El documento analiza conceptos básicos de funciones como dominio, recorrido, límites y límites infinitos. Explica que una función asocia cada valor de una variable independiente (x) a un único valor de una variable dependiente (y). Define dominio como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y recorrido como el conjunto de valores de la variable dependiente. Además, introduce la noción de límite de una función en un punto de manera intuitiva y formal mediante la definición ε-δ.

1. Tema: Análisis de Funciones
1. FUNCIONES. LÍMITES.

2. Funciones: dominio
y recorrido
• Una función real f es una ley que asigna a cada valor x de un conjunto un único elemento de otro o del
mismo conjunto. Se nombra y = f(x).
• La x se llama variable independiente.
• La y se llama variable dependiente.
• El dominio de una función D(f), es conjunto en el que se define la función. Cuando no se define
explícitamente se entiende que el dominio es el mayor posible de entre los valores que puede tomar la
variable independiente.
• El recorrido de una función R(f), es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente de
la función.
• En el ejemplo la función h(x) tiene de
dominio Dom(h) = (0, ∞)
• El recorrido es (0, ∞)

3. Función real de
variable real:
ejemplo I
La fórmula f(x)=x relaciona dos variables reales
2
f(x) = x2
R R
Dominio Recorrido
f(2) = 4
•2 •4
• 2,3 f(2,3) = 5,29
• 5,29
•5 f(5) = 25
• 25
Para que sea aplicación ha de cumplir dos condiciones:
• Todo elemento de D ha de tener imagen.
• Esta imagen ha de ser única.

4. Función real de variable real: ejemplo II
f(x)
• (x, f(x))
Recorrido
x
–1 1
Dominio
Variable independiente Ley de asociación Variable dependiente
x f y = f(x)
Dominio Recorrido
f(x) = 1 – x2
D = [–1, 1] f([–1, 1]) = [0, 1]

5. Límite de una función en un punto:
de la definición intuitiva a la definición formal
Sea f(x) = (x3 + 2x) / x . Su dominio es D(f) = R – {0}. Sus valores en las proximidades de x = 0
x -2 -1 -0,1 -0,01 0 0,01 0,1 1 2
f(x) 6 3 2,01 2,0001 no existe 2,0001 2,01 3 6
Definición intuitiva: Diremos que el límite de f(x) en x = 0 es 2, ya que para valores de x
próximos a 0 los correspondientes valores de f(x) se aproximan a 2.
Objeción: esos valores de f(x) también están cada vez más próximos a 1 y no decimos que el límite sea
1  hay que depurar esa definición.
Vemos que para valores próximos a x = 0, f(x) llega a estar a distancias de 2 tan pequeñas como se
quiera (a 0,01, a 0,0001, etc). Eso no ocurre con el valor 1 pues los valores de f(x) se mantienen a
distancias de él mayores de una unidad.
2ª Definición: Diremos que el límite de f(x) en x = 0 es 2, ya que para valores de x
próximos a 0 los correspondientes valores de f(x) están tan próximos como queramos a 2.
Objeción: imaginemos que exigimos que f(x) esté a 0,01 del 2 y que tal requisito se logra para un valor
de x cercano al 0, pero sólo para ése, no para los demás. No diríamos entonces que el limite sea 2
hay que depurar esa definición.
Definición precisa: Diremos que el límite de f(x) en x = 0 es 2, ya que para cualquier
distancia ε, tan pequeña como queramos, hay una distancia δ tal que: para cualquier valor
de x que esté a una distancia de 0 menor que δ, su imagen f(x) está a una distancia de 2
menor que ε.

6. Límite de una función
en un punto: definición
formal
Sean a y L dos números reales. Una función f(x) tiene límite L en el punto x = a si
para todo número real ε > 0 existe otro número real δ > 0, tal que
si 0 < |x – a | < δ ⇒ |f(x) – L | < ε
Para cada ε > 0 Hay un δ > 0 0 < |x – a | < δ |f(x) – L | < ε
La condición 0 < | x – a | < δ prohibe que x tome el valor a.
No es necesario que la función esté definida en a.
Si existe el límite de una función en un punto, dicho límite debe ser único.

7. Límites
laterales
de una
función
El límite por la derecha de una función f(x) en x = a es L cuando al tomar valores de x que
se aproximan hacia a, siendo a < x, a partir de algún valor de x, todos los valores de f(x)
que se obtienen llegan a estar tan próximos como queramos de L (idem, límite por la i
izquierda).
lim + f(x) = L (lim – f(x )= L ).
x→ a x→a
• Una función tiene límite en un punto si y sólo si existen los límites laterales
y ambos son iguales.
Ejemplo: la función Ent(x) = «mayor nº entero menor o igual a x» tiene una gráfica como
la siguiente. Se observa que:
• + Ent(x)
lim =3
x→ 3
• – Ent(x)
lim =2 3
x→ 3
Como los límites laterales no coinciden la
función no tiene límite cuando x→3.

8. Propiedades de los límites de funciones
Sean f ( x ) y g ( x ) dos funciones tales que lim f ( x) = p y lim g ( x) = .q
x →a x →a
1. lim( f ( x) ± g ( x) ) = lim f ( x) ± lim g ( x) = p ± q.
x→a x→a x→a
2. Si k es un número real, lim( kf ( x) ) = k lim( f ( x) ) = kp.
x→a x→a
3. lim( f ( x) ⋅ g ( x) ) = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) = p ⋅ q.
x→a x→a x →a
 f ( x)  lim f ( x) p
4. Si q no es cero, lim g ( x)  = lim g ( x) = q .

x →a
x→a
  x →a
5. Si p q es un número real, lim( f ( x) )
x →a
g ( x)
( )
= lim f ( x) x→a
x→a
lim g ( x )
= pq.

9. Límites
infinitos
de una
función:
definición
• Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia a es infinito , si el valor de la fun ción f(x) se
hace tan grande como se quiera siempre que se tomen valores de x suficientemente próximos al
número a pero distintos de a. Se designa lim f(x) = ∞.
→
x a
• Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia a es menos infinito , si la función f(x) toma
valores negativos tan grandes como se quiera en valor a b soluto, siempre que se tomen valores
x suficientemente próximos al número a perodistintos de a. Se designa lim f(x) = – ∞.
→ x a
Ejemplo: observando la gráfica de la
1
función f(x) = se ve que:
|x|
1
|x| ∞
• lim =
x→0+ 1
⇔
lim
|x| ∞
=
1 x→
0
|x| ∞
• lim =
x→0–

10. Límites laterales
infinitos en un
punto
En la medida en que x se acerca a 0, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x?
x 1 0,1 0,01 0,01 →0+
f(x) = (x+1)/x 2 11 101 1001 →+∞
x+1
lim +x = +∞
x→0
x+1
De igual manera si x se acerca a 0 con valores negativos se ve que: lim – x = –∞
x→0

11. Límites finitos en el infinito
Se dice que el número L es el límite de f(x) cuando tiende hacia infin ito (menos
x
infinito) , si la distancia | f(x) – L | se hace tan pequeña como se quiera sie pre que
m
se tomen va lores x suficientemente grandes (en valor absoluto). Se den ota
lim f(x) = L (x → – ∞f(x) = L).
x →∞
lim
Ejemplo: En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se
acerca f(x) = (x+1) / x?
x 10 102 103 104 →+∞
f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,001 1,0001 →1
x+1
lim =1
x→+∞ x

12. Límites infinitos en el
infinito
En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca
f(x) = x2?
x 10 102 103 104 → +∞
f(x) = x2 102 104 106 108 → +∞
lim x2 = + ∞
x→+∞
El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para valores muy
grandes de x, los correspondientes valores que toma la función f(x) son cada
vez más grandes (tanto como queramos).
Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.

13. Comportamiento en el infinito: no existe límite
Cuando x tiende a infinito o x tiende a menos infinito los valores de estas
funciones seno y coseno no tienden a ningún valor, ya que oscilan entre 1 y –1.
Ambos límites no existen.

14. Cálculo de límites
Límites simples
Cuando las funciones verifican → f(x) = f(a) se pueden obtener directamente loslí ites,
lim m
x a
por el procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable x por el
valor de a hacia el que tiende.
Ejemplos

 2 x3 + x – 1
lim x – 100 + x2 – 1  = –100 + 1 = – 99

x→0 
2 2 .
3 (x – 2x + 1)  3 (1 –2 1+1)
 2x3 – 2x + 1  2 . 13–2 . 1 + 1
lim  3
x –x + 1   = 3
1 –1+1   = 10 = 1
x→1  
–2x2 + 3 –2 . 32 + 3 15
lim x3 – 2x + 5 = 3 = – 16
x→3 3 – 2 .3 + 5

15. Límites de operaciones de funciones
cuando alguno es infinito
Para el cálculo de operaciones entre funciones cuando L o M son infinitos,
basta tener en cuenta la siguientes reglas:
Si L = M = ∞ se tiene:
∞+∞=∞
∞.∞=∞
∞∞ = ∞
∞-∞ = 0
Si L es un número cualquiera:
L±∞=±∞
L . ∞ = ∞ si L > 0
L . ∞ = – ∞ si L < 0
L/±∞=0
∞L= ∞ si L > 0
∞L= 0 si L< 0
Es importante recordar que estas reglas no definen operaciones entre
números, ya que el infinito no es un número; las expresiones anteriores
deben ser interpretadas en términos de límites de funciones.

16. Indeterminaciones: tipos
Cuando podemos calcular el límite de la operación de dos o más funciones, aun sin
conocerlas, decimos que el límite es determinado. Aplicando los teoremas anteriores
podemos obtener el límite buscado. En caso de que no podamos aplicar ningún teorema que
nos permita calcular el límite, diremos que es indeterminado.
lim f(x) = 2 lim f(x) = 0
x →a x →a
lim g(x) = 3 lim g(x) = 0
x →a x →a
f(x) 2 f(x)
Entonces lim = No es posible obtener lim . Para
x →a g(x) 3 x →a g(x)
poder salvar la indeterminación hemos
de conocer f y g.
Este resultado no depende de las funciones f Este límite depende de las funciones f y g. El
y g. El límite es determinado. límite es indeterminado.
L ∞
Tipos de ≠ 0
0/L 0
∞
0.∞ ∞–∞ ∞0 00 1
indeterminaciones 0 ∞

17. Cálculo de indeterminaciones: tipo L/0, con L ≠ 0
En estos casos el límite si existe es +∞ o –∞ dependiendo del signo de la función
a izquierda y derecha del valor al cual tiende la variable.
1
• lim =–∞
–x – 2
x→
2 1
⇒x – 2 no existe
lim
1 x→ 2
• lim =+∞
+x – 2
x→
2
1
• lim 2=+∞
– (x – 2)
x→
2 1
⇒ (x – 2)2 = + ∞
lim
1 x→ 2
• lim 2=+∞
+ (x – 2)
x→
2

18. Cálculo de indeterminaciones: tipo 0/0
P(x) 0
Cuando el lim es indeterminado siendo P(x) y Q(x) polinomios, pod e-
x →a Q(x) 0
mos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos porx – a.
–18 + 21x – 8x2 + x3 (x – 3)2(x – 2) (x – 3)(x – 2) 0
• lim 2
x –9 = lim (x – 3)(x + 3) = lim (x + 3) = 6 = 0
x →3 x →3 x →3
0
Indet 0
–18 + 33 x – 20 x2 + 4 x3 (x – 2)(2x – 3)2 –1
• lim 9 – 12 x + 4 x2 = lim (2x – 3)2 = lim (x – 2) = 2
3 3 3
→
x 2 →
x 2 x→2
0
Indet 0

19. Cálculo de indeterminaciones: tipo 0 . ∞
Estas indeterminaciones se resuelven a veces operando previamente para
0 ∞
obtener una expresión más sencilla o reduciéndolas a otras del tipo
0o∞
Recordando que lim xp e–x = 0
x →∞
• lim 3 –x lim 2 –x lim –x
lim (x3 + 5x2 + 7x)e–x = x→∞ x e + 5 x→∞ x e + 7 x→∞ xe =
x →∞
Indet 0. ∞ = 0+5.0+7.0=0
ln x
lim
Recordando que X →∞ x = 0
. ln x lim – ln y =0
• lim +x ln x = lim + 1 = y →∞ y
x→0 x →0
Indet 0. ∞ x
1/x = y

20. Cálculo de indeterminaciones: tipo ∞/∞
P(x) ∞
Cuando el lim es indeterminado ∞siendo P(x) y Q(x) polinomios,
x →∞ Q(x)
podemos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por la potencia más
alta de x que aparezca en ambos.
3 5
–2 + x2 – x3
–2x3 + 3x – 5 –2
lim –x3 – 2x + 5 = lim 2 5 = –1 = 2
x →∞ x →∞
∞ –1 – x2 + x3
Indet ∞
En otros casos un cambio de variable permite salvar la indeterminación.
ln (ln x) ln y
lim lim =0
x →∞ ln x = y →∞ y
∞
Indet ∞ ln x = y

21. Cálculo de indeterminaciones: tipo ∞ – ∞
En estos casos es aconsejable operar previamente para simplificar, si es posible, la
expresión antes de tomar el límite.
Cuando la indeterminación procede de una diferencia de radicales, es conveniente multi-
plicar y dividir por la expresión conjugada.
lim (x3 – x2 ) =lim x(x – 1) = ∞ . ∞ = ∞
2
x →∞ x→∞
Indet ∞ – ∞
2 2 [ x2 + 1 – x2 – 1] [ x2 + 1+ x2 – 1]
lim [ x + 1 – x – 1] = lim =
x→∞ x →∞ [ x2 + 1+ x2 – 1]
Indet ∞ – ∞
(x2 + 1) – (x2 – 1) lim 2 2
= lim 2 2 = 2 2 = ∞= 0
x →∞ [ x + 1 + x – 1] x →∞ x + 1 + x – 1

22. Cálculo de indeterminaciones: tipos ∞ 0, 00
Estas indeterminaciones se resuelven frecuentemente tomando logaritmos y
expresando la función inicial como «la exponencial de su logaritmo».
x
ln (x ) x ln x
x
lim + x = lim +e = lim +e = e0 = 1
x →0 x→0 x→0
0
Indet 0
1 ln x
1
lim (x ) = lim e ln x x
x
x →+∞
= lim e x
= e0 = 1
→+∞
x x →+∞
Indet ( +∞ ) 0

23. Cálculo de indeterminaciones: tipo 1∞
Para resolver estas indeterminaciones resulta útil muchas veces recordar la expresión
a
de e como límite, combinada con un cambio de variable.
x 2 x 2
   

1 2x  1    1 
lim 1 + =lim  1+ x   = 1+ 
  2
 
→∞    lim  x =e 1
x →∞ x  x x →∞  =y
2x + x4
2
Indet 1∞
4
 1   4 1
1 2x + x (2x + x )
2 4
4
= lim 1 + 1  
4 x
2 x2 2 4
x2
2
lim (1 + 2x + x ) lim 1 +
= → =
x→0 x 0 1  x→0  
 2x + x 
2 4
 2x2 + x4  
Indet 1∞
4 (2x2 + x4 )
lim x2 lim (8 + 4x2 )
 1  y  x→0  1  y x→0
= lim 1 + y   = lim 1 +   =e
8
y →∞    y →∞  y 