M. A. S.

1. VIBRACIONES MECÁNICAS
Cuando se realiza un viaje en avión. En condiciones normales el avión permanece estable en
gran parte del recorrido; sin embargo, una turbulencia puede provocar la pérdida
momentánea de la estabilidad y el equilibrio; cuando esto ocurre, el avión empieza a vibrar
intentando regresar a su posición de equilibrio. Afortunadamente el avión cuenta con
diversos aparatos que permiten la disipación de la vibración de forma rápida y segura.
Otro ejemplo, es cuando se viaja en un auto y, sin reducir la velocidad, se pasa por un tope o
bache. Inmediatamente el auto empieza a vibrar verticalmente y sólo la acción de los
amortiguadores permite reducir y desaparecer las vibraciones del auto.
En general, las vibraciones aparecen cuando se aplica una pequeña fuerza a un sistema
físico que se encuentra inicialmente en un estado de equilibrio estable. Cuando esta fuerza
desaparece, el sistema tiende a regresar a su posición de equilibrio.
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M. A. S.)
Para inicial, vamos a definir algunos conceptos básicos
sobre el tema.
 Amplitud (A): Desplazamiento máximo respecto de
la posición de equilibrio.
 Periodo (T): Tiempo en realizar una oscilación
completa.
 Frecuencia angular (ω): Ángulo que barre la
partícula con M. A. S. por unidad de tiempo
(velocidad angular). Se mide en radianes sobre
segundo.
√
 Frecuencia (f): Número de oscilaciones de la
partícula por unidad de tiempo. Está dada en ciclos
sobre segundo, es decir en Hertz (H).
 Constante de fase (ø): Ángulo que determina el momento en que se analiza el
movimiento.
Posición (0) Equilibrio ø = 0

2.  Elongación (x): Posición de la partícula en cualquier instante a partir de la posición de
equilibrio.
( ) ( )
Graficando el movimiento anterior se tiene:
Para el estudio de las vibraciones mecánicas, analicemos una situación cotidiana y simple.
Consideremos un cuerpo de masa m que está unido a una pared por medio de un resorte de
constante k (sistema masa-resorte) el cual se encuentra sobre una mesa horizontal. Por
simplicidad supongamos también que no
existe fricción entre el cuerpo y la mesa y
que el sistema se encuentra inicialmente
en equilibrio. De repente, el resorte se
comprime (o se elonga) una distancia
pequeña, medida desde la posición de
equilibrio, y se le aplica una velocidad.
Desde ese momento, el resorte ejerce una
fuerza sobre la masa que tiende a regresarla a su posición de equilibrio inicial. En general,
esta fuerza depende de la distancia comprimida (o elongada) del resorte. Si la compresión
(o elongación) es pequeña, se puede suponer que la fuerza es directamente proporcional a
dicha deformación y que siempre apunta hacia la posición de equilibrio o en sentido
contrario a la deformación. Dicha suposición se conoce como Ley de Hooke para resortes
lineales. Es decir, la fuerza FR (fuerza recuperadora elástica) que en todo momento ejerce el
resorte sobre la masa está dada por
donde la x es la deformación y k > 0 es la constante del resorte.
De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, la suma de todas las fuerzas que se aplican a un
cuerpo produce un cambio a su movimiento que se rige por la ecuación.
Igualando estos 2 resultados, se obtiene el Problema de valor inicial (PVI) que moldea el
sistema masa-resorte:
n n n n r al ( ) ( )
n ( ) ( )

3. Es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes. Tenemos que la
ecuación auxiliar es:
Despejando r, obtenemos sus raíces imaginarias.
√ √
Anteriormente definimos la frecuencia angular de la siguiente forma √ , entonces
tenemos que , de tal forma que la solución de este conjunto lo constituyen las dos
funciones . Entonces la solución general de la ecuación diferencial es
( )
Derivando la ecuación anterior tenemos
( ) ( ) n
Debemos de encontrar las contantes c1 y c2. Esto lo haremos a partir de las condiciones
iniciales de movimiento. Cuando la masa se encuentra a n ( ) ( )
, entonces
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) n( ) ( ) ( ) ( )
Obteniendo así que
Sustituyendo los resultados en la solución general, se obtiene la siguiente expresión para la
posición instantánea de la masa en un instante cualquiera t:
( )
Expresamos la ecuación anterior de manera compacta:
( ) ( )
Se tiene que ( ) y también ( ) ( ) de manera que:
( )
Utilizando una identidad trigonométrica, se tiene
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
Así obtenemos
De las siguientes igualdades, se tiene
( ) ( )
( )
( )
De esta manera obtenemos que
√
Y obtenemos que
an r ( )

4. Si c2>0, entonces
Si c2<0, entonces
Con los valores de c1 y c2, obtenidos anteriormente , se tiene que
a l u √ l ngul an
Resumiendo estos datos, se puede expresar la expresión ( ) ( ) como
( ) √ (√ )
Hemos dicho que en el movimiento vibratorio es importante saber qué está pasando con la
energía. Para ello necesitamos reescribir la ecuación diferencial (PVI) , en
una forma alternativa. Consideremos entonces que
Utilizando la definición de velocidad tenemos
Aplicando la regla de la cadena se obtiene
Aplicando nuevamente la definición de velocidad usado anteriormente, se tiene que
Separando variables, tenemos que
Finalmente, integrando obtenemos E, la energía total del sistema
∫ ∫
En esta expresión identificamos los siguientes términos:
 La energía total del sistema
 La energía cinética del sistema, debido a que el campo se mueve con velocidad .

5.  La energía potencial del resorte, debido a que el resorte se comprime o elonga una
distancia .
La ecuación de la energía, se conoce como la Ley de Conservación de Energía para el caso de
un sistema masa-resorte y señala que la suma de la energía cinética y potencial del resorte
es siempre una constante. Esto significa que, cuando se pierde energía potencial, se gana
energía cinética y viceversa, de tal suerte que el resultado de su suma no cambia. En
consecuencia, cuando la distancia de la masa a la posición de equilibrio disminuye,
entonces aumenta la velocidad, y la máxima velocidad de la masa se obtiene justo cuando
ésta pasa por la posición de equilibrio del sistema. Por otra parte, cuando la masa se aleja,
aumenta la energía potencial del resorte y disminuye su energía cinética. Cuando ésta
última finalmente se anula, se obtiene la mayor elongación o comprensión del resorte; a
estos puntos se los conoce como puntos de retorno.
Ejemplo: Considere una masa de 2 kg que está unida a una pared por medio de un resorte
de constante k=200 N/m; que se comprime el resorte una distancia de 0.03 m y se le suelta
con una velocidad de 0.4 m/s hacia la posición de equilibrio. Determine la posición y la
velocidad de la masa en el tiempo, calcule también la frecuencia de oscilación, la amplitud y
el ángulo de fase.
Datos:
( )
( )
El PVI que describe la posición de x(t)de la masa es
La ecuación auxiliar de esta expresión es
De manera que la solución general es
( )
Al derivar con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad de la masa
( )
Utilizando las condiciones iniciales, tenemos
( ) ( )
( ) ( )
De esta manera obtenemos el valor de las constantes c1 y c2
Sustituyendo estos valores en la ecuación de solución general, obtenemos la solución
particular y obtenemos una ecuación que relaciona la distancia de compresión y elongación
de la masa con respecto al tiempo
( )
Expresamos x(t) en su expresión ( ) ( )
Recordando que

6. √ √ n la r n ( ) ( )
Para obtener la Amplitud y el ángulo de fase, se tiene que
√ √( ) ( )
( ) ( )
Como c2>0 entonces ø
Sustituyendo en la ecuación ( ) ( ), tenemos la posición de la masa con
respecto a su posición de equilibrio
( ) ( )
La amplitud es
a r u n a angular na ural ra
l r
a r u n a la n
El ángulo de fase es ø
La gráfica de la posición es
CASO DE UN RESORTE COLOCADO VERTICALMENTE
Los problemas anteriores trataron de oscilaciones horizontales.
¿Qué sucede cuando el resorte se coloca verticalmente?
Supongamos que se tiene un resorte colocado verticalmente con su extremo superior fijo. Al
colocar un cuerpo de masa m en su extremo libre, el resorte sufre una deformación en su
longitud . Sea la longitud de la deformación del resorte al quedar la masa m en reposo,
esto es, al estar m en su posición de equilibrio.
En esta posición ocurre que , de donde se puede determinar el valor de la
constante del resorte, a saber:

7. Al colocar m en una posición inicial e imprimirle una velocidad inicial , m tiende a
oscilar en torno a su posición de equilibrio.
En la siguiente figura se muestra un esquema del resorte vertical.
Las dos fuerzas que en todo momento actúan sobre la masa m son la fuerza del resorte FR y
la fuerza de la gravedad mg. Cuando el resorte está alargado, ambas fuerzas apuntan en
sentidos diferentes; y cuando el resorte está comprimido, apuntan en el mismo sentido.
Ejemplo: Un resorte cuelga verticalmente de un techo, el resorte se elonga un centímetro
cuando se coloca una masa de 1.5 kg y después el sistema queda en equilibrio.
Posteriormente se elonga el resorte una cantidad adicional de 1.5 cm y se suelta a partir del
reposo. Determine la constante del resorte, la posición y la velocidad de la masa en el
tiempo t0. ¿Cuál es la frecuencia de oscilaciones de la masa y la amplitud del movimiento?
Datos:
Cuando el resorte se enlonga 0.01 m, el sistema está en equilibrio; esto significa que
( )( )
La posición de la masa, con respecto al su posición de equilibrio, está dada por la solución
PVI que es
Su ecuación auxiliar es
Cuyas raíces reales son . Entonces la solución general de la ED y su derivada
están dadas por
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Para encontrar las contantes c1 y c2, utilizamos las condiciones iniciales
. Sustituyendo en las ecuaciones anteriores tenemos
( ) ( )
( ) ( )

8. Finalmente, tenemos los valores de , sustituyéndolas en las ecuaciones
de la posición y la velocidad obtenemos
( ) ( )
( ) ( )
Para obtener la amplitud, tenemos
√ √( ) ( )
La amplitud es
a r u n a angular na ural ra
l r
a r u n a la n la n r gun
PENDULO SIMPLE
La ecuación diferencial que hemos estado viendo ,
describe el movimiento de muchos otros sistemas mecánicos
simples. Por ejemplo, un péndulo simple consta de una masa m
balanceándose de unos a otro lado en un plano vertical
dispuesto en el extremo de un resorte (o, mejor una varilla sin
masa o hilo) de longitud l. Podemos especificar la posición de la
masa en el tiempo t en función del ángulo.
Las fuerzas que actúan sobre el péndulo son:
 La atracción gravitatoria; conocida comúnmente como peso,
w=mg que siempre está orientada verticalmente en la
dirección del eje y.
 La tensión del hilo; que aquí se indicará como T, cuyo valor
cuando el péndulo se encuentra en posición vertical es
exactamente igual al del peso.
En una posición desplazada del equilibrio, el hilo formará un ángulo θ respecto a la vertical.
En esta situación el peso de la partícula puede descomponerse en dos fuerzas, Fx y Fy.
Teniendo en cuenta que el movimiento se producirá únicamente en la dirección del eje x,
puesto que el hilo se ha definido como inextensible y tomando en cuenta la Segunda ley de
Newton, la ecuación del movimiento resultan ser:
Donde la aceleración se relaciona con el ángulo de acuerdo con
Reuniendo estos dos últimos resultados, obtenemos que
r

9. Donde obtenemos
Para ángulos pequeños, donde es posible suponer que , obtenemos la ED
Ejemplo: Un péndulo de 20 cm de longitud y de 0.5kg de masa oscila. Si en el tiempo t=0, el
ángulo y la velocidad angular son ( ) ( ) , respectivamente,
determinar el periodo de movimiento, la amplitud, el ángulo de fase ( ) ( )
Datos:
( )
( )
Sustituyendo los datos que tenemos en la ED del movimiento angular tenemos
Su ecuación auxiliar es
Cuyas raíces reales son . Entonces la solución general de la ED y su derivada están
dadas por
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Para encontrar las contantes c1 y c2, utilizamos las condiciones iniciales. Sustituyendo en
las ecuaciones anteriores tenemos
( ) ( )
( ) ( )
Finalmente, tenemos los valores de , sustituyéndolas en las ecuaciones de
la posición y la velocidad obtenemos
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Para obtener la amplitud, tenemos
√ √( ) ( )
√
Para el ángulo de fase tenemos
( ) ( )
Para reescribir ( ) en su forma ( ) ( ), se tiene

10. ( )
√
( ) ( )
√
( )
a r u n a angular na ural ra
l r l n
Vibraciones amortiguadas libres
Continuando el desarrollo del estudio de las vibraciones, supongamos que se agrega ahora
un dispositivo mecánico (amortiguador) al sistema masa-resorte que tiene el efecto de
reducir la velocidad de la masa cuando el sistema se encuentra vibrando.
El amortiguador ejerce una fuerza dependiente de la velocidad de la masa; entre mayor sea
la velocidad, mayor es la fuerza que ejerce. Por simplicidad supondremos que esta fuerza en
magnitud es proporcional a la rapidez, es decir; donde c > 0 es la constante
de proporcionalidad. Entonces, la fuerza que ejerce el amortiguador es
donde el signo negativo indica que la fuerza de amortiguación va en sentido contrario a la
velocidad del cuerpo. La fuerza total ejercida sobre la masa es, entonces:
donde FR es la fuerza del resorte, lo que se puede escribir como:
La ecuación modela el movimiento amortiguado de la masa. En este caso, la fuerza de
amortiguación produce una pérdida de energía en el sistema masa-resorte, pues ahora no
se satisface la ecuación de conservación de la energía. Es de notar que todos los parámetros
del modelo (m, c y k) son cantidades positivas. La misma ecuación diferencial modela al
sistema masa-resorte colocado verticalmente.
La ecuación característica de la ecuación diferencial es
Las dos soluciones de esta ecuación cuadrática son
El signo del radicando determina el tipo de movimiento del sistema. Tenemos tres
posibilidades: que el radicando en cuestión sea positivo, negativo o cero. Analicemos a
continuación cada uno de estos casos.

11. Movimiento sobreamortiguado √
En este caso, las dos raíces que aparecen en son diferentes y ambas son negativas, esto
implica directamente que la solución de la ED lineal homogénea es
Las dos funciones exponenciales que aparecen en son decrecientes, en consecuencia, no se
espera vibración alguna y el sistema tiende rápidamente a regresar a su posición de
equilibrio, por esa razón decimos que el movimiento es sobreamortiguado. La forma
explícita del movimiento depende de las condiciones iniciales, que además sirven para
determinar las constantes c1, c2.
Por ejemplo, consideremos el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador con
condiciones iniciales n ( ) ( ) . La primera condición se obtiene
( ) evaluando la expresión anterior en el . Así obtenemos:
Derivando la ecuación, obtenemos:
Evaluando en el , obtenemos la segunda ecuación a considerar, es decir,
El sistema de ecuaciones lineales que obtuvimos para c1, c2 se puede resolver de diferentes
formas; en este caso si seleccionamos la regla de Cramer, obtenemos:
Finalmente, sustituyendo en obtenemos la siguiente expresión para la posición
Anteriormente, tenemos que
Esto nos permite simplificar la ecuación anterior de forma que
Movimiento críticamente amortiguado √
En este caso las dos raíces de la ecuación característica son iguales a . La solución
de la ecuación diferencial homogénea es

12. La función posición contiene un término exponencial decreciente, ahora multiplicado por
una función lineal del tiempo. Se espera que la posición decrezca hacia la posición de
equilibrio sin vibrar. La manera en que lo haga dependerá de las condiciones iniciales.
Ahora consideremos, por ejemplo, que las condiciones iniciales de un sistema masa-resorte-
amortiguador son ( ) ( ) . Derivando la ecuación, se obtiene la
velocidad.
Las condiciones iniciales ( ) ( ) se obtienen evaluando en las
ecuaciones:
Resolviendo el sistema se obtiene:
Sustituyendo en la ecuación, obtenemos finalmente que
Movimiento subamortiguado √
En este caso las dos raíces de la ecuación característica son complejas y están dadas por:
Un conjunto de soluciones linealmente independientes de esta ED está formado por las
funciones
La solución general se obtiene considerando una combinación lineal de estas dos funciones.
Los términos sinusoidales que aparecen en nos indican que el sistema oscilará alrededor de
la posición de equilibrio. Sin embargo, como el factor exponencial es decreciente, se espera
que la amplitud de vibración sea cada vez más pequeña. Nuevamente, las condiciones
iniciales determinarán en gran medida la forma de la vibración. Por ejemplo, analicemos
qué ocurre si el sistema tiene las condiciones iniciales
Definamos primero
Entonces la posición y la velocidad están dadas por

13. Considerando las condiciones iniciales, obtenemos el sistema de ecuaciones
cuya solución es
Sustituyendo en la ecuación, obtenemos la función posición
Usando la relación en la solución anterior, es decir
Tenemos

14. Vibraciones forzadas
Los sistemas estudiados hasta ahora exhiben una dinámica que depende de ciertas
constantes intrínsecas al sistema, es decir, las únicas fuerzas que actúan son internas al
sistema. Supondremos en esta sección que se aplica una fuerza externa llamada de
excitación FE sobre el sistema masa-resorte-amortiguador (véase la siguiente figura):
En este caso la fuerza total ejercida sobre la masa está dada por
Usando nuevamente la segunda ley de Newton, obtenemos la ED que modela el sistema.
Esta ecuación se puede reescribir como
o bien en la forma:
La fuerza de excitación desempeña un papel diferente al de las otras fuerzas internas del
sistema, pues a veces provoca una reducción de la velocidad y en otras provoca un
aumento. Es decir, la fuerza de excitación puede reducir o aumentar la energía cinética del
sistema. Cuando la fuerza de excitación sea distinta de cero, diremos que el sistema masa-
resorte-amortiguador está forzado.
Hasta este momento la fuerza FE puede ser de cualquier tipo y para determinar sus efectos
tendremos que resolver la ecuación diferencial por cualquiera de los métodos estudiados
hasta ahora. Sin embargo, cuando la fuerza FE es del tipo sinusoidal
Suelen ocurrir fenómenos físicos de interés. En este caso la ecuación por resolver es
La ecuación característica es, entonces:
Cuyas raíces son
y las formas de la solución ( ) dependerá de la relación que exista entre y .

15. Vibraciones forzadas, caso c ≠ 0
Consideremos que la fuerza de excitación es una función sinusoidal del tipo
Claramente si c ≠ 0, ninguna de las dos raíces de la ecuación característica es igual a .
Entonces de acuerdo con el método de coeficientes indeterminados, la forma de la solución
particular es
Calculando la primera y segunda derivadas, obtenemos la velocidad y la aceleración de la
masa.
Usando estos dos resultados en la ecuación diferencial de movimiento, se obtiene:
Agrupando términos en las funciones
Las funciones son linealmente independientes; entonces, para que se
satisfaga la condición anterior, sólo se requiere que
Aplicando la regla de Cramer encontramos la solución de este sistema:
Sustituyendo A y B en, obtenemos una expresión para la solución particular:
Podemos simplificar esta expresión a la forma

16. Esta igualdad se cumple cuando:
De donde se obtiene:
Además
por lo que
por otra parte
por lo cual
Se tiene entonces que

17. Por lo tanto, la posición instantánea de m, con respecto a la posición de equilibrio, en el
tiempo es
donde la solución complementaria xh(t) tiene la forma de un movimiento
sobreamortiguado, críticamente amortiguado o bien subamortiguado. En cualquiera de los
casos ocurre que
Debido a esto se tiene:
Esto es, al paso del tiempo sucede que
Ejemplo: Un sistema masa-resorte-amortiguador tiene parámetros
Si se aplica una fuerza de excitación FE =17 cos t, determine la posición y velocidad de la
masa en todo tiempo suponiendo que x(0) = 0 m & v(0) = 0 m/s.
La ED que modela el sistema es:
que tiene ecuación característica:
y cuyas raíces son diferentes de . Tenemos entonces que la solución
complementaria es
y la solución particular, siguiendo el método del coeficientes indeterminados, es del tipo:
Derivando xp (t):
Sustituyendo en la ED, resulta:
Hallamos, entonces:
Por lo tanto:
La solución general de la ED es

18. Los coeficientes c1 & c2 los determinamos usando las condiciones iniciales. De x(0) = 0, se
obtiene c1 = 0. Si derivamos
De v(0)= 0, obtenemos c2 17/ 2 = 0, de donde c2 = -17/ 2y la posición está dada por
Observe que al paso de tiempo sólo se preserva el movimiento oscilatorio provocado por la
fuerza de excitación.
Vibraciones forzadas, caso c = 0 y caso ≠ √
Ahora la fuerza de excitación es , de forma que la ED que modela el sistema
es
Cuya solución particular está dada por:
Observe que la solución es proporcional a la fuerza de excitación, de hecho ésta es la
parte de la solución general que se preservará en el tiempo.
Si se cumple que , esto es, la amplitud de la oscilación de x(t) es grande. A
este fenómeno se le conoce como resonancia.
Ejemplo: Considere un sistema masa-resorte con los parámetros
FE = 2 cos 2t y con condiciones iniciales Determine la posición, la
velocidad y la aceleración en el tiempo t.
La ecuación diferencial por resolver es

19. La ecuación característica es cuyas raíces son De aquí, la solución
general de la ecuación homogénea es
En este caso la frecuencia natural de excitación we = 2 rad/s es diferente de la frecuencia
natural de las funciones sinusoidales w = 1 rad/s. Por esa razón, y de acuerdo con el
método de coeficientes indeterminados, proponemos la solución particular
Derivando esta expresión dos veces:
Sustituyendo en la ecuación:
Es decir:
De donde tenemos el sistema de ecuaciones algebraicas siguiente:
La solución de este sistema es A = -2/3 & B = 0. Sustituyendo obtenemos la solución
particular.
Finalmente, sumando la solución particular con la solución de la ecuación homogénea,
obtenemos la solución general de la ecuación diferencial
La velocidad de la masa se obtiene derivando la posición
Para determinar las constantes desconocidas, basta con utilizar las condiciones iniciales. Al
hacerlo obtenemos el sistema de ecuaciones
Cuya solución es c1 =23/30; c2 = 0. Finalmente, la posición de la masa está dada por
Analicemos con mayor detalle x(t). La función cos t es de periodo 2π y la función cos 2t es
de periodo π .En consecuencia, la función de posición x (t) es de periodo 2π. La velocidad y
aceleración de la masa son

20. De donde, los puntos de retorno o de máxima o mínima amplitud (aquéllos donde v = 0)
satisfacen:
Usando la identidad sen 2t = 2 sen t cos t se tiene:
Que se satisface cuando:
y cuando:
Observe que:
Además, como
Se tiene:
Así que evaluando en el tiempo en que cos t= 23/80, o sea t = arccos23/80 = 1:2791, se
tiene:
La gráfica es

21. Vibraciones forzadas, caso c = 0 y caso = √
La ecuación diferencial que nos interesa resolver es
La ecuación característica es cuyas soluciones son
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial homogénea es
En este caso la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia de las funciones
sinusoidales. Por esa razón, y de acuerdo con el método de coeficientes indeterminados,
proponemos la solución particular.
Calculemos la primera y segunda derivada de
Sustituyendo en la ecuación diferencial de movimiento:
Igualando coeficientes correspondientes de las funciones sinusoidales, obtenemos el
sistema de ecuaciones:
Finalmente, la solución particular es, entonces:
Y la solución general es, entonces:
En ese caso la amplitud depende del tiempo y aumenta con él.