2. Ecuaciones de primer grado Contenidos
 Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico
 Expresiones algébricas
 Operaciones algebraicas
 Simplificación de expresiones iguales
 Valor numérico de una expresión algebraica
 Suma y resta de expresiones algebraicas. Simplificación
 Igualdades y ecuaciones

3. Ecuaciones de primer grado Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico
El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros
Esta información podría expresarse de
otra forma:
Llamamos x al ancho del campo.
Ancho
El doble será 2 · x
Y el doble más 10 m: 2 · x + 10
Largo Por tanto, 2 · x + 10 expresa el
largo del campo de fútbol.
Las dimensiones de nuestro campo,
expresadas en forma algebraica, son:
x
El lenguaje algebraico utiliza letras,
2x + 10
números y signos de operaciones para
expresar información.

4. Ecuaciones de primer grado El lenguaje algebraico: algunos ejemplos
Lenguaje ordinario Lenguaje algebraico
Un número aumentado en 2 x + 2 (Hemos llamado x al número)
Un número disminuido en 5 x–5
x
Perímetro del cuadrado de
lado x 4x x x
x
El cuadrado de un número x2
El cuadrado de un número
menos el mismo número x2 – x
El número natural siguiente
al número n n+1
Hoy Antonio tiene 12 años;
cuando pasen x años tendrá x + 12
Hoy Laura tiene 13 años;
hace x años tenía: 13 – x

5. Ecuaciones de primer grado Expresiones algebraicas
Las fórmulas que se utilizan en Geometría y en otras ciencias son expresiones que
contienen sólo letras, o números y letras:
b·h
Área de un rectángulo: a · b Área del triángulo:
2
b h
a b
La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t (t = tiempo en horas)
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por
los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división,
radiación y potenciación.
Observaciones
1. El factor 1 no se escribe. 1 · x2 · y x2 · y
2. El exponente 1 tampoco se escribe. x2 · y1 x2 y
3. El signo de multiplicación no suele ponerse. 5 · a · b · c2 5abc2

6. Ecuaciones de primer grado Operaciones algebraicas
Las operaciones usadas en álgebra siguen las mismas reglas que las
usadas en aritmética.
Aritmética Álgebra
4+5=5+4 P. Conmutativa a+b=b+a
4x5=5x4 P. Conmutativa axb=bxa
2 + (4 + 5) = (2 + 4) + 5 P. Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
2 x (4 x 5) = (2 x 4) x 5 P. Asociativa a x (b x c) = (a x b) x c

7. Ecuaciones de primer grado Simplificación de expresiones iguales
Simplificamos expresiones sumando y restando términos iguales
Aritmética Álgebra
4+4+4=3x4 a+a+a=3.a
8+8+8+8+8=5x8 n+n+n+n+n=5xn
3x6+4x6=7x6 3.c+4.c=7.c
5x4–2x4=3x4 5.d–2.d=3.d
b + 3b + b = 5b

8. Ecuaciones de primer grado Valor numérico de una expresión algebraica
Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2.
x x2
Si queremos hallar el área de un cuadrado
x
concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm
de lado, se sustituye x por 4: A = x2 = (4cm)2 = 16cm2
16 es el valor numérico de la expresión x2 cuando se sustituye x por 4.
Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se
obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados,
y hacer las operaciones indicadas en la expresión.
Ejemplos:
1. El valor numérico de la para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4
expresión algebraica 5x – 6 para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 44
2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a2 + b2 para a = 4 y b = 10 es:
5 · 42 + 102 = 5 · 16 + 100 = 180

9. Ecuaciones de primer grado Suma y resta de expresiones algebraicas
Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente.
x x x x x x x x
5x 3x
¿Cómo podríamos expresar su longitud total?
Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene: Suma:
x x x x x x x x 5x + 3x = 8x
5x 3x
¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes? Resta:
x x x
x xx x
5x – 3x = 2x
2x 5x 3x
Observación Para que dos expresiones puedan sumarse o No se pueden sumar
restarse es necesario que sean semejantes. 2x + x2
No son semejantes
Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y
resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales
(letras) deben ser iguales. Se dice entonces, que son
expresiones semejantes.

10. Ecuaciones de primer grado Igualdades y ecuaciones
La balanza está equilibrada.
10 + 2 = 4 + 8
Tenemos una igualdad numérica
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones
numéricas iguales unidas por el signo igual (=).
Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la izquierda del signo igual, y 10 + 2 = 4 + 8
el segundo a la derecha. Cada una de las cantidades de un miembro
conectadas a la otra por el signo más o menos se denomina término. 1er miembro 2º miembro
Esta segunda balanza también está en equilibrio,
aunque un peso es desconocido: le llamamos x
Armamos la igualdad: x+4=8+4
Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita.
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números
relacionados por operaciones aritméticas. Es una igualdad en la que hay
una o varias cantidades desconocidas y solo es verdadera para
determinados valores. La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.

11. Ecuaciones de primer grado Ecuaciones
La balanza está equilibrada: el peso
x de los dos platillos es el mismo.
A lo que pesa el trozo de queso le
podemos llamar x.
Tendremos la igualdad: x + 100 = 350
Esta igualdad es una ecuación. La letra x se llama incógnita o variable, porque su
valor es desconocido y puede tomar cualquier valor (que cumpla la igualdad).
Para practicar
Calcula por tanteo el valor de la incógnita en las igualdades:
a) x + 3 = 7 b) x – 2 = 4 c) 3 · x = 21 El signo “por”, “×”,
se sustituye por un
x = 4, pues: y = 6, pues: x = 7, pues: punto: “·” o no
4+3=7 6–2=4 7 · 3 = 21 ponemos nada.

12. Ecuaciones de primer grado Solución de una ecuación
¿Cuánto pesará el trozo de queso si
la balanza está equilibrada.?
Platillo izquierdo: x + 100
Platillo derecho: 500 + 200
Como pesan igual, escribimos la ecuación: x + 100 = 500 + 200
La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700
El valor x = 600 es la solución de la ecuación.
La solución de una ecuación es el valor de la incógnita para el que
se verifica la igualdad. Resolver una ecuación encontrar su solución.
Para comprobar que una Ejemplo La solución de la ecuación
solución es correcta hay que 2x – 2 = 26 es x = 14
sustituir en la ecuación y ver
que se cumple la igualdad. pues 2 · 14 – 2 = 26

13. Ecuaciones de primer grado Ecuaciones equivalentes
La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3:
Sustituyendo:
a) 4 + 4x = 25 – 3x 4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16
b) 7x + 4 = 25 7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro
Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución.
Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada:
Ecuación dada: 8x = 16 Su solución es x = 2. (¿Es cierto?)
Le sumamos 2 a cada miembro
2ª ecuación: 2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18
Restamos 6x a cada miembro
3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x 2 + 2x = 18 – 6x
Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones.