Metodo practico para modelar la cola. Usando los datos actuales, se usa la distribucion Pareto, y se elige parametros. Se puedo usar para calcular requerimientos de capital, plan de reaseguro o para cuentas individuales.

1. Parametros de Distribución
de Siniestros
Metodo de estimar la cola
VI Seminario Regional Actuarial
Latinoamericano
Santiago, Chile
21 Junio, 2016
Alejandro Ortega, FCAS, CFA

2. 2
El Problema
• Estimar la Distribuccion de Siniestros para el
ano 2016
• Lo podemos usar para medir Capital
• Determinar un plan de Reaseguro
• Cuenta Individuales
• Podria ser una cartera de Auto, Transportes,
Incendio, o toda la compania

3. 3
Los Datos
• Fecha de hacer Analisis – 13 Nov 2015
• Prima 2010 – 2014
• Siniestros 2010-2014
• Datos actualiados al 30 Sep 2015
• Porque no 2015?

4. 4
Resumen de Datos
Ano
Numero
Siniestros Monto Pagado
2010 330 3,057,507
2011 312 3,177,057
2012 256 2,849,844
2013 272 3,571,991
2014 367 4,680,122

5. 5
Resumen de Datos
Supuestos
• El tamano de la cartera no ha cambiado
• Si cambia, se necesita calcular Frecuencia de
Siniestros
• Inflacion es cero – 0%
• Si no es, se necesita ajustar los datos historicos
• Lo comun es usar la inflacion general del mercado
• Si existe suficiente data, se puede usar algo mas
preciso

6. 6
Resumen de Datos
Monto Pagado
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
2010 2011 2012 2013 2014
Monto Pagado

7. 7
Resumen de Datos
Numero de Siniestros
0
100
200
300
400
Siniestros

8. 8
Resumen de Datos
Ano
Numero
Siniestros
Monto
Pagado Promedio
2010 330 3,057,507 9,265
2011 312 3,177,057 10,183
2012 256 2,849,844 11,132
2013 272 3,571,991 13,132
2014 367 4,680,122 12,752
• Parece tendencia subiendo
• Suscriptor, Siniestros

9. 9
Resumen de Datos
Numero de Siniestros (Trimestral)
Media 77
Mediana 77
Min 49
Max 114
Desv Std 15
• Parece que no hay tendencia
• Suponemos que expuestos no han cambiado en tiempo
0
20
40
60
80
100
120
140
2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1
Siniestros
Siniestros

10. 10
Resumen de Datos
Numero de Siniestros (Trimestral)
Media 77
Mediana 77
Min 49
Max 114
Desv Std 15
• “Rolling Average” ayuda encontrar tendencias
• Disminuye el impacto de estacionalidad
0
20
40
60
80
100
120
2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1
Number of Claims
Claims Mean Rolling 8

11. 11
Pasos
• Estimar Distribuccion Para Numero de
Siniestros
• En General se usa Frecuencia, y se aplica a la
prima pronosticada del proximo ano
• Estimar Distribuccion por el costo de cada
siniestro
• Primero la Pansa
• Despues la Cola

12. 12
Distribuciones Frecuencia
• Binomial Negativo
• Poisson
• Overdispersed Poison
• Binomial

13. Parametros Frecuencia
13
Parametros Elegidos
37
0.68
Datos Actuales
Media 76.9
Desviacion
Standard
15.4

14. Parametros Frecuencia
14
Parametros Elegidos
37
0.68
Datos Estimados
Media 77.3
Desviacion
Standard
15.5
Datos Actuales
Media 76.9
Desviacion
Standard
15.4

15. 0
20
40
60
80
100
120
140
2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1
Siniestros Neg Bin.
15
Distribuciones Frecuencia Simulacion 1

16. 16
0
20
40
60
80
100
120
140
2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1
Siniestros Neg Bin.
Distribuciones Frecuencia Simulacion 2

17. 17
0
20
40
60
80
100
120
140
2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1
Siniestros Neg Bin.
Distribuciones Frecuencia Simulacion 3

18. 18
0
20
40
60
80
100
120
140
2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1
Siniestros Neg Bin.
Distribuciones Frecuencia Simulacion 4

19. 19
Pasos
• Estimar Distribuccion Para Numero de
Siniestros
• En General se usa Frecuencia, y se aplica a la prima
pronosticada del proximo ano
• Estimar Distribuccion por el costo de cada
siniestro
• Primero la Pansa
• Despues la Cola

20. 20
Distribuciones Severidad
• Weibull
• Gamma
• Normal
• LogNormal
• Exponential
• Pareto

21. 21
Severidad – Parametros Pansa
• Estimacion de Parametros
• Estimacion de Maxima Verosimilitud
• Preparar grafico de la distribucion de
los datos actual contra la estimacion
• Mirar la curva es como confirma que
el modelo es preciso

22. 22
Pasos
• Estimar Distribuccion Para Numero de
Siniestros
• En General se usa Frecuencia, y se aplica a la prima
pronosticada del proximo ano
• Estimar Distribuccion por el costo de cada
siniestro
• Primero la Pansa
• Despues la Cola

23. Excess Mean
La media de siniestros arriba de un monto
𝐸 𝑋 𝑋 > 𝑢 − 𝑢
• Por cualquier 𝑢
Cuando sube tienes cola larga
23

24. Excess Mean - Normal
24
93
-
250
500
- 500 1,000 1,500 2,000
u
Excess Mean Normal

25. Excess Mean - Exponential
25
-
250
500
- 500 1,000 1,500 2,000
u
Excess Mean Exponential

26. Excess Mean - Weibull
26
-
500
1,000
1,500
2,000
- 500 1,000 1,500 2,000
u
Excess Mean Weibull

27. Excess Mean - LogNormal
27
-
500
1,000
1,500
2,000
- 500 1,000 1,500 2,000
u
Excess Mean Lognormal

28. Excess Mean - Pareto
28
Lineal
832
-
500
1,000
1,500
2,000
0 500 1000 1500 2000
u
Excess Mean Pareto

29. Cola Larga
Embrechts:
Cada Distribucion con cola larga
En el Limite se parece a Pareto
29
El tamano de la cola se controla con el
parametro 𝜉 (Xi)
0.5 < 𝜉 Varianza no existe
1 < 𝜉 Media no existe

30. Cola Larga
Embrechts:
Cada Distribucion con cola larga
En el Limite se parece a Pareto
30
1 < 𝜉 < 2 Seguros
2 < 𝜉 < 5 Financia

31. Distribucion Pareto
𝐹𝑢 𝑥 = 1 − 1 +
𝜉𝑥
𝛽
−
1
𝜉
𝑆 𝑢 𝑥 = 1 +
𝜉𝑥
𝛽
−
1
𝜉
31

32. Datos - Severidad
32
Siniestro Trimestre Monto
Monto con
Inflacion
1 2010Q1 14,101 14,101
2 2010Q1 1,824 1,824
3 2010Q1 688 688
… … ... …
1534 2014Q4 25 25
1535 2014Q4 32,574 32,574
1536 2014Q4 15,380 15,380
1537 2014Q4 1,016 1,016

33. Datos - Severidad
Siniestros mas grande
33
Siniestro Trimestre Monto
1305 2014Q2 126,434
415 2011Q1 135,387
1392 2014Q3 149,925
1055 2013Q3 153,900
1423 2014Q3 166,335
225 2010Q3 181,881
1381 2014Q3 254,864
1310 2014Q2 510,060

34. Severidad
34
0%
20%
40%
60%
80%
100%
- 200,000 400,000 600,000
F(x) empirico

35. Survival Function – Log Log Scale
35
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
12.50%
25.00%
50.00%
100.00%
1 8 128 2,048 32,768 524,288
S(x) empirico - logarithmo 𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)

36. Survival Function – Log Log Scale
36
𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)
La Distribucion Pareto es un linea recta en un graphico log log
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
12.50%10,000 40,000 160,000
S(x) emprico - logarithmo

37. Survival Function – Log Log Scale
37
𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)
La Distribucion Pareto es un linea recta en un graphico log log
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo

38. Survival Function – Log Log Scale
38
𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)
La Distribucion Pareto es un linea recta en un graphico log log
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo

39. Survival Function – Log Log Scale
39
No se elige con meta que el ultimo punto esta en la linea
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo

40. Survival Function – Log Log Scale
40
No se elige con meta que el ultimo punto esta en la linea
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo

41. Elegir Parametros - Severidad
𝑢 = 50,000
𝐹 𝑢 = 95.26%
𝑆 𝑢 = 4.74%
Se puede tratar diferentes 𝑢’s para ver si
da resultado similar (o diferente)
41

42. Elige 𝑢, determina 𝐹(𝑢)
42
Siniestro Trimestre Monto
𝐹(𝑥)
empirico
1348 2014Q3 49,302 95.12%
592 2011Q4 49,479 95.19%
105 2010Q2 49,885 95.25%
50,000 95.26%
686 2012Q1 50,862 95.32%
682 2012Q1 51,085 95.38%
639 2011Q4 51,160 95.45%
𝐹 𝑥 =
𝑟𝑎𝑛𝑘𝑖𝑛𝑔
𝒏 + 𝟏 𝑛 =Numero de Siniestros

43. Primer Prueba de Parametros
Elige 𝜉 primero, despues 𝛽
El 𝜉 elegido es muy alto 43
𝑢 = 50,000
𝑆 𝑢 = 4.74%
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
S(x) empirico
S(x) Pareto
0.01%
0.02%
0.04%
0.08%
0.16%
0.31%
0.63%
1.25%
2.50%
5.00%
40,000 320,000
1.00
= 1,500
Empirical Log Log Scale

44. Prueba de Parametros del Pareto
Mejor. Parece que el pendiente no
baja suficiente
44
𝑢 = 50,000
𝑆 𝑢 = 4.74%
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
S(x) empirico
S(x) Pareto
0.01%
0.02%
0.04%
0.08%
0.16%
0.31%
0.63%
1.25%
2.50%
5.00%
40,000 320,000
0.50
= 6,000
Empirical Log Log Scale

45. Prueba de Parametros del Pareto
Ahora parece que baja muy rapido
𝜉 ∈ [0.2,0.5] 45
𝑢 = 50,000
𝑆 𝑢 = 4.74%
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
S(x) empirico
S(x) Pareto
0.01%
0.02%
0.04%
0.08%
0.16%
0.31%
0.63%
1.25%
2.50%
5.00%
40,000 320,000
0.20
= 15,000
Empirical Log Log Scale

46. Prueba de Parametros del Pareto
Mucho Mejor
Buscamos un poco abajo y arriba 46
𝑢 = 50,000
𝑆 𝑢 = 4.74%
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
S(x) empirico
S(x) Pareto
0.01%
0.02%
0.04%
0.08%
0.16%
0.31%
0.63%
1.25%
2.50%
5.00%
40,000 320,000
0.35
= 9,000
Empirical Log Log Scale

47. Prueba de Parametros del Pareto
Tambien es buena
47
𝑢 = 50,000
𝑆 𝑢 = 4.74%
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
S(x) empirico
S(x) Pareto
0.01%
0.02%
0.04%
0.08%
0.16%
0.31%
0.63%
1.25%
2.50%
5.00%
40,000 320,000
0.30
= 10,500
Empirical Log Log Scale

48. Prueba de Parametros del Pareto
Esta bien entre 40k y 120k; pero no
en los ultimos 7 puntos
48
𝑢 = 50,000
𝑆 𝑢 = 4.74%
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
S(x) empirico
S(x) Pareto
0.01%
0.02%
0.04%
0.08%
0.16%
0.31%
0.63%
1.25%
2.50%
5.00%
40,000 320,000
0.40
= 8,200
Empirical Log Log Scale

49. Prueba de Parametros del Pareto
Mucho Mejor
Buscamos un poco abajo y arriba 49
𝑢 = 50,000
𝑆 𝑢 = 4.74%
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%
40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
0.35
= 9,000
0.01%
0.02%
0.05%
0.10%
0.20%
0.39%
0.78%
1.56%
3.13%
6.25%40,000 320,000
S(x) emprico - logarithmo
S(x) empirico
S(x) Pareto

50. Siniestro Mas Grande -
Esperado
𝝃 𝜷 Mas Grande
Siniestro
99.93%ile
0.30 10,500 277,000
0.35 9,000 304,000
0.40 8,200 358,000
50

51. Resumen Severidad
Tenemos Distribucion para la pansa
• Hasta el 95.26%
La Cola se usa el Pareto con estos parametros:
• 𝑢 = 50,000
• 𝐹 𝑢 = 95.26%
• 𝜉 = 0.35
• 𝛽 = 9,000
51

52. 52
Pasos
• Estimar Distribuccion Para Numero de
Siniestros
• En General se usa Frecuencia, y se aplica a la
prima pronosticada del proximo ano
• Estimar Distribuccion por el costo de cada
siniestro
• Primero la Pansa
• Despues la Cola

53. Supuestos
La Cartera es similar
• Hogar, Apartamentos
Hay buena forma de estimar expuestos
• Autos, Casas, Ventas
Ajustes de Inflacion se hacen
• El del mercado general, o mas detallado
Riesgo de Modelo
• Expuestos, inflacion
53

54. Gracias