presentacion "ley de los senos"

1. Jorge enrique Flórez santacruz
IED EL JAZMIN
MAESTRO DE MATEMATICAS
LEY DE LOS SENOS
Nivel Educativo: SECUNDARIA
Área curricular: TRIGONOMETRIA

2. El problema general de
resolución de un triángulo
El problema general de
resolución de un triángulo
consiste en hallar las
longitudes de sus lados a, b y
Los triángulos c y el valor de sus ángulos A,
pueden ser de tres tipos, B y C.
además del conocido En general basta con conocer
triángulo rectángulo (con tres cualesquiera de estos
un ángulo de 90º) seis elementos para obtener
tenemos también los otros tres: conocido dos
acutángulos, con los tres ángulos y un lado, un lado y
ángulos agudos, y dos ángulos o los tres lados.
obtusángulos, que tienen El caso de los tres ángulos no
un ángulo de más de 90º. tiene solución única pues hay
Vamos a utilizar siempre infinitos triángulos semejantes
la misma notación: A, B y que cumplen la condición.
C para los vértices y a, b En realidad tenemos cuatro
y c para los lados del problemas diferentes:
triángulo. 1. Conocidos dos ángulos y
LA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE
un lado.
UN TRIÁNGULO CUALQUIERA
ES 180º. RECUERDA ESTO 2. Conocidos dos lados y el
PUES LO VAMOS A UTILIZAR ángulo adjunto a uno de ellos.
MÁS ADELANTE (A+B+C=180º). 3. Conocidos dos lados y el
ángulo comprendido.
4. Conocidos los tres lados
Para resolverlos, vamos a
utilizar dos teoremas:
Teorema del seno
Teorema del coseno

3. TEOREMA DEL SENO
En todo triángulo, el cociente entre cada lado y el
seno de su ángulo opuesto es el mismo.
En un triángulo cualquiera se cumple siempre que:
Tenemos tres igualdades que nos relacionan los seis
datos de un triángulo y que nos van a ayudar a
resolverlos.
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO
Como ya sabes por la definición de las razones trigonométricas:
h = b·senA y h = a·senB
Luego b·senA = a·senB,
de donde se obtiene una de las igualdades del teorema del seno:
La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del
triángulo.
SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO SE DEMUESTRA
IGUAL:
Se demuestra igual pues h = a·sen (B-180º) pero sen (B-180º) = sen B

4. 1a. Resolución de un triángulo
del que se conocen dos ángulos y
el lado que los une.
En primer lugar, se calcula fácilmente el ángulo
C.
Si de un triángulo conocemos A=30º,
B=100º y c=5 cm. calcular el resto de los
elementos.
A continuación, se aplica el teorema de los senos y Solucion:
se calculan los ángulos A y B. Como A+B+C = 180º tenemos que C=
180-A-B = (180-30-100) = 50º
Para el cálculo de las longitudes de los
lados utilizaremos el teorema del seno:
y despejando
y (b) se calcula igual

5. 1b. Resolución de triángulos en los que
conocemos dos ángulos y un lado que no sea el y despejando
que une estos ángulos.
En realidad es el mismo caso de antes, pues si
conoces dos ángulos conoces el tercero.
Resolver el triángulo A=80º, C=30º y c=8 2.
Solución: Como A+B+C = 180º tenemos que C
= 180-A-B = (180-80-30) = 70º Y de la misma forma
Para el cálculo de las longitudes de los lados
utilizaremos el teorema del seno:
Resolución de triángulos conocidos dos lados y el
ángulo opuesto a uno de ellos.
Es el caso que más problemas plantea, pues
podemos encontrarnos casos en los que tengamos
una solución, dos soluciones o ninguna:
Nota: recuerda que A+B+C=180º y que el seno
nunca puede ser mayor que 1 o menor que -1).
Pues bien, se nos pueden dar, en este último caso,
las siguientes posibilidades: a = c.sen A, con lo cual el triángulo es rectángulo.
a < c.sen A, con lo cual el triángulo no existe.

6. a > c.sen A y a< c, en cuyo caso existen dos
triángulos: ABC y ABC´.
a>c.sen A y a>=C, con lo cual estamos
en el caso de un sólo triángulo. Será
esta posibilidad la que ocupe nuestro
estudio dentro del caso IV.
Resuelvan el triángulo del que conocemos b=7.7 cm.,
c=8.7 cm. y B=52º.
Aplicando el teorema del seno se obtiene
Luego C = 62.9º o bien C = 117.1º el
problema tiene dos soluciones.
Para C=62.9º A=180-B-C=65.1º y
cm.
Para C = 117.1° se tiene A = 10.9º y a=
1.8477348 cm.

7. [2. TAREA:]
Descripción:
DADA LA INFORMACION PERTINENTE AL CONOCIMIENTO PROPUESTO, LOS
ESTUDIANTES ESTARAN LISTOS PARA RESOLVER CUESTIONAMIENTOS Y
MUCHO MAS.
Durante esta actividad trabajarán en grupos de 5 estudiantes para completar las
siguientes tareas:
Identificar los elementos del teorema del seno, sus relaciones y regularidades.
Distinguir los diferentes casos de solucion que se puedan presentar al abordar la
resolución de triángulos no rectángulos.
Practicar elaborando los ejercicios propuestos al final de la explicación.
Representar una o dos situaciones cotidianas a través de un triangulo no rectángulo.
Investigar a cerca del tema bajo perspectivas distintas o semejantes, abordando
nuevos temas que los inquieten.
Para esto cada uno deberá asumir un rol distinto.
EJERCICIOS
1. Resolver un triángulo tal que a=4.5 cm., B=30º y C= 78º.
2. Resolver un triángulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35º y b=10 cm.
3. Resolver el triángulo con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 4 m.
4. Resolver el triángulo a=3 m., b=5 m. y C= 80º.
5. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se
cortan bajo un ángulo de 50º. Hallar el perímetro del paralelogramo.
[3.PROCESO:]
1. Trabajarán en grupos de 5 estudiantes y cada uno de ellos asumirá un rol
diferente, investigando sobre diferentes aspectos del tema. Tomarán anotaciones
mientras hacen sus investigaciones en un documento de Word, que más tarde
juntarán y resumirán en un documento común.
Estos son los roles que asumirán:
Investigador 1: su labor consistirá en investigar todo acerca de los elementos del
teorema del seno, sus relaciones y regularidades. Estas son algunas de las
direcciones que le pueden ayudar a llevar a cabo la investigación. No se olvide de
poner algunas imágenes ilustrativas.
Microsoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation.
http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1

8. Investigador 2: su tarea se basará en la aplicación de la
información sobre como se resuelven los diferentes casos en
triángulos no rectángulos por medio del teorema del seno.
Representando una o dos situaciones cotidianas a través de un
triangulo no rectángulo.
http://www.eduteka.org
http://ciencias.bc.inter.edu/ohernand/internet/enlaces/
matematicos.html
líder investigador: como responsable de la dirección deberá
aventurarse a investigar a cerca del tema bajo perspectivas distintas
o semejantes, abordando nuevos temas que los inquieten.
http://www.matematicas.net/
http://sipan.inictel.gob.pe/av/
http://www.dvnet.es/rubia/rmat.htm
organizador: su trabajo consistirá en apoyar la resolución de los
ejercicios planteados al final de la información de la tarea,
estableciendo para ello el orden y el compromiso de cada integrante.
www.arrakis.es/~davidgv/index.html
www.redemat.com/
expositor: su trabajo consiste en presentar ordenada y fielmente la
recopilación de la información con pleno conocimiento de todos los
temas para representar al grupo de la mejor manera.
http://www.monografias.com/trabajos
Microsoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation.
2.- Cuando recopilen toda la información que se requiere para la
investigación, realizaran entre todos una puesta en común y
socialización de información para compilar las escogencias previo
acuerdo.
3.- Para finalizar expondrán su tarea a los compañeros de la clase,
explicando los aspectos más característicos de este. Este trabajo
formará parte de la biblioteca del aula.