Trasnformaciones Lineales

1. TRANSFORMACIONES LINEALES
Definición:
Una transformación lineal L ∈ ℜn en ℜm es una función que asigna a cada u ∈ ℜn un único vector
L( u ) ∈ ℜ m de modo que:
( ) () ()
a) L u + v = L u + L v , ∀u, v ∈ ℜn
b) L( k u ) = kL(u ), ∀u ∈ ℜ n
y ∀k ∈ ℜ
Ejemplo 1:
Sea L :ℜ3 → ℜ 2 definida como, L( x, y, z ) = ( x, y ) verifique que la misma es una transformación
lineal.
Sol:
Definamos dos vectores u = ( x1 , y1 , z1 ) y v = ( x2 , y2 , z2 ) tales que:
( )
L u + v = L( ( x1 , y1 , z1 ) + ( x2 , y2 , z2 ) )
= L( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
= ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )
() ()
=L u + L v
Además si k ∈ ℜ , entonces.
( ) ()
L k u = L( kx1 , ky1 , kz1 ) = ( kx1 , ky1 ) = k ( x1 , y1 ) = kL u
Por lo tanto L es un a transformación lineal llamada proyección.

2. Ejemplo 2.
Sea L :ℜ3 → ℜ2 definida por
  u1  
  u + 1 
L u2   =  1
  
 u   u2 − u3 
 3
Demostrar que la misma es una transformación lineal.
Demostración:
 u1   v1 
u  v = v 
Definamos dos vectores u =  2  y  2
 u3 
  v3 
 
Entonces
  u1   v1     u1 + v1  
       ( u1 + v1 ) + 1 
( )
L u + v = L u2  + v2   = L u2 + v2   =  
  u + v   ( u2 − u3 ) + ( v2 − v3 ) 
 
 u   v  
 3  3  3 3 
Por otro lado.
 u + 1   v1 − 1   ( u1 + v1 ) + 2 
() ()
Lu +Lv = 1 + = 
u2 − u3  v2 − v3  ( u2 − u3 ) + ( v2 − v3 ) 
(
Como las primeras coordenadas de L u + v y L u + L v ) () () son diferentes, de esta forma
concluimos que L no es una transformación lineal.
Teorema.
Si L :ℜn → ℜ m es una transformación. Entonces
a) L( 0 R n ) = 0 R m
( ) () ()
b) L u − v = L u − L v ∀u , v ∈ ℜn

3. Ejemplo:
Sea L :ℜ3 → ℜ2 una transformación lineal para la cual sabemos que
L(1,0,0 ) = ( 2,−1) L( 0,1,0) = ( 3,1) L( 0,0,1) = ( − 1,2) .
Determinaremos L( − 3,4,2 ) .
Sol.
Como ( − 3,4,2 ) = −3i + 4 j + 2k
Tenemos que:
L( − 3,4,2 ) = L( − 3i + 4 j + 2k )
= −3 L ( i ) + 4 L ( j ) + 2 L ( k )
= − 3( 2,−1) + 4( 3,1) + 2( − 1,2)
= ( − 6 + 12 − 2,3 + 4 + 4) = ( 4,11)
Ejercicio Propuesto.
Sea L :ℜ2 → ℜ3 definida por
1 0 
 x   x
L   = 0 1    Demostrar que L es una transformación lineal, que cumple que
 y
 y  1 − 1  
 
2
v=3
 
− 1
 

4. NUCLEO Y RECORRIDO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Definición:
Si T : V → W es una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores en V que T
aplica hacia 0 se conoce como el núcleo (Kernel o espacio nulo) de T , este espacio se denota por
Ker ( T ) . El conjunto de todos los vectores en W que son imágenes bajo T de al menos un vector
en V , se conoce como recorrido de T este conjunto se denota por R( T ) .
Teorema:
Si T : V → W es una transformación lineal entonces:
a) El núcleo de T es un subespacio vectorial.
b) El recorrido de T es un subespacio de W
Definición:
Si T : V → W es una transformación lineal, entonces la dimensión del recorrido de T se
conoce como rango de T y la dimensión del núcleo se denomina nulidad de T .