Introducción a la investigación de operaciones

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INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Tabla de contenido
P R O L O G O
FUNDAMENTACIÓN
1. Objetivo de la materia.
INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
1. Antecedentes históricos de la IO.
2. Metodología de la Investigación de Operaciones
3. Aplicaciones de la Investigación de Operaciones
4. Referencias Bibliográficas
1. PROGRAMACION LINEAL (PL).
1.1. Objetivo.
1.2. Antecedentes históricos y definición.
1.3. Modelo de programación lineal general.
1.4. Formulación de problemas con programación lineal.
1.5. Solución para el modelo de programación lineal.
1.6. Ejercicios, actividades de aprendizaje y autoevaluaciones correspondientes al capítulo [MAT96]
1.7. Referencias bibliográficas
2. SOLUCIÓN ANALÍTICA DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL.
2.1. Objetivo.
2.2. Conceptos relacionados.
2.3. Teoremas de la programación lineal.
2.4. Método Simplex.
2.5. Matriz unitaria "I" de base con variables artificiales.
2.6. Casos especiales en la tabla Simplex.
2.7. Teoría de la dualidad.
2.8. Ejercicios, actividades de aprendizaje y autoevaluaciones correspondientes al capítulo
3. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL.
3.1. Objetivo.
3.2. Método Dual - Simplex.
3.3. Análisis de sensibilidad.
4. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL
4.1. Objetivo.
4.2. Definiciones.
4.3. Red de distribución.
4.4. Redes de flujo
A. ECUACIONES LINEALES, MATRICES Y DETERMINANTES.
A.1. Sistemas de ecuaciones lineales
A.2. Matrices y determinantes
B. RESULTADOS A PROBLEMAS EJERCICIO EN CAPÍTULOS DEL LIBRO.
B.1. Capítulo 1
B.2. Capítulo 2.

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B.3. Capítulo 3.
B.4. Capítulo 4.
P R O L O G O
Cuando se tiene la intención de cursar INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO), ya sea como opción o bien
obligadamente en el conjunto de materias que componen la carrera elegida, una de las primeras informaciones que se
tiene acerca de la misma es su gran aplicación en todo tipo de instituciones, como metodología para resolver los
problemas que se presentan, y también la dificultad para aprenderla con la insatisfacción por no haber cumplido los
objetivos que regularmente se fijan.
Es conveniente aclarar que la IO es el nombre del conjunto de conocimientos para enfrentar los problemas que se
presentan en las grandes organizaciones humanas, involucrando filosofía de solución integral con enfoque sistemático,
con gente interdisciplinaria utilizando la ciencia con modelos matemáticos y técnicas de muestreo.
Pero la dificultad empieza desde que se programa el contenido del curso que por razón del tiempo asignado al mismo,
debe limitarse el material para exponer, ejemplificar, estudiar y ejercitar. Por tal motivo, las expectativas del estudiante
en nivel de licenciatura deben ser congruentes a las restricciones que normalmente caracterizan un curso de IO, el
cual se prepara para impartir una o más técnicas matemáticas, elegidas entre las que más se utilizan en el medio; los
estudiantes tienen así la oportunidad de hacer un acercamiento al material de estudio de esta asignatura y
posteriormente, ya sea en cursos de postgrado o profesionalmente, entrar de lleno a la aplicación de la IO a un caso.
Con este proyecto de libro se pretende tener un avance, en la exposición del material que está contenido en los cursos
de la UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS SOCIALES Y
ADMINISTRATIVAS (UPIICSA) del INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL (IPN). Para ello, un modelo
avanzado al estudiar IO debe ser suficientemente claro para su aprendizaje asistiendo al salón escolar y también para
la persona que con toda buena voluntad, lo emprenda a distancia a través de algún medio, vía correspondencia o
computarizado, mediante el sistema que el IPN tiene considerado para servir a la educación superior. El proyecto del
IPN incluye la elaboración de material didáctico agrupado en volúmenes que se denominan POLILIBROS
conteniendo los elementos del conocimiento diseñados para cumplir los objetivos de asignaturas y carreras
profesionales. De esta manera puede atender, de un modo flexible en tiempo y espacio, el aprendizaje independiente
de una población masiva y dispersa de alumnos, tanto en las aulas de sus diferentes unidades como fuera de ellas,
para aquellos que no pueden asistir a la escuela.
Con el material de este libro se piensa proporcionar no sólo información, se busca también la formación del alumno
en un modelo de educación a distancia que propicie el estudio independiente para adquirir el conocimiento y
cultura que se propone sin la intervención directa del maestro. Se requieren las siguientes características para que el
curso propuesto tenga aceptación institucional:
 Material de apoyo suficiente para cumplir los objetivos de la asignatura específica y de carrera
interdisciplinaria.
 Infraestructura modular para facilitar su uso en un sistema computarizado en el sitio web conveniente con
organización orientadora para que el alumno capte los conceptos y se motive a continuar interactuando con
los ejemplos expuestos y los ejercicios parcialmente resueltos que se sugiere terminar.
 Suficientes ejemplos de problemas típicos, de formulación de modelos, algunos resueltos gráfica y
analíticamente, para la mejor comprensión de los algoritmos.

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Agradezco a UPIICSA, importante unidad interdisciplinaria del Instituto Politécnico Nacional, la oportunidad que me
da al presentar esta propuesta de libro que espero contribuya en la formación de personal técnicamente preparado que
requiere el país.
FUNDAMENTACIÓN
La INVESTIGACIÓN de OPERACIONES es una metodología científica aplicable al análisis de problemas complejos
para la toma de decisiones en un medio ambiente socio-económico, administrativo o de ingeniería, en instituciones
públicas o privadas. Su utilización debe ser en la forma de participación interdisciplinaria cuya característica es
esencial en el perfil considerado para los egresados de la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias
Sociales y Administrativas, perteneciente al Instituto Politécnico Nacional.
Esta disciplina de estudio en las cinco licenciaturas de UPIICSA, contribuye a formar en el egresado la necesaria
organización en su pensamiento para el uso del método científico en el análisis riguroso de los problemas que enfrente
y la aplicación de técnicas de solución.
1. Objetivo de la materia.
Con el estudio de esta materia, el alumno debe aprender la aplicación del método científico en el análisis y solución
de algunos problemas representativos y comunes para el profesional en las áreas empresariales y de gobierno como
son administración, ingeniería, transporte y sistemas de información. Se inicia al estudiante en la aplicación de las
técnicas matemáticas más usuales de esta metodología, como son la programación lineal y sus aplicaciones.

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Tabla de
contenido
1. Antecede
ntes
históricos
de la IO.
2. Metodolo
gía de la
Investigació
n de
Operaciones
3. Aplicacio
nes de la
Investigació
n de
Operaciones
4. Referenci
as
Bibliográfic
as
Rusell L. Ackoff

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George Dantzig
George Dantzig y Rusell Ackoff , investigadores de origen norteamericano, se consideran pioneros en
el nacimiento y desarrollo de metodologías científicas, en el campo de la Programación Lineal e
Investigación de Operaciones , respectivamente, desde el pasado siglo XX
También se conoce como Ciencia de la Administración, debido a que su aplicación se restringe a sistemas creados
por el hombre como son organizaciones de todo tipo, institutos y empresas, en general es utilizada para tomar
decisiones en problemas con características de complejidad para resolverlos, por lo que es necesaria la intervención
de personal interdisciplinario actuando en equipo, para aplicar el método científico, con el objetivo común de buscar
una solución integral y óptima.
Actualmente, una persona con cualquier formación profesional, desempeñando la función de administrador en cierta
área de la organización, sea del sector público o privado, requiere de la utilización de las matemáticas y las
computadoras para tomar decisiones racionales al enfrentar los problemas. El mundo complicado de mercado en que
se vive ahora, exige la aplicación de estrategias refinadas y aún sofisticadas que aseguren la buena conducción de la
empresa; para una buena parte de las organizaciones ya no es suficiente confiar a la experiencia personal las decisiones
adecuadas, pues depende por lo general de la evaluación de alternativas de acción que pueden consumir mucho tiempo
valioso, además, que pueden ser demasiadas para esperar el buen juicio de una sola persona. De esta manera se impone
el uso del procesador electrónico, capacitado para manejar cantidades masivas de información, pero requiere de
software que se elabora a partir de la interpretación abstracta o modelo matemático construido por los técnicos
responsables.
En resumen, personas con formación interdisciplinaria actuando en equipo, emplean la Investigación de
Operaciones (IO), aplicando procedimientos, técnicas y herramientas científicas a problemas operativos de las
organizaciones con el propósito de desarrollar y ayudar a evaluar alternativas de solución.
DEFINICIONES DE DIFERENTES AUTORES.
En el libro de Shamblin y Stevens llamado Investigación de Operaciones.
Un Enfoque Fundamental de la editorial Mc Graw Hill impreso en México, 1991.
La Investigación Operacional es un enfoque científico de la toma de decisiones
En el libro de Ackoff y Sasieni llamado Fundamentos de Investigación de Operaciones de la editorial Limusa impreso
en México en 1994.
La Investigación de Operaciones es: La aplicación del método científico, por equipos interdisciplinarios, a problemas
que comprenden el control de sistemas organizados hombre-máquina, para dar soluciones que sirvan mejor a los
propósitos de la organización como un todo.
En el libro de Thierauf y Grosse llamado Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones de la
editorial Limusa impreso en México en 1977.
La investigación de Operaciones utiliza el enfoque planeado (método científico) y un grupo interdisciplinario, a fin
de representar las complicadas relaciones funcionales en modelos matemáticos para suministrar una base
cuantitativa para la toma de decisiones, y descubrir nuevos problemas para su análisis cuantitativo.

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Libro de Moskowitz y Wright. Investigación de Operaciones. Prentice Hall 1979.
Método científico aplicado a problemas y la toma de decisiones por la gerencia.
En el libro de Winston llamado Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos 2ª edición. Grupo Editorial
Iberoamérica impreso en México en 1994.
Planteamiento científico a la toma de decisiones, que busca determinar cómo diseñar y operar mejor un sistema,
normalmente bajo condiciones que requieren la asignación de recursos escasos.
1. Antecedentes históricos de la IO.
La búsqueda de la mejor solución (máxima, mínima, o también la óptima) para una variedad de problemas ha divertido
e intrigado al hombre a través de las épocas. Euclides en su libro III, describió formas de encontrar las líneas rectas
de mayor y menor longitud, desde un punto hasta la circunferencia de un círculo; y en el libro IV, el paralelogramo
de mayor área para un perímetro dado. Los grandes matemáticos de los siglos XVI a XVIII desarrollaron la teoría y
proceso de optimización que resuelven difíciles problemas geométricos, dinámicos y físicos, tales como las curvas de
revolución mínima o la curva de descenso más rápido.
En general, la historia no se escribe con exactitud, pero si se pueden recopilar hechos que describan de alguna manera
la evolución conocida de acuerdo con escritos, estudios e investigaciones encontradas. Las técnicas utilizadas en la
aplicación de la IO conducen al pasado siglo XX, pero también al pasado remoto de siglos como antecedentes. Para
ello es conveniente fijarse en la idea fundamental de la IO que es el método científico cuyo origen exacto se
desconoce. En escritos hechos hace milenios como es el Antiguo Testamento se menciona a Jetro, suegro de Moisés,
como autor de un tratado de principios de organización y más recientemente, en el antepasado siglo XIX, Charles
Babbage es autor del trabajo On the Economy of Machinery and Manufactures. Al ingeniero Frederick Winslow
Taylor, norteamericano de origen, se le reconoce la paternidad de la Administración Científica debido a sus
investigaciones sobre las obligaciones y tareas de los jefes de taller, así como también de la producción diaria
individual según la capacidad del obrero para tareas específicas, definiendo así la división del trabajo mediante
capacitación, selección y adiestramiento de los trabajadores. Además, Taylor aplicó el análisis científico a los
problemas de manufactura, estableciendo normas de trabajo y la especialización. Por su parte Henry L. Gant, planeó
las tareas de las máquinas para evitar demoras de producción. Así es posible fijar fechas de entrega con más seguridad.
También contribuyó al enfoque científico incluyendo el aspecto humano como integrante.
Con el inicio del siglo XX, los investigadores también utilizaron procedimientos científicos para analizar problemas
localizados fuera de las ciencias puras como son la Física, la Química, la Biología, entre otras más, pero en la década
que se inicia en 1910, Taylor se dedicó a buscar la eficiencia para las tareas haciendo valer los estudios de tiempos y
movimientos de Frank y Lillian Gilbreth eliminando movimientos innecesarios y desperdicios en cada tarea. En la
misma década durante la 1ª. Guerra Mundial, se le confió a Thomas A. Edison el averiguar las maniobras más eficaces
de los barcos mercantes para disminuir los embarques perdidos por ataques de los submarinos enemigos. Edison
empleó un "tablero táctico" como modelo para simular las operaciones reales.
Un ingeniero danés A. K. Erlang hizo experimentos relacionados con las fluctuaciones de la demanda telefónica en
equipo automático quedando estos trabajos como fundamento de muchos modelos matemáticos que se usan
actualmente en los estudios de Teoría de Colas o Líneas de Espera. En 1937, a punto de empezar la Segunda Guerra
Mundial, se juntó en el Reino Unido a un equipo de matemáticos, ingenieros y científicos en áreas básicas, para
estudiar los problemas estratégicos y tácticos asociados con la defensa del país. Se formó un equipo cuyo objetivo era
determinar la utilización más efectiva de los limitados recursos militares. En consecuencia, a las actividades de este

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grupo se le llamó Investigación Operacional, que es terminología común en el medio militar. Primero se les pidió
ayuda para los militares en la utilización eficiente del radar para localizar aviones enemigos; después en 1940 se
reunió otro grupo, el circo de Blackett encabezado por el distinguido físico inglés P. Blackett para estudiar la actuación
del equipo de control de cañones en el campo; había tres fisiólogos, cuatro matemáticos, un físico, un astrofísico, un
oficial militar y un agrimensor.
En los Estados Unidos de Norteamérica se motivaron por los éxitos alcanzados por los grupos británicos, en Abril de
1942 se decidió introducir la IO a nivel superior, emprendiendo también estudios tales como: problemas logísticos
complejos, el desarrollo de patrones de vuelo para aviones y la planeación de maniobras navales. En la Fuerza Aérea
se le dio el nombre de Análisis de Operaciones y en el Ejército y la Marina los de Investigación de Operaciones y
Evaluación de Operaciones, respectivamente. Cuando terminó la guerra, la necesidad de reconstruir en la Gran
Bretaña, dio lugar al surgimiento de otros problemas de administración en sectores de gobierno e industria los cuales
demandaron la actuación de los mismos científicos especializados en la IO.
También en los Estados Unidos de Norteamérica, en la década de 1950 con el desarrollo y comercialización de las
computadoras, los investigadores de operaciones y la gente asociada con las operaciones de la última guerra, se
percataron que los estudios realizados en la misma eran de gran utilidad, aplicados a los problemas industriales. La
computadora y el desarrollo de la IO motivaron a los ejecutivos industriales y a los especialistas de esta disciplina
para reunirse y provocar su rápido crecimiento.
La Programación Lineal (PL) tuvo un gran impulso para la investigación industrial dando entrada las empresas a
muchos especialistas; las técnicas Pert, control de inventarios, y la simulación, empezaron a emplearse con éxito; en
vez de los simples promedios, se incluyeron la probabilidad y la estadística tan útiles en cualquier estudio moderno.
Actualmente el uso de la IO es extenso en áreas de: contabilidad, compras, planeación financiera, mercadotecnia,
planeación de producción, transporte y muchas otras más, convirtiéndose en importante instrumento de competencia
para los presupuestos y contratos.
La siguiente tabla esboza parte de los estudios y técnicas en que se apoyaron los grupos de IO en el desarrollo de esta
disciplina.
Antecedente histórico de Investigación de Operaciones.- Desde el siglo XVI:

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Figura 1. Técnicas utilizadas en IO
Se puede observar que la IO fue desarrollada en el siglo XX con el apoyo, siglos atrás, de importantes aportaciones
de científicos que con su talento y dedicación, dejaron sólidos cimientos para los estudios de solución en los sistemas
actuales.
2. Metodología de la Investigación de Operaciones
El enfoque de sistemas a un problema, es característico en la IO, consiste en examinar toda el área que es
responsabilidad del administrador y no una en particular; esto permite que el grupo de IO observe los efectos de
acciones fuera del área de localización del problema, lo que puede permitir resolver el problema verdadero y no sólo
sus síntomas. Además, debe incluirse una base cuantitativa o modelo para la toma de decisión en la solución del
problema, pero en algunos casos, las respuestas dadas por la computadora conducirán a la necesidad de ciertas
modificaciones que reflejen la futura condición del negocio o bien será una guía a seguir por el administrador sin
necesidad de hacer cambios.
La investigación de operaciones proporciona la oportunidad de que sus resultados se utilicen en la toma de decisiones
a niveles administrativos superiores, medianos y bajos. La experiencia del administrador, las futuras condiciones del
negocio y los resultados de un modelo matemático forman la mejor combinación para la planeación, organización,
dirección y control de las actividades de la empresa. El procedimiento de siete pasos mostrado en el siguiente
diagrama, puede constituir una metodología de acción al aplicar la IO.

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Figura 2. Diagrama con metodología de la investigación de operaciones
Paso 1.- Identificar el problema.
Comienza con la observación de los fenómenos que rodean el problema; hechos opiniones y síntomas relativos
al mismo. Esto incluye la especificación de los objetivos de la organización y de las partes a analizar de la
misma. En algunas ocasiones puede que el problema no esté bien definido porque entran en conflicto los
objetivos, como es maximizar la utilidad, pero también es deseable minimizar los costos totales, lo cual es
improbable lograr simultáneamente; por tal motivo se requiere diálogo y acuerdos entre los miembros del
equipo de IO y la parte corporativa para decidir un objetivo global. También las primeras observaciones

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pueden resultar con objetivos en conflicto como es un departamento de producción que desea programar
grandes y prolongadas campañas de un sólo artículo para disminuir los costos de preparación y montaje de sus
máquinas. Pero en contraste, si se cumple lo anterior, crecerían los inventarios de materia prima y de producto,
tanto en proceso como terminado, causando serios problemas en departamentos de: ventas, contabilidad y
finanzas. De este modo, ventas desea un gran inventario pero muy variado, con una producción muy flexible;
por su parte finanzas desea mantener el inventario bajo y mejorar las inversiones de capital. Cuando muchos
factores de esta clase concurren en el problema es indispensable la aportación de la interdisciplinar del equipo
de IO, pues es razonable que las fases individuales de un problema se comprendan y analicen mejor por los
que tienen el adiestramiento especial, necesario en los campos apropiados. Por ejemplo, un banco desea reducir
los gastos relacionados con los salarios de los cajeros, pero manteniendo un nivel adecuado de servicio a los
clientes (tiempo de espera razonable para el cliente y de ocio para los cajeros). Los aspectos funcionales del
banco que influyen para conseguir los objetivos pueden ser los que siguen:
 Llegadas promedio al banco de clientes por hora, pues conforme aumenta se deben instalar cajeros
adicionales para tener el nivel deseado de servicio.
 Promedio de clientes servidos por hora de uno o más cajeros.
 Efecto sobre los objetivos del banco, de mantener filas (colas) para cada caja o formar una sola que
distribuye clientes conforme se desocupan las cajas.
 Intercambio entre filas de clientes, con desorden, en sistema de cola por caja.
Paso 2.- Observar el sistema
Se determinan aquellos factores que afectan, como son: variables, limitaciones y suposiciones. Los factores
variables que requieren decisiones como es el nivel de inventario y la necesidad de publicidad; las limitaciones
restringen el uso de recursos como: dinero, tiempo, personal, capacidad productiva, existencias de materia
prima; las suposiciones pueden ser para: precios de producto y competencia del mercado. Hay que reunir datos
para estimar valores de los parámetros que afectan el problema de la organización. En el ejemplo del banco,
algunos parámetros pueden ser:
 Llegadas promedio de clientes por hora (tasa), durante la jornada bancaria.
 Promedio de clientes servidos por hora en caja con diferente tamaño de fila.
Paso 3.- Formular un modelo matemático del problema
Consiste en el desarrollo de cursos alternativos de acción o hipótesis, en la forma de modelo matemático que
generalmente se diseña para usarse en computadora con el software correspondiente para obtener la solución
óptima o una aproximación a ella. Frecuentemente en este paso, hay necesidad de desarrollar varios modelos
que a primera vista parecen prometedores, posteriormente se van desechando conforme muestran sus
deficiencias para seleccionar el que se ajusta más a los objetivos planteados, los que no deben descuidarse
especificando una ecuación como medida de efectividad con el objetivo preciso. Se puede construir (formular)
un modelo que represente la estructura del sistema real en términos cuantitativos para manipularse y
experimentar cambiando ciertas variables y manteniendo como constantes a otras para conocer los efectos
sobre el sistema que se estudia. De esta manera, se puede experimentar con el mundo real en términos
abstractos. La construcción de los modelos matemáticos puede ser muy difícil incluyendo expresiones
complejas con variables controlables como son: precios de venta, número de unidades producidas, algunos
costos, número de vendedores, restricciones presupuestadas; por otra parte, las variables no controlables por
la administración pueden ser: precios de los competidores, costo de las materias primas, costos de mano de
obra, demanda de los clientes y su localización. Las variables controlables y las no controlables se relacionan

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con matemáticas en forma precisa, el conjunto de expresiones forman lo que se llama modelo matemático
cuya solución es función de los valores que tomen dichas variables. La construcción del modelo debe incluir
una ecuación objetivo, con la previa definición del significado cuantitativo de las variables involucradas y
puede necesitar el complemento de un grupo de expresiones restrictivas para los valores posibles de las
variables controlables. Por ejemplo, unidades que se producen, dinero gastado, demanda de clientes,
asignación de recursos, disponibles o requeridos, como son las desigualdades (<= o >=) para no exceder lo
especificado o para cumplir el mínimo requerido. Hay dos procedimientos para obtener la mejor solución a un
problema partiendo de un modelo: el analítico y el numérico. El analítico emplea la deducción matemática
con base en el álgebra y/o cálculo para lograr la solución óptima de acuerdo a las consideraciones de diseño;
por otro lado, el numérico prueba diversos valores de las variables de control del modelo, compara los
resultados obtenidos y selecciona la serie de valores que optimizan. Estos procedimientos varían, desde los de
tanteo hasta los iterativos. Para ciertas situaciones complejas no hay modelo analítico que las represente en
forma válida, en estos casos se puede recurrir a un modelo de simulación que permite, con la ayuda de la
computadora, aproximar el comportamiento del sistema y buscar la mejor solución. En este paso es común el
regreso al paso 2 para ajustes de observación.
Paso 4.- Verificar el modelo y usarlo en predicciones
Se trata ahora de verificar si el modelo matemático diseñado en el paso 3 anterior, es una buena representación
de la realidad que se estudia, calificando su validez para situaciones actuales. Cuando sea posible, se debe
obtener información respecto al comportamiento del modelo al cambiar valores en sus variables y parámetros,
especialmente si estos últimos no se pueden determinar con exactitud, esto se conoce como análisis de
sensibilidad o experimentación sobre el modelo y con ayuda de la computadora, cambiando los valores a
variables y parámetros, que representen las situaciones reales, incluyendo las desventajosas. Frecuentemente,
si la experimentación es muy limitada, se pueden tener resultados engañosos que posteriormente en aplicación
a población mayor, se debe regresar a corregir los criterios equivocados en los pasos precedentes 2 y 3. Con
el análisis de sensibilidad se puede ajustar:
 La medida de efectividad u objetivo como es el dinero como utilidad o costo.
 Revisión de las variables bajo control o de decisión.
 Revisión de las variables no controlables y ambientales como demanda y ubicación de clientes, precios
de la competencia, o nivel de actividad económica.
 Relación de los factores ya mencionados con las restricciones propuestas.
En particular para el ejemplo del banco, si los valores de predicción para el tiempo de espera en cola y el nivel
de servicio no están cerca de los valores reales obtenidos en la observación del paso 2, seguramente se
necesitará otro modelo o al menos revisar los parámetros considerados al mismo. Este caso es para analizar,
si el modelo es válido para las situaciones de poca demanda de clientes y para los días de pago acostumbrados.
Paso 5.- Seleccionar una alternativa
Si existe una alternativa que se adapte mejor a los objetivos de la organización con el modelo matemático
propuesto, entonces debe seleccionarse para su presentación a los responsables de decidir, pero frecuentemente
la situación no es clara para hacerlo así, porque el conjunto de opciones resultantes está sujeta a restricciones
difíciles de cumplir o imposibles.
Paso 6.- Presentar resultados a la organización

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Al terminar la etapa de pruebas y desarrollo de un modelo con solución aceptable, se puede presentar una
recomendación o bien varias alternativas para que la organización seleccione la que mejor se ajustan a sus
necesidades. Generalmente hay necesidad de mostrar varias corridas de computadora, en cuyo caso es
conveniente instalar un sistema bien documentado para aplicar el modelo según lo establecido por la
administración. Este sistema debe incluir, tanto el modelo como el procedimiento de solución, análisis de
sensibilidad y los procedimientos operativos para su probable implantación. Pero dado el caso muy frecuente
de rechazo a la solución propuesta, ya sea por definición incorrecta o debido a la poca participación del
tomador de decisión, entonces será necesario regresar al paso 1,2 ó 3.
Paso 7.- Implantar y evaluar las recomendaciones
Si la organización acepta el estudio con la propuesta de solución, se procede a la implantación que incluye el
sistema de cómputo y la vigilancia constante para las actualizaciones por cambios en el sistema. Con
frecuencia se requiere un número considerable de programas integrados. Las bases de datos y los sistemas de
información administrativos pueden proporcionar información actualizada cada vez que el modelo se utilice,
en cuyo caso se necesitan programas de interfaz (interacción con el usuario) para hacer amigable la operación
del sistema propuesto. También se pueden instalar programas adicionales que manejen los resultados del
implante de manera automática o bien un sistema interactivo de computadora denominado sistema de soporte
de decisiones, para ayudar a la dirección con información relevante en sus decisiones. Se puede generar
informes con la terminología usual en el medio, que relacionen los resultados entregados por el sistema
implantado y las implicaciones. Dependiendo del tamaño del estudio se pueden requerir meses o años para
implantar (desarrollar, probar e instalar) el sistema computarizado y posteriormente su mantenimiento en las
indispensables actualizaciones de programas, modelo y aún de equipo (hardware). Cualquier falla o rechazo
en la implantación puede hacer necesario la revisión y ajuste en los pasos 1, 2, 3 y 4.
UBICACIÓN DE LA IO EN LAS ORGANIZACIONES.- La investigación de operaciones ha tenido un impacto
impresionante en el mundo, al mejorar la eficiencia de muchas organizaciones. Ha hecho contribuciones significativas
al incremento de la productividad dentro de la economía de muchos países, de ellos más de 30 que son miembros de
la International Federation of Operational Research Societies (IFORS). Al inicio de la década de los 90, el U.S. Bureau
of Labor Statistics predijo que la IO sería la 3ª área profesional, de más rápido crecimiento para los egresados
graduados entre 1990 y 2005 en Estados Unidos, con 100,000 personas laborando como analistas de IO en el 2005.
El problema de la localización de un grupo de IO dentro de la empresa ha merecido una gran atención, sin embargo,
no hay una posición preferida para las organizaciones; pero se puede decir que los que han tenido éxito dependen de
los niveles jerárquicos superiores de la institución, lo cual da una base firme para su funcionamiento con obligaciones
de enfrentar los problemas de tomar decisiones y de utilidad inmediata para la administración. Teniendo el respaldo
de la autoridad superior con prestigio dentro de la empresa, se podrán cruzar los linderos departamentales y obtener
la información necesaria para dar soluciones.
Generalmente el grupo de IO se asocia con el de sistemas de procesamiento de datos, pues el acceso a las
computadoras es el apoyo indispensable para sus actividades, por lo que no es raro que estén integrados dada la
posibilidad de tener el mejor manejo de la información deseada y ordenada como convenga. De este modo ambos
grupos, el de IO y el de sistemas de procesamiento de datos, se complementan en términos de los objetivos de la
institución.
Para la mayoría de los estudios de IO, se recomienda un equipo compuesto de analistas y de personal involucrado en
el problema que se enfrenta, este grupo informa a un Comité Directivo de la Administración integrado por los
directivos departamentales que están afectados en el problema estudiado de IO, los cuales a su vez se reúnen con la

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administración superior para reportar los progresos. Los comités allanan el camino del personal de IO para obtener la
cooperación del personal de operación y su aceptación.
3. Aplicaciones de la Investigación de Operaciones
Áreas funcionales
Una muestra de los problemas que la IO ha estudiado y resuelto con éxito en negocios e industria se tiene a
continuación:
Personal
La automatización y la disminución de costos, reclutamiento de personal, clasificación y asignación a tareas
de mejor actuación e incentivos a la producción.
Mercado y distribución
El desarrollo e introducción de producto, envasado, predicción de la demanda y actividad competidora,
localización de bodegas y centros distribuidores.
Compras y materiales
Las cantidades y fuentes de suministro, costos fijos y variables, sustitución de materiales, reemplazo de equipo,
comprar o rentar.
Manufactura
La planeación y control de la producción, mezclas óptimas de manufactura, ubicación y tamaño de planta, el
tráfico de materiales y el control de calidad.
Finanzas y contabilidad
Los análisis de flujo de efectivo, capital requerido de largo plazo, inversiones alternas, muestreo para la
seguridad en auditorías y reclamaciones.
Planeación
Con los métodos Pert para el control de avance de cualquier proyecto con múltiples actividades, tanto
simultáneas como las que deben esperar para ejecutarse.
La lista de áreas funcionales de la organización que son de posible aplicación de la IO, es ilustrativa del potencial que
tiene para resolver el problema de la empresa.
Problemas ejemplo de aplicación con éxito de la IO.- En los siguientes problemas el gobierno o empresa, ahorraron
millones de dólares en la aplicación de la IO:
1. Programación del horario de las rondas de policías de San Francisco.-En 1989 Taylor y Huxley diseñaron un
método para programar el horario de las rondas de oficiales de la Policía de San Francisco, usando un modelo

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de programación lineal, la programación de metas y la programación entera. El ahorro sumó 11 millones de
dólares anuales.
2. Reducción de gastos de combustible en la industria de la energía eléctrica.- En 1989 Chao y Cols ahorraron a
79 empresas de servicio de energía eléctrica más de 125 millones de dólares en costos de compras y de déficit,
usando programación dinámica y simulación.
3. Diseño de una instalación para desmontar lingoteras en Bethlehem Steel.- En 1989 Vasko y Cols ayudaron a
esta empresa siderúrgica con el diseño del sistema de quitar lingoteras a los lingotes de acero con un modelo
de programación entera ahorrando 8 millones de dólares anuales.
4. Mezcla de gasolinas en Texaco.- Con programación lineal y no lineal Dewit y Cols diseñaron un modelo de
mezcla para cuatro tipos de gasolina ahorrando 30 millones de dólares al año; aplicando análisis de sensibilidad
calcularon el efecto de cambios al modelo.
5. Programación del horario de los camiones para North America Van Lines.-En 1989 Powell y Cols, con
modelos de redes y programación dinámica, formularon la asignación de carga a chóferes, reduciendo costos
en 2.5 millones de dólares, con mejor servicio.
6. Administración del inventario a Blue Bell.-En 1985 Edwars, Wagner y Wood con programación lineal y
modelos probabilísticos de inventario redujeron el nivel medio de inventario de ropa deportiva y de oficina en
un 31%.
7. Determinación de carteras de bonos.- Varias personas (Chandy y Kharabe, 1986) utilizaron la programación
lineal para máxima ganancia con restricciones de riesgo y de la diversificación de la cartera.
8. Planeación de producción en lechería.-En 1985 Sullivan y Secrest, usaron programación lineal con utilidad de
48000 dólares, al determinar el proceso: del suero, la leche cruda, el suero dulce y la crema, para obtener:
queso crema, requesón, crema agria y crema de suero.
9. Reemplazo de equipo en Phillips Petroleum.- Para el reemplazo de equipo usaron modelos (Waddell, 1983),
que se estima ahorraron 90000 dólares por año.
4. Referencias Bibliográficas
ACK68. - Ackoff Rusell L. & Sasieni Maurice W.
Fundamentals of Operations Research. Wiley. New York. 1968.
DAN63. - Dantzig George B.
Linear Programming and Extensions. Princenton University Press. Princenton N.J. 1963.
GAS74. - Gass Saul I.
Linear Programming. Methods and Applications. McGraw Hill, New York.1974
HIL95. - Hillier-Lieberman.
Introducción a la Investigación de Operaciones.-McGraw-Hill.- 6a.edición.- 1995.
SHA78. - Shamblin - Stevens.
Investigación de Operaciones. Un enfoque Fundamental.- Mc Graw Hill. Primera edición. 1978.

15
THI77.- Thierauf-Grosse.
Toma de decisiones por medio de la Investigación de Operaciones.-Limusa.- 1ª edición, 4ª Reimpresión.-
1977.
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Principles of Operation Research. 2d. edition. Englewood Cliffs. N. J. Prentice Hall. 1975.
WIN94.- Winston Wayne.
Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos.- Grupo Editorial Iberoamérica.- 2ª Edición.-1994.
Capítulo 1. PROGRAMACION LINEAL (PL).
Tabla de contenido
1.1. Objetivo.
1.6. Ejercicios, actividades de aprendizaje y autoevaluaciones
correspondientes al capítulo [MAT96]
1.1. Objetivo.
Iniciarse en la técnica de programación lineal con el aspecto más importante del método científico: la representación
o modelo en formulación matemática lineal de algunos problemas elegidos, los agrupados en "clásicos"; también debe
aprender los conceptos teóricos fundamentales utilizando la metodología gráfica en sólo dos variables.
El desarrollo de la programación lineal se considera entre los avances científicos más importantes del siglo XX, pues
su impacto ha sido extraordinario. Actualmente es una herramienta de uso común que ha beneficiado a muchas
organizaciones en distintos países con ahorros de cualquier índole, por lo que su uso se está ampliando rápidamente
a todos los sectores de la sociedad. Una gran mayoría de los cálculos científicos en computadoras usan la
programación lineal proliferando las publicaciones y libros sobre esta materia de gran aplicación.
Uno de sus antecedentes se registra con el método de análisis de insumo-producto que desarrolló el economista W.
Leontief; también se debe reconocer al economista y matemático soviético L.V. Kantorovich, quien ya en 1939
formuló y resolvió un problema de programación lineal para la organización y planeación de la producción; otro
antecedente es, la interpretación de Hitchcock a "un problema de tipo de transportación" en 1941. El problema de la

16
dieta, fue analizado por Stigler en 1945. El gran impulso de la programación lineal para la industria y los negocios se
identifica con el doctor George Dantzig, matemático norteamericano de origen, que desarrolló el algoritmo Simplex,
un método sistemático de resolución para problemas modelados con programación lineal. Esto ocurrió en 1947 cuando
se ocupó, con Marshal Wood y asociados, de un proyecto para la Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Se organizó
un grupo de investigación con el título de Proyecto SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs).
Actualmente las principales aplicaciones de la PL son del área industrial; también, aunque en menor parte, en el campo
urbano y social.
A partir de 1950, un número cada vez mayor de investigadores (matemáticos y economistas) aislados o constituyendo
grupos contribuyen al desarrollo de las diferentes ramificaciones de la programación lineal; en particular, la "Rand
Corporation" con G. B. Dantzig y W. Orchard-Hays, después L. R. Ford, D. R. Fulkerson, y D. Gale; el departamento
de matemáticas de la Universidad de Princenton con A. W. Tucker y H. W. Kun; la "Graduate School of Industrial
Administration" del "Carnegie Institute of Technology" con A. Charnes y W. Cooper. Los dos primeros grupos
trabajan en la teoría matemática de los programas y su instalación en computadoras; los resultados se publicaron en
la "Rand Corporation" en la serie de "Rand notes on linear programming and extensions" (desde 1953 a 1961); se
deben mencionar las de Dantzig sobre los desarrollos teóricos, las de W. Orchard_Hays sobre la instalación de los
programas de cálculo en máquinas, las de L. R Ford y D. R. Fulkerson sobre las redes de transporte; es necesario citar
especialmente en el activo del grupo de Princenton, el método "húngaro" de H. W. Kun, para los problemas de
asignación, la publicación de la notable colección de notas "Linear Inequalities and Related Systems" en 1956 y el
método de Gomory para el cálculo de los problemas lineales en números enteros a finales del año 1958. El equipo del
"Carnegie Tech" desarrolló la PL en aplicaciones industriales, se interesó en aspectos teóricos particulares como:
degeneración, errores de redondeo, el Simplex revisado, variables acotadas.
En los últimos años, lo notable y más prometedor parece ser: La programación lineal en números enteros por R.
Gomory, el principio de descomposición de Dantzig y Wolfe, los programas lineales estocásticos, el algoritmo de
punto interior de Narendra Karmarkar, con aportaciones importantes de un matemático ruso I. Dikin en 1967,
redescubierto, después de la publicación de Karmarkar por varios investigadores: E.R.Barnes, T. M.Cavalier y
A.L.Soyster. Además R.J.Vanderbei, M.S.Meketon y B.A.Freedman publicaron en 1986, "A modification of
Karmarkar's Linear Programming Algorithm". Al inicio la programación lineal se llamó "programación en estructura
lineal". En 1948, Tjalling Koopmans sugirió a George Dantzing simplificar el nombre.
DEFINICIÓN DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL
Es una de las técnicas agrupadas como programación matemática, aplicable a problemas de asignación de
recursos limitados, con actividades competitivas hacia un objetivo común, que puede ser de maximizar beneficios
(por ejemplo utilidades o bien rendimientos); también se puede desear minimizar el esfuerzo (por ejemplo los costos,
el personal asignado a tareas, o el desperdicio en procesos). Se usa un modelo matemático con representación válida
de la problemática en estudio; sus relaciones deben ser lineales o de "línea recta", que significa utilizar, sólo una
variable de primer grado en cada término
El modelo de PL es una representación simbólica (abstracción) de la realidad que se estudia, se forma con expresiones
lógicas matemáticas conteniendo términos que significan contribuciones: a la utilidad (con máximo), al costo (con
mínimo), al consumo de recurso (disponible con desigualdad <=), al recurso requerido (con desigualdad >=), recurso
especificado (con igual =). Contiene las siguientes cuatro partes:
1a parte

17
Definición con el significado cuantitativo de las variables de decisión (controlables).
2a parte
Función económica u objetivo a optimizar (máximo o bien mínimo):
3a parte
Sujeta a restricciones:
4a parte
Condición de no negativo a variables:
PROPIEDADES DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Para que un modelo de PL sea válido, debe cumplir las propiedades siguientes:
I. Proporcionalidad.-Significa que la contribución al valor de la función objetivo y el consumo o requerimiento
de los recursos utilizados, son proporcionales al valor de cada variable de decisión. Así el término 4X1 es
proporcional, porque contribuye al valor de la función Z con 4, 8, 12, etc. para los valores 1, 2, 3, etc.,
respectivamente, de X1. Se puede observar el aumento constante y proporcional de 4 conforme crece el valor
de X1. En contraste, el término no lineal 4X1
2
, contribuye con 4, 16, 36, etc., para los mismos valores 1, 2, 3,
etc., respectivamente, de la variable X1; Aquí se observa que el aumento en la contribución no es constante y
por lo tanto no hay proporcionalidad.
II. Aditividad.- Significa que se puede valorar la función objetivo Z, así como también los recursos utilizados,
sumando las contribuciones de cada uno de los términos que intervienen en la función Z y en las restricciones.
III. Divisibilidad.- Significa que las variables de decisión son continuas y por lo tanto son aceptados valores no
enteros para ellas. La hipótesis de divisibilidad más la restricción de no negatividad, significa que las variables
de decisión pueden tener cualquier valor que sea positivo o por lo menos igual a cero.
IV. Certidumbre.- Significa que los parámetros o constantes son estimados con certeza, o sea, no interviene una
función de probabilidad para obtenerlos

18
El modelo de programación lineal es un caso especial de la programación matemática, pues debe cumplir que, tanto
la función objetivo como todas las funciones de restricción, sean lineales.
APLICACIONES TÍPICAS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL
Aparentemente, las estructuras de organización complejas propias de la sociedad moderna han reconocido interesantes
problemas de optimización tales como la manera más eficiente de manejar la economía de un país o también la mezcla
de ingredientes de un fertilizante para satisfacer las especificaciones agrícolas a costo mínimo. Ambos
problemas utilizan el modelo de programación lineal (PL), para optimizar una función lineal condicionada a
restricciones lineales, que es sencillo en su estructura matemática, pero poderoso por su gran adaptación a una
amplia variedad de problemas.
La programación lineal es una técnica matemática de resolución de problemas, su desarrollo representa una ayuda a
los administradores para tomar decisiones en la asignación de recursos. A continuación aparecen algunas
aplicaciones típicas de la PL:
1. Un fabricante desea desarrollar un programa de asignación en producción y una política de inventario que
satisfagan la demanda de ventas de periodos futuros. Así se podría cumplir la demanda con mínimo costo
total de producción y de inventario.
2. Un analista financiero debe seleccionar una cartera de inversiones a partir de una diversidad de alternativas en
acciones y bonos. Se debe establecer la cartera que maximice el rendimiento sobre la inversión asignada.
3. Un administrador de mercadotecnia desea determinar la mejor manera de asignar un presupuesto de
publicidad como radio, televisión, periódicos y revistas. Al gerente le gustaría determinar la combinación de
medios que maximice la efectividad de la publicidad.
4. Una empresa tiene almacenes en varias. ubicaciones en todo el país. Para un conjunto de demandas de sus
productos por parte de sus clientes, la empresa desearía determinar cuánto debe asignar en embarques a cada
uno de los almacenes y a cada cliente, de manera que los costos totales de transporte resulten mínimos.
Estas aplicaciones representan unas cuantas situaciones en las que se ha utilizado con éxito la programación lineal,
pero ilustran su potencial en la solución de problemas. Un estudio detallado revela las características comunes de
ellas. En el ejemplo 1, el fabricante desea minimizar costos; en el 2, el analista financiero desea maximizar el
rendimiento sobre la inversión; en el 3, el gerente de mercadotecnia desea maximizar la efectividad de la publicidad,
y en el ejemplo 4, la empresa desea minimizar los costos totales de transporte. En todos los problemas de
programación lineal, el objetivo es el máximo o bien el mínimo de alguna cantidad en la acción de asignar
recursos.
Los problemas de programación lineal se caracterizan, además, por las condiciones impuestas o restricciones de
recursos, que limitan el grado en que se puede cumplir algún objetivo. En el ejemplo 1, el fabricante está limitado
por restricciones que requieren que la demanda de producto quede satisfecha y por restricciones respecto a la
capacidad de producción. El problema de la cartera del analista financiero está limitado por la cantidad total de fondos
de inversión disponibles y las cantidades máximas que se pueden invertir en cada acción o bono. La decisión en la
selección de medios del gerente de mercadotecnia, está restringida por un presupuesto de publicidad fijo y por la
disponibilidad de los varios medios. En el problema de transportación, el programa de embarques de costo mínimo
está restringido al suministro de productos disponibles en cada almacén. La diversidad de condiciones mencionadas,
es parte de lo que puede esperar aquel que decida enfrentar un problema, pues las restricciones son otra característica
general en todo problema de programación lineal

19
La formulación de un problema de cualquier tamaño con programación lineal debe sujetarse al formato del modelo
de PL general ya presentado antes.
Se empieza como parte 1, con la observación y análisis necesario para definir el significado cuantitativo de las
variables de decisión o controlables que se pueden representar, en símbolos como X1, X2, X3,..., o bien, identificar
con nombre específico de producto o bienes de manufactura, almacén o venta, disponibilidad y/o requerimiento de
recurso o materia prima.
Se continúa con la parte 2, para construir la función objetivo o medida de efectividad, representada por una variable
(denotada con Z, G, U, etc.) cuyo valor se desea maximizar (utilidad, rendimiento, ingreso, producción) o
bien minimizar (costo, tiempo, mano de obra, inventario). Puede ocurrir en algún caso, que la formulación resulte no
lineal, pero con las transformaciones adecuadas se puede hacer la conversión a lineal.
Como parte 3 debe considerarse la construcción de las restricciones que limitan el valor óptimo que puede tomar la
función objetivo, o sea, definen las soluciones admisibles o región factible del problema. Las restricciones pueden ser
de una o todas las clases siguientes: Si no se debe exceder el recurso disponible, de la forma <=; para no menos de lo
requerido, de la forma >=; o también para igualar el recurso especificado, de la forma =.
Se termina con la parte 4, para condicionar las variables a valores no negativos, debido a que en la gran mayoría de
los problemas los valores negativos no tienen significado físico. Los casos de excepción merecen tratamiento especial.
1.4.1. Ejemplos de formulación de modelos de PL.
La construcción de un modelo de programación lineal debidamente planteado que represente un problema real es un
arte. La mayoría de la gente que lo intenta tiene más dificultades en ello que con los otros aspectos de esta técnica
pues se requiere de imaginación e inventiva. Esto se puede mejorar con paciencia y práctica, ajustándose a la estructura
dada como modelo general.
El siguiente procedimiento puede ser útil antes de pretender la estructura matemática del problema en estudio:
 Concentrar la atención en identificar el objetivo general como puede ser, el máximo de: utilidades,
rendimientos, audiencia; o bien, el mínimo de: costos, personal, distancias, tiempo, materia prima, o
contaminación.
 Identificar las decisiones (variables controlables) en forma cuantitativa con la unidad precisa de medición,
como # de personas, # de pesos, # de toneladas.
 Identificar las constantes conocidas como coeficientes Cj que aportan al valor del objetivo, o coeficientes aij
que contribuyen al consumo de materia prima o al requerimiento de recurso.
 Identificar todas las condiciones a las que se sujeta el objetivo en forma de restricciones en sus diferentes
tipos:<=cuando mucho, >= al menos, = estrictamente lo especificado.
A continuación se presentan ejemplos de planteamiento funcional, pero en algunos puede haber alternativa cambiando
la definición de variable en la parte 1.
Ejemplo 1-1. PL al combinar camiones refrigerados en transporte de alimento (REFCAM).
En la siguiente tabla se tiene la información de costo en renta y también las capacidades, de dos tipos de camión
transportista refrigerado para la distribución de alimentos, una parte de los cuales pueden descomponerse durante el
viaje. En particular se requiere un total de 900 y 1200 metros cúbicos (m3
) de espacio refrigerado y no refrigerado,

20
respectivamente. Formule un modelo de PL para decidir y resolver el problema de cuántos camiones de cada tipo
rentar para que el costo sea el menor posible.
Figura 1-1. Información para renta de camiones con y sin espacio refrigerado del ejemplo REFCAM.
1ra. parte.- Definición de las variables de decisión
2da. parte.- Función económica u objetivo de costo
3ra. parte.- Sujeta la función de mínimo costo a restricciones de espacio de carga:
4a. parte.- Condiciones de signo para las variables de decisión:
Observaciones para el Ejemplo 1-1.-El primer problema de ejemplo es de decisión y la pregunta evidente para el
distribuidor responsable es ¿cuántos camiones de cada tipo deben rentarse para cumplir con la distribución? Para
contestarla, en la primera parte del modelo se definen las incógnitas que se acostumbra denotar con la letra X con
índices, como XA, XB, para hacer la diferencia entre los dos tipos de camión A y B. Para formular la función objetivo
en la parte 2 del modelo, se observa que la renta de un camión tipo A cuesta 3 (3000 pesos) multiplicado por el número
XA de camiones tipo A para renta, resulta así el término 3XA que significa el costo de todos los camiones A rentados,

21
por otro lado la renta de un sólo camión tipo B es de 4, por lo tanto 4XB es el costo de rentar los camiones tipo B. Con
la suma de los dos términos o contribuciones de costo se obtiene el valor total de Z, la función objetivo de costo, cuya
dimensión es:
En la parte 3 correspondiente a las restricciones, debe pensarse en el recurso espacio de carga que es el atributo de
interés de los camiones a rentar. La capacidad especificada de carga, refrigerada o no, de los mismos, se emplea para
plantear los términos de las restricciones, las que se traducen como requerimiento o necesidad de 900 m3
de espacio
de carga refrigerada y 1200 m3
de espacio de carga no refrigerada, lo cual hace un total de dos restricciones a formular.
Cada término de ellas se construye considerando el espacio de un sólo camión (20 m3 refrigerados para el A)
multiplicado por el número de camiones (XA para A) del tipo que se decida rentar, o sea, 20XA es la contribución de
espacio refrigerado de los camiones A para los requeridos 900 m3 del distribuidor. De la misma manera se forma el
término 30XB como contribución de espacio refrigerado de los camiones B. En la restricción 20XA + 30XB >= 900 se
utiliza la desigualdad >= porque el requerimiento de 900 m3
se interpreta como el espacio mínimo necesario para el
alimento perecedero.
Las mismas ideas ya expuestas son aplicables para la segunda restricción referente al requerimiento de 1200 m3
de
espacio no refrigerado, ambas se dimensionan así:
Por último en la parte 4, las condiciones de valor no negativo para las incógnitas, son lo natural para este problema
ejemplo, entendiendo que el número de camiones a rentar es positivo: XA > 0, XB > 0 o bien, puede que la solución
al modelo planteado de este problema, resulte que no conviene rentar algún tipo de camión, en tal caso se presentaría
con XA = 0 ó con XB = 0, puesto que XA < 0 ó XB < 0 no tiene significado físico.
Ejemplo 1-2. PL al combinar tamaños de camiones en transporte (TAMACA).
Una compañía transportadora tiene 10 camiones con capacidad de 20 toneladas y 5 camiones de 15 toneladas. Los
camiones grandes tienen costos de operación de $150 por kilómetro recorrido y los pequeños de $ 125 por kilómetro
recorrido. En la siguiente semana la compañía requiere transportar 200 toneladas de azúcar en un recorrido de 800
kilómetros. La posibilidad de otros compromisos de transporte, impone una política táctica de mantener en reserva,
por lo menos, dos camiones pequeños por cada camión grande. ¿Cuál es el número óptimo de camiones de ambas
clases que se deben utilizar para transportar el azúcar? Formule un modelo de programación lineal para este problema.
Figura 1-2. Información: costo según el tamaño de camión, recorrido y transporte del ejemplo TAMACA.
Modelo de programación lineal.
1a parte.- Definición de variables de decisión

22
2a parte.- Función económica u objetivo: Planteamiento de costo mínimo de operar Xj camiones
3a parte.- Restricciones o condiciones.- Requerimiento de carga a transportar:
Restricciones de camiones disponibles a utilizar: Xg <= 10; Xp <= 5 (camiones).
Para la restricción de tener en reserva dos camiones pequeños por cada camión grande, se definen otras
variables y significan camiones en reserva para otro uso:
Sea X r j = número de camiones en reserva de tipo j (j = g, p)
Camiones grandes reservados = total de grandes menos los utilizados: Xrg=10-Xg
Camiones pequeños reservados = total de pequeños menos los utilizados: Xrp=5-Xp
4a parte: Condiciones de signo para las variables:
Observaciones al Ejemplo 1-2: Análisis de la propiedad de proporcionalidad:

23
El cambio para diferentes valores de Xg se mantiene constante (20), o las contribuciones de 20, 40, 60,..., son
proporcionales al valor incremental de Xg. En contraste, el valor de las contribuciones 20, 80, 180,..., para diferentes
valores de la variable en X2
g no se mantiene constante y por lo tanto no hay proporcionalidad.
El problema de ejemplo 1.2, como primera parte, es decidir el número de camiones grandes (Xg) y pequeños (Xp) a
utilizar para el transporte del azúcar.
Para construir la función objetivo de la segunda parte del modelo, hay necesidad de pensar como administrador del
transporte, pues en cualquier caso se desea cumplirlo con bajo costo. Puesto que existe diferencia al operar camiones
de diferente tamaño, pero el recorrido es igual para los grandes y pequeños, en tal caso se calcula el costo del viaje
para cada uno de los dos tipos de camión el cual se emplea como coeficiente de costo Cj en cada término de la función
Z que representa el costo total a minimizar.
Las restricciones de la parte 3 del modelo matemático son de tres clases: se debe cumplir un requerimiento (>=) de
transporte de 200 toneladas de azúcar. Para la posible pregunta de por qué no se utiliza un simple signo de igualdad
(=), considere que la capacidad de los camiones grandes de 20 toneladas, si es múltiplo de las 200 toneladas a
transportar, pero en cambio, la capacidad de 15 toneladas de los camiones pequeños, no es múltiplo de 200, en tal
caso, puede no cumplirse en igualdad; por otro lado no se debe olvidar la política de mantener en reserva cierto número
de camiones. Posteriormente se trata la conveniencia de evitar, en lo posible, las restricciones estrictas de igualdad
(=), pues la programación lineal, las restricciones (<=) y (>=) no excluyen la posibilidad de cumplir la igualdad y
aportan flexibilidad en la búsqueda de la mejor solución. Otra clase de restricción a considerar se refiere al total de
camiones existentes de cada tamaño, lo cual se expresa con la desigualdad (<=) significando, que se dispone de un
máximo de 10 grandes y 5 pequeños. La restricción para dejar en reserva algunos camiones, necesita una definición
adicional para ellos, pues en la primera parte del modelo sólo se definen las variables de decisión para representar los
camiones a utilizar. De esta manera, se plantean las expresiones para: Xrg = 10 - Xg; Xrp = 5 - Xp, sustituyéndolas en
la interpretación de la política de reserva, conteniendo las variables de decisión Xg, Xp, así como también las variables
que representan los camiones en reserva Xrg, Xrp las cuales sirven para el análisis durante la formulación, pero no
permanecen en la presentación final del modelo.
Se termina el modelo con la parte 4 en que se condicionan las variables sólo a valor positivo o cero, pues el negativo
no tiene significado físico en este problema.
Las expresiones en negrita forman el modelo matemático pedido.
Ejemplo 1-3. PL en horarios para cubrir turnos de trabajo (HORAPRO).
Figura 1-3. Policías para vigilancia de un sector de la ciudad en ejemplo HORAPRO.
Cada policía debe laborar 8 horas consecutivas. El periodo 1 sigue al 6.
Formule un modelo de PL para determinar el número óptimo de policías.

24
Ayuda para el análisis: En este problema se conoce, que para fines de control, se divide el día completo en periodos
de 4 horas de duración, logrando continuidad de la vigilancia de policías los que deben trabajar durante dos periodos
consecutivos. También se sabe el requerimiento en número de policías para cada uno de los seis periodos; entonces
la siguiente forma tabular puede ser buena ayuda para la comprensión del problema considerando a Xj como grupo
de policías asignados para iniciar los periodos j (j = 1,2,...,6).
Figura 1-4. Inicio y permanencia de grupos X j de policías en los periodos j del día en ejemplo HORAPRO.
1a parte.- Definición de variables:
2a parte.- Función económica.- Aquí debe pensarse en el menor número de policías necesarios para cumplir, por lo
menos, los requeridos en cada uno de los seis periodos j:
3a parte.- Restricciones: La misma tabla da la combinación de los grupos de policías Xj para cubrir, como se observa,
los requerimientos de cada periodo j.
4a parte.- Condiciones de signo, NO NEGATIVO:
Ejemplo 1-4. PL en la dieta de jugos (BEDIET).
Un proveedor de bebidas dietéticas debe preparar con las existentes de su bodega, un pedido de 500 litros de ponche
dietético el cual debe contener por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de betabel.
La siguiente tabla informa de 5 bebidas existentes con su contenido de jugos y el costo de las mismas. ¿Qué cantidad
de cada bebida deberá de emplear el proveedor para cumplir el pedido a un costo mínimo? Formule un modelo de
programación lineal que represente este problema.

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Figura 1-5. Información de bebidas almacenadas en ejemplo BEDIET.
2a parte.- Función económica u objetivo:
3a parte: Sujeta a restricciones.-
Restricción de proporción de contenido de jugo:
Para este tipo de restricción es necesario convertir la información de contenido en por ciento (%) de jugo de
la tabla a fracción decimal de un sólo litro del mismo, ya que la definición de significado de las variables en
la primera parte del modelo se hizo como litros de bebida j. Por lo tanto, la fracción 0.40 ó 400 mililitros de
jugo de naranja multiplicado por XA litros, es la contribución de la bebida A (0.40XA) para cumplir el 20%
(0.20 por litro de ponche) de jugo de naranja en la bebida pedida. También 0.05XB es la contribución de la
bebida B y 1XC, es la contribución de C (pura naranja) al ponche pedido. Las restricciones de toronja y betabel
se formulan de la misma manera.
4a parte.- Condición de signo para las variables:
Ejemplo 1-5. PL en la inversión de capital (INVECAP).
Un banco desea establecer una política de préstamo para el siguiente trimestre y por tal motivo asignó un presupuesto
de 12 millones de dólares para prestarles a sus clientes. En la tabla siguiente se anotan los tipos de préstamo con el
interés correspondiente y las probabilidades de no-recuperación del capital prestado. Lo que no se puede recuperar no

26
tiene intereses. Por competencia con otros bancos, se requiere asignar préstamos de al menos el 40% del total, a los
tipos de préstamo 4 y 5. Con la habitación debe prestarse al menos un 50% de la suma de los préstamos 1, 2, y 3. La
política de banco es que la relación total de los irrecuperables sea un máximo de 0.04. Formule un modelo de
programación lineal para este problema de inversión.
Figura 1-6. Información de tipo de préstamos bancarios en ejemplo INVECAP.
Modelo de programación lineal
2a parte.- Función objetivo:
En este problema, a la función Z a maximizar se le debe formular con la suma de las contribuciones de
rendimiento de los cinco tipos de préstamo, pero descontando la fracción de irrecuperables los cuales se
estiman en la columna derecha de la tabla:
3a parte.- Sujeto a restricciones.

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4a parte.- Condiciones de signo.
El conjunto de expresiones en negrita forma el modelo matemático de programación lineal que se pide formular.
Ejemplo 1-6. PL en la selección de máquinas para un proceso (MAQUIPRO).
Una compañía tiene 3 tipos de máquinas procesadoras con diferentes características en cuanto a velocidad, precisión
y costo de producción. En la siguiente tabla se resumen las mismas:
Figura 1-7. Información de características de máquinas tipo j en ejemplo MAQUIPRO.
Cada día de 8 horas deben producirse 500 piezas. Formule un modelo de programación lineal para este problema:
Modelo matemático de programación lineal.
1a parte.- Definición de variables.-
Para este problema el estudiante puede razonar a partir de la información dada, que se conocen las
características de las máquinas de procesar piezas, pero no cuántas utilizar de cada uno de los tres tipos, puesto
que a las diferencias técnicas entre ellas, se agrega el costo de operarlas. De este modo se define:

28
Sea Xj = número de máquinas de tipo j (j = 1, 2, 3) necesarias para producir 500 piezas en un día de 8 horas
a condición de hacerlo con el menor costo.
2a parte.- Función económica.-
La medida para decidir en este problema, es la conveniencia de cumplir la cuota de producción de 500 piezas
en la forma más económica posible; para ello es necesario que se involucren los costos asociados con cada
tipo j de máquina calculando antes de la formulación de la función Z, el costo Cj correspondiente; por lo tanto:
Z mínima = suma de contribuciones de costo de los tres tipos de máquina.
Observe que los coeficientes Cj se obtienen sumando, al costo nominal de una hora de proceso, el costo
correspondiente a la estimación de piezas rechazadas, que para el caso de la máquina j =1 es de 10% ó 0.10
en fracción decimal multiplicado por 30 piezas producidas en una hora, resulta en 3 piezas con defecto en una
hora de proceso. Cada rechazo cuesta un dólar, entonces se suma este costo: 3(1 dólar) = $3, al nominal de $5
y así se tiene C1 = $8. Los costos C2 y C3 se calculan con el mismo criterio.
3a parte.- Sujeta a restricciones.-
La cuota de producción de 500 piezas en una jornada de 8 horas conviene convertirla a su equivalente para
una sola hora, pues se puede observar que la información restante está en esos términos. La producción pedida
constituye una importante condición del problema y debe plantearse como restricción u obligación, la cual se
construye a partir de las velocidades especificadas por máquina tipo j; pero las tasas anotadas son nominales,
puesto que se estima un porcentaje de piezas aceptadas para los diferentes tipos j de máquina, en tal caso es
necesario ajustar las velocidades o tasas de producción de acuerdo a su eficiencia para plantear el
requerimiento en términos reales:
A j = Producción real por máquina tipo j, debido a la eficiencia en piezas buenas.

29
Otra restricción a considerar se refiere al número total de máquinas de tipo j que se tienen para este proceso
de producción, debiéndose plantear con desigualdad <=, significando que el número de máquinas utilizadas,
debe ser menos o cuando mucho, lo anotado en el lado derecho:
Como no hay significado físico para valores negativos de las variables, entonces se limitan como sigue
4a parte.- Condiciones de signo a variables
Las expresiones escritas en negrita forman el modelo de programación lineal que se pide.
Ejemplo 1-7. PL para distribuir carga en transporte (BARCOCARGA).
Un barco tiene tres bodegas: en la proa, en el centro, y en la popa con los siguientes límites de:
Figura 1-8. Capacidades en el barco del ejemplo BARCOCARGA.
Los siguientes cargamentos se ofrecen, pudiendo aceptar los dueños del barco, el total o una porción cualquiera de
cada uno de los siguientes:
Figura 1-9. Artículos a transportar en ejemplo BARCOCARGA.

30
Para preservar el equilibrio del barco, el peso de cada bodega debe ser proporcional a la capacidad en toneladas.
Formule un modelo de PL para determinar cómo distribuir la carga en las bodegas para una utilidad máxima.
Modelo de programación lineal
Distribuir la carga en toneladas, de tres artículos j diferentes, en cualquiera de las tres bodegas i, significa la
flexibilidad de ocupar los espacios convenientes para máxima ganancia cumpliendo las restricciones de capacidad
especificadas. Dado que un artículo j puede asignarse a cualquiera de las tres bodegas i, entonces se pueden definir
las variables Xij para representar las toneladas de producto j en las tres bodegas como X1j, X2j, X3j o bien, las toneladas
cargadas en las bodegas i de los tres productos como XiA, XiB, XiC. Entonces con la misma letra X con doble índice
se pueden definir las variables de decisión.
Figura 1-10. Fracciones de la carga distribuidas en ejemplo BARCOCARGA.
1a parte: Definición de variables.
2a parte: Función económica u objetiva.
3a parte: Sujeta a restricciones.-
Las limitaciones de capacidad deben expresarse
Con desigualdad <=, lo cual significa que se debe cargar menos o cuando mucho la capacidad especificada ya
sea en toneladas o bien el espacio en metros cúbicos. En cada viaje, la suma de la carga ofrecida a transportar,
supera la capacidad total del barco, entonces se puede llevar sólo una parte de ella, así las restricciones son
<=.

31
Para conservar el equilibrio debe considerarse que la suma de XiA + XiB + XiC, de toneladas cargadas a
cualquier bodega i, es menor a la capacidad de i, por lo tanto es una fracción de ella. Se interpreta como
proporción utilizada de la capacidad, que debe igualarse para las tres bodegas y tratarse como una variable
adicional, a las ya definidas: sea Xpc la proporción de capacidad que es <= 1 como sigue:
4a parte.- Condiciones de no negatividad:
Ejemplo 1-8. PL en la producción de fertilizantes con diferentes ingredientes (FERTILIZ).
Se producen dos clases de fertilizante distinguidos por contenido químico, disponibilidad del mismo y costo de
ingredientes como se muestra aquí:
Figura 1-11. Informe: contenido, costo, precio de fertilizantes, ejemplo FERTILIZ.

32
Formule un modelo de PL. Para obtener la combinación de fertilizantes a producir que maximice la utilidad.
La tabla de datos de este problema es un buen ejemplo de ordenación y síntesis de la información dada; con esa ventaja
se facilita el análisis al formular el modelo.
1a parte.- Definición de variables.
2a parte.- Función económica u objetivo.
3a parte.- Sujeto a restricciones de contenido químico:
4a parte.- Condiciones de signo para las variables.
Ejemplo 1-9. PL para mínimo desperdicio en proceso de corte (CORTEPAPEL).
Una papelería recibe un pedido de 500, 300 y 100 rollos de papel de cierta calidad en ancho de 30, 45 y 56 pulgadas,
respectivamente. En almacén se tienen rollos de papel de la calidad solicitada pero con un ancho de 108 pulgadas. Si
la papelería desea satisfacer el pedido del cliente deberá someter a corte longitudinal los rollos en existencia pero se
tendrá obligadamente un desperdicio de papel.
Formule un modelo de programación lineal que minimice el desperdicio.
Antes de iniciar la formulación del modelo de PL de este problema, se pueden revisar las varias alternativas
convenientes para realizar el corte, desde un ancho de 108 pulgadas que tienen los rollos existentes en almacén hasta
los anchos del pedido. Para ello se presenta la siguiente tabla que facilita el análisis de cuántos rollos en 30, 45 y 56
pulgadas se pueden obtener en cada proceso de corte, cuidando que las diferentes combinaciones sean posibles y con
un desperdicio menor a 30 pulgadas.
Figura 1-12. Tipos de corte conveniente para ajustar anchos solicitados en ejemplo CORTEPAPEL.

33
Modelo matemático de programación lineal.
2a parte.- Función económica u objetivo.-
Se utiliza el cálculo del desperdicio en pulgadas anotado en la columna derecha de la tabla, para construir los
términos correspondientes al desperdicio de cada tipo de corte los cuales sumados, valoran la función Z a
minimizar.
3a parte.- Sujeto a restricciones.-
La misma tabla ordena el dato de número de rollos con determinado ancho, obtenido en cada corte de tipo j,
este número multiplicado por el número de cortes j, es el término contribuyente para surtir los rollos de papel
pedidos. Así en cada restricción de ancho pedido, se tienen tantos términos como tipos de corte que aportan
tal ancho de rollo.
4a parte.- Condiciones de signo para:
Existen métodos de solución del modelo de programación lineal, tanto gráfico como analítico. Para la gran mayoría
de los problemas es indispensable aplicar la metodología analítica, con los algoritmos muy eficientes que desarrollaron
los científicos ya citados en los antecedentes de PL. Pero en beneficio de la claridad, conviene iniciar la exposición
de cómo resolver el problema ya formulado con programación lineal, con el método gráfico, que por su sencillez, es
posible que el alumno se motive más para el estudio. Para ello primero se debe revisar la forma en que puede
presentarse un modelo o planteamiento del problema que se estudia.
1.5.1. Formas equivalentes del modelo de programación lineal.
Además de la necesaria generalización del modelo de programación lineal, esta técnica requiere el uso de dos formas
especiales equivalentes; las que se denominan forma canónica, la cual es muy útil en teoría de dualidad cuando se
trata de hacer una interpretación económica para el problema en estudio; la otra forma se denomina estándar, la cual
es indispensable si se desea resolver el problema. A continuación se dan características de ambas:

34
Formas equivalentes del modelo de programación lineal
EQUIVALENCIA ALGEBRAICA PARA EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
1. La función objetivo cambia al multiplicar:
2. Una restricción cambia al multiplicar por:
3. Una restricción en igualdad equivale a dos restricciones en desigualdad con los mismos términos; la
primera de tipo <= y la segunda de >=, si el objetivo es máximo; con mínimo, se invierte el orden.
4. Una restricción (<=) se hace (=), sumando la holgura Hi >=0 en el lado izquierdo.
5. Una restricción (>=) se hace (=), restando una superávit Si >=0 en el lado izquierdo.
6. Una variable Xj <= 0, se maneja con otra variable:
7. Una variable no restringida en signo, o libre para tomar valor (+), (-), o cero, se sustituye con la diferencia
de dos variables no negativas como sigue:
Ejemplo 1-10. Forma Canónica y Estándar con objetivo mínimo (FOREQUI1).
Obtener las formas canónica y estándar para el siguiente modelo de PL que incluye condiciones muy especiales para
las variables como es X1libre, lo que significa que puede tomar valores positivos, negativos y cero, obligando los
acuerdos para su tratamiento algebraico que permita el uso de PL. La variable X3 se ejemplifica de manera especial,
como no positiva; todo lo anterior para mejor ilustración del tema:

35
Ejemplo 1-11. Forma Canónica y Estándar con objetivo máximo (FOREQUI2).
Se presenta para ayuda del estudiante que requiera ilustración adicional en la conversión del modelo de PL a las
formas canónica y estándar:

36
1.5.2. Método gráfico para resolver modelos de programación lineal con solo dos variables.
En esta sección interesa hacer análogos geométricos, esto es, gráficas de funciones lineales que contiene el modelo
matemático de programación lineal obtenido en la formulación del problema que se analiza. Dicho modelo puede

37
contener expresiones tanto en forma de ecuaciones (=) como en desigualdades (<= ó >=), cada una de ellas
corresponde a un gráfico en la analogía geométrica.
Primero considere la infinidad de puntos que constituyen en conjunto el plano y los cuatro cuadrantes
convencionalmente aceptados, para dividirlo en zonas caracterizadas por la combinación de signo que se puede dar,
a los valores medidos con números reales. Para lograr los cuadrantes en el plano se utilizan los ejes cartesianos con
escala de medición de valores de las variables del problema; por ejemplo, se puede asignar el eje horizontal de abscisas
para la medición de valores de la variable X1; también se puede asignar el eje vertical de ordenadas, para la medición
de valores de la variable X2. La localización de cualquier punto en este espacio plano requiere de una distancia
horizontal (X1) y de una distancia vertical (X2) denotado como par ordenado o vector (X1, X2). Un punto sobre el eje
X1 corresponde a X2=0 y un punto sobre el eje X2 corresponde a X1=0, que son las ecuaciones respectivas de los ejes
horizontal y vertical. Dichos ejes se cruzan en el punto (X1, X2) = (0, 0), el cual se conoce como origen.
Si la ecuación tiene sólo dos variables, el gráfico de la misma sobre el plano es una línea recta, es decir, se requiere
un espacio de dos dimensiones, la horizontal y la vertical, para graficar tal ecuación; pero la representación geométrica
de una ecuación en tres variables, requiere un espacio de tres dimensiones. En tal caso, a los ejes X1 y X2, se les agrega
un tercer eje X3 como tercera dimensión, que pasa por el origen hacia el observador. Los gráficos de la Figura 1-
13 y Figura 1-14 muestran lo anterior para una ecuación cualquiera:
Figura 1-13. Gráfico de una ecuación en dos dimensiones.

38
Figura 1-14. Gráfico de una ecuación en tres dimensiones.
El método gráfico proporciona la oportunidad de visualizar algunos de los conceptos importantes de la programación
lineal. Pero tiene una gran limitación referente, a que sólo es posible aplicarlo en problemas muy pequeños; para este
curso se limita el método gráfico aplicado a problemas con sólo dos variables. El método gráfico para resolver
problemas que se han modelado con programación lineal consiste en asignar un eje cartesiano para cada una de las
dos variables involucradas; de esta manera se asigna, por ejemplo, el eje horizontal como escala para los distintos
valores que pueda tener la variable X1; también se puede asignar el eje vertical con su respectiva escala para ubicar
los distintos valores que puede tomar la variable X2. Un sistema con dos ejes cartesianos, horizontal y vertical, permite
representar en un espacio plano las líneas rectas que geométricamente hablando representan cada expresión
matemática lineal con sólo dos variables. Las restricciones y condiciones de signo del problema, representan al sistema
que debe graficarse en un plano y después se valora en el mismo la función económica Z, con la cual se busca un
punto del sistema que maximice o bien minimice su valor.
Para mejor comprensión del método gráfico de solución de problemas modelados con programación lineal, se presenta
el siguiente ejemplo que se detalla lo suficiente para el voluntarioso estudiante de esta técnica poderosa en su
aplicación. Posteriormente se presentan otros ejemplos con el propósito de profundizar en la enseñanza e intentar
mayor avance en el aprendizaje.
Ejemplo 1-12. Problema de combinar producción para máxima utilidad (QUIMCAR) [AND93].
QUIMCAR es una empresa que elabora varios productos químicos. En un proceso de producción en particular se
utilizan tres recursos como materia prima de dos productos: una cera automotriz y una pasta pulidora, que se usan en
la pintura de la carrocería a vehículos automotores y se distribuye para su venta al menudeo a varias empresas
distribuidoras. Para producir la cera y la pasta se utilizan tres recursos, según se muestra en la siguiente tabla, en la
cual se observa que una tonelada de cera es una mezcla de 2/5 de tonelada del recurso 1 y 3/5 de tonelada del 3. Por
otro lado, una tonelada de pasta es la mezcla de 1/2, 1/5 y 3/10 de tonelada de los recursos 1,2 y 3, respectivamente.
La producción de la cera automotriz y la pasta pulidora está restringida a la disponibilidad de los tres recursos. Para
el periodo de producción anual, se tienen disponibles las cantidades siguientes de cada una de las materias primas.

39
Figura 1-15. Recursos disponibles para la producción en ejemplo QUIMCAR.
Figura 1-16. Material requerido para cera y pasta pulidora en ejemplo QUIMCAR.
El departamento de contabilidad ha analizado las cifras de producción, asignando los costos correspondientes para
ambos productos, llegó a precios que resultan en una contribución a la utilidad de 400 dólares por cada tonelada de
cera automotriz y de 300 dólares por cada tonelada de pasta pulidora, producidas. La administración, después de
analizar la demanda potencial, ha concluido que los precios establecidos aseguran la venta de toda la cera y pasta que
se produzca.
El problema es determinar: 1º.-Un conjunto de expresiones matemáticas o modelo, representando el objetivo y
restricciones del problema descrito. 2º.- Resolver en forma gráfica y determinar cuántas toneladas de cera y pasta
debe producir la empresa para maximizar la contribución total a la utilidad.
Definición de las variables y función objetivo
Como ya se apuntó anteriormente, los problemas de programación lineal tienen un objetivo ya sea de máximo o bien
de mínimo. En este problema, el objetivo es de maximizar la contribución a la utilidad y se plantea en forma
matemática introduciendo alguna forma simple de notación, como sigue:
1a. Parte.-Definición de variables.-
Es importante precisar la unidad de medida:
2a. parte.- Función objetivo.-
La contribución a la utilidad se origina de: (1) la que proviene de la producción de X1 toneladas de cera
automotriz, y (2) la que proviene de la producción de X2 toneladas de pasta pulidora. Dado que se gana 400
dólares por cada tonelada de cera producida, la empresa gana$400 X1 si se producen X1 toneladas de cera.
También, en vista de que se gana 300 dólares por cada tonelada de pasta producida, la empresa gana $300
X2 si se producen X2 toneladas de pasta. Identificando con Z la contribución total a la utilidad y eliminando el
signo de dólares se tiene:

40
El problema es encontrar la combinación de producción que maximice la contribución total a la utilidad. Esto
es, se deben determinar los valores para X1 y X2 que den el valor más elevado posible de Z. En terminología
de programación lineal, se nombran a X1 y a X2 como las variables de decisión. Dado que el objetivo de
maximizar la utilidad es una función de éstas, entonces se dice que Z = 400 X1 + 300 X2 es la función objetivo,
que también se puede escribir abreviando los coeficientes a unidades que significan cientos de dólares por
tonelada producida, como sigue:
Cualquier combinación de producción de cera y pasta se conoce como una solución al problema. Sin embargo,
únicamente aquellas soluciones que satisfagan todas las restricciones se conocen como soluciones factibles
o posibles. La combinación específica de producción factible, que resulte en la contribución mayor a la
utilidad, se conoce como la combinación de producción óptima, o simplemente, la solución óptima. Pero
primero se requiere conocer todas las restricciones del problema y posteriormente se muestra un método para
definir gráficamente, en el plano de dibujo, el espacio en que se ubican el conjunto de puntos de solución
factible.
3a. Parte.- Restricciones de materia prima.
La cantidad de materia prima disponible, condiciona o sujeta el valor de la función objetivo para cumplirse
con los tres recursos limitados, calculando las posibles soluciones en las cantidades de cera y pasta que se
pueden producir. Según la información de producción (vea la tabla), se sabe que cada tonelada de cera
automotriz utiliza 2/5 toneladas del recurso 1, por lo que el total de toneladas del mismo utilizado en la
producción de X1 toneladas de cera es 2/5X1; además, cada tonelada de pasta usa 1/2 tonelada del recurso 1,
como resultado, X2 toneladas de pasta usan 1/2 X2 toneladas de recurso 1, entonces el consumo total de
toneladas de recurso 1 para producir X1 de cera y X2 de pasta está dado por
Debido a que se tiene un máximo de 20 toneladas de materia prima 1 disponible, la combinación de producción
a decidir debe satisfacer la restricción
La relación anterior es una desigualdad que anota las contribuciones al consumo de recurso 1, utilizadas en la
producción de X1 toneladas de cera y de X2 toneladas de pasta, que debe ser menos que o igual a 20 toneladas
disponibles.
La tabla indica que el recurso 2 no es requerido por la cera, pero si por la pasta pues cada tonelada producida
de ésta requiere 1/5 tonelada de las 5 disponibles, se expresa así:

41
Si desea, ahora verifique por sí mismo que la restricción para la materia prima 3 es
Hasta aquí se han definido, las restricciones de materia prima; sólo falta establecer que las toneladas de cera
y pasta no puede ser un número negativo.
4a parte.- Condiciones de valor no negativo para las variables:
Esto asegura valores no negativos de las variables de decisión como solución al problema presente, se conocen
como restricciones de no negatividad y son una característica general de los problemas de programación lineal.
Modelo matemático del problema de Quimcar.
La formulación matemática o modelo simbólico, representa en forma abstracta, el objetivo y las restricciones del
problema, trasladados del mundo real a un conjunto de relaciones matemáticas. El modelo completo del problema es:
Ahora sólo falta encontrar la combinación de productos cera y pasta expresadas como toneladas de X1 y X2 que
satisface todas las restricciones y también resulte en un valor máximo de la función objetivo, comparado con el valor
de cualquier otra solución factible, lo que significa la solución óptima del problema.
Este modelo matemático del problema es programación lineal, tiene una función objetivo y restricciones, todas con
la característica especial de que son una función lineal de las variables de decisión.
Las funciones matemáticas en las cuales sólo una de las variables aparece elevada a la primera potencia como un
término independiente, se conocen como funciones lineales. La función objetivo 4X1 + 3X2 es lineal, porque cada
una de las variables de decisión aparece en un término por separado con exponente 1. Si la función objetivo se
presentara como 4X2
1 + 3X3
2, no se trataría de una función lineal. Por la misma razón, el número de toneladas de la
materia prima 1 requerida, 2/5X1+1/2X2 , también es una función lineal de las variables de decisión. Similarmente, el
lado izquierdo de todas las desigualdades de restricción son funciones lineales, así la formulación matemática del
problema anterior se identifica como un programa lineal.
Solución gráfica
Un problema de programación lineal con sólo dos variables de decisión se puede resolver de manera gráfica sobre el
espacio plano. Se inicia este procedimiento de solución desarrollando una gráfica que despliegue las posibles

42
soluciones (valores X1 y X2) para el problema QUIMCAR. En la Figura 1-17 aparecen los valores de X1 sobre un eje
horizontal y los valores de X2 sobre uno vertical. De esta manera se divide el plano o papel de trabajo, en cuatro
espacios limitados por los ejes, formando así los cuadrantes 1, 2, 3 y 4. Cualquier punto de la gráfica puede quedar
identificado por un par de valores X1 y X2, que representa la posición del punto con respecto de los ejes X1 y X2. Cada
par (X1, X2) corresponde a un punto solución de esta manera se tendría una infinidad de ellos en el plano considerado.
Pero para la solución particular en la que X1 = 0 y X2 = 0, se ubica un punto vértice identificado como origen para
ambos ejes.
Figura 1-17. Algunos puntos solución para el problema QUIMCAR.
El siguiente paso es mostrar, qué puntos corresponden a soluciones factibles del programa lineal. Tanto X1 como
X2 deben ser de valor no negativo, por lo que sólo es necesario considerar la porción de la gráfica en donde X1 >= 0
y X2 >= 0, lo que se conoce como primer cuadrante. En la Figura 1-18 las flechas indican el primer cuadrante, o sea,
la región donde estos requisitos de no negatividad quedan satisfechos para la solución buscada.

43
Figura 1-18. Gráfica del primer cuadrante. Cumple las restricciones de no negatividad (>= 0).
Anteriormente se determinó la desigualdad que representa la restricción para la materia prima 1 es:
Para mostrar todos los puntos solución que la satisfacen, se traza la línea que geométricamente representa a la ecuación
lineal: 2/5X1 + 1/2X2, = 20 la cual debe ser recta, se calculan dos puntos pertenecientes a la misma y a continuación
se traza una línea recta a través de los mismos. Para ello, arbitrariamente se buscan los puntos sobre los ejes en que,
por supuesto, se tiene el valor de cero para una de las variables, así al hacer X1 = 0, se ubica sobre el eje X2 y
resolviendo la ecuación en función de la variable X2, queda ½ X2 = 20, o también X2 = 40; por lo tanto el punto (X1=0,
X2=40) satisface la ecuación anterior, pues es la intersección de las rectas, eje X2 y la que representa el recurso 1;
alternativamente, para encontrar un segundo punto que satisfaga esta ecuación se hace X2 = 0 y se resuelve en función
de X1. Al hacerlo se observa que 2/5X1 = 20, es decir, X1 =50, por lo que un segundo punto que también satisface la
ecuación es (X1=50, X2=0). Con estos dos puntos, se puede trazar la recta que se conoce como línea de restricción
de la materia prima 1, mostrada en la Figura 1-19

44
Figura 1-19. La línea recta de restricción de la materia prima 1, ejemplo QUIMCAR.
La desigualdad que representa a la restricción de la materia prima 1 es:
¿Puede usted identificar las soluciones que satisfacen esta restricción? Observe primero, que cualquiera de la infinidad
de puntos que forman la línea recta de restricción 2/5X1 + 1/2X2, = 20 debe satisfacer a la misma; pero ¿dónde están
los puntos solución que satisfacen la desigualdad: 2/5X1 + 1/2X2 < 20? Ahora considere dos puntos de solución
(X1 =10, X2 =10) y (X1 =40, X2 =30). La Figura 1-19muestra que la primera solución se ubica por debajo de la línea
de restricción y la segunda queda por encima, entonces ¿cuál de estas soluciones satisface la restricción del recurso
1? Para el punto (X1 =10, X2 =10), se tiene:
Dado que 9 es menor que 20 toneladas de materia prima 1 disponible, la combinación o solución, de productos X1=10
toneladas de cera automotriz, X2=10 toneladas de pasta pulidora satisface la restricción del recurso 1, en este caso se
califica a (10,10) como una solución factible. Por otro lado, para X1 =40 y X2 =30 se tiene:
31 es mayor que las 20 toneladas disponibles de recurso 1, por lo que la solución X1 = 40 toneladas de cera, X2 = 30
toneladas de pasta, no satisface la restricción, y por lo tanto la solución (40,30) no es factible.
Si una solución particular no es factible, todas las demás soluciones del mismo lado de la línea recta de restricción
tampoco lo serán. Si una solución particular es factible, todas las demás soluciones del mismo lado de la línea de
restricción serán factibles, por lo que solamente es necesario evaluar un punto de solución para determinar cuál es el

45
lado de la línea de restricción que representa las soluciones factibles. En la Figura, el área factible con todos los puntos
que satisfacen la restricción de la materia prima 1 se muestra sombreada.
Figura 1-20. Región factible para la restricción de la materia prima 1, ejemplo QUIMCAR.
¿Se siente capaz de trazar una línea de restricción y localizar los puntos de solución que son factibles? Si así lo desea
intente resolver la restricción 2.
Para el caso que necesite más instrucción, a continuación se muestra la identificación de los puntos de solución que
satisfacen la restricción de la materia prima 2:
Se empieza dibujando la línea de restricción correspondiente a la ecuación 1/5 X2 = 5, que es equivalente a X2 = 25,
simplemente se dibuja una línea cuyo valor X2 es 25, está línea es paralela a X1 y está a 25 unidades por encima del
eje horizontal. En la Figura 1-21 se dibuja la línea recta que corresponde a la restricción de la materia prima 2, la
región sombreada corresponde a todas las combinaciones de producción que son soluciones factibles para la
restricción de la materia prima 2.

46
Figura 1-21. Región factible de la restricción de materia prima 2, ejemplo QUIMCAR.
De manera similar, se puede diferenciar el conjunto de todas las soluciones factibles para la restricción de la materia
prima 3. La Figura 1-22muestra la zona de puntos factibles. Como ejercicio práctico, pruebe trazar la región factible
de la restricción de la materia prima 3 y verifíquelo con este gráfico.
Figura 1-22. Región factible para la restricción de la materia prima 3, ejemplo QUIMCAR.

47
Ahora se tienen tres gráficas por separado que muestran las soluciones factibles para cada una de las restricciones. En
un problema de programación lineal, se necesita identificar las soluciones que satisfacen simultáneamente todas las
restricciones. Las gráficas de las Figura 1-20, Figura 1-21 y Figura 1-22 se pueden superponer para obtener una
intersección gráfica de las tres restricciones. La Figura 1-23muestra esta gráfica de restricciones combinadas. La
región sombreada de esta figura incluye todos los puntos solución que simultáneamente, satisfacen todas las
restricciones. Las soluciones que satisfacen simultáneamente todas las restricciones del sistema se conocen como
factibles, la parte sombreada se conoce como la región de soluciones factibles, o simplemente región factible.
Cualquier punto en las fronteras de la región factible, o bien en su interior, es un punto de solución factible. Ahora
que se ha identificado la región factible, se puede seguir adelante con el método de solución gráfica y determinar cuál
es la solución óptima para el problema de QUIMCAR. Recuerde que la solución óptima para un problema de
programación lineal es la solución factible que aporte el mejor valor de la función objetivo.
Figura 1-23. Región de soluciones factibles del problema ejemplo QUIMCAR.
Se inicia el paso de optimización del procedimiento de solución gráfica volviendo a dibujar la región factible en una
gráfica por separado. La Figura muestra dicha gráfica.
El procedimiento para determinar la solución óptima evaluando la función objetivo para cada una de las soluciones
factibles, no es posible pues hay demasiadas, (de hecho, una infinidad). Por lo tanto, para identificar la solución óptima
no se debe utilizar un procedimiento de ensayo y error. En vez de intentar calcular la contribución a la utilidad de
cada solución factible, se selecciona un valor arbitrario de la contribución a la utilidad y se identifican todas las
soluciones factibles (X1, X2) que dan el valor seleccionado.

48
Figura 1-24. Región factible del problema ejemplo QUIMCAR.
Por ejemplo, ¿qué soluciones factibles dan una contribución a la utilidad de 2400 dólares? Estas soluciones se dan
por los valores de X1 y X2 de la región factible que cumplan con la siguiente función objetivo que se puede simplificar
para obviar cálculos, así:
Ésta expresión es simplemente la ecuación de una línea recta, por lo que todas las soluciones factibles (X1, X2), con
una contribución a la utilidad de 24 dólares deben estar en esta línea. Ya se aprendió como trazar una línea de
restricción; el procedimiento para trazar la línea de la función objetivo o de utilidad es el mismo. Haciendo X1=0, se
tiene que X2 debe ser 8; entonces, el punto de solución (X1=0, X2=8) está en la recta. Similarmente, haciendo X2 = 0,
se tiene que el punto de solución (X1=6, X2 = 0), también está en la recta. Dibujando la línea recta por estos puntos,
se identifican todas las soluciones que tienen una contribución a la utilidad de 24; una gráfica de esta línea de utilidad
se presenta en la Figura 1-25 que muestra un número infinito de combinaciones factibles de producción que darán
una contribución de 24 a la utilidad.
Utilizando el procedimiento anterior para el trazado de rectas de utilidad y de restricción, se trazan la línea de utilidad
de 72 y 120 que se presentan en la misma Figura 1-25. Por supuesto, sólo los puntos de las rectas de valor 24, 72 y
120 que están dentro de la región factible, deben considerarse como soluciones factibles para tal contribución de
utilidad.

49
Figura 1-25. Diferentes líneas de utilidad para el problema ejemplo QUIMCAR
Dado que las rectas de utilidad son paralelas y de valor creciente conforme se alejan del origen, se pueden obtener
valores mayores para la función objetivo, continuando el movimiento hacia fuera del conjunto factible pero
manteniéndose adentro del mismo, hasta alcanzar el (los) último(s) punto(s) vértice antes de salir. Dado que los puntos
fuera de la región factible no son aceptables, el (los) punto(s) vértice en la región factible que coincide(n) con la recta
de utilidad mayor es una solución óptima al programa lineal.
El estudiante debe identificar ahora, el punto de solución óptimo para el problema ejemplo QUIMCAR. Utilice una
regla y escuadra, mueva paralelamente la recta de utilidad tan lejos del origen como pueda, pero conservando el
contacto en la zona factible. ¿Cuál es el último punto de la región factible? Este punto debe ser vértice y corresponde
a la solución óptima, vea el gráfico de la Figura 1-26. Los valores óptimos para las variables de decisión son (X1, X2)
= (25, 20).

50
Figura 1-26. Solución óptima para el problema ejemplo QUIMCAR.
Dependiendo del tamaño y claridad de su gráfica, se determinan los valores óptimos exactos de X1 y X2 leyendo
directamente de la gráfica. Pero observe en la Figura 1-23, la solución óptima del ejemplo está en la intersección de
las rectas de restricción 1 y 3 que se pueden resolver para precisar los valores coordenados.
Por lo que los valores de las variables de decisión X1 y X2 deberán satisfacer las ecuaciones de manera simultánea.
Resolviendo en función de X1 en (1)
Sustituyendo esta expresión (4) de X1 en la ecuación (3) y resolviendo en función de X2 se obtiene

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