Este documento presenta un resumen de los pasos para estimar la distribución de siniestros para el año 2016 utilizando datos históricos de 2010 a 2014. Primero, se analizan los datos históricos de frecuencia y severidad para determinar las distribuciones subyacentes. Luego, se prueban diferentes distribuciones como la binomial negativa para la frecuencia y la Pareto para la severidad extrema. Finalmente, se eligen parámetros específicos para estas distribuciones que mejor se ajustan a los datos, con el fin de generar simulaciones para estim

1. Parametros de Distribucion
de Siniestros
Metodo de estimar la cola
Congreso AMA XXVII
Cancun, Quintana Roo, Mexico
23 Octubre, 2015
Alejandro Ortega, FCAS, CFA

2. 2
El Problema
• Estimar la Distribuccion de Siniestros para el
ano 2016
• Lo podemos usar para medir Capital
• Determinar un plan de Reaseguro
• Podria ser una cartera de Auto, Transportes,
Incendio, o toda la compania

3. 3
Los Datos
• Fecha de hacer Analisis – 23 Oct 2015
• Prima 2010 – 2014
• Siniestros 2010-2014
• Porque no 2015?

4. 4
Resumen de Datos
Ano
Numero
Siniestros Monto Pagado
2010 330 3,057,507
2011 312 3,177,057
2012 256 2,849,844
2013 272 3,571,991
2014 367 4,680,122

5. 5
Resumen de Datos
Supuestos
• El tamano de la cartera no ha cambiado
• Si cambia, se necesita calcular Frecuencia de
Siniestros
• Inflacion es cero – 0%
• Si no es, se necesita ajustar los datos historicos
• Lo comun es usar la inflacion general del mercado
• Si existe suficiente data, se puede usar algo mas
preciso

6. 6
Resumen de Datos
Monto Pagado
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
2010 2011 2012 2013 2014
Monto Pagado

7. 7
Resumen de Datos
Numero de Siniestros
0
100
200
300
400
Siniestros

8. 8
Resumen de Datos
Ano
Numero
Siniestros
Monto
Pagado Promedio
2010 330 3,057,507 9,265
2011 312 3,177,057 10,183
2012 256 2,849,844 11,132
2013 272 3,571,991 13,132
2014 367 4,680,122 12,752
• Parece tendencia subiendo

9. 9
Resumen de Datos
Numero de Siniestros (Trimestral)
Media 77
Mediana 77
Min 49
Max 114
Desv Std 15
• Parece que no hay tendencia
• Suponemos que expuestos no han cambiado en tiempo
0
20
40
60
80
100
120
140
2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1
Siniestros
Siniestros

10. 10
Pasos
• Estimar Distribuccion Para Numero de
Siniestros
• En General se usa Frecuencia, y se aplica a la
prima pronosticada del proximo ano
• Estimar Distribuccion por el costo de cada
siniestro
• Primero la Pansa
• Despues la Cola

11. 11
Distribuciones Frecuencia
• Binomial Negativo
• Poisson
• Overdispersed Poison
• Binomial

12. Parametros Frecuencia
12
Parametros Elegidos
37
0.68
Datos Actuales
Media 76.9
Desviacion
Standard
15.4

13. Parametros Frecuencia
13
Parametros Elegidos
37
0.68
Datos Estimados
Media 77.3
Desviacion
Standard
15.5
Datos Actuales
Media 76.9
Desviacion
Standard
15.4

14. 0
20
40
60
80
100
120
140
2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1
Siniestros Neg Bin.
14
Distribuciones Frecuencia Simulacion 1

15. 15
0
20
40
60
80
100
120
140
2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1
Siniestros Neg Bin.
Distribuciones Frecuencia Simulacion 2

16. 16
0
20
40
60
80
100
120
140
2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1
Siniestros Neg Bin.
Distribuciones Frecuencia Simulacion 3

17. 17
0
20
40
60
80
100
120
140
2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1
Siniestros Neg Bin.
Distribuciones Frecuencia Simulacion 4

18. 18
Pasos
• Estimar Distribuccion Para Numero de
Siniestros
• En General se usa Frecuencia, y se aplica a la prima
pronosticada del proximo ano
• Estimar Distribuccion por el costo de cada
siniestro
• Primero la Pansa
• Despues la Cola

19. 19
Distribuciones Severidad
• Weibull
• Gamma
• Normal
• LogNormal
• Exponential
• Pareto

20. Excess Mean
La media de siniestros arriba de un monto
𝐸 𝑋 𝑋 > 𝑢 − 𝑢
• Por cualquier 𝑢
Cuando sube tienes cola larga
20

21. Excess Mean - Normal
21
93
-
250
500
- 500 1,000 1,500 2,000
u
Excess Mean Normal

22. Excess Mean - Exponential
22
-
250
500
- 500 1,000 1,500 2,000
u
Excess Mean Exponential

23. Excess Mean - Weibull
23
-
500
1,000
1,500
2,000
- 500 1,000 1,500 2,000
u
Excess Mean Weibull

24. Excess Mean - LogNormal
24
-
500
1,000
1,500
2,000
- 500 1,000 1,500 2,000
u
Excess Mean Lognormal

25. Excess Mean - Pareto
25
-
500
1,000
1,500
2,000
- 500 1,000 1,500 2,000u
Excess Mean Pareto
Esta curva esta subestimada

26. Cola Larga
Embrechts:
Cada Distribucion con cola larga
En el Limite se parece a Pareto
26
El tamano de la cola se controla con el
parametro 𝜉 (Xi)
1 < 𝜉 No existe Desviacion Std.
1 < 𝜉 < 2 Seguros
2 < 𝜉 < 5 Financia (eg. acciones)

27. Distribucion Pareto
𝐹𝑢 𝑥 = 1 − 1 +
𝜉𝑥
𝛽
−
1
𝜉
27

28. Datos - Severidad
28
Siniestro Trimestre Monto
Monto con
Inflacion
1 2010Q1 14,101 14,101
2 2010Q1 1,824 1,824
3 2010Q1 688 688
… … ... …
1534 2014Q4 25 25
1535 2014Q4 32,574 32,574
1536 2014Q4 15,380 15,380
1537 2014Q4 1,016 1,016

29. Datos - Severidad
Siniestros mas grande
29
Siniestro Trimestre Monto
1305 2014Q2 126,434
415 2011Q1 135,387
1392 2014Q3 149,925
1055 2013Q3 153,900
1423 2014Q3 166,335
225 2010Q3 181,881
1381 2014Q3 254,864
1310 2014Q2 510,060

30. Severidad
30
0%
20%
40%
60%
80%
100%
- 200,000 400,000 600,000
F(x) empirico

31. Survival Function – Log Log Scale
31
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
12.50%
25.00%
50.00%
100.00%
1 8 128 2,048 32,768 524,288
S(x) empirico - logarithmo 𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)

32. Survival Function – Log Log Scale
32
𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%10,000 40,000 160,000
S(x) emprico - logarithmo
La Distribucion Pareto es un linea recta en un graphico log log

33. Survival Function – Log Log Scale
33
𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)
La Distribucion Pareto es un linea recta en un graphico log log
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
12.50%10,000 40,000 160,000
S(x) emprico - logarithmo

34. Survival Function – Log Log Scale
34
𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)
La Distribucion Pareto es un linea recta en un graphico log log
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo

35. Survival Function – Log Log Scale
35
𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)
La Distribucion Pareto es un linea recta en un graphico log log
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo

36. Survival Function – Log Log Scale
36
No se elige con meta que el ultimo punto esta en la linea
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo

37. Survival Function – Log Log Scale
37
No se elige con meta que el ultimo punto esta en la linea
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo

38. Elegir Parametros - Severidad
𝑢 = 50,000
𝐹 𝑢 = 95.26%
𝑆 𝑢 = 4.74%
Se puede tratar diferentes 𝑢’s para ver si
da resultado similar (o diferente)
38

39. Elige 𝑢, determina 𝐹(𝑢)
39
Siniestro Trimestre Monto
𝐹(𝑥)
empirico
1348 2014Q3 49,302 95.12%
592 2011Q4 49,479 95.19%
105 2010Q2 49,885 95.25%
50,000 95.26%
686 2012Q1 50,862 95.32%
682 2012Q1 51,085 95.38%
639 2011Q4 51,160 95.45%
𝐹 𝑥 =
𝑟𝑎𝑛𝑘𝑖𝑛𝑔
𝒏 + 𝟏 𝑛 =Numero de Siniestros

40. Primer Prueba de Parametros
Elige 𝜉 primero, despues 𝛽
El 𝜉 elegido es muy alto 40
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
1.00
= 2,000
𝑢 = 50,000
𝑆 𝑢 = 4.74%
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
S(x) empirico
S(x) Pareto

41. Prueba de Parametros del Pareto
Mejor. Parece que el pendiente no
baja suficiente
41
𝑢 = 50,000
𝑆 𝑢 = 4.74%
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
S(x) empirico
S(x) Pareto
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
0.50
= 5,500

42. Prueba de Parametros del Pareto
Ahora parece que baja muy rapido
𝜉 ∈ [0.2,0.5] 42
𝑢 = 50,000
𝑆 𝑢 = 4.74%
0.00%
0.01%
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
0.20
= 15,000
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
S(x) empirico
S(x) Pareto

43. Prueba de Parametros del Pareto
Mucho Mejor
Buscamos un poco abajo y arriba 43
𝑢 = 50,000
𝑆 𝑢 = 4.74%
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
0.35
= 9,000
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
S(x) empirico
S(x) Pareto

44. Prueba de Parametros del Pareto
Tambien es buena
44
𝑢 = 50,000
𝑆 𝑢 = 4.74%
0.01%
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
0.30
= 10,000
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
S(x) empirico
S(x) Pareto

45. Prueba de Parametros del Pareto
Peor de 0.30 y 0.35; pero nos da un
tope
45
𝑢 = 50,000
𝑆 𝑢 = 4.74%
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
0.40
= 7,400
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
S(x) empirico
S(x) Pareto

46. Prueba de Parametros del Pareto
Mucho Mejor
Buscamos un poco abajo y arriba 46
𝑢 = 50,000
𝑆 𝑢 = 4.74%
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
0.35
= 9,000
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
S(x) empirico
S(x) Pareto

47. Resumen Severidad
Tenemos Distribucion para la pansa
• Hasta el 95.26%
La Cola se usa el Pareto con estos parametros:
• 𝑢 = 50,000
• 𝐹 𝑢 = 95.26%
• 𝜉 = 0.35
• 𝛽 = 8,500
47

48. 48
Pasos
• Estimar Distribuccion Para Numero de
Siniestros
• En General se usa Frecuencia, y se aplica a la
prima pronosticada del proximo ano
• Estimar Distribuccion por el costo de cada
siniestro
• Primero la Pansa
• Despues la Cola

49. Supuestos
La Cartera es similar
• Hogar, Apartamentos
Hay buena forma de estimar expuestos
• Autos, Casas, Ventas
Ajustes de Inflacion se hacen
• El del mercado general, o mas detallado
Riesgo de Modelo
• Expuestos, inflacion
49

50. Sobre el autor
50
Contacto:
AlejandroActuario@gmail.com
LinkedIn.com/in/ortega
Education Actuarial
Actuario en Jefe – AIG Latino America 2009-2015

51. Questions and
Discussion