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6º de E. Primaria
MATEMÁTICAS-TEMA 4
1
LOS ÁNGULOS Y SU MEDIDA
LOS ÁNGULOS Y SUS ELEMENTOS
Ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas
(lados) que tienen el mismo origen (vértice).
Notación: â o bien
Los ángulos se miden en grados.
CLASES DE ÁNGULOS
Dos rectas perpendiculares definen cuatro ángulos rectos. Los
lados de un ángulo recto son dos rectas perpendiculares
Cada ángulo recto mide 90º. Los ángulos más pequeños que los
rectos se denominan agudos y miden menos de 90º y los más
grandes que los rectos se denominan obtusos y miden más de 90º.
â = 90º Recto d < 90º Agudo b > 90º Obtuso
ê = 180º Llano ô = 360 Completo û = 0º Nulo
1.- Calcula cuánto mide el ángulo formado por este abanico.
2.- Estima que figura corresponde a cada ángulo.
150º 200º 35º 98º 350º
6º de E. Primaria
MATEMÁTICAS-TEMA 4
2
3.- Calcula cuanto miden los ángulos indicados en cada figura.
MEDIDA DE ÁNGULOS. El TRANSPORTADOR
Para medir ángulos
usamos el transportador
según la figura:
4.- Con la ayuda del transportador calcula la medida de estos ángulos.
5.- Dibuja en tu cuaderno ángulos de 70º, 110º, 32º y 200º
6º de E. Primaria
MATEMÁTICAS-TEMA 4
3
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Ángulos complementarios son los que suman un recto (90º)
Ángulos suplementarios son los que suman un llano (180º)
Complementario de â = ê
Complementario de ê = â
Suplementario de î = ô
Suplementario de ô = î
Ángulos complementarios Ángulos suplementarios
ÁNGULOS CONSECUTIVOS Y ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Dos ángulos son consecutivos si tienen el mismo vértice y un lado en común.
Dos ángulos son opuestos por el vértice si tienen el mismo vértice y los lados de uno
son la prolongación de los del otro.
6.- Los ángulos â y ê son complementarios. Calcula la medida de ê en cada uno de los
casos siguientes:
â = 15º â = 35º â = 80º â = 70º
7.- ¿Pueden ser complementarios un ángulo agudo y un ángulo obtuso?
8.- Los ángulos â y ê son suplementarios. ¿Qué clase de ángulo es ê si â es ángulo
agudo? ¿Y si â fuera recto?
6º de E. Primaria
MATEMÁTICAS-TEMA 4
4
9.-Indica qué ángulos son consecutivos y cuáles son opuestos por el vértice.
10.- Sin utilizar el transportador, calcula los ángulos indicados en cada figura:
MEDIDA DE ÁNGULOS. EL SISTEMA SEXAGESIMAL
La unidad fundamental para medir ángulos es el grado. Un grado es la noventava parte
de un ángulo recto.
Para medir ángulos con precisión se utilizan unidades menores que el grado: el minuto
y el segundo.
1 grado = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos
1º = 60´ 1´= 60”
La medida de un ángulo se puede expresar de modo complejo e incomplejo.
Expresión
incompleja
Expresión
compleja
127.048” 35º 17´ 28”
6º de E. Primaria
MATEMÁTICAS-TEMA 4
5
Observa como se obtiene una expresión compleja a partir de una incompleja:
Por tanto 127.048” = 35º 17´28”
Las unidades para medir ángulos aumentan y disminuyen de 60 en 60; por eso este
sistema de unidades se llama sistema sexagesimal.
Para transformar una unidad de medida de ángulos en la unidad inmediata inferior o
superior, multiplicamos o dividimos por 60, respectivamente.
11.- Completa estas igualdades:
12.- Completa la tabla:
7.388” 123´ 8” º ´ “
3.829” ´ “ º ´ “
144.085” ´ “ º ´ “
97.461” ´ “ º ´ “
13.- Expresa las medidas en segundos y luego ordena de mayor a menor los siguientes
ángulos:
84.537” 3.536¨ 45” 28º 56´ 9”
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE ÁNGULOS DE ÁNGULOS
Para sumar datos de medida de ángulos, primero colocamos los sumandos haciendo
coincidir grados, minutos y segundos, después sumamos. Si los segundos sobrepasan
60, los transformamos en minutos; si los minutos sobrepasan 60, los transformamos en
grados.
Al realizar esta suma vemos que los minutos sobrepasan los 60
por lo que a los 87´ les restamos 60´, es decir el equivalente a 1º
que posteriormente lo sumamos a los 80º.
Resultado: 81º 27´ 35”
En el caso de que los minutos hubieran sobrepasado los 120´
restaríamos esta cantidad que equivale a 2º para luego sumarlos a los grados.
35º 48´ 12”
45º 39´ 23”
80º 87´ 35”
1º 60´
81º 27´
+
+ -
6º de E. Primaria
MATEMÁTICAS-TEMA 4
6
Para restar datos de medida de ángulos, primero colocamos el minuendo y el sustraendo
haciendo coincidir grados, minutos y segundos, después restamos. Si en alguna
columna el minuendo es menor que el sustraendo, hacemos transformaciones para que
la resta sea posible.
Ejemplo: 52º 46´ 87” – 37º 12´ 45”
En esta resta comprobamos como a 27” no le podemos quitar 45”
así que de los 46´ del minuendo cogemos uno y lo transformamos
en 60” que se los sumamos a los 27” iniciales (27+60=87)
quedando la resta de esta manara (52º 45´87” – 37º 12´45”) que si
se puede realizar.
14.- Realiza las siguientes operaciones con ángulos:
52º 26´ 12” + 3º 57´ 34” =
44´ 56” + 3º 5´ 54” =
23º 42´ 39” + 20º 30´ 50” =
147º 25´ 12” – 22º 11´ 40” =
21º 3´ 26” – 1º 43´ 11” =
25º 14” – 7´ 10” =
15.- Calcula cuanto mide el ángulo complementario y el suplementario de â=16º 11´ 23”
BISECTRIZ UN ÁNGULO Y MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La semirrecta OP recibe el nombre de bisectriz del ángulo AOC
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que lo divide en dos partes iguales.
Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que, con origen en el vértice, divide al ángulo en
dos partes iguales.
52º 46´ 27”
37º 12´ 45”
15º 33´ 42”
45´ 87”
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  • 1. 6º de E. Primaria MATEMÁTICAS-TEMA 4 1 LOS ÁNGULOS Y SU MEDIDA LOS ÁNGULOS Y SUS ELEMENTOS Ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas (lados) que tienen el mismo origen (vértice). Notación: â o bien Los ángulos se miden en grados. CLASES DE ÁNGULOS Dos rectas perpendiculares definen cuatro ángulos rectos. Los lados de un ángulo recto son dos rectas perpendiculares Cada ángulo recto mide 90º. Los ángulos más pequeños que los rectos se denominan agudos y miden menos de 90º y los más grandes que los rectos se denominan obtusos y miden más de 90º. â = 90º Recto d < 90º Agudo b > 90º Obtuso ê = 180º Llano ô = 360 Completo û = 0º Nulo 1.- Calcula cuánto mide el ángulo formado por este abanico. 2.- Estima que figura corresponde a cada ángulo. 150º 200º 35º 98º 350º
  • 2. 6º de E. Primaria MATEMÁTICAS-TEMA 4 2 3.- Calcula cuanto miden los ángulos indicados en cada figura. MEDIDA DE ÁNGULOS. El TRANSPORTADOR Para medir ángulos usamos el transportador según la figura: 4.- Con la ayuda del transportador calcula la medida de estos ángulos. 5.- Dibuja en tu cuaderno ángulos de 70º, 110º, 32º y 200º
  • 3. 6º de E. Primaria MATEMÁTICAS-TEMA 4 3 ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Ángulos complementarios son los que suman un recto (90º) Ángulos suplementarios son los que suman un llano (180º) Complementario de â = ê Complementario de ê = â Suplementario de î = ô Suplementario de ô = î Ángulos complementarios Ángulos suplementarios ÁNGULOS CONSECUTIVOS Y ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Dos ángulos son consecutivos si tienen el mismo vértice y un lado en común. Dos ángulos son opuestos por el vértice si tienen el mismo vértice y los lados de uno son la prolongación de los del otro. 6.- Los ángulos â y ê son complementarios. Calcula la medida de ê en cada uno de los casos siguientes: â = 15º â = 35º â = 80º â = 70º 7.- ¿Pueden ser complementarios un ángulo agudo y un ángulo obtuso? 8.- Los ángulos â y ê son suplementarios. ¿Qué clase de ángulo es ê si â es ángulo agudo? ¿Y si â fuera recto?
  • 4. 6º de E. Primaria MATEMÁTICAS-TEMA 4 4 9.-Indica qué ángulos son consecutivos y cuáles son opuestos por el vértice. 10.- Sin utilizar el transportador, calcula los ángulos indicados en cada figura: MEDIDA DE ÁNGULOS. EL SISTEMA SEXAGESIMAL La unidad fundamental para medir ángulos es el grado. Un grado es la noventava parte de un ángulo recto. Para medir ángulos con precisión se utilizan unidades menores que el grado: el minuto y el segundo. 1 grado = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos 1º = 60´ 1´= 60” La medida de un ángulo se puede expresar de modo complejo e incomplejo. Expresión incompleja Expresión compleja 127.048” 35º 17´ 28”
  • 5. 6º de E. Primaria MATEMÁTICAS-TEMA 4 5 Observa como se obtiene una expresión compleja a partir de una incompleja: Por tanto 127.048” = 35º 17´28” Las unidades para medir ángulos aumentan y disminuyen de 60 en 60; por eso este sistema de unidades se llama sistema sexagesimal. Para transformar una unidad de medida de ángulos en la unidad inmediata inferior o superior, multiplicamos o dividimos por 60, respectivamente. 11.- Completa estas igualdades: 12.- Completa la tabla: 7.388” 123´ 8” º ´ “ 3.829” ´ “ º ´ “ 144.085” ´ “ º ´ “ 97.461” ´ “ º ´ “ 13.- Expresa las medidas en segundos y luego ordena de mayor a menor los siguientes ángulos: 84.537” 3.536¨ 45” 28º 56´ 9” ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE ÁNGULOS DE ÁNGULOS Para sumar datos de medida de ángulos, primero colocamos los sumandos haciendo coincidir grados, minutos y segundos, después sumamos. Si los segundos sobrepasan 60, los transformamos en minutos; si los minutos sobrepasan 60, los transformamos en grados. Al realizar esta suma vemos que los minutos sobrepasan los 60 por lo que a los 87´ les restamos 60´, es decir el equivalente a 1º que posteriormente lo sumamos a los 80º. Resultado: 81º 27´ 35” En el caso de que los minutos hubieran sobrepasado los 120´ restaríamos esta cantidad que equivale a 2º para luego sumarlos a los grados. 35º 48´ 12” 45º 39´ 23” 80º 87´ 35” 1º 60´ 81º 27´ + + -
  • 6. 6º de E. Primaria MATEMÁTICAS-TEMA 4 6 Para restar datos de medida de ángulos, primero colocamos el minuendo y el sustraendo haciendo coincidir grados, minutos y segundos, después restamos. Si en alguna columna el minuendo es menor que el sustraendo, hacemos transformaciones para que la resta sea posible. Ejemplo: 52º 46´ 87” – 37º 12´ 45” En esta resta comprobamos como a 27” no le podemos quitar 45” así que de los 46´ del minuendo cogemos uno y lo transformamos en 60” que se los sumamos a los 27” iniciales (27+60=87) quedando la resta de esta manara (52º 45´87” – 37º 12´45”) que si se puede realizar. 14.- Realiza las siguientes operaciones con ángulos: 52º 26´ 12” + 3º 57´ 34” = 44´ 56” + 3º 5´ 54” = 23º 42´ 39” + 20º 30´ 50” = 147º 25´ 12” – 22º 11´ 40” = 21º 3´ 26” – 1º 43´ 11” = 25º 14” – 7´ 10” = 15.- Calcula cuanto mide el ángulo complementario y el suplementario de â=16º 11´ 23” BISECTRIZ UN ÁNGULO Y MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO La semirrecta OP recibe el nombre de bisectriz del ángulo AOC Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que lo divide en dos partes iguales. Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que, con origen en el vértice, divide al ángulo en dos partes iguales. 52º 46´ 27” 37º 12´ 45” 15º 33´ 42” 45´ 87” -
  • 7. 6º de E. Primaria MATEMÁTICAS-TEMA 4 7 LOS ÁNGULOS EN TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS. La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos ó 180º. La suma de los ángulos de un cuadrilátero es igual a cuatro rectos ó 360º 16.- Calcula el valor del ángulo ABC en cada uno de los triángulos. 17.- Observa la figura y calcula el valor de los ángulos â, b, c, d y e: 18.- Calcula en valor de todos los ángulos de estos cuadriláteros:
  • 8. 6º de E. Primaria MATEMÁTICAS-TEMA 4 8 CÁLCULO MENTAL 1.- Multiplicar números por 101 2.- Multiplicar números por 99 LÓGICA Completa la siguiente serie de ángulos: 3 x 101= 2 x 101= 1 x 101= 5 x 101= 4 x 101= 6 x 101= 7 x 101= 8 x 101= 10 x 101= 9 x 101= 20 x 101= 15 x 101= 30 x 101= 25 x 101= 40 x 101= 3 x 99= 2 x 99= 1 x 99= 5 x 99= 4 x 99= 6 x 99= 7 x 99= 8 x 99= 10 x 99= 9 x 99= 20 x 99= 30 x 99= 5 x 5 x ( + )100 1 (5 x ) + (5 x )100 1 500 + 5 505 5 x 99 5 x ( - )100 1 (5 x ) - (5 x )100 1 500 - 5 495