Ecuaciones lineales

1. TUTORIAL PARA LA
RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES LINEALES
UTILIZANDO LA
INFORMÁTICA
Preparatoria
Lic. Benito Juárez García
Carolina Itzel Vázquez Moreno
Informática
1° “E” Vespertino
Profesora: Gloria Pérez Madrid
Ciclo Escolar
2015-2916
Benemérita Universidad
Autónoma de Puebla

2. TUTORIAL PARA LA
RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES LINEALES
UTILIZANDO LA
INFORMÁTICA

3. INTRODUCCIÓN
Los sistemas de ecuaciones lineales son: “el problema central del
álgebra lineal". En efecto, los conceptos formales del álgebra lineal,
como independencia y dependencia lineal, requieren de la formulación y
resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Estos últimos, además,
tienen aplicación en distintas áreas de conocimiento, como la ingeniería o
la computación; y desde luego, en áreas de la matemática, como la
geometría analítica o la investigación de operaciones.
En consecuencia, el estudio y la enseñanza de los sistemas de
ecuaciones lineales son esenciales y necesarios en la formación de
estudiantes. Es así, como establecemos la necesidad de una propuesta
didáctica para la enseñanza y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones
lineales que tome en cuenta el proceso de resolución, para realizar un
análisis y reflexión del mismo; así como, la posibilidad de plantear
problemas reales que involucren sistemas de ecuaciones lineales. En
este sentido, nuestro propósito de este manual consiste en el desarrollo
de un ambiente computacional que apoye la enseñanza en la educación
superior de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales; permitiendo
el análisis, discusión y reflexión del proceso de resolución paso a paso,
con el propósito de construir los conceptos inherentes a dicho proceso,
como sistema de ecuaciones lineales equivalente.

4. DEFINICIÓN
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones
que involucran las mismas variables. Si todas las
ecuaciones del sistema son lineales, entonces se denomina
sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo:
2x+ y =1− 3 x+4y =14
Una solución de un sistema de ecuaciones es el conjunto
de valores para las variables que hacen que cada ecuación
en el sistema sea cierta. Resolver un sistema de
ecuaciones consiste en encontrar todas las soluciones del
sistema.
En el ejemplo anterior, la solución del sistema es x= -2 y
y=5. Esta solución se puede escribir también como un par
ordenado (-2, 5). Más adelante, en las siguientes lecciones,
aprenderemos las técnicas para encontrar estas
soluciones.

5. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
LINEALES
En general para resolver una ecuación lineal o de primer
grado debemos seguir los siguientes pasos:
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos
independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.

6. TIPOS DE ECUACIONES
LINEALES
• Ecuaciones de primer grado o lineales
• Ecuaciones fraccionarias
• Ecuaciones literales

7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
O LINEALES
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un
número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se
cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las
igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1
(elevadas a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras
de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso
aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se
ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en
el derecho.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la
ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso
multiplicativo), y se simplifica.

8. • Resolución de ecuaciones de primer grado con una
incógnita.
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita,
aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o
inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado
de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la
igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –
3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos:
2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
2x = 53 + 3
2x = 56

9. Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la
variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de
la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso
multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:
2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
x = 56 / 2
x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28

10. ECUACIONES EN Q (NÚMEROS
RACIONALES O FRACCIONARIOS)
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo
menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1
(es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la
ecuación por el mínimo común múltiplo de los
denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:

11. ECUACIONES LITERALES
Una ecuación literal es aquella en la que una o más de las
cantidades conocidas se representan mediante el uso de
letras. Por lo general, dichas cantidades conocidas se
representan con las primeras letras del alfabeto a, b, c... y
las incógnitas con las letras finales x, y, z.
Ejemplo:
a + bx = dy
En este ejemplo las letras a, b, d, son cantidades
conocidas, mientras que x e y, representan las incógnitas
de la ecuación.

12. Para resolver estas ecuaciones se aplican las mismas
reglas que se utilizan en la resolución de ecuaciones
ordinarias:
Primero, se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.
Luego, se trasladan los términos, para agrupar en un
miembro los términos que contengan la incógnita y en el
otro miembro, los términos que no contienen la incógnita y
por lo tanto son conocidos (aunque estén expresados con
letras).
En un tercer paso, lo prudente es reducir los términos
semejantes en los dos miembros, para que sea más fácil el
manejo de la incógnita.

13. Se despeja la incógnita. Para poder despejar la incógnita,
es útil recordar que en una igualdad podemos hacer
operaciones iguales a los dos miembros, sin alterar la
igualdad.
x + 3 = 10
Para despejar la incógnita "x", debemos restar 3 a cada
miembro de la igualdad:
x + 3 – 3 = 10 – 3
Para que de esta forma, quede:
x = 7
Esta regla se aplica a cualquiera de las operaciones que
afecten a la incógnita:

15. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
Para ilustrar gráficamente la solución de ecuaciones
lineales, consideremos sistemas de ecuaciones con dos
ecuaciones y dos variables.
Cada una de las ecuaciones corresponde a una recta en el
plano. Las situaciones que pueden ocurrir son las
siguientes:

16. Este concepto se puede ampliar a sistemas lineales con
mayor cantidad de ecuaciones y variables.
Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solución,
infinitas soluciones o ninguna solución.

17. INTERPRETACIÓN ALGEBRAICA
DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
Ahora veamos como son las ecuaciones que corresponden a
las siguientes gráficas:

20. Vimos gráficamente los casos que se pueden presentar
con los sistemas de ecuaciones lineales. Cada uno tiene
una particularidad. Se dice que un sistema de ecuaciones
es consistente si tiene una o más soluciones y es
inconsistente si no tiene solución.
Cuando un sistema consistente de ecuaciones lineales es
equivalente a un sistema que tiene la ecuación 0 = 0,
decimos que el sistema es dependiente. Un sistema
consistente que no es dependiente se llama
independiente. Por ejemplo:
{x+2y=7(1) 2x+4y=14(2)
es dependiente por que es equivalente al sistema
{x+2y=7 0=0

21. Ecuación (2) - 2 × Ecuación (1) da: 0 = 0
Mientras el sistema consistente a la derecha es
dependiente: {x+2y=7 2x+4y=14
El sistema consistente {x+2y=7 , que tiene la misma
solución paramétrica: x = 7 – 2t, y = t para todos los
números reales t es independiente.
Ejemplo:
{x+2y=8(1) 2x+3y=13(2)
El sistema anterior es consistente e independiente con
solución única x = 2, y = 3.
El siguiente sistema es consistente y dependiente con la
misma solución única x = 2, y = 3.
{x+2y=8 2x+3y=13 3x+5y=21
Es equivalente al siguiente sistema: {x+2y=8 -y=-3 0=0

22. Ejemplo:

23. 1.- 20 – 7x = 6x – 6
2 .- 7x+2=10x+5
3.- 6x−5=8x+2
4.- 4x + 4 + 9x + 18 = 12 (x+2)