1.
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INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
A partir de la definición de la integral indefinida como la función que contiene las
antiderivadas de una función y del método de integración por sustitución encontramos
que:
Donde a es una constante.
Sin embargo en algunas ocasiones se hace necesario el cálculo de integrales de
diferentes potencias de las diferentes funciones trigonométricas. A continuación veremos
cómo aplicar una sustitución de manera adecuada para realizar dicho cálculo.

2.
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INTEGRACIÓN DE POTENCIAS PARES DE FUNCIONES
SEN X Y COS X
Para calcular de forma correcta estas integrales aplicaremos las siguientes identidades
trigonométricas según el caso:
Por ejemplo:
Calcular
Como paso inicial sustituiremos la función sen2
x por su correspondiente identidad
trigonométrica, esto es:
Ahora sólo basta calcular la nueva integral a partir del manejo de propiedades de las
integrales y de la técnica de integración por sustitución, esto es:
+c
Ejemplo 2: Calcular
Para iniciar recordemos que a4
puede expresarse como (a2
)2
a partir de las propiedades
de la potenciación. Por lo tanto:

3.
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Ahora reemplazamos por la identidad trigonométrica correspondiente y solucionamos la
nueva integral:
Aplicando el concepto algebraico del cuadrado de un binomio: ( (a+b)2
= a2
+2ab+b2
)
tenemos:
Note que se genera otra integral que puede calcularse aplicando la misma sustitución:

4.
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INTEGRACIÓN DE POTENCIAS IMPARES DE FUNCIONES
SEN X Y COS X
Para calcular de forma correcta estas integrales aplicaremos las siguientes identidades
trigonométricas según el caso:
Ejemplo: Calcular
Reescribimos la integral a partir de las propiedades de la potenciación: a3
=a2
a, esto es:
Ahora aplicamos la identidad trigonométrica correspondiente:
Aplicando la sustitución u= sen x
Tenemos:
Donde:

5.
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Por lo tanto:
EJEMPLO 2: Calcular
Aplicando la sustitución u=cos (2x) obtenemos:

6.
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Breve explicación:
Se aplica la propiedad de la potenciación sobre producto de potencias con bases
iguales ( a5
=a4
a)
Se aplica la propiedad de la potenciación sobre potencia de una potencia (a4
=
(a2
)2
)
Aplicamos la identidad trigonométrica correspondiente
Aplicamos ley de potenciación para binomios:((a-b)2
=a2
-2ab+b2
)
Aplicamos la propiedad de las integrales que nos permite separar la integral de
una suma como la suma de las integrales
Solucionamos cada integral de forma independiente (en este caso para solucionar
la segunda y la tercera integral aplicamos la técnica de sustitución).