Dirigido a los estudiantes de la PRE SENATI. el tema de ECUACIONES, su planteo y solución de problemas

1. ECUACIONES
Jaime Mayhuay Castro
Instructor

2. PROBLEMA 1
1.- ¿Cuál es el número
que aumentado en 72
nos da 128?
x: el numero buscado
x+72 = 128
x = 56
2.- Halla el número que
disminuido en 19 da
como resultado 313
x: el numero buscado
x - 19 = 313
x = 332
x = 56
x = 332

3. PROBLEMAS
3.- Calcula el número,
cuyo triple disminuido en
7 unidades resulta 326
4.- Halla el número cuyo
duplo aumentado en su
mitad da como resultado
90
x: el numero buscado
3x – 7 = 326
x= 111
x: el numero buscado
90
2
2 
x
x
multiplicando todo por 2
4x+ x = 180 x= 36
x= 111
x= 36

4. PROBLEMAS
5.- El triple de la edad de
José, aumentado en un año,
es igual al duplo de su edad,
aumentada en 13 años,
¿Cuál será la edad de José
dentro de 13 años?
6.- La suma de dos números
es 300 y su diferencia 42,
¿Cuál es el número mayor?
x: edad de José
3x + 1 = 2x +13
x = 12
Edad dentro de 13 años
25 años
Sean los números x; y
x + y = 300
x - y = 42
Resolviendo por Reducción
x= 171 ( Mayor)
Rpta: 25 años
El mayor 171

5. PROBLEMAS
7.- Entre Juan y Jorge tienen
$ 2500; si Jorge tiene $ 700
menos que Juan, ¿Qué
cantidad tiene Jorge?
8.- Calcula un número cuya
tercera parte aumentada en
2, exceda en 1 a la suma de
la quinta y la sexta parte del
número.
Juan x;
Jorge : x -700
Sumando x + x - 700 = 2500
x= 1600
Jorge : 1600-700 = 900 dólares.
x: el numero buscado
1
65
2
3







xxx
1
30
11
3
6







 xx
1
90
3318030

 xx
30x
Jorge tiene 900 dólares
El numero es 30

6. PROBLEMAS
9.- ¿Cuál es será el triple de
la mitad del número cuya
cuarta parte sumada con su
setima parte resulte 11.
10.- ¿Cuál es la tercera
parte de un numero cuyo
triple de su inversa,
aumentado en 11/12,
resulta igual a la unidad?
x: el número;
Me piden:
x/4 +x/7 = 11
2
3x
28
11
28
11
11
74



x
x
xx Busco : x/3
12
13
12
11
1
3
1
12
11
)
1
(3



x
x
x
x = 36
3(28:2) = 42
Me piden.
36: 3 = 12

7. PROBLEMAS
11.- No recuerdo cuantos
caramelos tenía, sólo sé que
luego de comerme el doble de la
quinta parte, más 7 me quedan
11¿Cuántos caramelos tenía?
12.- Divide 196 en tres partes
tales que la segunda sea el duplo
de la primera y la suma de las dos
primeras exceda a la tercera en
20. Hallar la primera.
Nro de
caramelos: x;
Come: 2(x/5) +7
Quedan 11
5
3
18
5
2
18
117
5
2
x
x
x
x
x



Rpta: 30
1ra parte: x;
2da parte: 2x;
3ra parte: 3x -20
x +2x +3x-20 = 196
x = 36
la 1ra parte es 36
Rpta: 36

8. PROBLEMAS
13.- Seis personas iban a comprar
una casa contribuyendo en partes
iguales pero dos de ellas
desistieron del negocio y
entonces cada una de las
restantes tuvo que poner $200
más. ¿Cuál era el valor de la casa?
14.- El largo de un buque, que es
461 pies excede en 11 pies a 9
veces el ancho. Hallar el ancho.
Valor de casa: T
Cada uno aporta ;
CASO 1 T = 6x;
CASO 2 T = 4( x +200);
Igualando: 6x = 4( x +200) x=$ 400;
Precio de la casa T = $ 2400
Rpta: $ 2 400
Ancho del buque : x
Largo : 461 , excede es diferencia
461 - 9x = 11
x = 50 pies
Rpta: 50 pies

9. PROBLEMAS
15.- Un hacendado compro
35 caballos. Si hubiera
comprado 5 caballos más
por el mismo precio, cada
caballo le hubiera costado
$10 menos ¿Cuánto le costó
cada caballo?
16.- El exceso del triple de
un número sobre 55
equivale al exceso de 233
sobre el número. Halla el
número.
CASO 1 CASO 2
Nro de caballos : 35 40
Precio de c/caballo: x X-10
DINERO : 35x 40(x-10)
Igualo: 35x = 40 (x-10)
x= 80
Rpta:$ 80
El numero : x
3 x – 55 = 233 – x
x= 72
Rpta:72

10. PROBLEMA
17.- Halla el mayor de tres
números consecutivos, tales
que el duplo del menor más
el triple del mediano más el
cuádruple del mayor
equivalga a 740.
18.- Halla dos números cuya
diferencia es 18 y cuya suma
es el triple de su diferencia.
Menor :x ;
Mediano: x+1;
Mayor : x+ 2
2 x +3(x +1)+4(x+2) = 740
Resolviendo x= 81
El mayor: x+2 = 83
Rpta: 83
Sean los números x; y
x - y = 18
x + y = 3(18)
Tenemos:
x + y =54
x - y = 18
x= 36 y=18
Rpta: 36 y 18

11. PROBLEMAS
19.- Halla el triple de un
número que aumentado
en sus 5/6 equivale a su
triple disminuido en 7.
20.- Después de vender
los 3/5 de una pieza de
tela quedan 40 m. ¿Cuál
era la longitud de la pieza?
El número: x ; Me piden: 3x
x + 5x/6 = 3x - 7
Multiplico Por 6
6x + 5x= 18x -42
Resolviendo. x= 6
Vendo : 3/5
Queda: 2/5
2T/5 = 40
T = 100 m
Me piden:
3(6) = 18
La longitud:
100 m

12. PROBLEMAS
21.- Halla el número cuyos
7/8 exceden a sus 4/5 en 3.
22.- Halla dos números
consecutivos tales que los
4/5 del mayor equivalgan al
menor disminuido en 4.
El número: x
3
5
4
8
7

xx
40
3
40
3235



x
xx
Mayor : x
Menor: x+ 1
24
20544
4
5
)1(4




x
xx
x
x
Mayor : 24
Menor: 25
El número 40

13. PROBLEMAS
23.- La suma de dos
números es 59, si el mayor
se divide entre el menor el
cociente es 2 y el residuo 5.
Halla los números.
24.- La suma de dos
números es 436, y si el
mayor se divide entre el
menor, el cociente es 2 y el
residuo 73. Halla los
números.
Sean los números x; y
x + y = 59 (1)
x / y. se obtiene C= 2 ; R= 5
Algoritmo de la división:
x = 2y + 5 (2)
(2) Reemplazo en (1)
2y + 5 +y = 59
y = 18; x= 41
Sean los números x; y
x + y = 436 (1)
x / y. se obtiene C= 2 ; R= 73
Por el algoritmo de la division
x = 2y +73 (2)
(2) Reemplazo en (1)
2y + 73 + y = 436
y =121; x=315Los números : 18 y 41
Los números: 121; 315

14. PROBLEMAS
25.- En tres días un hombre
gano $175. Si cada día gano
la mitad de lo que ganó el
día anterior, ¿Cuánto gano
cada día?
26.- Después de gastar la
mitad de lo que tenía y de
prestar la mitad de lo que
me quedó, tengo 21 soles,
¿Cuánto tenía al comienzo?
1er día: x;
2do día: x / 2;
3er día : x /4
x + x/2 + x/4 = 175
Multiplico por 4
4x+ 2x+ x= 700
x= 100
Gano 100, 50 , 25
Tenía : x;
gasto : x/2; Quedo : x/2
Presto : x/4 Quedo : x/4
x/4= 21 x=84
Rpta: 100, 50 , 25
Tenia: 84 soles

15. PROBLEMAS
27.- Los 4/5 de las aves de una
granja son palomas; los 3 /4 del
resto son gallinas y las cuatro
aves restantes son gallos,
¿Cuántas aves hay en la granja?
28.- Cinco veces, un número
disminuido en uno, mas tres
equivale a 4 veces, el mismo
número aumentado en seis,
menos siete. Halla el número
disminuido en ocho.
El numero : x
5(x-1) +3 = 4( x+ 6) -7
Resolviendo:
x= 19
El número de aves : x
Palomas: 4x/5 El resto : x/5
Gallinas: 3/ 4( x/5) = 3x/20
Gallos : 4
80
4
100
1580
4
20
3
5
4




x
x
xx
x
xx
Total de aves
80
El numero
19

16. PROBLEMAS
29.- El quíntuplo de un
número, disminuido en uno;
representa al cuádruple de
ese número, aumentado en
siete. Halla el número
aumentado en dos.
30.- Halla un numero
sabiendo que el cuádruple
de ese número, disminuido
en nueve, equivales al doble
de ese número, mas quince.
El número : x
5x -1 = 4 x +7
Resolviendo
x= 8
Numero buscado: 10
El Número: x
4x - 9 =2 x + 15
x= 12
Número buscado: 12
Número es: 10
Número es: 12

17. PROBLEMAS
31.- la diferencia de los
cuadrados de dos números
impares consecutivos es
424. Halla el mayor de ellos.
32.- Si al cuadrado de la
cantidad que tengo, le
disminuyo el doble de la
misma me quedaría S/120
.¿Cuánto tengo?
Números impares consecutivos:
El menor : x ;
El mayor : x+2
(x+2) 2 – x 2 = 424 desarrollando
x 2 + 4x + 4 – x 2 = 424
resolviendo
x= 105
El mayor es 107
Tengo : x
x 2 – 2x =120
x(x- 2)= 120
Resolviendo:
x= 12 soles
El mayor es 107
Tengo 12 soles

18. PROBLEMAS
33.- Dos números son
consecutivos, tal que la tercera
parte del mayor excede en 15 a la
quinta parte del menor. El
número mayor es:
34.- Se tiene dos números
consecutivos, cuya suma es igual
a la cuarta parte del primero más
los cinco tercios del segundo. El
consecutivo de la suma de los
números es:
Números consecutivos:
Menor: x
Mayor : x+1
El mayor es 111
110
15
15
355
15
53
1





x
xx
xx
Números consecutivos:
Menor= x
Mayor= x+1
8
12
4203
12
3
)1(5
4
1





x
xx
x
xx
xx
Rpta:
18

19. PROBLEMAS
35.- A una iglesia asisten 399
personas entre hombres,
mujeres y niños. El número de
hombres es el quíntuplo de las
mujeres y el de mujeres es el
triple que el de niños.
¿Cuántos hombres hay?
36.- ¿Cuánto mide el largo de
un rectángulo de 30 cm. de
ancho, tal que al quitarle 2 cm
en ambas direcciones su área
disminuye en 196 cm2?
Hombres. H = 15x
Mujeres: M =3x
Niños: N = x
15x +3x + x= 399
Resolviendo. x= 21
Nro de hombres : 15(21) = 315.
Largo ; l = ¿?
a= 30; su área = 30 x l
se disminuyen 2 cm
l= x – 2; a = 28
30 x – 28(x-2) = 196;
x= 70
Nro de hombres 315.
Largo mide : 70 cm

20. PROBLEMAS
37.- La tercera parte y la cuarta
parte de una canasta de frutas
son naranjas y manzanas
respectivamente. Halla el
número de frutas que contiene
la canasta si la suma de
naranjas y manzanas es 21.
38.- Con S/ 1296 se han
comprado igual número de
vasos de tres clases distintas;
siendo los precios
respectivamente de cada clase
de vaso 7,8 y 12 soles.
¿Cuántas docenas se
compraron?
Nro de vasos: x
7x + 8 x +12 x = 1296
x=48
Nro de docenas. 48 : 12 = 4
4 docenas
Nro de frutas en la canasta: x
36
21
12
7
21
43



x
x
xx
Nro de frutas
36
Nro de
docenas
4

21. PROBLEMAS
39.- Manuel compra la mitad de
un rollo de alambre menos 12 m.
Diego compra un tercio del
mismo rolo más 4 m por lo cual
recibe 8m menos que Manuel.
¿Cuántos metros compro
Manuel?
40.- Un niño tenía 20 bolas, unas
rojas y otras azules, Si se pierde 4
bolas de cada color, entonces el
triple del número de bolas azules
equivaldría al número de las
bolas rojas. ¿Cuántas bolas rojas
tenia?
Rojas = x;
Azules = 20 – x
Pierde 4 bolas de cada color
Rojas = x - 4;
Azules = 20 – x – 4= 16-x
3( 16- x) = x- 4
x=13
Manuel = x/2 -12;
Diego : x/ 3 + 4
144
8)
3
12
(
2
24
8)4
3
(12
2






x
xx
xx
Manuel compra: 60 Bolas rojas : 13

22. PROBLEMAS
41.- Dos personas tienen S/3680
y S/2560 respectivamente, Los
dos gastan la misma cantidad de
dinero, de tal manera que lo que
le queda a la primera es el triple
de lo le queda a la segunda
¿Cuánto gasto cada una?
42.- Entre cierto número de
personas compran una
computadora que cuesta 1200
soles. El dinero que paga cada
persona excede en 194 al número
de personas. ¿Cuántos
participaron en la compra?
Gastan la misma cantidad = x;
3680 – x= 3( 2560 – x)
Resolviendo
x= 2000
Gasto cada uno S/2000
Nro de personas= x;
Paga cada persona = x + 194
x( x+194) = 1200,
resolviendo la ecuación por método
Del aspa
x= 6
Nro de personas: 6

23. PROBLEMAS
43.- En una granja se tiene pavos,
gallinas y patos. Sin contar las
gallinas se tiene 5 aves, sin contar
los pavos tenemos 7 aves y sin
contar los patos tenemos 4 aves.
Luego el número de pavos es.
44.- Un número es el cuádruplo
de otro, si se aumenta cada uno 6
el producto aumenta 456, calcula
dichos números y dar como
respuesta la suma de ellos.
Nro de pavos: x;
Nro de gallinas: y
Nro de patos: z
x + z = 5
y + z = 7
x + y = 4
Resolviendo:
x = 1; y= 3; z= 4
Nro de
pavos:
1
Nro = 4x;
El otro = x;
El Producto = 4x2
(4x+6)(x+6) - 4x2 = 456;
Resolviendo
x= 14
El otro = 14; el numero= 56.
La suma 70

24. PROBLEMAS
45.- Una caja contiene 2240m
soles en billetes de 20 y 100
soles hay doble número de los
primeros que de los segundos
billetes. ¿Cuántos hay de cada
clase?
46.- Una caja de lápices
contiene una tercera parte
más de lápices que una
segunda caja. Si esta última
tiene 3 lápices menos
¿Cuántos lápices tendrá la
primera caja?
Billetes S/20= 2x;
billetes de S/100= x
2x(20) + x( 100) = 2240;
Resolviendo
x= 16
De S/ 20 son 32.
De S/ 100 = 16
1ra caja= x + x/3= 4x/3;
2da caja= x
De S/ 20 son 32. y de S/ 100 = 16
La 1ra caja
tiene 12
9
3
3
34
3
3
4




x
xx
x
x

25. PROBLEMAS
47.- Alberto tiene dos veces
más que lo que tiene Juan,
Si albero le da S/15 a Juan
entonces tendrían la misma
cantidad. ¿Cuánto tenían
entre los dos?
48.- Un número excede al 5,
como el 13 excede al
número. ¿Cuál es el
número?
Alberto =3x ( dos veces mas)
Juan = x
3x -15 = x + 15
Resolviendo
x=15
Los dos tienen 4( 15) = 60
El numero : x
x – 5 =13 – x
Resolviendo:
x = 9
Los dos tendrían S/ 60
El número es 9

26. PROBLEMAS
49.- Disminuyendo el
doble de un numero de
25, se obtiene 1 ¿Cuál es
el numero?
50.- Disminuyendo el
doble de un numero en 25
se obtiene 1 ¿Cuál es el
numero?
El numero :x
25 - 2x = 1;
Resolviendo
x =12
El numero : x
2x - 25 = 1;
Resolviendo
x =13
El número es 12
El número es 13

27. PROBLEMAS
51.- Se tenía 400 caramelos para
ser distribuidos en partes iguales a
un grupo de niños. Si retiran 4
niños, los restantes reciben 5
caramelos más. ¿Cuántos niños
había inicialmente?
52.- Yo tengo el triple de la mitad de
lo que tú tienes, mas S/10, si tú
tuvieras el doble de lo que tienes,
tendrías 5 soles más de lo que yo
tengo. ¿Cuánto me quedaría si
comprara un artículo que cuesta la
cuarta parte de lo que no gastaría?
CASO 1 CASO 2
Número de niños: x x-4
Cada /uno recibe: y y+5
Total xy = 400; (x-4)(y+5) = 400
Resolviendo y2+5y -2000= 0
y= 20 y x = 16
Nro de niños 16
Yo =3x/2 + 10 Tu = x
……………………. Tu = 2x
2x – (3x/2+10) = 5 x = 30
Yo tengo = 55
Gasto: x No gasto : 55 – x
x= (55- x)/4 x= 11
Le queda = S/44
Me queda S/44

28. PROBLEMAS
53.- Un regalo envuelto
cuesta S/13 y sin envolver
cuesta S/.11 más de lo que
cobran por envolverlo
¿Cuánto cobran por
envolverlo?
54. En un corral hay 13
animales entre conejo y
gallinas si tienen 42 patas
¿Cuántos conejos hay?
R= Precio del regalo
E= envolverlo
R + E =13 ( regalo envuelto )
R – E = 11
resolviendo
R = 12 E= 1
Animales Patas
Conejos = x 4
gallinas = y 2
x + y = 13
4x + 2y = 42;
Resolviendo
x= 8 conejos
Por envolverlo es S/ 1
Hay 8 conejos

29. PROBLEMAS
55.-En un taller hay 25
vehículos entre autos y
motos. Si se tienen 70
ruedas en total ¿Cuánto
autos hay?
56.-Si Juan recibe 5 soles
tendría el doble que si
hubiera gastado 5 soles
¿Cuánto tiene Juan?
Vehículos Ruedas
Autos = x 4
motos = y 2
x + y = 25
4x + 2y = 42;
resolviendo
x= 10 autos
Juan tiene = x
Recibe S/5 = x+5
Hubiera gastado : x-5
x + 5 = 2( x – 5);
resolviendo
x= 15
Numero de autos 10
Juan tiene S/ 15

30. PROBLEMAS
57.- Un alambre de 28 m
se cortan en tres partes tal
que cada parte es el doble
del anterior. ¿Cuánto mide
la parte mayor?
58.- La suma de dos
números es 36 si uno de
ellos es el doble del otro
¿Cuál es el mayor de estos
números?
1ra parte = x;
2da= 2x;
3ra= 4x
x +2x+4x = 28;
x= 4;
el mayor = 16
Nro = x;
El otro = 2x;
x + 2x = 36;
x= 12;
el mayor es 24
El mayor = 16
El mayor es 24

31. PROBLEMAS
59.- Hugo, Paco, y Luis recibieron
cierta cantidad de dinero cada
uno. Hugo recibió el doble de
Paco y este S/12 más que Luis.
Si entre los tres han recibido S/
60. ¿Cuánto ha recibido Paco?
60.- La suma de dos cifras de un
número es 9 si cambiamos el
orden de las cifras el nuevo
número excede al anterior en 9
unidades ¿Cuál es el numero?
Luis = x
Paco= x+ 12
Hugo =2(x+ 12);
2(x+12) +x+12+ x= 60;
x = 6;
Paco= 6 + 12 = 18
El número = ab; cambiamos el orden ba
la suma: b + a = 9 … (1)
ba – ab = 9
descoponiendo
10 b+a -10a – b=9;
9 b - 9a=9;
b – a= 1 …..(2)
Resolviendo (1) y (2)
b = 5; a= 4
Paco recibe S/ 18
El número es 45

32. PROBLEMAS
61.- En un corral hay conejos y
gallinas en total hay 35 cabeza
y 100 patas ¿Cuántos conejos y
gallinas Hay?
62.- La suma de dos cifras de
un número es 16. Si
cambiamos el orden de sus
cifras el número obtenido
excede al anterior en 18
unidades. ¿Cuál es el número?PATAS
Conejos = x 4
gallinas = y 2
PLANTEANDO
x + y = 35
4x + 2y = 100
Resolviendo:
x=15 conejos; y = 20 gallinas
El número : ab; cambio el orden : ba
la suma: a + b = 16 (1)
ba – ab = 18 Descomponiendo
10 b+a -10a – b=18;
9 b - 9a=18; simplifico
b – a= 2 (2)
De (1) y (2) a = 9; b=7.
El numero 97
15 conejos; 20 gallinas
El numero 97

33. PROBLEMAS
63.- En un corral hay oveja y
patos, en total hay 225 cabezas y
810 patas ¿Cuantas ovejas y
patos hay?
64.- La suma de dos cifras de un
número es 12. Si cambiamos el
orden de sus cifras el nuevo
número obtenido excede al
anterior en 36 unidades. ¿Cuál es
el número?
Patas
Nro de ovejas = x …… 4
Nro de patos = y …… 2
x + y = 225
4x + 2y = 810
Resolviendo por reducción
x=180 ovejas; y = 45 patos
El número: ab; cambiando su orden: ba
la suma de cifras: a + b = 12 ……. (1)
ba – ab = 36 Descomposición
10 b + a -10a – b=36;
9 b - 9a=36;
b – a = 4 ……… (2)
Resolviendo (1) y (2)
b = 8; a=4, el número es 48
180 ovejas; 45 patos
el número es 48

34. PROBLEMAS
65.- Un hotel tiene
habitaciones dobles y
sencillas. Tiene en total 50
habitaciones y 87 camas.
¿Cuántas habitaciones tiene
de cada tipo?
Habitaciones Nro de camas
dobles = x, 2
sencillas = y 1
x + y = 50
2x + y = 87 Resolviendo
x=37 dobles; y = 13 sencillas
MUCHAS GRACIAS
x=37 dobles; y = 13 sencillas