Este tema es el tema 5 de matemáticas 2 Bach. C.T

1. 1
Resumen Unidad 5: Vectores en el espacio.
Preguntas 1 y 2: Vectores y operaciones con vectores.
En un vector vr tenemos que distinguir:
Módulo: es la longitud del vector, se
representa por vr
Dirección: es la dirección de la recta sobre la
que está situado el vector.
Sentido: es el señalado por la punta de la
flecha.
La flecha indica el
sentido del vector
vv
La dirección del vector nos la
indica la recta sobre la que está
situado
La longitud del vector es el
módulo del vector
Vectores paralelos:
Dos vectores vv y w r
son paralelos si tienen la misma dirección, es decir si las rectas
sobre la que están situados son rectas paralelas.
Cuando escribimos: v wr r | | , queremos indicar que vv y w r
son dos vectores paralelos.
Vectores iguales: Diremos que dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo,
dirección y sentido.
Un vector lo podemos trasladar siempre que no se modifique el módulo, dirección y
sentido. Podemos situar su origen en cualquier punto del espacio:
Base ortonormal: es un conjunto
formado por tres vectores {r r r
i , j ,
k}
unitarios y perpendiculares dos a dos,
matemáticamente:
i
r
j r
r
k
, i
r
, k
r
j r
.
r r r
i = j = k = 1
r
i
j r
r
k
Dada una base ortonormal {i j k}
r r r
, , , cualquier vector vr , se puede expresar como
combinación lineal de los vectores {i j k}
r r r
, , :
r r r r = × + × + ×
v a i b j c k
Los números a, b y c, reciben el nombre de coordenadas respecto de la base.
Para abreviar escribimos el vector de la forma: v = (a, b, c) r , o bien v (a, b, c) r .

2. 2
Operaciones con coordenadas:
Suma de vectores: Sean los vectores: v = (a, b, c) r y w = (a¢, b¢, c¢) r , el vector suma es
el vector: v + w = (a, b, c) + (a¢, b¢, c¢) = (a + a¢, b + b¢, c + c¢) r r
Se suma primera con primera, segunda con segunda y tercera con tercera.
Producto de un número por un vector: Sea el vector v = (a, b, c) r , y el número real k,
entonces: k × v = k × (a, b, c) = (ka, kb, kc) r .
Propiedades de las operaciones con vectores:
Suma: Producto de un número por un vector:
Asociativa (u v ) w u (v w) r r r r r r + + = + + Asociativa a (b v ) (a b) vr r × × = × ×
Conmutativa u v v ur r r r + = + Distributiva I (a b) v a v b vr r r + × = × + ×
Vector nulo v vr r r
0 + = Distributiva II a (v w) a v a wr r r r × + = × + ×
r r r v + -v = Producto por 1 v vr r 1× =
Vector opuesto ( ) 0
Pregunta 3: Rango de un conjunto de vectores. Interpretación
geométrica.
Significado geométrico.
ur y vr linealmente
dependientes.
ur y vr paralelos
ur y vr linealmente
independientes.
ur y vr paralelos no
paralelos
ur y vr linealmente
independientes y wv
es
combinación lineal de
ambos
Los tres vectores ur , vr y wv
son coplanarios.
ur vr y wv
linealmente
independientes.
Los tres vectores ur , vr y
wv
no son coplanarios.
El rango de un conjunto de vectores es el número de vectores linealmente
independientes.
Para estudiar la dependencia lineal o independencia lineal de un conjunto de
vectores, hay que calcular el rango de la matriz formada por las coordenadas de
los vectores.

3. Se calcula, estudiando el rango de la matriz formada por las coordenadas de los
vectores:
r r r r el
3
Ejemplo: Sean los vectores u = (-1, 1, 2), v = (0,-1, 4), w = (-2, 1, 8), t = (0,-2, 8)
rango de los mismos es:
( )
r
u
r
v
r
w
t
rg
r
u
r
v
r
w
t
rg u v w t rg
r
r
r r r v
coordenadas de
coordenadas de
coordenadas de
coordenadas de
1 1 2
0 1 4
2 1 8
0 2 8
, , ,
¬
¬
¬
¬

    


    

-
-
-
-
=

    


    

=
Interpretación gráfica
rg(u, v, ,w) = 1 r
r r K
Los vectores son todos paralelos.
rg(u, v, ,w) = 2 r
r r K
Los vectores son todos coplanarios.
rg(u, v, ,w) = 3 r
r r K
Los vectores no son coplanarios.
Para expresar un vector como combinación lineal de otro, hay que resolver un
sistema de ecuaciones lineales:
Ejemplo: expresar el vector u = (-1,3,4) r , como combinación lineal de v = (1,6,3) r y
) 5 , 2 , 3 (- = w r
.
Hay que calcular “a” y “b” tales que: u r = a × v r + b × wr ,
identificando

→ (-1,3,4) = a × (1,6,3)+ b(- 3,2,5)
coordenadas →


- = -
3 1
a b
+ =
6 a 2 b
3
+ =
3 a 5 b
4
Se trata de resolverlo
Expresión analítica del módulo de un vector:
Si u = (x, y, z) r , entonces u = x2 + y 2 + z 2 r
Para obtener un vector unitario paralelo a ur basta dividir por su módulo:
r
u
r
u
Expresión analítica del coseno del ángulo que forman dos vectores.
2
2
× + × + ×
x x y y z z
r r
= u × v
r r
cos( , ) 1 2 1 2 1 2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
x y z x y z
u v
u v
+ + × + +
=
×
r r

4. 4

5. 1
Producto escalar. Producto vectorial. Producto mixto.
Definición y cálculo:
u v u v cos(u,v) r r r r r r × = × ×
( )
( ) 1 2 1 2 1 2
= , ,
r r
r
u x y z
1 1 1
, ,
2 2 2
u v x x y y z z
v x y z
® × = + +
=
r
Propiedades:
Conmutativa: u v v ur r r r × = ×
Asociativa: (u v ) w u (v w) r r r r r r × × = × ×
Distributiva: u (v w) u v u wr r r r r r r × + = × + ×
Relación con el módulo: 2 u u ur r r × =
Si ur v ®u × v = 0 r r r
0 × = × 0 = 0
r r r r
u u
Interpretación gráfica:
r ( ) =
× v
u v
proyec u r
v
r r
r
ur
vr
r
( v
) proyec u r
Definición y cálculo: u vr r ´ es un vector
perpendicular a ur y vr , sentido el de avance
de un sacacorchos que va de ur a vr , y su
módulo:
u v u v sen(u v ) r r r r r r ´ = × × ,
( )
( )
i j k
x y z
1 1 1
2 2 2
, ,
r
=
u x y z
1 1 1
, ,
2 2 2
x y z
u v
v x y z
r r r
r r
r
® ´ =
=
Propiedades:
No Conmutativa: v u u vr r r r ´ = - ´
No Asociativa: (u v ) w u (v w) r r r r r r ´ ´ ¹ ´ ´
Distributiva: u ( v w) u v u wr r r r r r r ´ + = ´ + ´
Si u vr r || ® ´ = 0 = (0, 0, 0) r r v u v
0 0 0
v r r v v ´ u = u ´ =
Interpretación gráfica:
ur
vr
Área del rectángulo:
Área u vr r = ´
ur
vr
Área del triángulo:
2
Área
u vr r ´
=
Definición y cálculo:
[u v w] u (v w) r r r r r r , , = × ´
[ ]
x y z
1 1 1
x y z
2 2 2
3 3 3
( , , )
=
r
u x y z
1 1 1
( , , )
=
r
v x y z
2 2 2
3 3 3
, ,
( , , )
x y z
u v w
w x y z
® =
=
r r r
r
Propiedades:
No conmutativa: [u v w] [u v w] r r r r r r , , = - , ,
[u v w] [v w u ] [w u v ] r r r r r r r r r , , = , , = , ,
[a u b v c w] a b c [u v w] r r r r r r × , × , × = × × × , ,
Distributiva: [u u v w] [u v w] [u v w] r r r r r r r r r r + ¢, , = , , + ¢, ,
[u v ] [u v ] [ u v ] r r r r r r r r r , , 0 = , 0, = 0, ,
Si u v wr r r , , son coplanarios ®[u ,v, w] = 0 r r r
Interpretación gráfica:
ur
vr
w r
Volumen del
paralelepípedo:
V [u v w] r r r = , ,
ur
w r
vr
Volumen del
tetraedro:
1 r r r V = ×
[u , v ,
w] 6

6. 2

7. 1
Vectores paralelos y vectores perpendiculares.
Condición de paralelismo:
= ( , , ) || = ( , , )« ( , ) = 1« 1 1 1 2 2 2 u x y z v x y z rg u vr r r r
Las coordenadas son
proporcionales:
x = = 1
si
2
y
1
2
1
2
z
z
y
x
0, 0, 0 2 2 2 x ¹ y ¹ z ¹
Para obtener vectores paralelos a u = (x, y, z) r , basta considerar cualquier vector
de la forma λ ×u = (λ × x, λ × y, λ × z) r , donde es cualquier número real.
Condición de perpendicularidad:
Sean dos vectores ( , , ) 1 1 1 u = x y z r y ( , , ) 2 2 2 v = x y z r no nulos:
( , , ) 1 1 1 u = x y z r ( , , ) 2 2 2 v = x y z r 0 0 1 2 1 2 1 2 «u × v = « x × x + y × y + z × z = r r
Pero hay una forma muy sencilla de obtener rápidamente un vector perpendicular
a otro:
Cambiar dos coordenadas de lugar, cambiando una de ellas de signo, y haciendo
cero la otra coordenada:
u = (1 , 2 , 4 ) r
v = (- 2 , 1 , 0 ) r
En general:
ur vr , ya que
u × v = 1× (- 2)+ 2 ×1+ 4 × 0 = -2 + 2 = 0 r r
ur vr , ya que
u × v = α × (- β)+ β × α + γ × 0 = -α ×β + β × α = 0 r r
Para obtener un vector perpendicular a dos vectores ( , , ) 1 1 1 u = x y z r y
( , , ) 2 2 2 v = x y z r basta hacer el producto vectorial:
i j k
x y z
1 1 1
x y z
2 2 2
u v
r r r
r r ´ =
La condición para que tres vectores ( , , ) 1 1 1 u = x y z r , ( , , ) 2 2 2 v = x y z r y
( ) 3 3 3 w = x , y , z r sean coplanarios es :
0
x y z
1 1 1
x y z
2 2 2
3 3 3
=
x y z
u = (α, β, γ ) r
v = (- β, α, 0) r