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Teoría
Definición: Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales,
es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro.

Notación: para señalar una transformación lineal usaremos f (v)=W, donde V y
W son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo.
Terminología: a las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal.

Gráfico:

Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio
vectorial W, sus elementos son función de los elementos de V


                V                              W             Sean:
                                                             V,W: Espacios Vectoriales
                                f
               v1                             w1             v1,v2,v3         Vectores
               v2                             w2             w1,w2,w3
               v3                             w3
Teorema:
   Una función f de V en W que asigna a cada vector v , un vector f(v) Є W es
una transformación lineal, si y sólo si, α Є K, vi, vj Є V, satisface los
                                         A         A
siguientes axiomas:

1. f (vi + vj) = f (vi) + f (vj)
2. f (vi) = α.f (vi)
Teorema:
Sea f : V         W Una transformación lineal, entonces se cumple que:
1. f (0v) = 0w
2. f (vi - vj) = f (vi) - f (vj)

Teorema:
Sea f : V         W Una transformación lineal, dimV=n
                             dimV = dimN (f) + dimIm (f)
Ejercicios:
 1. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y
    realizar un diagrama.

     f : P(2)             R2
     (a+bx+cx2 )          f (a+bx+cx2 ) = (a-b, 2c+a )

     Solución:
Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los
vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada
vector.

  V1 (1-x)                    f (1-x) = (2,1)
            2                 f (3+x-2x2) = (2,-1)
  V2 (3+x-2x )
               2              f (0+0x+0x2) = (0,0)
  V3 (0+0x+0x )
  Diagrama:
                   P(2)                                 R2


                                     f
              (a+bx+cx2   )                   f (a+bx+cx2 ) = (y, z)
Ejercicios:
 2. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y
     realizar un diagrama.

     f : R3                    R2
     (x, y, z )                f (x, y, z) = (2x+y+3z, -x+2y+4z)

     Solución:
Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los
vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada
vector.

  V1 (1,3,2)                      f (1,3,2) = (11, 13)
  V2 (3,5,1)                      f (3,5,1) = (14, 11)
  V3 (0,0,0)                      f (0,0,0) = (0,0)
  Diagrama:
                      R3                                       R2


                                          f
                  (x, y, z )                         f (x, y, z ) = (a, b)
Ejercicios:
 3. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y
     realizar un diagrama.

     f : R3                    M2              x+y-z      x+3y+2z
     (x, y, z )                f (x, y, z) =
                                               2x+y-3z    -3x+2y+3z
     Solución:
Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los
vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada
vector.
                                        0 3
  V1 (1,0,1)              f (1,3,2) =
                                        -1 0
                                        0 9
  V2 (-2,3,1)             f (3,5,1) =
                                        -4 15
  V3 (0,0,0)              f (0,0,0) = 0 0
                                        0 0
                  R3                                M2
  Diagrama:
                                          f                         a b
                  (x, y, z )                       f (x, y, z ) =
                                                                    c d
Teoría
Definición: El núcleo es un subespacio vectorial perteneciente al espacio
vectorial V, cuyo vector correspondiente en el espacio vectorial W es el vector
cero.
                             N (f) = { v Є V | f (v) = 0w }

Notación: Núcleo se denota N(f)

Gráfico:

Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio
vectorial W, El núcleo está formado por todos aquellos vectores que tienen como
Correspondiente el vector cero en W.
                V                               W             Sean:
                .                                             V,W: Espacios Vectoriales
                .
                .
                                f                             v1,v5,v9
                v1                                                                Vectores
      N (f)     v5                              0w            0w
                v9
                .
                .
                .
Ejercicios:
1. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición
   de núcleo.
    f : R2        R3
    (x, y)        f (x, y) = (x-y,2x, y+x)

Solución:                                               R3
                    R2
Diagrama:
                                   f
                 (x, y)                     f (x, y) = (a, b, c)


Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así:
N f : {x, y / f (x, y) = (x-y,2x, y+x) = (0,0,0)} Por lo tanto, planteamos nuestro sistema de
ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada, y al resolverla, obtenemos
Las restricciones del núcleo. Finalmente expresamos el núcleo con las restricciones
reemplazadas.
  x-y = 0        1 -1 0         y=0



                                                               <
                                           N f : {(x, y)/ x = 0    y = 0}
  2x = 0         2 0 0          x =0
                                           N f : {(0, 0)}
 y+x = 0         1 1 0
                                          En este caso, el núcleo de la función es el
                                          cero vector.
2. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición
    de núcleo.
     f : R2        R3
     (x, y)        f (x, y) = (a, a+b+c, b+c)

Solución:
                   P(2)                             R3
Diagrama:
                                  f
              (a+bx+cx2   )                f (a+bx+cx2 ) = (a, b, c)


Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así:
N f : {a+bx+cx2 / f (a+bx+cx2) = (a, a+b+c, b+c) = (0,0,0)} Por lo tanto, planteamos el
sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada, y al resolverla,
obtenemos las restricciones del núcleo Finalmente expresamos el núcleo con las
restricciones reemplazadas.
                                             N f : { a+bx+cx2 / a=0




                                                                   <
                                                                         b= -c }
a        =0       1 0 0 0           a=0      N f : { -cx+cx 2/ c Є R }
a+ b+c = 0        2 1 1 0 b+c=0              N f : { c (-x+x2) / c Є R }
    b+c = 0       0 1 1 0            b=-c    N f : { (-x+x2))}
3. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición
    de núcleo.
                                  x-2z        2x+y+2z
     f : R3         M2
     (x, y, z)     f (x, y, z) =
                                  2x+y+2z      3x+y
Solución:
Diagrama:           R3                                M2
                                         f                         a b
                     (x, y, z)                   f (x, y, z) =
                                                                   c d


Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así:
                                 x-2z        2x+y+2z         0 0
N f : {x, y, z / f (x, y, z) =                          =        }
                                                             0 0
                            2x+y+2z    3x+y
Por lo tanto, plantemos el sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz
ampliada, y al resolverla, obtenemos las restricciones del núcleo. Finalmente
expresamos el núcleo con las restricciones reemplazadas.
   x-2z = 0          1 0 -2 0           x-2z=0    x=2z           N f : {x, y, z / x=2z    y=-6z }




                                                                                     <
2x+y+2z= 0           2 1 2 0            y+6z=0    y=-6z          N f : { 2z,-6z,z / z Є R }
2x+y+2z= 0           2 1 2 0                                     N f : { z (2,-6,1) / z Є R }
   3x+y=0            3 1 0 0                                     N f : {2,-6,1}

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Transformaciones lineales

  • 1. Teoría Definición: Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Notación: para señalar una transformación lineal usaremos f (v)=W, donde V y W son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo. Terminología: a las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal. Gráfico: Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio vectorial W, sus elementos son función de los elementos de V V W Sean: V,W: Espacios Vectoriales f v1 w1 v1,v2,v3 Vectores v2 w2 w1,w2,w3 v3 w3
  • 2. Teorema: Una función f de V en W que asigna a cada vector v , un vector f(v) Є W es una transformación lineal, si y sólo si, α Є K, vi, vj Є V, satisface los A A siguientes axiomas: 1. f (vi + vj) = f (vi) + f (vj) 2. f (vi) = α.f (vi) Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, entonces se cumple que: 1. f (0v) = 0w 2. f (vi - vj) = f (vi) - f (vj) Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, dimV=n dimV = dimN (f) + dimIm (f)
  • 3. Ejercicios: 1. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : P(2) R2 (a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (a-b, 2c+a ) Solución: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector. V1 (1-x) f (1-x) = (2,1) 2 f (3+x-2x2) = (2,-1) V2 (3+x-2x ) 2 f (0+0x+0x2) = (0,0) V3 (0+0x+0x ) Diagrama: P(2) R2 f (a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (y, z)
  • 4. Ejercicios: 2. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : R3 R2 (x, y, z ) f (x, y, z) = (2x+y+3z, -x+2y+4z) Solución: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector. V1 (1,3,2) f (1,3,2) = (11, 13) V2 (3,5,1) f (3,5,1) = (14, 11) V3 (0,0,0) f (0,0,0) = (0,0) Diagrama: R3 R2 f (x, y, z ) f (x, y, z ) = (a, b)
  • 5. Ejercicios: 3. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : R3 M2 x+y-z x+3y+2z (x, y, z ) f (x, y, z) = 2x+y-3z -3x+2y+3z Solución: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector. 0 3 V1 (1,0,1) f (1,3,2) = -1 0 0 9 V2 (-2,3,1) f (3,5,1) = -4 15 V3 (0,0,0) f (0,0,0) = 0 0 0 0 R3 M2 Diagrama: f a b (x, y, z ) f (x, y, z ) = c d
  • 6. Teoría Definición: El núcleo es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial V, cuyo vector correspondiente en el espacio vectorial W es el vector cero. N (f) = { v Є V | f (v) = 0w } Notación: Núcleo se denota N(f) Gráfico: Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio vectorial W, El núcleo está formado por todos aquellos vectores que tienen como Correspondiente el vector cero en W. V W Sean: . V,W: Espacios Vectoriales . . f v1,v5,v9 v1 Vectores N (f) v5 0w 0w v9 . . .
  • 7. Ejercicios: 1. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo. f : R2 R3 (x, y) f (x, y) = (x-y,2x, y+x) Solución: R3 R2 Diagrama: f (x, y) f (x, y) = (a, b, c) Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así: N f : {x, y / f (x, y) = (x-y,2x, y+x) = (0,0,0)} Por lo tanto, planteamos nuestro sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada, y al resolverla, obtenemos Las restricciones del núcleo. Finalmente expresamos el núcleo con las restricciones reemplazadas. x-y = 0 1 -1 0 y=0 < N f : {(x, y)/ x = 0 y = 0} 2x = 0 2 0 0 x =0 N f : {(0, 0)} y+x = 0 1 1 0 En este caso, el núcleo de la función es el cero vector.
  • 8. 2. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo. f : R2 R3 (x, y) f (x, y) = (a, a+b+c, b+c) Solución: P(2) R3 Diagrama: f (a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (a, b, c) Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así: N f : {a+bx+cx2 / f (a+bx+cx2) = (a, a+b+c, b+c) = (0,0,0)} Por lo tanto, planteamos el sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada, y al resolverla, obtenemos las restricciones del núcleo Finalmente expresamos el núcleo con las restricciones reemplazadas. N f : { a+bx+cx2 / a=0 < b= -c } a =0 1 0 0 0 a=0 N f : { -cx+cx 2/ c Є R } a+ b+c = 0 2 1 1 0 b+c=0 N f : { c (-x+x2) / c Є R } b+c = 0 0 1 1 0 b=-c N f : { (-x+x2))}
  • 9. 3. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo. x-2z 2x+y+2z f : R3 M2 (x, y, z) f (x, y, z) = 2x+y+2z 3x+y Solución: Diagrama: R3 M2 f a b (x, y, z) f (x, y, z) = c d Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así: x-2z 2x+y+2z 0 0 N f : {x, y, z / f (x, y, z) = = } 0 0 2x+y+2z 3x+y Por lo tanto, plantemos el sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada, y al resolverla, obtenemos las restricciones del núcleo. Finalmente expresamos el núcleo con las restricciones reemplazadas. x-2z = 0 1 0 -2 0 x-2z=0 x=2z N f : {x, y, z / x=2z y=-6z } < 2x+y+2z= 0 2 1 2 0 y+6z=0 y=-6z N f : { 2z,-6z,z / z Є R } 2x+y+2z= 0 2 1 2 0 N f : { z (2,-6,1) / z Є R } 3x+y=0 3 1 0 0 N f : {2,-6,1}