Este documento presenta conceptos básicos de la teoría de probabilidad y estadística. Introduce la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, subconjunto, unión e intersección. Explica los conceptos de espacio muestral y suceso, y provee ejemplos. También describe diagramas de árbol, incluyendo sus propiedades y tipos como árboles binarios y de búsqueda. Finalmente, introduce diagramas de Venn para representar operaciones entre conjuntos.

1. FUNDAMENTOS DE
PROBABILIDAD
ITI-1006
Integrantes:
Archundia Alvares Aldo
Betancourt Gaona Felipe de Jesús
Cuevas Cuellar Luis Fernando
Murillo Flores Beatriz Alicia
Ramírez Ramírez Juan Alberto
Salazar González Francisco Javier
Serna Ortega Irene del Roció

2. Teoría de conjuntos

3. Definición
Una de las herramientas básicas del lenguaje matemático.
Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta
noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más
básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez
como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un
elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de
pertenencia es la relación de inclusión. Una sub colección de
elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A,
y se indica como B ⊆ A.

4. Conjunto
Como una colección o listado de objetos con
características bien definidas que lo hace
pertenecer a un grupo determinado.
Para que exista un conjunto debe basarse en lo
siguiente:
 La colección de elementos debe estar bien definida.
 Ningún elemento del conjunto se debe contar más
de una vez, generalmente, estos elementos
 deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se
contará sólo una vez.
 El orden en que se enumeran los elementos que
carecen de importancia.

5. Notación
A los conjuntos se les representa con letras
mayúsculas A, B, C, ... y a los elementos con
letras minúsculas a, b, c, ..., por ejemplo, el
conjunto A cuyos elementos son los números
en el lanzamiento de un dado.
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
En base a la cantidad de elementos que tenga
un conjunto, estos se pueden clasificar en
conjuntos finitos e infinitos.

6. Clasificación
 FINITOS: Tienen un número conocido de
elementos, es decir, se encuentran
determinados por su longitud o cantidad.
 El conjunto de días de la semana
 INFINITOS: Son aquellos en los cuales no
podemos determinar su longitud.
 El conjunto de los números reales

7. Tipos
 CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no
tiene elementos y se simboliza por O { }.
 A = {x2 + 1 = 0 | x R}
El conjunto A, es un conjunto vacío por que no
hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0
 CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de
todos los elementos considerados en una
población o universo, en un problema en especial.
No es único, depende de la situación, denotado
por U .

8. Relación
 IGUALDAD DE CONJUNTOS
Considerando el conjunto A y el conjunto B, si ambos tienen los
mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A
también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B
pertenece también a A.
 A= B
 SUBCONJUNTO
Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un
conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B.
Representado por el símbolo .
 SUBCONJUNTOS PROPIOS
Se dice que es un subconjunto propio de A sí todos los elementos de
un conjunto B se encuentran incluidos en él A, denotado por .

9. Operaciones
 UNIÓN DE CONJUNTOS
Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del
conjunto universal. La unión de A y B,
expresada por A B, es el conjunto de todos
los elementos que pertenecen a A o
pertenecen a B.

10. Operaciones
 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del
conjunto universal. La intersección de A y B,
expresada por A B, es el conjunto de todos
los elementos que pertenecen a A y a B
simultáneamente, es decir:

11. Espacio Muestral

12. Definición
El espacio muestral o espacio de muestreo
(denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de
todos los posibles resultados de un experimento
estadístico. Se refiere a cualquier registro de
información ya se numérico o categórico como
una observación.

13. Experimento:
Describe cualquier proceso que genere un
conjunto de datos y del que no podemos
predecir su resultado, es decir, que
depende de la suerte o azar.
A cada resultado en un espacio muestral se le
llama elemento o miembro del espacio muestral
o simplemente punto muestral.

14. Un suceso es cualquier subconjunto del espacio
muestral, llamándose a los sucesos que contengan
un único elemento sucesos elementales.
Espacio muestral de una moneda:
E = {C, X}.
En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer
lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}.

15. Ejemplos
Por ejemplo, en el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral
del experimento sería:
Ω={1,2,3,4,5,6}
Por otro lado, si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el número
resultante de la suma de 2 dados, entonces tenemos 2 posibles espacios muéstrales
para modelar nuestra realidad:
Ω=
{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),...(6,6)}
{1,2,3,4,5,6}x{1,2,3,4,5,6}
Ω'= {2,3,4,...,12}

16. Ejemplos de espacios muéstrales:
1. Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n,n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
A = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.
C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

17.  Ejemplo

Imogena disfruta de sentarse en frente de la televisión y elegir al azar dos chocolates a la vez de su caja de
chocolates. La caja contiene un gran número de veteados de jarabe, delicias turcas, y sorpresas mocha.
Describa un posible espacio muestral, y también el suceso de que Imogena escoja al menos una sorpresa
mocha en su primera elija.
 Solución
Aquí, los elementos del espacio muestral S pueden ser tomados como combinaciones de dos tipos de
chocolates o pares del mismos tipo. Por lo tanto, un posible espacio muestral es el conjunto de todas las posibles
combinaciones:
 S = {VT, VM, TM, VV, TT, MM},
 Donde V = veteado de jarabe, T = delicia turca, y M = sorpresa mocha.
 Pues los resultados favorables son aquellos con al menos una sorpresa mocha, podemos decir la siguiente:
 El suceso E consta de todos los resultados en S que contienen al menos una sorpresa de mocha.
 Por lo tanto,
 E = {VM, TM, MM}.
 (Simplemente elimine todos los resultados que no contienen M.)

18. Diagramas de Árbol

19. Definición
 Son grafos conexos (enlazados) sin
ciclos, es decir, que no existen dos o
más paseos entre un par de vértices.

20. Ejemplos de Árboles

21. Ejemplos de grafos que NO son
árboles

22. Propiedades de los árboles
 Dos vértices cualesquiera están unidos
por un único camino.
 El número de vértices es mayor en uno al
número de aristas en un árbol.
 Un árbol con dos o más vértices tiene al
menos dos hojas

23. Terminología básica
 Raíz: único nodo sin A
padre (A)
 Nodo interno: tiene al
menos un hijo (B,C) B C D
 Nodo hoja (externo):
no tiene hijos (D)
 Descendiente directo: E F G H
hijo (E)
 Descendientes: hijo,
nieto... I J K
 Subárbol: árbol formado
por un nodo y sus subárbol
descendientes

24. Terminología básica (cont.)
 Grado de un nodo: número de descendientes
directos
 Grado del árbol: mayor grado de sus nodos
 Profundidad de un nodo: número de
predecesores
 Altura del árbol: profundidad máxima de
A 0
cualquier nodo
1 B C D
Profundidad(A)=0
2 E F G H Profundidad(H)=2
Altura=3
3 I J K

25. Terminología básica (cont.)
 Bosque: Conjunto
de árboles

26. Raíz
hijo
Padre
Hermano Subárbol
hoja
26
Ejemplo de un árbol

27. Tipos de árboles

28. Árboles ordenados
Es aquel en el que las ramas de los nodos están
ordenadas.
 Los de grado 2 se llaman árboles binarios.
+
- ^
A B / 3.5
C D

29. Árboles de expresión
 Representan un orden de ejecución
+
*
* +
+ -
A B * E
7 12 9
C D
(A* B) + C * D + E (7 + 12) * (-9)  -171

30. Árboles similares
 Árboles similares: Los que tienen la
misma estructura (forma)
a
1
2 5 b e
3 4 6 7 c d f g
8 9 h i
 Árboles Equivalentes: Son los
árboles similares y sus nodos contienen
la misma información.

31. Árboles binarios
 Es un árbol de grado 2
 Cada nodo tiene de 0 a 2 descendientes
directos: el hijo izquierdo y el derecho
A
<arbol> ::= <<nulo>> | <nodo>
<nodo> ::= <info> <izq> <der>
<izq> ::= <arbol>
B C
<der> ::= <arbol>
D E F G
H I

32. Árboles binarios (cont.)
 Aplicación: expresiones aritméticas, árboles de
decisión, búsqueda (ABB)
 En algunos casos se exige que el árbol sea
completo = todo nodo interno tiene dos
descendientes.
Árbol binario completo Árbol binario no completo

33. Árboles binarios (cont.)
 Notación  Propiedades
n: número de nodos
e: número de nodos hoja e 2h
i: número de nodos h i 2h-1
internos log2(n+1)-1 h (n-1)/2
h: altura del árbol 2h+1 n 2h+1-1
 Si es completo:
e h+1
e=i+1

34. Árboles binarios de búsqueda
 Un árbol es un ABB si
éste es binario y sus
nodos son subárboles
de búsqueda binarios y
contienen información
ordenada

35. Características
 Todos los nodos a la izquierda son menores
al padre.
 Todos los nodos a la derecha son mayores
al padre.
 Y solo pueden tener 2 hijos a lo mucho.
50
40 90
26 45 110
85
8 34 42 68 88 100 110
95 105
102

36. Recorridos
 Existen 3 tipos de recorridos para los árboles
binarios:
 In-Orden
 Pre- Orden
 Post-Orden

37. In-Orden
cada nodo se visita tras visitar su subárbol
izquierdo y antes de visitar el derecho
(izq, raiz, der)
Ejemplo:
h
in-orden: (i, e, h, a, m)
i m
e a

38. Pre-Orden
primero se visita cada nodo, luego su subárbol izquierdo y
finalmente el derecho
(raiz, izq, der)
Ejemplo:
h
pre-orden: (h, i, e, m, a)
i m
e a

39. Post-Orden
cada nodo se visita después de visitar su subárbol
derecho y después de visitar el izquierdo
(der, raiz,izq)
Ejemplo:
h
post-orden: (m, a, h, e, i)
i m
e a

40. Diagramas de Venn

41. Una de las principales teorías dentro de la matemática actual es
la Teoría de los Conjuntos . Podíamos decir que es una teoría
que nos explica el funcionamiento de una colección de
elementos cuando realizamos alguna operación con ellos.
Los diagramas de Venn se basan fundamentalmente en
representar los conjuntos matemáticos con unas
“circunferencias”. Con estas circunferencias el estudiante
realiza una serie de operaciones como la unión, la intersección,
etc.
Se puede decir que el manejo de los diagramas de Venn sirven
para orientar al estudiante, son herramientas metodológicas
que se usa para explicar la teoría de conjuntos.

42. Diagrama de intersección de
conjuntos


43. 

44. Diagrama de la unión de dos
conjuntos

45. 

46. Diagrama de la diferencia de
conjuntos
La diferencia A-B es la parte B que no esta en A.
La diferencia de conjuntos se expresa BA.

47. 

48. Diagrama de diferencia
simétrica


49. 

50. Fuentes
 http://cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-115.pdf - matematiscas discretas TC1003
 http://docencia.udea.edu.co/regionalizacion/teoriaderedes/informaci%F3n/C3_Arboles.pdf --3.1 Arboles
 http://eisc.univalle.edu.co/materias/Matematicas_Discretas_2/pdf/cobertor_arbol_03.pdf
 http://fcasua.contad.unam.mx/apuntes/interiores/docs/98/6/mate_4.pdf
 http://www.ing.ula.ve/~ibc/dyaa/c11profundidad.pdf
 http://es.scribd.com/doc/41011030/26/Busqueda-en-profundidad-DFS
 http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/jlchacon/materias/discreta/grafos.pdf
 http://wmatem.eis.uva.es/~ignfar/docencia/MD/notes/teoria_grafos.pdf
 https://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/.../r60440.DOC
 isc.univalle.edu.co/materias/Matematicas.../recorrido_arbol_02.pdf
 http://www.dccia.ua.es/dccia/inf/asignaturas/MD/md_tra4.pdf