2. POLIEDROS

4. Platón y Aristóteles en La escuela de Atenas, pintura de Rafael. Platón está sosteniendo el Timeo. Aristóteles sostiene una copia de su Ética a Nicómaco.

5. “No entre aquí quien no sepa geometría”

6. Esta frase se podía leer encima de la puerta de entrada a la “Academia de Platón” (siglo IV a. de C.) donde se reunían a discutir problemas de filosofía, lógica, política, arte, etc. y nos da una idea de la importancia que desde la antigüedad se le ha concedido al conocimiento de la Geometría.

7. El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei (1.564-1.642) refiriéndose al Universo escribía: “Este grandísimo libro que continuamente tenemos abierto ante los ojos no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua y a conocer los caracteres en los cuales está escrito. Está escrito en lengua matemática y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas”.

8. POLIEDROS REGULARES

9. Entre todos los poliedros que existen hay unos especialmente importantes por sus propiedades, belleza y presencia en la vida real: los poliedros regulares. Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.) que los cita en el Timeo, pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse.

10. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitágoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a. de C.). Para Platón los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares: Asignando el fuego al tetraedro(El fuego tiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo).

11. La tierra al cubo (el poliedro más sólido de los cinco). El aire al octaedro (Para los griegos el aire, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros). El agua al icosaedro(El agua, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o “semilla”, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar).

12. El dodecaedro (el universo) (Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos, dejaba sin pareja al dodecaedro. De forma un tanto forzada lo relacionaron con el Universo como conjunción de los otros cuatro: La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utilizó para todo cuando dibujó el orden final).

13. Poliedro Porción de espacio limitada por polígonos planos. Sus elementos característicos son: Caras,son los polígonos que la limitan. Aristas, donde limitan dos caras contiguas. Vértices,el punto dondeconcurren tres o más caras. Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales. Sólo existen cinco tipos de poliedros regulares:

14. Tetraedro regular: 4 caras triangulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene 4 vértices y 6 aristas.

15. Cubo: 6 caras cuadradas, que concurren tres en cada vértice. Tiene 8 vértices y 12 aristas. Área esA = 6a2 volumen es: V = a3 El cubo se llama también hexaedro regular o, simplemente, hexaedro.

16. Octaedro: 8 caras triangulares, que concurren cuatro en cada vértice. Tiene 6 vértices y 12 aristas.

17. Dodecaedro: 12 caras pentagonales regulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene 20 vértices y 30 aristas.

18. Icosaedro: 20 caras triangulares, que concurren cinco en cada vértice. Tiene 12 vértices y 30 aristas

20. ¿Serán modelos para armar cubos?

21. Traza las siguientes figuras, recorta y arma los poliedros.

22. PRISMAS

23. Construye y calcula el área total del prisma cuyo desarrollo es:

24. Un prisma es un poliedro limitado por dos caras iguales y paralelas (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases. Si los polígonos de la base son regulares, el prisma se llama regular. Hay unos prismas especialmente interesantes dentro de los prismas cuadrangulares. Estos son los paralelepípedos llamados así porque los cuadriláteros de las bases son paralelogramos.

25. Contesta en tu libreta lo siguiente. ¿Qué es un prisma? ¿Cómo se definen las bases de un prisma? ¿Cómo son las caras laterales de un prisma? ¿En donde se intersectan las caras de un prisma se llama? ¿Cómo se calcula la altura de un prisma? Para denominar el nombre de un prisma, ¿qué se debe tomar en cuenta?

26. COMPLETA LA TABLA NUMÉRICA Y VERIFICA QUE SE CUMPLA LA IGUALDAD v + c = a + 2 V + C = a + 2

27. El grupo de los poliedros está formado por prismas, paralelepípedos, pirámides y poliedros regulares. Prismas Son los poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales en forma de polígono (bases), y caras laterales en forma de rectángulo. Se les nombra de acuerdo con la forma de su base.

29. Paralelepípedos Son los prismas que tienen por bases dos paralelogramos iguales (cuadrados, rectángulos, rombos, romboides).

31. ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UN PRISMA El área lateral del prisma es la suma de las áreas de todas sus caras laterales y por tanto vendrá dada por el área del rectángulo. La base de este rectángulo es el perímetro del polígono de la base del prisma y la altura es la arista lateral del prisma. Por tanto: AL = P · a El área total del prisma es la suma del área lateral y el área de las bases, es decir: AT = AL + 2 Ab

32. VOLÚMENES Los cuerpos ocupan un lugar o extensión en el espacio. Llamaremos volumen de un cuerpo al número que expresa la medida de su extensión en el espacio. La unidad de medida es el metro cúbico que es el volumen ocupado por un cubo de arista 1 metro, aunque, dependiendo del caso que se trate, se utilizan múltiplos o submúltiplos suyos.

34. Queremos calcular el volumen de una caja de galletas que tiene 10 cm de largo, 5 cm de ancho y 3 cm de alto. Se trataría de hallar el número de cubos de arista 1 cm que caben dentro. Como verás, para contarlos, basta con multiplicar 10·5·3 = 150 cm3.

35. Expresen el volumen de los siguientes cuerpos. V = V =

36. 3cm 3cm 4cm 3cm 3cm V = V = 2cm

37. 12 10 7 V = 15 V =

38. 3a c a a V = V =

39. A un cubo le caben 3 375 cm3 de agua, ¿cuánto miden las aristas del cubo? Si se duplica la medida de las aristas del cubo: ¿Qué cantidad de agua le cabría? ¿También la cantidad de agua que se tenía inicialmente se duplicó?

40. Completen la tabla siguiente. Pueden usar calculadora.

41. Completen la tabla siguiente. Pueden usar calculadora.

42. P R O B L E M A R I O

43. 1.- Calcular el volumen y el área de un cubo que tiene como arista 5 cm. 2.- Si el área total de un cubo es de 91.125 cm2. ¿Cuál es el volumen del cubo Área total = 6a2 6a2 = 91.125 m2. a2 = 91.125 m2. 6

44. 3.- Calcula el área total de un cubo, si el volumen es de 2 197 cm3 5 cm. Área total = 6x2 V = x3 4.- Calcular el volumen del prisma cuadrangular.

45. 5.- Calcular el volumen del siguiente prisma hexagonal. 6.- Calcular el volumen del prisma cuadrangular.

46. 7.- Calcular el volumen del siguiente prisma triangular. 8.- Calcular el volumen del prisma pentagonal.

47. 9.- ¿Cuánto costará recubrir de cemento un estanque prismático de 12 m de largo, 7 m de ancho y 2 m de altura, a razón de $45.00 el metro cuadrado?

48. MEDIDAS DE CAPACIDAD UN DECIMETRO CUBICO SE REPRESENTA ASÍ: 103 Cm3 (10)(10)(10) = 1 000 Cm3 1 000 Cm3 = ¡ 1 LITRO !

49. MEDIDAS DE CAPACIDAD UN METRO CUBICO SE REPRESENTA ASÍ: 13 M3 (1)(1)(1) = 1 M3 1 M3 = ¡ 1000 LITROS !

51. 10.- Una piscina tiene 26 m de largo, 15 m de ancho y 2.5 m de profundidad. Si el agua llega hasta los bordes ¿cuántos litros de agua le caben? Si para llenarla empleamos agua de un pozo que nos da un caudal de 5 litros por segundo, ¿qué tiempo emplearemos en llenarla?

52. 11.- ¿Qué altura alcanza el agua en esta pecera, sabiendo que contiene 171 litros de agua?

53. 12.- Para unas obras en mi casa, necesito 5m3 de arena. Un amigo me ha prestado un camión como el de la figura.

54. a. ¿Cuántos m3 de arena podría transportar si traigo el camión lleno? b. ¿Es suficiente el camión para traer en una sola carga la arena necesaria?

55. P i r á M i d e S

57. Poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

58. Según el número de lados del polígono de la base, la pirámide será triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. En una pirámide regular, se llama apotema a la altura de cualquiera de sus caras laterales. La apotema, la altura de la pirámide y la apotema de la base forman un triángulo, ¿de qué tipo es?

59. ¿Cuál será el área lateral y total de la pirámide de la figura? En las pirámides rectas y de base regular, las caras laterales serán triángulos isósceles todos iguales. El área lateral de la pirámide será, por tanto, la suma de las áreas de estos triángulos, es decir: donde P es el perímetro de la base y “a” la apotema de la pirámide.

60. y el área total:A tot = A lat + A base donde a’ es la apotema del polígono de la base.

61. Con cartulina, construye una pirámide pentagonal, como la de la figura, y córtala según se indica.

62. 13.- Determinar la superficie total de la pirámide triangular. 14.- Calcular la superficie total de la siguiente pirámide.

63. El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:

64. 15.- Calcula el volumen de la siguiente pirámide. 16.- Calcula el volumen de la siguiente pirámide.

65. 17.- Calcula el volumen de la siguiente pirámide rectangular.

66. 18.- Calcula el volumen de la siguiente pirámide hexagonal.

67. 19.- El volumen de una pirámide triangular es de 1152 cm3. Calcula la longitud de la base del triángulo, si la altura de la pirámide es de 24 cm. Y la altura del triangulo lateral es de 8cm.

68. 20.- Calcula el área de la base de una pirámide pentagonal , sabiendo que el volumen mide 210 cm3, y la altura de la pirámide es 21cm.

69. E S T A D I S T I C A

70. DATOS AGRUPADOS

71. En estadística, es frecuente contemplar una gran cantidad de datos y para ello habrá que organizarla para tener un panorama y emitir juicios críticos. Para organizarla nada mejor que las tablas estadísticas: En la primera columna se escribe el intervalo de valores, en la siguiente la frecuencia, utilizaremos una tercera columna para indicar la frecuencia relativa y una última para indicar el porcentaje correspondiente.

72. Los datos se tomaron de las cuentas de consumo de energía eléctrica durante el primer bimestre. 45 62 121 63 114 392 115 382 116 122 370 119 214 302 352 242 304 306 243 355 359 244 260 246 214 302 110 351 65 150 117 308 67 309 71 310 73 110 152 280 282 152 402

75. Para encontrar el valor del intervalo; se localiza el dato mayor y se le resta , el dato menor. se divide este resultado entre el números de intervalos que desee utilizar

76. 1.- Producción lechera de 30 vacas (litros) 12 10 15 50 10 22 10 28 36 10 34 35 17 26 40 46 22 34 10 52 28 10 43 32 39 50 23 10 37 45 Dato mayor = 52 Dato menor = 10 Rango = Dato mayor – Dato menor 52 – 10 = 42 Número de intervalos 6: 42  6 = 7

78. 2.- Las calificaciones en matemáticas de los alumnos del segundo grado son: 84 63 92 82 72 62 50 94 100 92 85 72 94 86 84 71 63 96 94 90 100 74 82 57 85 88 59 92 78 81 83 59 87 84 61 55 81 76 84 71 69 92 63 82 97 Utiliza 5 intervalos

79. 3.- Extracción de petróleo en 25 pozos (millones de barriles) 80 28 56 53 93 73 68 47 55 68 35 85 81 100 100 96 63 79 93 55 75 39 91 67 55 Utiliza 8 intervalos.

80. 4.- Las ventas de boletos en 21 cines. 1500 850 2500 341 1250 590 2400 252 1360 1610 2100 590 1960 1870 1120 1300 2000 1200 1400 1900 970 Utiliza 8 intervalos

81. MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO

83. Dividir la suma obtenida entre el número total de datos.

85. La siguiente tabla muestra la organización de la información obtenida al investigar el número de horas que dedican 210 estudiantes durante una semana a los programas de televisión. 210

86. ¿Cómo puedes encontrar la media aritmética?

87. 5.- Completa la tabla de distribución de frecuencias para que puedas calcular el gasto promedio de energía eléctrica durante un bimestre en 402 hogares mexicanos.

88. MEDIANA Es el dato que ocupa el lugar central, cuando el número de datos es impar se busca el promedio de los datos centrales. 11 15 18 21 23 25 29 29 30 mediana 42 42 40 39 38 31 30 25 El valor de la mediana es: (39 +38)/2 = 38.5

89. 6.- ¿Cómo se puede calcular la mediana y la moda en datos agrupados? MODA = 13 MEDIANA = 13

90. 7.- Calcula la media aritmética, la mediana y la moda de los datos agrupados correspondientes a un estudio sobre masa corporal de personas de 20 años.

91. 8.- Duración media de los focos producidos por una compañía A arrojó los siguientes datos agrupados; calcula la media aritmética, la mediana y la moda.

92. 9.- Nivel de ruido en decibeles en una avenida con mucha afluencia vehicular. Calcular: media aritmética, mediana y moda.

93. 10.- Calificaciones de matemáticas obtenidas por los alumnos de segundos grados de una escuela secundaria. Calcular: media aritmética, mediana y moda.