Algebra Lineal

1. ALGEBRA LINEAL
GRUPO 2

2. CALCULO DE LOS VECTORES PROPIOS

3. EJEMPLO:

7. Sea A ϵ Mnxn , p(λ) es la ecuación
característica de A si y solo si:
P(λ)= det(λI-A) = det(A-λI)

8.  Si A ϵ M2x2 → p(λ) = λ2 – tr (A)λ
+ det A
 Si A ϵ M3x3 → p(λ) = λ3 – tr (A)t
λ2 + (P11 + P22 + P33 ) λ - det
A

9. Se menciona la ley:
Si A ϵ Mnxn → p(λ) = (-λ)n – (-λ)n-1 tr (A)t + (-λ)n-2 tr2
(A) + (-λ)n-3 tr3 (A) + ……. λ0 det A
siendo tri (A) la suma de todos los menores de
orden i que contienen en su diagonal principal, i
elementos de la diagonal principal de A

10. ECUACION CARACTERISTICA DE UNA MATRIZ

11. El polinomio característico viene dado por la expresión
Entonces, el polinomio característico viene dado por el determinante:

12. El cual es:
El polinomio característico es:
La ecuación característica es:

13. Si 𝑝 𝐴 𝜆 es el polinomio característico de grado n de la matriz A de orden n.
El polinomio tiene n raíces (no necesariamente distintas), entonces 𝑝 𝐴 𝜆
se escribe:
𝑝 𝐴 𝜆 = 𝜆 − 𝜆1
𝑟1 𝜆 − 𝜆2
𝑟2 … . 𝜆 − 𝜆 𝑚
𝑟 𝑚 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟1 + 𝑟2 … + 𝑟 𝑚 = 𝑛
1. Se llama multiplicidad algebraica del valor propio 𝜆1 al número 𝑟1
2. Se llama multiplicidad geométrica del valor propio 𝜆1 a la dimensión del
s.e.v. 𝑉1

14. Sea A una matriz simétrica
 Si u y v son vectores propios asociados al valor propio λ
de A, si u+v es distinto a 0v entonces u+v es un vector
propio asociado con λ
 Si u es un vector propio asociado con el valor propio λ de
A, ku, k distinto de 0 ku es un vector propio asociado a λ
 A y At tienen los mismos valores propios
 Los vectores propios asociados a valores propios distintos
de A son ortogonales

15.  Matrices semejantes tienen los mismos
valores propios
 A no es invertible si y solo si 0 es valor propio
de A
 A es diagonalizable su y solo si A tiene n
vectores propios LI
 Si A tiene n valores propios distintos A es
diagonalizable