 15º
Domingo 6º 14º

Unidad 4
Ficha
Clase 2
II. Esta tabla muestra la cantidad de autos y camionetas vendidos por una automotora entre los
años 2 000 y 2 007.
Años Autos Camionetas
2000 180 100
2001 190 110
2002 230 150
2003 230 120
2004 270 190
2005 180 210
2006 250 240
2007 290 120
Página 110 y 111.

Unidad 4
Ficha
Clase 3
Ejemplo:
Observa que también puedes construir gráficos con datos que corresponden a números decimales.
Interpretar y construir gráficos
5,5
5,0
4,5
4
3,5
3,0
0
Matemáticas
Lenguaje
Laura Juan
Notas
Y
X Alumnos
7,0
6,5
6,0
Alumnos Matemáticas Lenguaje
Ana 6,0 5,8
Martín 4,5 4,1
Laura 5,8 5,5
Juan 6,5 6,2
.
a. ¿En qué mes se dio el mayor crecimiento?
b. ¿Cuál de ellos creció más durante los primeros 4 meses?
c. ¿Qué sucede con el crecimiento de los niños a medida que avanzan los meses?
R:
R:
R:
Responde:
d. ¿Cuántos cm aproximadamente creció Pablo y Agustín en estos 4 meses?
R:
Promedio obtenido por 4 alumnos en matemáticas y lenguaje
Ana Martín
Crecimiento de dos niños durante los primeros 4 meses de vida
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
0
Pablo
Agustín
1º 2º 3º 4º
Y
X Meses
5,0
cm

Unidad 4
II. Observa la tabla y construye un gráfico de barra doble con los datos que aparecen.
Semanas Elefante A Elefante B
1 14 kg 14,2 kg
2 14,8 kg 14,8 kg
3 15 kg 15,2 kg
4 15,4 kg 14,9 kg
5 14,9 kg 14,6 kg
Esta tabla muestra cuánto aumentaron
de peso dos elefantes en sus primeras 5
semanas de vida.
a. ¿Cuál es la mínima y la máxima cantidad de kilos que subieron los elefantes?
b. ¿Cuántos kilos subieron cada uno durante las primeras 5 semanas de vida?
c. ¿Cómo fue el aumento de ambos elefantes?
d. Si el elefante B pesó 80,3 kilos al nacer, ¿cuánto pesaba a las 5 semanas de vida?
R:
R:
R:
R:
Ficha
Clase 3
Construye un gráfico de barra doble.
Páginas 108, 109, 110 y 111.

Unidad 4
Ejemplo:
Observa que los gráficos circulares son especialmente útiles para mostrar a qué fracción o porcentaje
del total corresponden un grupo de datos, el círculo completo representa el 100% o total de datos.
De un total de 100 pasajes vendidos, 50 tenían como destino Brasil, 25 tenían como destino
Argentina y 25, Ecuador.
Conocer gráficos circulares
I. Encuentra a qué fracción del total corresponden los datos y anótalos en el gráfico circular.
1
2
1
4
1
4
Argentina 25 de 100
Ecuador 50 de 100
Brasil 50 de 100
a. Encuesta a 800 personas sobre su candidato preferido para alcalde.
Candidato A
Candidato B
Candidato C
600
100
100
Muy bueno
Bueno
Regular
0
250
500
Malo
Muy Malo
200
50
b. Encuesta a 1000 personas acerca de su opinión sobre el transporte público.
Ficha
Clase 4
Brasil
1
2
Argentina
1
4
Ecuador
1
4

Unidad 4
II. Observa cada gráfico y responde.
Anota la cantidad de personas que prefirieron:
1
8
1
2
Invierno
1
8
1
4
Primavera
Otoño
Verano
a. Preferencias de 1200 personas sobre la estación del año preferida.
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
b. Preferencias de 1600 personas sobre su panorama preferido.
Cine
Teatro
Salir a comer
Hacer deportes
Anota la cantidad de personas que prefirieron:
Salir a comer
1
8
3
8
1
4
Cine
1
4
Teatro
Hacer deporte
Ficha
Clase 4
Páginas 112 y 113.

Unidad 4
Ejemplo:
Observa que puedes calcular la cantidad de datos que corresponden a cada porcentaje de un gráfico
circular si conoces el total.
Este gráfico muestra la opinión de 120 personas sobre si está o no de acuerdo con el cambio de hora.
Interpretar gráficos circulares
Para calcular el 40% de 120 puedes plantear lo siguiente:
Como el 10% equivale a , 12 personas contestaron que no saben.
personas contestaron que no.
Como el 50% es igual a , 60 personas contestaron sí.1
2
1
10
50%
Le gusta
20%
Le es indiferente
30%
No le gusta
Opinión de 800 personas respecto a que el río Mapocho sea navegable.
a. ¿Cuántas personas respondieron que les gusta la idea?
R:
b. ¿Cuántas personas respondieron que les es indiferente?
R:
48
120
x
100%
40%
=
120 · 40
100
4800
100
= = 48
Ficha
Clase 5
c. ¿Cuántas personas respondieron que no les gusta la idea?
R:
50%
No
40%
Sí
10%
No sabe

Unidad 4
d. ¿Qué opinas tú de que el Mapocho fuese navegable?
R:
II. Observa el gráfico y responde.
Encuesta realizada a 180 personas acerca del medio de transporte que creen más peligroso.
20%
Barco
Le es indiferente
45%
Auto
25%
Avión
10%
Tren
Avión
Auto
Barco
Tren
a. Anota cuántas personas votaron por:
b. ¿Cuántas personas más votaron por el auto que por el tren?
c. ¿ Qué porcentaje representa a las dos más altas votaciones juntas?
d. ¿Qué porcentaje le falta a la votación obtenida por el auto para corresponder a del total?
R:
R:
R:
1
2
e. ¿Por cuál de los medios de transporte habrías votado tú?, ¿por qué?
R:
Ficha
Clase 5
Páginas 114, 115, 116 y 117.

Unidad 4
Ejemplo:
Observa que puedes estimar los porcentajes que corresponden a cada región de un gráfico circular.
“Este gráfico muestra los resultados de una encuesta a 600 personas sobre los animales que
consideran más inteligentes”
Estimar porcentajes en un gráfico circular
I. Tomando en cuenta los porcentajes estimados en el ejemplo, responde.
a. ¿Cuántas personas votaron por el elefante?
R:
b. ¿Cuántas personas votaron por el caballo y el perro juntos?
R:
c. ¿ Cuántas personas votaron por el delfín?
d. ¿Cuántos votos más debió tener el delfín para corresponder a la mitad de los votos?
R:
R:
e. ¿Cuántos votos más debió tener el gato para igualar el porcentaje obtenido por el perro?
R:
Ficha
Clase 6
Un 30% aproximadamente votó por el elefante.
Un 20% aproximadamente votó por el caballo.
Un 20% aproximadamente votó por el perro.
Un 25% aproximadamente votó por el delfín.
Un 5% aproximadamente votó por el gato.
Caballo
ElefanteDelfín
Gato
Perro

Unidad 4
II. Estima el porcentaje de personas que votaron por cada opción.
Encuesta sobre profesiones más sacrificadas.
Pedagogía
Enfermería
Kinesiología
Medicina
Pedagogía
Medicina
Enfermería
Kinesiología
a. ¿Cuántos votaron por pedagogía?
b. ¿Cuántos votaron por medicina?
c. ¿Cuántos votaron por enfermería?
d. ¿Cuántos votaron por kinesiología?
e. ¿Cuántas veces debemos sumar los votos obtenidos por kinesiología para igualar los obtenidos por
enfermería?
f. ¿Cuál consideras tú que es la profesión más sacrificada?
R:
R:
R:
R:
R:
R:
El total de encuestados fueron 500 personas. Toma en cuenta los porcentajes estimados y responde:
Ficha
Clase 6
Páginas 114, 115, 116, 117, 118 y 119.

Unidad 4
Ejemplo:
Observa que puedes responder preguntas y resolver problemas si observas este gráfico.
Encuesta a un grupo de alumnos respecto a las horas que dedican en la semana a leer.
Resolver problemas con gráficos circulares
¿Cuántos leen menos de 2 horas?
¿Cuántos leen entre 3 y 4 horas?
¿Cuántos alumnos fueron encuestados?
¿Qué porcentaje corresponde a los que no leen nada?
2
I. Observa cada gráfico y responde.
Encuesta realizada a un grupo de adultos respecto a las horas que dedican en la semana a hacer deportes.
a. ¿ Cuántos adultos fueron encuestados?
R:
b. ¿Cuántos dedican entre 5 y 7 horas a hacer deportes?
R:
16
32
Un 25%
Menos de 4 horas, 8
Entre 5 y 6 horas, 30
7 horas, 40
Ninguna, 12
14 horas, 10
c. ¿Cuántos dedican menos de 5 horas a hacer deportes?
R:
Ficha
Clase 7
4 horas, 4
Entre 3 y 4, 12 7 horas, 6
Menos de 2 horas, 2
Ninguna, 8

Unidad 4
d. ¿A qué porcentaje corresponden los encuestados que no hacen deportes?
e. ¿A qué porcentaje corresponden los que hacen entre 7 y 14 horas de deporte a la semana?
R:
R:
II.
Encuesta realizada a un grupo de adultos mayores acerca de la cantidad de remedios que
toman diariamente.
Observa cada gráfico y responde.
5 Remedios, 25
Entre 5 y 7, 20
10 Remedios, 8
Menos de 4, 12
8 Remedios, 2
Más de 10 Remedios, 5
a. ¿Cuántos adultos fueron encuestados?
b. ¿Cuántos adultos toman más de 10 remedios al día?
c. ¿Cuál fue la cantidad de remedios más recurrente?
d. ¿Qué porcentaje corresponden los adultos que toman entre 5 y 7 remedios?
e. ¿A qué porcentaje corresponden los adultos que toman 8 remedios diarios?
R:
R:
R:
R:
R:
Ficha
Clase 7

Unidad 4
Ejemplo:
Un diagrama de árbol es una herramienta o representación gráfica de todos los posibles resultados
de un experimento aleatorio.
Combinaciones que pueden salir si se lanzan 2 monedas al aire.
Hacer diagramas de árbol
I. Observa cada gráfico y responde.
Realiza un diagrama de árbol con todas las posibles combinaciones si lanzas tres fichas bicolor (roja –
amarilla).
Hay 4 posibles combinaciones:
Cara Cara
Cara Sello
Sello Cara
Sello Sello
Ficha
Clase 8
a. ¿Cuántas combinaciones hay?
R:

Unidad 4
Ficha
Clase 8
II. Realiza un diagrama de árbol con todas las posibles combinaciones si giras las flechas de
ambas ruletas al mismo tiempo.
a. ¿Cuántas combinaciones hay?
R:
1
2
3
Azul
Amarillo
Rojo
Verde

Unidad 4
Ficha
Clase 9
Ejemplo:
Recuerda que llamamos experimentos aleatorios a aquellos en que todos los sucesos tienen la misma
probabilidad de ocurrir; por lo tanto, no podemos predecir el resultado exacto.
Predecir resultados de experimentos aleatorios
I. Lee cada situación y responde.
Por ejemplo, si lanzas un dado, los 6 números
del dado tienen la misma probabilidad de salir.
a. En una bolsa no transparente se han puesto 6 fichas: 1 roja, 1 verde, 1 azul, 1 negra, 1 blanca, 1
amarilla. Si sacas una ficha, ¿puedes asegurar que saldrá de un determinado color?, ¿por qué?
R:
b. ¿Si al sacar y devolver 20 veces una ficha, 2 veces salió una roja, ¿cuántas veces crees que saldrá una
ficha roja si realizas 80 veces esta actividad?, ¿por qué?
R:
c. ¿Y si la actividad se realiza solo 10 veces?
R:
d. Si al sacar y devolver 100 veces una ficha sacas 12 veces una verde, ¿cuántas veces crees que saldrá
una verde si realizas la actividad 600 veces?, ¿por qué?
R:

Unidad 4
Ficha
Clase 9
II. Conjetura o predice la cantidad de veces que saldrá el número 5 si lanzas un dado.
a. 6 veces
b. 12 veces
c. 36 veces
d. 120 veces
III. Escribe una V si es verdadero y una F si es falso.
Si lanzo una vez un dado es seguro que saldrá un número del 1 al 6.
Si lanzo dos veces un dado es imposible que salga el mismo número.
Si lanzo 10 veces un dado habrá el doble de posibilidades de que salga un número que si lo
lanzo 5 veces
Si lanzo dos veces una moneda es seguro que saldrán ambas caras.
Si lanzo tres monedas es seguro que dos de ellas mostrarán una misma cara y la tercera será
diferente.
e. Si sacas dos fichas al mismo tiempo, ¿qué combinación de colores es más posible que salga?
R:
Páginas 120 a la 129.
?

Unidad 4
Ficha
Clase 10
Ejemplo:
La siguiente tabla corresponde a las predicciones de cuántas veces saldrá el número 1 al lanzar un
dado.
Para saber qué fracción corresponde a cada predicción, parte la cantidad de veces que crees que
saldrá el número por el total de lanzamientos.
Identifica a qué fracción corresponde una predicción
I. Predice la cantidad de veces que saldrá cara al lanzar una moneda:
a. 5 veces
b. 15 veces
c. 30 veces
Veces que saldrá el 1 1 2 4 6 20
Nº de lanzamientos 3 6 12 18 60
Por ejemplo la fracción correspondiente a las veces que saldrá el 1 en 18 lanzamientos:
6
18
o
1
3
d. 300 veces
Anota la fracción correspondiente a cada predicción:
a. 5
b. 1
c. 3
d. 3

Unidad 4
Ficha
Clase 10
II. Completa.
a. Al lanzar un dado es que salga el número 8.
b. Al lanzar un dado es que salga el número 2
c. Si en una bolsa hay 4 fichas rojas y 1 amarilla, hay probabilidades de sacar
una roja que una amarilla.
d. Al lanzar una moneda hay posibilidades, o
Predice la cantidad de veces que saldrá el número 3 al lanzar un dado:
a. 4 veces
b. 8 veces
c. 40 veces
d. 80 veces
Anota la fracción correspondiente a cada predicción:
a. 5
b. 1
c. 3
d. 3

Unidad 4
Ficha
Clase 11
Ejemplo:
Observa que puedes predecir la probabilidad teórica de que ocurra un evento calculando:
Conocer probabilidades teóricas
I. Resuelve:
En una bolsa hay 10 fichas: 1 roja, 1 verde, 1 azul, 1 amarilla, 1 rosada, 1 café, 1 negra, 1 blanca,
1 celeste, 1 morada.
1
6
Nº de casos posibles
Nº de casos favorables
En el caso del dado, como hay 6 números con igual posibilidad de salir, la probabilidad
teórica de que salga un número, por ejemplo el 3, al lanzarlo una vez es:
hay un 3 en el dado
hay 6 posibles números
R:
a. Si sacas una ficha y la devuelves, la probabilidad de que salga cualquiera de los colores es:
b. Si sacas una ficha y la devuelves, la probabilidad de que salga una ficha negra es:
R:
c. Si sacas una ficha y la devuelves, la probabilidad de que salga una ficha blanca o celeste es:
R:
R:
d. Si sacas una ficha y la devuelves, la probabilidad de que salga una ficha azul, verde, rosada o morada
es:

Unidad 4
Ficha
Clase 11
R:
R:
R:
R:
R:
e. Si lanzas una moneda 1 vez, la probabilidad de que salga cara es:
f. Si lanzas 1 dado, la probabilidad de que salga 1 es:
g. Si lanzas 1 dado, la probabilidad de que salga el número 6 o 4 es:
h. Si lanzas 1 dado, la probabilidad de que salga un número menor que 4 es:
i. Si lanzas 1 dado, la probabilidad de que salga un número mayor o igual a 4 es:
II. Responde:
R:
a. ¿Qué sucede con la probabilidad de que ocurra un evento cuando aumenta la cantidad de
experimentos?

Unidad 4
Ficha
Clase 12
Ejemplo:
Recuerda que para predecir la probabilidad teórica de que un evento ocurra puedes calcular:
Predecir probabilidades
I. Resuelve:
Casos favorables
Casos posibles
Observa esta figura 3D:
Si lanzas un octaedro con sus 8 caras pintadas de un color diferente, la probabilidad de que
caiga, por ejemplo, sobre la cara de color azul es
a. Calcula la probabilidad expresada como fracción, decimal y porcentaje de que salga el número 5 si
lanzas una vez un dado:
Octaedro, sus 8 caras
son triángulos equiláteros.
1
8
Fracción:
Decimal:
Porcentaje:
b. Calcula la probabilidad expresada como fracción, decimal y porcentaje de que salga el número 6 o 4 si
lanzas una vez un dado:
Fracción:
Decimal:
Porcentaje:
o

Unidad 4
Ficha
Clase 12
Fracción:
Decimal:
Porcentaje:
o
c. Calcula la probabilidad expresada como fracción, decimal y porcentaje de que salga el número 1, 2, 5 o 6
si lanzas una vez un dado:
Fracción:
Decimal:
Porcentaje:
d. Calcula la probabilidad expresada como fracción, decimal y porcentaje de que salga un número menor
que 6 si lanzas una vez un dado:
e. Calcula la probabilidad expresada como fracción, decimal y porcentaje de que salga sello si lanzas
una vez una moneda:
Fracción:
Decimal:
Porcentaje:
f. Calcula la probabilidad expresada como fracción, decimal y porcentaje
de que salga cara si lanzas una vez una moneda:
Fracción:
Decimal:
Porcentaje:

Unidad 4
Ficha
Clase 13
Ejemplo:
Ya sabes que un dado tiene 6 números de los cuales 3 son menores que 4: 1, 2 y 3.
Por lo tanto, la probabilidad de que salga alguno de estos números al lanzar un dado es:
Predecir probabilidades
I. Resuelve:
3
6
1
2
o
a. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número mayor que 4 si lanzas una vez un dado?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 6 si lanzas una vez un dado?
R:
R:
c. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número primo si lanzas una vez un dado?
R: o

Unidad 4
Ficha
Clase 13
II. Resuelve:
a. ¿Qué probabilidad hay de que salga el 1 o el 3 al lanzar una vez un dado?
b. ¿Qué probabilidad hay de que salga el 1, el 3 o el 6 al lanzar una vez un dado?
R:
R:
c. ¿Hay alguna probabilidad de que salgan 2 números que sumen 13 al lanzar 2 dados?
o
o
R:
d. Hay alguna probabilidad de que salgan 2 números que sumen 7 al lanzar 2 dados
R:

Unidad 4
Ficha
Clase 14
Ejemplo:
Observa que un diagrama de tallo y hojas sirve para ordenar y visualizar fácilmente un grupo de
datos.
Hacer diagramas de tallo y hojas
I. Haz un diagrama de tallo y hoja con cada grupo de datos.
a. Primero, ordena los datos de menor a mayor
32 28 26 29 33 38 42 40 29 36
b. Luego, anota los dígitos correspondientes a las decenas de estos números bajo la columna“Tallo”
y los dígitos de las unidades bajo la columna“hojas”
Tallo Hojas
2 6 9 9
3 2 6 8
0
Edades de las madres de 10 niños:
26 28 9 29 32 33 36 38 40 42
Edades de un grupo de trabajadores de una empresa.
46 28 36 51 45 27 36 38 40 46 53 29 47 50
R:
Responde:
a. ¿Qué edades se repitieron?
R:
b. ¿Qué edad tiene el más joven de los trabajadores?
R:
c. ¿ Cuál es la diferencia de edad entre el menor y el mayor de los trabajadores de esta empresa?
R:

Unidad 4
Ficha
Clase 14
d. ¿Cuántos trabajadores tienen 40 o más años?
e. ¿Cuántos trabajadores tienen menos de 40 años?
R:
R:
a. ¿Cuál fue la nota más baja y la más alta obtenida por Pablo?
b. ¿Qué nota se repitió dos veces?
c. ¿ Cuántas notas superiores a 5,0 obtuvo Pablo?
d. ¿Cuántas notas inferiores a 5,0 obtuvo Pablo?
e. ¿Cuántas notas superiores a 6,0 obtuvo Pablo?
R:
R:
R:
R:
R:
II. Notas obtenidas por Pablo en matemáticas durante el segundo semestre.
6,5 5,3 6,2 4,8 5,5 5,3 6,1 5,7 7,0 5,8
R:
Responde:
f. ¿Cuál es el promedio de estas notas?
R:

Unidad 4
Ficha
Clase 15
Ejemplo:
Hacer diagramas de tallo y hojas doble
Observa que puedes mostrar dos grupos de datos relacionados en un mismo diagrama de tallo y
hojas:
Hacer diagramas de tallo y hojas doble
I. Construye un diagrama de tallo y hojas doble con los siguientes datos.
Hombres 29 21 29 35 23 28 45 38 42 38
Mujeres 43 36 28 42 45 33 36 29 33 42
Tallo
9 9 8 3 1 2 8 9
8 8 5 3 3 3 6
5 2 4 2 2 3 3 5
Hombres
Hojas
Mujeres
Hojas
Historia 3,8 6,0 5,7 5,6 5,7 3,4 5,7
Ciencias 6,1 4,8 5,6 4,6 6,8 4,6 5,3
R:
a. ¿En cuál de los ramos obtuvo Paula mejores notas?
b. ¿Cuál es el promedio de notas en historia y ciencias?
R:
R:
Responde:
c. ¿Cuántas notas bajo 4 obtuvo en historia?
R:
d. Cuántas notas sobre 5,0 obtuvo en ciencias?
R:
Historia
Hojas
Tallo
Ciencias
Hojas

Unidad 4
Ficha
Clase 15
a. ¿A cuál de las obras asistieron más espectadores?
b. ¿Cuál fue la mínima y la máxima cantidad de asistentes a la obra Pinocho?
c. ¿Cuál es la diferencia entre el día que hubo más y el día que hubo menos asistentes a la obra Hamlet?
d. En promedio, ¿cuántas personas vieron Pinocho en los 10 días?
e. ¿ En promedio, ¿cuántas personas vieron Hamlet en los 10 días?
R:
R:
R:
R:
R:
Responde:
R:
Pinocho: 64 59 61 58 73 57 96 73 69 73
Hamlet: 77 89 75 98 79 86 90 79 61 99
II. Construye un diagrama de tallo y hojas con los siguientes datos.
Asistentes durante 10 días a dos obras de teatro,“Pinocho”y“Hamlet”.

Unidad 4
Ficha
Clase 16
Ejemplo:
Observa que un diagrama de puntos es un tipo de gráfico donde se muestran los datos a lo largo de
una recta numérica, cada marca representa un número en los datos.
Esta tabla muestra la cantidad de puntos obtenidos en una prueba por un grupo de alumnos.
Hacer diagramas de puntos
Alumnos Puntaje
3 21
2 23
5 24
5 26
3 27
4 28
I. Construye un diagrama de puntos con los siguientes datos:
Puntajes obtenidos por un grupo de alumnos
21 22 23 24 25 26 27 28
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3 4 2 2 1 0 4 5 3 2 1 2 0 1
N° de hermanos de un grupo de amigos
a. ¿Cuál es la cantidad de hermanos que más se repitió?
R:
Responde:
b. ¿Cuál es la cantidad de hermanos que menos se repitió?
c. ¿Qué cantidades tienen el mismo número de marcas?
R:
R:

Unidad 4
Ficha
Clase 16
d. ¿ Cuántos amigos respondieron a la pregunta?
R:
II. Construye un diagrama de puntos con los siguientes datos.
Edades Frecuencia
64 5
65 4
69 7
70 3
71 6
72 1
R:
Edades de adultos mayores que asisten a un taller muncipal.
a. ¿Cuántos adultos de 64 años asisten al taller?
b. ¿Cuál es la edad que más se repite?
c. ¿Cuál es la diferencia de años entre el menor y mayor asistente al taller?
d. ¿Cuántos adultos asisten al taller?
R:
R:
R:
R:
Responde:
e. ¿ Cuál es la edad promedio de los asistentes?
R:

Unidad 4
Ficha
Clase 17
Ejemplo:
Observa que puedes comparar datos en diagramas de puntos.
Comparar diagramas de puntos
Tiempos de un grupo de hombres
en 100 metros planos (segundos).
10 11 12 13 14 15
x x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
10 11 12 13 14 15
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Tiempos de un grupo de mujeres
en 100 metros planos (segundos).
I. Observa cada par de diagramas y responde:
Cantidad de palabras que leen por minuto un grupo de niños y niñas de 6º básico.
120 121 122 123 124 125
x x
x
x xx
x
x
x
120 121 122 123 124 125
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
126 126
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
Niños Niñas
a. ¿Cuál es el rango de palabras que leen niños y niñas de esta muestra?
b. ¿Cuál de los grupos tiene mejores resultados?
c. ¿En qué cantidad de palabras por minuto hay la misma cantidad de niños y niñas?
d. ¿Cuántas niñas más que niños leen 125 palabras por minuto?
R:
R:
R:
R:
Responde:

Unidad 4
Ficha
Clase 17
a. ¿Cuántos niños más que niñas crecieron 24 cm?
b. ¿Cuántos niños menos que niñas crecieron 20 cm?
c. ¿En qué cantidad de cm hay más niños y niñas?
d. ¿En cuál de los dos grupos hubo un mayor crecimiento?
R:
R:
R:
R:
Responde:
II. Construye un diagrama de puntos con cada grupo de datos
Estas tablas muestran el crecimiento en cm de un grupo de niños y niñas de entre 12
y 24 meses.
Crecimiento (cm) Frecuencia
20 3
22 9
23 3
24 3
Crecimiento (cm) Frecuencia
20 6
22 8
23 2
24 2
Niños Niñas
Niños NiñasR:
Página 99.

Unidad 4
Ficha
Clase 18
Ejercicios
I. Determina si es probable, poco probables, imposible o seguro de obtener cada color al sacar
una bolita de a siguiente bolsa:
a) roja _________
b) roja o azul _______________
c) no roja _________________
d) verde ___________________
e) azul __________________
f) naranjo _____________
II. Determina si los sucesos son imposibles, poco probables, probables o seguros que sucedan:
g) Que llueva durante el mes de enero _________________________
h) Obtener un número 8 al lanzar un dado _________________________
i) Que salga sello o cara al lanzar una moneda _________________________
III. Para cada caso, dibuja y pinta una rueda giratoria de modo que:
j) Es seguro que se detenga en el color azul.
k) Es igualmente probable que se detenga en azul, rojo o amarillo.
l) Es muy probable que caiga en amarillo y poco probable que se detenga en el rojo.
Amarillo
Amarillo
Verde Azul
Rojo
Rojo
Rojo
Rojo
Rojo
Azul
Verde

Unidad 4
Ficha
Clase 18
IV. Anota todas las posibles combinaciones de estos experimentos aleatorios.
1. Diego pone en una bolsa 3 botones azules y 1 botón rojo, ¿cuál es la probabilidad de que al
sacar un botón sin mirar éste sea rojo? _________
2. Determina la probabilidad de sacar las siguientes figuras de la bolsa. Expresa la probabilidad en
porcentaje.
a) Un corazón _________________________
b) Un triángulo _________________________
c) Que no sea círculo ____________________
d) Que sea un cuadrado __________________
3. En una bolsa hay 6 fichas iguales, 4 de ellas son rojas y 2 azules. Un niño saca sin mirar una ficha:
a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja ______________________
b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha azul? ______________________
c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha amarilla? ______________________
d) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha que no sea blanca? ______________________
e) Lanzar una moneda y hacer girar una ruleta enumerada del 1 al 5.
_____________________________________________________________________________
f) Tres monedas.
_____________________________________________________________________________
g) Una moneda y un dado.
_____________________________________________________________________________

Unidad 4
4. La tabla muestra el registro de sacar una carta de una naipe y anotar su pinta.
a) ¿Cuántas veces se hizo el experimento? ______________________
b) ¿Qué fracción corresponde a las veces que salió ? ______________________
c) ¿Qué fracción corresponde a las veces que salió una pinta negra? ______________________
d) ¿Cuál es la probabilidad teórica de obtener ? ______________________
5. Al hacer girar la ruleta ¿Cuál es la probabilidad de obtener:…..?
a) Un 5
b) Un número par
c) Un número primo
d) Un número menor que 6
e) Un número mayor o igual a 9
f) Un número menor o igual a 8
g) Un número mayor que 2
h) Un múltiplo de 4
i) Un divisor de 20
Pinta
Frecuencia 12 13 14 11
Ficha
Clase 18

MATERIAL RECORTABLE E – Plantilla para calcar

Matemática 6° Básico, tomo 2

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