Las conicas

1. LAS CÓNICAS
La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 a.C (Menæchmus)
donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».1 Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se
deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas
definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva,
etc.
Tipos
Perspectiva de las secciones cónicas.
Las cuatro secciones cónicas en el plano.
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono
(β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
· β < α : Hipérbola (naranja)
· β = α : Parábola (azulado)
· β > α : Elipse (verde)
· β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
· Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
· Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
· Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
· cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el
máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
Expresión algebraica
Partiendo de una circunferencia (e=0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos
variables (x,y) de la forma:
en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
h² > ab: hipérbola.
h² = ab: parábola.
h² < ab: elipse.
a = b y h = 0: circunferencia.
Mediante un software se pueden representar las gráficas de la ecuación general de las
cónicas. A continuación se presentan los tres casos: Parábola, elipse e hipérbola.
Esta gráfica representa una
Esta gráfica representa una
elipse girada con un cierto
ángulo.
Esta gráfica representa una

2. parábola girada un determinado
ángulo.
hipérbola girada un determinado
ángulo.
Características
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias
a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
· Centro, O
· Eje mayor, AA´
· Eje menor, BB´
· Distancia focal, OF
La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica:
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a
dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se
aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman
hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:
· Centro, O
· Vértices, A y A
· Distancia entre los vértices
· Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola horizontal con centro (0, 0), es: A su
vez, la de una hipérbola vertical es:
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:
· Eje, e
· Vértice, V
· Distancia de F a d, p.
Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la
siguiente ecuación:
Aplicaciones
Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan
según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su
centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán
elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.
También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser
repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas
perfectas.