Sucesiones y series

Funciones y Procesos Infinitos

Sucesiones y Series en IR

Funciones y Procesos Infinitos Prof. Mg. (c) Nicolás Sánchez Acevedo
Mg. Nicolá Sá

Sucesiones de Números Reales (IR)

 Concepto de Sucesión

Funciones y Procesos Infinitos Prof. Nicolás Sánchez Acevedo
Nicolá Sá

 Si a cada número natural se el hace
corresponder un número real a1, a2,
a3,…, an el conjunto A={a1, a2, a3,…, an} se
denomina sucesión.

 Por lo tanto, toda sucesión es un
conjunto de infinitos términos.

Nicolá Sá

 Una sucesión es una función cuyo
dominio es el conjunto de los números
naturales Í y su recorrido es un
subconjunto de los números reales IR.

 En el diagrama siguiente se representa el
concepto de sucesión con una función.

Nicolá Sá

Sucesión de una función Ö(x)

Ö(x)
N IR

1 a1
2 a2
3 a3
4 a4
.
.

. 
.
n an

Nicolá Sá

Ejemplo 1:

 La sucesión formada por los números
pares tiene por término general:

an  2 n

de modo que si reemplazamos “n” por
los valores naturales (IN), 1, 2, 3, …n se
obtienen los términos de la sucesión.

Nicolá Sá

 Con lo que obtenemos el conjunto de
los números pares =

an / an  2n; n  N   2, 4, 6, 8

Nicolá Sá

Ejemplo 2:

 El término general de la sucesión de
números impares es:

an  2n  1

 Con lo que obtenemos el conjunto de los
números impares =

an / an  2n  1; n  N    , 3, 5, 7 
1

Nicolá Sá

Ejercicio 1:

 Los términos de la una sucesión definida
por:

a n   1 
n  n 
 n 1
 

 Obtener los términos de la sucesión.

Nicolá Sá

Sucesiones Recurrentes

Nicolá Sá

 Definición:

 Sucesión recurrente es aquella que se
define considerando su primer término
“a1” y una expresión para “an+1” en
función del n-ésimo término “an”.

 Es decir, se define conocidos lo términos
“an” y ”an+1”.

Nicolá Sá

Ejemplo 1:
 Encontrar los cinco primeros términos
de la sucesión conocidos a1=1 y
an+1=(an)2 + 2.

a1  1 ( por definición )
2
a 2   a1   2  3
2
a 3   a 2   2  11


Nicolá Sá

Ejercicios:

 Escribe los 5 primeros términos de las
sucesiones recurrentes dadas:

i) a1  16
an
a n 1
2
y 

2
ii ) a1  1 y a n 1   a n   3

Nicolá Sá

Ejercicios de concepto de
sucesión y sucesiones
recurrentes

Nicolá Sá

 1) Encontrar los 5 primeros términos de
las siguientes sucesiones:

1 
k

1) a k   1   ;k  N

 k 
2n
2) an  ;n  N
n 1
n 1
3) a n  ;n  N
n 2
n 1 1
4 ) a n   1  ;n  N
n
Nicolá Sá

 2) Halla una expresión o formula para el
término n-ésimo de la sucesión.

 1) an  4, 8, 12, 16,

 2) a n  1, 4, 7, 10,

1 1 1 1
 a n  ,  , ,  ,
2 3 4 5
3)

Nicolá Sá

Sumatorias

Concepto de sumatoria

Nicolá Sá

 Para poder simplificar todos los
elemento de una determinada sucesión,
se ha convenido en utilizar para
representar la adición de los términos
mediante el signo “Ó” acompañado de la
formula o termino general de la sucesión
y del rango de valores que tomará la
variable considerada en esta formula.

Nicolá Sá

 Denominaremos sumatoria de una
sucesión “an” a la forma abreviada de
escribir sus términos expresados como
sumandos.
 Se anota:

nk
a1  a 2  a 3    a k   a n
n 1

Nicolá Sá

Nota
 En general el término:
nk

a
n 1
n

 suele anotarse de forma abreviada por
k

a
n 1
n

Nicolá Sá

Ejemplos:

a) 1  2  3    n   n
k n

n 1

1 2 3 4 5 20 k  20 n
b) 2 3 4 5 6
    
21 n 1 n  1


12  2 2  3 2    n 2  n2
nk

c) n 1

n 6
3 45 67 8    1n n  2
d) n 1

Nicolá Sá

Propiedades de la sumatoria

Nicolá Sá

1) Sumatoria de una constante

Si c1  c2  c3    cn  c

k

c
n 1
n  k c

Nicolá Sá

Ejemplo:

 Calculemos

50

4
n 1

Nicolá Sá

2) Sumatoria del producto de una constante
por los términos de una sucesión

 Si “c” es una constante

k k

c a
n 1
n  c   an
n 1

Nicolá Sá

Ejemplo:

 Calculemos
5
2
 3  k
n 1
1


Nicolá Sá

3) Sumatoria de la suma o resta de
términos de dos o más sucesiones

 Sean “ak” y “bk” dos sucesiones,
entonces se cumple que:

k k k

a
n 1
k  bk   a k   bk
n 1 n 1

Nicolá Sá

Ejemplo:
 Calcule

6
1)  k 2  3k  2 
n 1

5
k  k  1
2) 
n 1 4

Nicolá Sá

Ejercicios 1:
 Calcula las siguientes sumatorias, (solo
los primeros cinco términos).

7 6
k  k  1 k
1)  3)  2
n1 2 n 1  k  1

8 4 k
 1
2)  3k  2
n1
4) 2 k
n 1 1

Nicolá Sá

Ejercicios 2:
 Expresa como sumatoria las siguientes
sumas.
2 3 4 51
a) 1  2  3    50
b) 1  1  2  3  3  5    10  19
c ) 2  5  8  11    44
d ) 1  4  7    43

Nicolá Sá

 Algunas formulas importantes de
conocer son las sumatorias de las
siguientes sucesiones

Nicolá Sá

Sumatoria de los n primeros
números naturales:

k
k k  1
1 2  3  4  k   n 
n 1 2

Nicolá Sá

Ejemplo:
 Calcular por la formula la siguientes
sumatoria
50

n
n 1

Nicolá Sá

Sumatoria de los n primeros números
naturales impares:

k
2
1  3  5  7     2 k  1    2 n  1  k
n 1

Nicolá Sá

Ejemplo:
 Calcular por la formula la siguientes
sumatoria
50

 2n  1 
n 1

Nicolá Sá

Sumatoria de los cuadrados de los n
primeros números naturales:

k
2 2 2 2k  k  1 2k  1
2 2
1  2  3  4  k  n 
n1 6

Nicolá Sá

Ejemplo:
 Calcula la siguiente sumatoria

25
2
n
n 1


Nicolá Sá

Sumatoria de los cubos de los n primeros
números naturales:

2
k
3 3 3 3 3  k  k  1 
3
1  2  3  4  k  n   
n1  2 

Nicolá Sá

Ejercicios 1:
 Aplica las propiedades de las sumatorias y
calcula
40 80
2
1)  n 4)   2n
n 1 n1
30 70
2
2)   2 n  1  5)   n  n
n1 n 1
63 30
2 2
3)  n 6)   5  2n
n 1 n 1

Nicolá Sá

Ejercicios 2:
 Usa las formulas conocidas y encuentra a
su vez otra formulas conocidas y
encuentra a su vez otra formula para cada
una de las siguientes sumatorias.
k k
2
1)  2n 4)   2n  1
n 1 n 1
k k
2)   2n  4  5)   3n  2 
n 1 n1
k k
2  5 n2  4 
3)   6n  4n 6)   
n 1 n1  3 9
Nicolá Sá

Nicolá Sá

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