INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Se aplica a los problemas que se refiere a la coordinación de actividades dentro de la empresa,
ta...
Z = valor de la medida global de efectividad
Xj =nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)
Cj =incremento en Z que resu...
 3X1 + 6x2>= 17 p(0,0)
3X1 + 6x2 = 17 3 (0) + 6(0) >= 17
X1, x2 => 0 0 <=17 falso
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O
5.7
2.8
0
MÉTODO GRÁFICO
Es una forma fácil para resolver problemas de Programación Lineal, siempre y cuando el
modelo conste de dos...
Horas de trabajo 8 40 800
Horas de revisión 5 10 320
utilidad 100 300 60
Función Objetivo: Maximizar el ingreso total.
Max...
Restricciones Activas; 1,2
Restricciones Inactivas; 3
Punto X1 X2 Z
A 0 0 0
B 0 20 6000
C 40 12 7600
D 60 2 6600
E 60 0 60...
Valor optimo
X1= 40
X2 = 12
NOTA: Maximizar 40 liquidaciones y 12 auditorías para tener un ingreso de 7600
Comprobación
8X...
Ejercicio
Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta
calidad, 3 toneladas de ca...
Restricciones Activas; 1,2
Restricciones Inactivas; 3
Punto C
1X1 + 2X2>= 80
-3X1 - 2 X2>=-160
-2X1 = -80
X1= 40
40+ 2X2= ...
X2 = 20
NOTA:debe trabajar X1= 40 y X2 = 20 para que el costo sea mínimo de 120.000
Comprobación
1 X1 + 2 X2 >= 80
40 + 2 ...
1. Puede ser que tenga una sola solución
2. Puede ser que tenga múltiples soluciones
 Región no acotada
3. que tenga una ...
 Minimizar Z= 2x + 3y
Sujeto a:
-3x + 2y <= 6
X + y <= 10.5
-x + 2y >= 4
X,y>= 0
3x + 2y <= 6
X Y
O
-3
-3
0
X + y <= 10.5...
-3x + 2y <= 6
-3x - 2y <= 30.5
6x = 6.5
X= 1.3
Z= 2x + 3 y
Z= 2 + 6
Z= 8
Solución optimo
Z= 6
Valor optimo
X= 0
y= 2
Restr...
3X1 + 5X2<= 15 (-2)
10X1 - 4X2<= 20 (5)
7x1< = 5
-6X1 - 10X2<= -30
-25X1 + 10X2<= 50
19x1< = 20
X1= 20/19
X1 = 2.37
3 (20/...
Problemas no acotadas
 Maximizar Z= 5000A + 4000B
Sujeto a:
a + b >= 5
a - 3b <= 0
3a + 10b >= 135
a,b>= 0
a + b >= 5
a b...
 Maximizar Z= 150A + 300B
Sujeto a:
8a +2 b >= 16
a + b >= 5
2a + 7b >= 20
a,b>= 0
8a +2 b >= 16
a b
O
2
8
0
a + b >= 5
a...
2a + 7b >= 20
-2a – 2b >= 10 (-2)
-5b > = 10
b = 2
a = 6
z= 1050
a = 3
b = 2
8a + 2b >= 16
-2a – 2b >= -10
6a = 6
a = 1
b ...
E + F <= 5
E – 3F <= 0
10E + 15F <= 150
20E + 10F <= 160
30E + 10F >=150
E,F>= 0
E + F <= 5
E F
O
5
5
0
E – 3F <= 0
E F
6
...
MÉTODO SIMPLEX
Resolver mediante la regla de Cramer
Método de Claus
5 2 2 2 3
2 3 3 4 2
4 3 2 2 5
5 7
pibo
2 9 2
5/7 1 2/7...
7 2 4 6 5 3
4 3 3 5 2 3
5 6 7 8
pibo
4 2
8 9 7 6 3 3
4 3 5 2 7 7
-10/7
5
-2
2
-4/7
2
-18/7
2
-4/7
3
=(-2)
25/7 0 10/7 -4/7...
 Maxi
mizar Z= 20a + 30b
Sujeto a:
2a + 2b + h1 <= 5
a + b + h2<= 150
a,b >= 0
Valor entrante: el número más alto
Valor s...
Z= 3X1 + 4X2 + 9X3
Sujeto a:
2X1 + 2X2 <= 10
2X2 + 5X3 <= 16
3X1 - 2X2 - 7X3 <= 9
Xj >= 0
Z= -3X1 - 4X2 - 9X3 = 0
s.a
2X1 ...
Pivoteo: el número que se encuentra en la intersección entre el valor entrante y valor
saliente
Si es < = se debe agregar ...
V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR
Z 1 0 -1 0 0 1 24
H1 0 0 1/3 1 0 -2/3 2
H2 0 0 7/3 0 1 -4/3 26
X1 0 1 1/3 0 0 1/3 8
V.B Z X1 X2...
Maximizar Z= 3000X1 + 4000X2
Sujeto a:
X1 + X2 <= 5
X1 - 3X2 <= 0
10X1 + 15X2 <= 150
20X1 + 10X2 <= 160
30X1 + 10X2 <= 150...
V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5 VALOR
Z 1 100 0 4000 0 0 0 0 2000
H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5
H2 0 4 0 3 1 0 0 0 15
H3 0 -5 0 -15 1 1 ...
MÉTODO SIMPLEX DE PENALIZACIÓN
La variable que sale de la base es la fila de H2 y la que entra es de la columna de X2
El p...
Comprobación
Z= 5X1 + 6X2
Z= 5(o) + 6(3/7)
Z= 18/7
EJERCICIO
V.B Z X1 X2 H1 H2 A VALOR
Z 1 32/7M+ 1/7 0 0 3/7M+6/7 0 -12/7...
V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z 1 -3M-3 -5-2M 0 0 0 -18M
H1 0 1 0 1 0 0 4
H2 1 0 2 0 1 0 12
A1 0 3 2 0 0 1 18
V.E Z X1 X2 H1 ...
H2 1 0 0 1 1/3 -1/3 2
A1 0 0 1 0 1/2 0 6
Comprobación
Z= 3X1 + 5X2
Z= 3(2) + 5(6)
Z= 36
Solución optima:
Z= 36
V.O
X1= 2
X...
V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR
Z -1 -3M+3 -4M+5 0 0 0 0 -30M
H1 0 1 0 1 0 0 0 4
A1 0 0 2 0 0 1 0 12
A2 0 3 2 0 -1 0 1 18
V....
V.E Z A B H1 H2 A1 VALOR
Z 1 -400 -300 0 0 0 0
H1 0 2 1 1 0 0 60
H2 0 1 3 0 1 0 40
H3 0 1 1 0 0 1 30
V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 ...
100+ Y3 =300
Y3 =200
V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR
Z -1 -3M+4 -4M+7 0 0 0 0 0
H1 0 1 0 1 0 0 0 6
2y1 +y3 = 400
y1+ y3 = 3O...
A1 0 0 2 0 0 1 0 14
A2 0 3 2 0 -1 0 1 20
V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z 1 3M+4 0 0 M M-7/2 57
H1 0 1 0 1 0 0 4
X2 1 0 1 0 0 ...
Y3 =200Y3 = 4/3
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Materia i.o

  1. 1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA Se aplica a los problemas que se refiere a la coordinación de actividades dentro de la empresa, también proporcionan conclusiones claras para tomar decisiones. PROGRAMACION LINEAL El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo. Variables de decisión: Z= ax1 + Bx2 +………………………n Restricciones: a11x1 + a12x2+… + a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2+ …+ a2nxn>= b2 a31x1 + a32x2 + … + a3nxn≤ b3 ……………………………… am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Aunque el problema no lo diga llevara las restricciones: x1; x2; xn>= 0 Planteamiento de un problema 1. Definir las variables de decisión 2. Construir el modelo matemático 3. Plantear las limitaciones 4. Plantear las condiciones de no negatividad Planteamiento de un problema de la investigación operativa 1. Definir el problema 2. C.MOD 3. Resolver MO 4. S.O 5. Revalorización Condiciones de no negatividad
  2. 2. Z = valor de la medida global de efectividad Xj =nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n) Cj =incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m) aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j GRAFICA DE DESIGUALDADES Para graficar desigualdades realice los siguientes pasos  Gráfica de la igualdad. Convierta la desigualdad en igualdad y grafique la recta  Escoja un punto de ensayo  Evalúe el primer miembro de la expresión  Determine si el punto de ensayo satisface la desigualdad. Ejercicios  2X1 + 4x2<= 12 p(0,0) 2X1 + 4x2 = 12 2 (0) + 4(0) <= 2 X1, x2 => 0 0 <=12 verdad X1 X2 O 6 3 3
  3. 3.  3X1 + 6x2>= 17 p(0,0) 3X1 + 6x2 = 17 3 (0) + 6(0) >= 17 X1, x2 => 0 0 <=17 falso X1 X2 O 5.7 2.8 0
  4. 4. MÉTODO GRÁFICO Es una forma fácil para resolver problemas de Programación Lineal, siempre y cuando el modelo conste de dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es imposible. Estructura Matemática  Variables de decisión; (x1 + x2 + x3…….. xn )  Función objetivo:(Max o min) f(x1 + x2 +x3… ………………..xn)  Restricciones: 1. (x1 + x2 +x3… ………………..xn) ≤ b 2. (x1 + x2 + x3… ………………..xn) ≤ b2 3. (x1 + x2 + x3… ………………..xn) ≤ bm  Condiciones de no negatividad Ejercicio Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60. Incógnitas: auditorias, liquidaciones Variables de decisión:  cantidad de auditorías (x1)  Cantidad de liquidaciones (x2) Restricciones:  tiempo disponible de trabajo directo  Tiempo disponible de revisión  Número máximo de liquidaciones Liquidaciones X1 Auditorias X2 Dispongo
  5. 5. Horas de trabajo 8 40 800 Horas de revisión 5 10 320 utilidad 100 300 60 Función Objetivo: Maximizar el ingreso total. Maximizar Z= 100 X1 +300 X2 Restricciones: 8X1 + 40X2<= 800 5X1 + 10 X2<=320 X1<=60 X1,X2>= 0 8X1 + 40X2<= 800 8(0) + 40(0) <= 800 0<= 800 X1 X2 O 5 10 0 5X1 + 10 X2<=320 5(0) + 10 (0)<=320 0 <= 320 X1 X2 O 8 4 0 X1<= 60
  6. 6. Restricciones Activas; 1,2 Restricciones Inactivas; 3 Punto X1 X2 Z A 0 0 0 B 0 20 6000 C 40 12 7600 D 60 2 6600 E 60 0 6000 Punto máximo solución factible 8 X1 + 40 X2<= 800 5 X1 + 10 X2<=320 (-4) 8 X1 + 40 X2<= 800 -20X1 + 40 X2<=1280 -12 X1 = 480 X1= 40 (40)+40X2 = 800 40X2 = 800-300 X2 = 12 X1<= 60 5(60)+10X2 = 320 X1 = 2 Z= 100(40) + 300 (12) Z= 4000+3600 Z= 7600
  7. 7. Valor optimo X1= 40 X2 = 12 NOTA: Maximizar 40 liquidaciones y 12 auditorías para tener un ingreso de 7600 Comprobación 8X1 + 40X2 <= 800 8(40) + 40(12) <= 800 800 <=800 5X1 + 10 X2<=320 5(40) + 10 (12) <= 320 320>= 320 X1<= 60 40 < = 60 H1 = 20 VARIABLES DE HOLGURA Y VARIABLES DE EXCEDENTE Variable de holgura. Puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado. 6X + 3Y ≤ 12 6X+3Y+h=24 Variable de Excedente. Es la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido. 2X + 3Y ≥14 2X+3Y-h =14 Ambos tipos de variables tienen que cumplir con la restricción de NO NEGATIVIDAD Restricción activa. Dada una solución factible, una restricción es activa si al sustituir el valor de las variables se cumple la igualdad. Sea CERO Restricción Inactiva. Es inactiva si al sustituir el valor de las variables no se cumple la igualdad. DIFERENTE A CERO
  8. 8. Ejercicio Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?. días Alta calidad Calidad media Baja calidad Coste diario Mina A x 1x 3x 5x 2000x Mina B y 2y 2y 2y 2000y 80 160 200 Función Objetivo: Maximizar Maximizar Z= 200X1 +200X2 Restricciones: 1X1 + 2X2>= 80 3X1 + 2 X2>=160 5X1 + 2X2>=200 X1,X2>= 0 1X1 + 2X2>= 80 1(0) + 2(0) >= 80 0>= 80 X1 X2 O 80 40 0 3X1 + 2 X2>=160 3(0) + 2 (0)>=160 0 >= 160 X1 X2 O 50 80 0 5X1 + 2X2>=200 5(0) + 2 (0)>=200 0 >= 200 X1 X2 O 40 100 0
  9. 9. Restricciones Activas; 1,2 Restricciones Inactivas; 3 Punto C 1X1 + 2X2>= 80 -3X1 - 2 X2>=-160 -2X1 = -80 X1= 40 40+ 2X2= 80 X2 = 20 Punto G 3X1+ 2 X2>=-160 -5X1 - 2X2>= -200 -2X1 = -40 X1= 20 3X1+ 2 X2>=-160 60+ 2X2 – 160 -60 Z= 2000(20) + 200 (50) Z= 140.000 Z= 2000(40) + 2000 (20) Z= 120.000 Solución optimo Z= 120.000 Valor optimo X1= 40
  10. 10. X2 = 20 NOTA:debe trabajar X1= 40 y X2 = 20 para que el costo sea mínimo de 120.000 Comprobación 1 X1 + 2 X2 >= 80 40 + 2 (20) >= 80 40 +40>= 80 80>= 80 3X1 + 2 X2>=160 3(40) + 2 (20)>=160 120 + 40 >=160 160 >= 160 5X1 + 2X2>=200 5(40) + 2 (20)>=200 200+40 >=200 240>= 200 Variables De Holgura Y Variables De Excedente 1 X1 + 2 X2 + h>= 80 40 + 2 (20) +h>= 80 H1>= 0 3X1 + 2 X2 + h>=160 3(40) + 2 (20) + h>=160 H2>= 0 5X1 + 2X2 - h>=200 5(40) + 2 (20) - h>=200 240 - h3>=200 h3>=200 TIPOS DE REGIONES FACTIBLES Un problema de programación lineal puede ser de dos tipos :  Que tenga una región limitada o acotada  Que tenga una región no acotada o limitada  Región acotada Calidad Disponibilidad Holgura Excedente Alta 80 Media 160 Baja 200 40
  11. 11. 1. Puede ser que tenga una sola solución 2. Puede ser que tenga múltiples soluciones  Región no acotada 3. que tenga una solución 4. No existe solución Ejercicios
  12. 12.  Minimizar Z= 2x + 3y Sujeto a: -3x + 2y <= 6 X + y <= 10.5 -x + 2y >= 4 X,y>= 0 3x + 2y <= 6 X Y O -3 -3 0 X + y <= 10.5 X Y O 10.5 10.5 0 -x + 2y >= 4 X Y O -4 2 0
  13. 13. -3x + 2y <= 6 -3x - 2y <= 30.5 6x = 6.5 X= 1.3 Z= 2x + 3 y Z= 2 + 6 Z= 8 Solución optimo Z= 6 Valor optimo X= 0 y= 2 Restricciones Activas; 3 Restricciones Inactivas; 1,2  Maximizar Z= 5/ 2x1 + X2 Sujeto a: 3X1 + 5X2<= 15 5X1 + 2X2<= 10 X1,X2>= 0 3X1 + 5X2<= 15 X Y O 5 3 0 5X1 + 2X2<= 10 X Y O 2 5 0
  14. 14. 3X1 + 5X2<= 15 (-2) 10X1 - 4X2<= 20 (5) 7x1< = 5 -6X1 - 10X2<= -30 -25X1 + 10X2<= 50 19x1< = 20 X1= 20/19 X1 = 2.37 3 (20/19)+ 5X2 =15 60/19 +5X2 = 15 5X2 = 45/19 X2 Z = 5/2(20/10) +45/19 Z = 2.5 + 2.37 Z =5 Solución optimo Z= 5 Valor optimo X1= 2 X2= 0 La solución es: todas las parejas de puntos que se encuentran en el intervalo
  15. 15. Problemas no acotadas  Maximizar Z= 5000A + 4000B Sujeto a: a + b >= 5 a - 3b <= 0 3a + 10b >= 135 a,b>= 0 a + b >= 5 a b O 5 5 0 a - 3b <= 0 a b O 3 0 1 3a + 10b >= 135 a b O 4.5 13.5 0
  16. 16.  Maximizar Z= 150A + 300B Sujeto a: 8a +2 b >= 16 a + b >= 5 2a + 7b >= 20 a,b>= 0 8a +2 b >= 16 a b O 2 8 0 a + b >= 5 a b O 5 5 0 2a + 7b >= 20 a b O 10 3 0 El problema no está acotado pero como se trata de un problema de minimización es posible encontrar una solución.
  17. 17. 2a + 7b >= 20 -2a – 2b >= 10 (-2) -5b > = 10 b = 2 a = 6 z= 1050 a = 3 b = 2 8a + 2b >= 16 -2a – 2b >= -10 6a = 6 a = 1 b = 4 z = 1380 a = 1 b = 4 Problema no factible  Maximizar Z= 3000e + 4000f Sujeto a:
  18. 18. E + F <= 5 E – 3F <= 0 10E + 15F <= 150 20E + 10F <= 160 30E + 10F >=150 E,F>= 0 E + F <= 5 E F O 5 5 0 E – 3F <= 0 E F 6 3 2 1 10E + 15F <= 150 E F O 15 10 0 20E + 10F <= 160 E F O 8 16 0 30E + 10F >=150 E F O 5 15 0 El problema no tiene solución.
  19. 19. MÉTODO SIMPLEX Resolver mediante la regla de Cramer Método de Claus 5 2 2 2 3 2 3 3 4 2 4 3 2 2 5 5 7 pibo 2 9 2 5/7 1 2/7 9/7 2/7 13/7 0 8/7 -13/7 29/7 -1/7 0 15/7 1/7 8/7 25/7 0 10/7 -4/7 -17/7 5/7 -15/7 4 1 -3 3 2/7 -6/7 2 9/7 -27/7 2 2/7 x -6/7 5 (-3) 13/7 0 8/7 -13/7 29/7 -15/7 2 -3 3 -6/7 3 -27/7 4 -6/7 2 (-3) -1/7 0 15/7 1/7 8/7
  20. 20. 7 2 4 6 5 3 4 3 3 5 2 3 5 6 7 8 pibo 4 2 8 9 7 6 3 3 4 3 5 2 7 7 -10/7 5 -2 2 -4/7 2 -18/7 2 -4/7 3 =(-2) 25/7 0 10/7 -4/7 -17/7 13/4 -5/2 -5/4 0 2 3/2 7/8 -6/8 -11/8 0 1/2 7/4 5/8 6/8 7/8 1 1/2 7/2 17/4 9/2 7/4 0 0 3/2 11/4 3/2 13/4 0 6 7/3 5/8 -25/8 4 6/8 -30/8 3 7/8 -35/8 3 1 -5 5 1/2 -5/2 2 7/2 -5/2 3 x (-5) 7/8 -6/8 -11/8 0 1/2 7/4 -15/4 7 -9/2 2 -21/4 4 -6 6 -3 5 -3/2 3 (-6) 13/4 -5/2 -5/4 0 2 3/2 -15/4 -9/4 -21/4 -6 -3 -3/2 (-6)
  21. 21.  Maxi mizar Z= 20a + 30b Sujeto a: 2a + 2b + h1 <= 5 a + b + h2<= 150 a,b >= 0 Valor entrante: el número más alto Valor saliente: el número más pequeño que existe Pivoteo: se encuentra entre el valor entrante y valor saliente La variable que sale de la base es la fila de H1 y la que entra es de la columna de B El pivoteo es: 2 NOTA: Para encontrar el valor saliente dividimos los número de la columna de valor con la columna de valor entrante (5/2), y es el menor número Forma de ecuación 8 9 7 6 3 3 17/4 9/2 7/4 0 0 3/2 -5/4 4 -3/2 3 -7/4 5 -2 2 -1 7 -1/2 7 (-2) 11/4 3/2 13/4 0 6 7/3 V.E A B H1 H2 VALOR Z 20 30 0 0 0 H1 2 2 1 o 5 2.3 H2 1 1 0 1 3 3
  22. 22. Z= 3X1 + 4X2 + 9X3 Sujeto a: 2X1 + 2X2 <= 10 2X2 + 5X3 <= 16 3X1 - 2X2 - 7X3 <= 9 Xj >= 0 Z= -3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 s.a 2X1 + 2X2 = 10 2X2 + 5X3 = 16 3X1 - 2X2 - 7X3 = 9 Xj >= 0 F.S Z= -3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 s.a 2X1 + 2X2 + H1 = 10 2X2 + 5X3 + H2 = 16 3X1 - 2X2 - 7X3 + H3 = 9 Xj, Hj >= 0 V.B E.C Z X1 X2 X3 H1 H2 H3 VALOR Z 0 1 -3 -4 -9 0 O O 0 H1 1 0 2 2 0 1 0 0 10 H2 2 0 0 2 5 0 1 0 10 H3 3 0 3 -2 -7 0 0 1 9 La variable que sale de la base es la fila de H3 y la que entra es de la columna de X3 El pivoteo es: -7 MÉTODO SIMPLEX Valor entrante: el más negativo, en la fila de z Valor saliente: el menor valor, divido para cada valor de la derecha
  23. 23. Pivoteo: el número que se encuentra en la intersección entre el valor entrante y valor saliente Si es < = se debe agregar + H (holgura) Si es = se debe agregar + A (artificial) Si es > = se debe agregar + A –H Maximizar Z= 3X1 + 2X2 Sujeto a: 2X1 + X2 <= 18 2X1 + 3X2 <= 42 3X1 + X2 <= 24 X1,X 2 >= 0 Forma estándar Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 Sujeto a: 2X1 + X2 + H1 <= 18 2X1 + 3X2 + H2<= 42 3X1 + X2 + H3<= 24 X1,X 2 >= 0 Forma de ecuación Z= -3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0 2X1 + X2 + H1 = 18 2X1 + 3X2 + H2 = 42 3X1 + X2 + H3 = 24 X1,X 2 = 0 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z 1 -3 -2 0 0 O 0 H1 0 2 1 1 0 0 18 H2 0 2 3 0 1 0 42 H3 0 3 1 0 0 1 24 La variable que sale de la base es la fila de H3 y la que entra es de la columna de X1 El pivoteo es: 3 -5/4 4 -3/2 3 -7/4 5 -2 2 -1 7 -1/2 7 (-2) 11/4 3/2 13/4 0 6 7/3
  24. 24. V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z 1 0 -1 0 0 1 24 H1 0 0 1/3 1 0 -2/3 2 H2 0 0 7/3 0 1 -4/3 26 X1 0 1 1/3 0 0 1/3 8 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z 1 0 0 3 0 -1 30 H1 0 0 1 3 0 -2 6 H2 0 0 0 -7 1 4 12 X1 0 1 0 -1 0 1 6 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z 1 0 0 5/4 ¼ 0 33 H1 0 0 1 -1/2 ½ 0 12 H2 0 0 0 -7/4 ¼ 1 3 X1 0 1 0 3/4 3/4 0 3 Sujeto a: Z= 33 V.O X1= 3 X2= 12 H1= 0 H2= 0 H3= 3
  25. 25. Maximizar Z= 3000X1 + 4000X2 Sujeto a: X1 + X2 <= 5 X1 - 3X2 <= 0 10X1 + 15X2 <= 150 20X1 + 10X2 <= 160 30X1 + 10X2 <= 150 Forma estándar Z= -3000X1 - 4000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 +H4+H5 X1 + X2 + H1 <= 5 X1 - 3X2 + H2<= 0 10X1 + 15X2 + H3<= 24 20X1 + 10X2 + H4<= 160 30X1 + 10X2 + H5 <= 150 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5 VALOR Z 1 -300 -400 0 0 0 0 0 0 H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5 H2 0 1 3 0 1 0 0 0 0 H3 0 10 15 0 0 1 0 0 150 H4 0 20 10 0 0 0 1 0 160 H5 0 30 10 0 0 0 0 1 150
  26. 26. V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5 VALOR Z 1 100 0 4000 0 0 0 0 2000 H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5 H2 0 4 0 3 1 0 0 0 15 H3 0 -5 0 -15 1 1 0 0 75 H4 0 10 0 -10 0 0 1 10 110 H5 0 20 0 0 10 0 0 1 100 Maximizar Z= X1 + X2 Sujeto a: X1 + 3X2 <= 26 4X1 + 3X2 <= 44 2X1 + 3X2 <= 28 Forma estándar Z- X1 - X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 X1 + X2 + H1 <= 26 4X1 + 3X2 + H2<= 44 2X1 + 3X2 + H3<= 28 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z -1 -1 -1 0 0 0 0 H1 0 1 3 1 0 0 26 H2 0 4 3 0 1 0 44 H3 0 2 3 0 0 1 28 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z 1 2/3 0 -1/3 0 0 26/3 X2 0 1/3 1 1/3 0 0 26/3 H2 0 3 0 -1 1 0 18 H3 0 1 0 -1 0 1 2
  27. 27. MÉTODO SIMPLEX DE PENALIZACIÓN La variable que sale de la base es la fila de H2 y la que entra es de la columna de X2 El pivoteo es: 7 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z 1 0 0 2/3 0 2/3 10 H1 0 0 1 2/3 0 -1/3 8 H2 0 0 0 2 1 -3 12 H3 0 1 0 1 0 1 2 Maximizar Z= 5X1 + 6X2 Sujeto a: -2X1 + 3X2 = 3 X1 + 2X2 <= 5 6X1 + 7X2 <= 3 Forma estándar Z = 5X1 + 6X2 – M1 + 0H1 + 0H2 -2X1 + 3X2 + A1 <= 3 X1 + 2X2 + H1 <= 5 6X1 + 7X2 + H2<= 3 Z= 5X1 - 6X2 – M1- OHI –OH2 = 0 -2X1 + 3X2 + A1 = 3 X1 + 2X2 + H1<= 5 6X1 + 7X2 + H2<= 3 V.B Z X1 X2 H1 H2 A VALOR Z 1 2M-5 -3M-6 0 0 0 -3M A1 0 -2 3 0 0 1 3 H1 0 1 2 1 0 0 5 H2 0 0 7 0 1 0 3
  28. 28. Comprobación Z= 5X1 + 6X2 Z= 5(o) + 6(3/7) Z= 18/7 EJERCICIO V.B Z X1 X2 H1 H2 A VALOR Z 1 32/7M+ 1/7 0 0 3/7M+6/7 0 -12/7M+18/7 A1 0 -2 0 0 -3/7 1 12/7 H1 0 1 0 0 2/7 0 29/7 x2 0 0 1 0 1/7 0 3/7 Solución optima: Z= 18/7 V.O X1= 0 X2= 3/7 H1= 29/7 H2= 0 Maximizar Z= 3X1 + 5X2 Sujeto a: X1 < = 4 2X2 <= 12 3X1 + 2X2 <= 18 Xj >= 0 Forma estándar Z = 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 - MA1 X1 + H1 <= 3 2X2 + H2 <= 5 3X1 + 2X2 + A<= 3 Xj >= 0 Forma canónica Z - 3X1 - 5X2 - 0H1 - 0H2 + MA1 = 0 -3MX1 - 2M2 - MA1 – 18M
  29. 29. V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 -3M-3 -5-2M 0 0 0 -18M H1 0 1 0 1 0 0 4 H2 1 0 2 0 1 0 12 A1 0 3 2 0 0 1 18 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 0 -2M-5 3M+3 0 0 -6M+12 X1 0 1 0 1 0 0 4 H2 1 0 2 0 1 0 12 A1 0 0 2 3 0 1 6 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 0 0 -9/2 0 M+5/2 27 X1 0 1 0 1 0 0 4 H2 1 0 0 3 0 -1 6 X2 0 0 0 -3/2 0 ½ 3 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 0 0 0 3/2 M+1 36 H1 0 1 0 O -1/3 1/3 2 Z+X1(-3M-3)+X2(-5-2M) 0 - 18M X1 + H1 <= 3 2X2 + H2 <= 5 3X1 + 2X2 + A<= 3 X1,x2 >= 0
  30. 30. H2 1 0 0 1 1/3 -1/3 2 A1 0 0 1 0 1/2 0 6 Comprobación Z= 3X1 + 5X2 Z= 3(2) + 5(6) Z= 36 Solución optima: Z= 36 V.O X1= 2 X2= 6 H1= 2 H2= 0 Minimizar Z= 3X1 + 5X2 Sujeto a: X1 < = 4 2X2 = 12 3X1 + 2X2 >= 18 Xj >= 0 Forma estándar Z = 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA2 X1 + H1 <= 3 2X2 + A1 = 5 (-M) 3X1 + 2X2 + A2<= 3 (-M) Xj >= 0 Forma canónica - Z + 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA1 = 0 - 2MX2 - MA1 = -12M -3MX1 - 2MX2 -MH2 - MA2 = -18M - Z+X1(-3M-3)+X2(-4M+5)+0H1+OH2 - 30M X1 + H1 <= 2 2X2 + A1 <= 12 3X1 + 2X2 + A2-H2<= 18 X1,x2 >= 0
  31. 31. V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR Z -1 -3M+3 -4M+5 0 0 0 0 -30M H1 0 1 0 1 0 0 0 4 A1 0 0 2 0 0 1 0 12 A2 0 3 2 0 -1 0 1 18 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z -1 -3M+3 0 0 M -2M-5/2 -6M+ 30 X1 0 1 0 1 0 0 4 X2 1 0 1 0 0 1/2 6 A2 0 3 0 0 -1 -1 6 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 0 0 1 M-3/2 M-1 36 X1 0 0 0 1/3 1/3 -1/3 2 H2 1 0 1 0 ½ 0 6 X2 0 1 0 -1/3 -1/3 1/3 2(3M-3) PROBLEMA DUAL EJERCICIOS Problema Primal Maximizar Z= 400A+ 300B Sujeto a: Forma estándar Z = 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA2
  32. 32. V.E Z A B H1 H2 A1 VALOR Z 1 -400 -300 0 0 0 0 H1 0 2 1 1 0 0 60 H2 0 1 3 0 1 0 40 H3 0 1 1 0 0 1 30 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 0 100 0 0 400 12000 X1 0 0 -1 1 0 0 0 H2 0 0 -2 0 1 0 10 X2 0 1 1 0 0 1 30 PROBLEMA DUAL Problema Dual Maximizar Z= 400A+ 300B Sujeto a: 2A + B <= 60 A + 3B <= 40 A + B <= 30 Minimizar Z= 60y1+ 40y2+ 30y3 2y1 + y2 +y3 >= 400 y1+ 3y2 + y3 >= 3OO Yj >=0 2A + B <= 60 A + 3B <= 40 A + B <= 30 2A + B + H1 <= 3 A + 3B + H2 <= 40 A + B + H3<= 30 Solución optima: Z= 12000 V.O A= 30 B= 0 H1= 0 H2= 10 H3= 0
  33. 33. 100+ Y3 =300 Y3 =200 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR Z -1 -3M+4 -4M+7 0 0 0 0 0 H1 0 1 0 1 0 0 0 6 2y1 +y3 = 400 y1+ y3 = 3OO 2y1 +y3 = 400 -y1 - y3 = -3OO Y1 = 100 Solución optima: Z= 12000 V.O Y1= 100 Y2= 0 Y3 = 200 Z= 60y1+ 40y2+ 30y3 Z = 6000 + 6000 Z = 12000 Minimizar Z= 4X1 + 7X2 Sujeto a: X1 < = 6 2X2 = 14 3X1 + 2X2 >= 20 Xj >= 0 Forma estándar Z = 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA2 X1 + H1 <= 6 2X2 + A1 = 14 (-M) 3X1 + 2X2 - H2 + A2<= 20 (-M) Xj >= 0 Forma canónica - Z + 4X1 + 7X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA1 = 0 - 2MX2 - MA1 = -12M -3MX1 - 2MX2 -MH2 - MA2 = -18M - Z+X1(-3M-4)+X2(-4M+7)+0H1+OH2 - Y4
  34. 34. A1 0 0 2 0 0 1 0 14 A2 0 3 2 0 -1 0 1 20 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 3M+4 0 0 M M-7/2 57 H1 0 1 0 1 0 0 4 X2 1 0 1 0 0 1/2 7 H2 0 3 0 0 -1 -1 0 Problema Dual Minimizar Z= 4X1 + 7X2 Sujeto a: X1 < = 6 2X2 = 14 3X1 + 2X2 >= 20 Xj >= 0 Maximizar Z= 6y1+ 14y2+ 20y3 y1 + 3 y3 >= 4 2y2+ 2y3 <>7 100+ Y3 =300 Solución optima: Z= 57 V.O X1= 2 X2= 7 H1= 4 H2= 0 3y3 >= 4 Y3 = 4/3 2y2 + 2(4/3) = 7 2y2 + 8/3 = 7 Y2 = 7-8/3 /2 Y2 = 13/6 Solución optima: Z= 63 V.O Y1= 0 Y2= 13/6 Z= 6(0) +14(13/6)+20(4/3) Z = 6 +91/3 +80/3 Z = 63
  35. 35. Y3 =200Y3 = 4/3

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