Guía Función Cuadrática

1. 1
Guía de ejercicios N°7, Segundo Semestre
Tema: Función cuadrática.
Debes saber que:
Los matemáticos árabes hicieron importantes contribuciones a la Matemática en la época
llamada "La Edad de Oro" del mundo musulmán, entre el año 700 y el 1.200 d.C.
aproximadamente.
Lograron preservar el legado matemático de los griegos, tradujeron y divulgaron los
conocimientos matemáticos de la India y asimilando ambas corrientes, aportaron mucho al
Álgebra y la Trigonometría.
El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi,
quien escribió varios libros de Geografía, Astronomía y Matemáticas.
En su tratado sobre Álgebra, al-Khwarizmi explica la manera de resolver ecuaciones cuadráticas
de varios tipos. Tanto el planteamiento, como la solución de las ecuaciones era dado en palabras,
pues no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día.
Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron a introducirse los símbolos que hoy se
utilizan en el planteamiento de ecuaciones. Uno de los matemáticos que mayor influencia tuvo
en este cambio favorable para el desarrollo del Álgebra, fue François Viète (1540-1603). Con el
uso de símbolos para expresar la incógnita y los coeficientes de una ecuación, se impulsó
enormemente el desarrollo del Álgebra, pues se facilitó el estudio de ecuaciones de grado 2, 3 y
4.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Son diversas las situaciones que has podido analizar, en niveles
anteriores, utilizando expresiones matemáticas y más
específicamente a través de la expresión que define la función
lineal con la cual lograste por ejemplo calcular el costo final de
un producto determinado sabiendo sus costos fijos y variables, o
también transformar grados Fahrenheit en Celsius y viceversa.
Pero existen otras situaciones o fenómenos que no se pueden
resolver mediante funciones lineales. Por ejemplo analizar el
lanzamiento de una piedra o también si tenemos una lámina de
acero, o ¿cómo podemos determinar los valores que debemos
considerar para construir una caja que tenga la mayor capacidad?
Incluso, conociendo las propiedades de la luz, ¿qué forma debe
tener un instrumento para aprovechar mejor la luminosidad? Para
dar respuesta a estas inquietudes debemos utilizar un nuevo tipo
de función. La función cuadrática.
Para transformar de grados a
Fahrenheit y viceversa
utilizaste esta igualdad.
32
100 180
C F 


2. 2
Definición:
Una función cuadrática de valores reales, :f  , es de la forma 2
( )f x ax bx c   , donde a ,
,b c  y 0a  . Los valores a , b , c son constantes y se llaman coeficientes numéricos de la
función cuadrática.
Observación:
1. Si 0a  , al reemplazar se obtendría  f x bx c  , es decir, una ecuación lineal (recuerda que
la ecuaciones lineales las estudiaste en niveles anteriores y la forma obtenida se llama ecuación
afín).
2. Se exige que 0a  . Nada se dice de b y c , excepto que sean valores reales.
3. Una función cuadrática también se llama función de segundo grado, ya que el mayor exponente
de la variable independiente x es 2.
Ejemplo
1. 2
( ) 2 3 2f x x x   es una función cuadrática donde 2a  , 3b  , 2c  .
2.  
2
( ) 2h x x  es una función cuadrática. En efecto, aplicando el desarrollo del binomio,
tenemos  
2 2
2 4 4x x x    , es decir,  
2 2
( ) 2 4 4h x x x x     .
3. Sea   2
2f x x x   calcula  3f 
Solución
     
 
2
3 3 3 2
3 9 3 2 10
f
f
     
    
Ejercicios
1. Dadas las siguientes funciones, identifica los coeficientes numéricos de la función.
a. 2
( ) 6 2 1f x x x   b.  
2
( ) 2 1g x x  c. 22 1
( )
3 4
h x x x  
2. Dados los siguientes coeficientes, determina la función cuadrática.
a. 2a  , 2b  , 6c  b. 7a   , 5b  , 0c  c. 4a  , 0b  , 0c 
3. Sea   2
3 5f x x x   , determina  0f ,  1f ,  5f  ,
3
4
f
 
 
 

3. 3
Esta función nos ayuda a modelar, o representar en forma general, varias situaciones o fenómeno que se
nos presentan. Pero antes de presentar sus aplicaciones, debemos conocer más sobre esta función.
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.
Toda función de valores reales tiene una representación gráfica.
La función lineal, por ejemplo, representa gráficamente una línea recta.
Así, dada una función lineal para determinar su gráfico consideramos
elementos que identificamos de la propia función, por ejemplo la
pendiente y la coordenada por donde la recta corta al eje Y . También
podemos generar una tabla de valores y obtener los valores de x y de y
. Por otro lado si nos presentan el gráfico de una función lineal podemos
determinar la función que lo representa.
La función cuadrática, por su parte, representa gráficamente una parábola. Pero dada una función
cuadrática, ¿cómo podemos graficarla? ¿Podemos ocupar una tabla de valores para graficarla? Y
por otro lado, si nos presentan el gráfico de una parábola ¿podemos determinar la función que lo
genera?
Debes considerar que una recta queda definida por solo dos puntos, pero una curva no puede
determinarse por dos puntos, por lo tanto, realizar una tabla de valores para poder graficar una parábola
no es muy recomendable. Sin embargo, dada una función cuadrática y utilizando elementos que
identificaremos a continuación, que se desprenden de los coeficientes de la función, podrás determinar
su gráfico.
Luego, como identificarás estos elementos, podrás, dado un gráfico, determinar la función que lo
genera.
Debes saber que
Aunque te pueden parecer que una cadena o una cuerda colgando representan una
parábola, el gráfico que representa esta situación, se llama catenaria y la función que
lo genera no es una función cuadrática.
La demostración que la curva seguida por una cadena no es una parábola fue
demostrado por Joachim Jungius (1587-1657) y publicado póstumamente en 1669.

4. 4
Observación:
El significado geométrico de una función es que para cada valor que
toma x en el eje X o eje de las abscisas, ( )f x toma un valor en el eje Y
o eje de las ordenadas. Por lo que puedes considerar  f x y . Luego el
par ordenado es     , ,x y x f x . En la figura, se presenta lo anterior,
considerando la gráfica de una función cuadrática.
ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
I. CONCAVIDAD
Uno de los valores que nos entrega información en la función 2
( )f x ax bx c   es el coeficiente a .
Este valor es de gran importancia, ya que su signo nos indicará hacia dónde se abre la parábola. El
concepto que encierra esta idea se llama concavidad. De esta manera:
A. Si a es positivo ( 0a  ) entonces la función
  2
f x ax bx c   representa una parábola cóncava
hacia arriba. Gráficamente, si 0a  , la parábola tiene
la siguiente forma:
B. Si a es negativo ( 0a  ) entonces la función
  2
f x ax bx c   representa una parábola cóncava
hacia abajo. Gráficamente, si 0a  , la parábola tiene
la siguiente forma:
Ejemplo
En la función   2
2 5 3f x x x   , se tienen que:
2a  , 5b  , 3c   y como 2 0a   , entonces la parábola que
representa es cóncava hacia arriba.

5. 5
Ejercicios
1. Dadas las siguientes funciones, identifica los coeficientes a , b y c e indica su concavidad.
a. 2
( ) 4f x x x  d. 25
( ) 4
6
m x x 
b. 21
( ) 4
2
g x x   e.  
2 2
( ) 3 2t x x x   
c.  2 21 3
( ) 3 4 1
2 5
h x x x x x
 
      
 
f.  
2
( ) 2s x x 
II. INTERSECCIÓN CON LOS EJES
Observación:
1. Los puntos que se encuentran sobre el eje Y , son de la forma  0, y , es decir, la coordenada x
es 0x  .
2. Los puntos que se encuentran sobre el eje X , son de la forma  ,0x , es decir, la coordenada
y es 0y 
A. Intersección de la función cuadrática con el eje Y
Otro valor que nos entrega información en la función
  2
f x ax bx c   es el coeficiente c . El valor de c
corresponde a la coordenada del eje Y donde la parábola corta a
este eje. En efecto, cuando 0x  se tiene
  2
0 0 0f a b c c      .

6. 6
Ejemplo
1. En nuestro ejemplo   2
2 5 3f x x x   donde 2a  , 5b  , 3c   , determinemos el valor
dónde la parábola que representa intercepta al eje Y .
Solución
La parábola corta al eje Y en 3c   , es decir el punto de intersección es  0, 3
Ejercicios
1. Dadas las siguientes funciones, identifica los coeficientes a , b , c y determina el valor donde
la parábola intercepta al eje Y .
a. 2
( ) 5 4m x x x    d. 23
( ) 2
7
g x x 
b. 22
( ) 3
3
n x x x  e.  
2 2
( ) 3 1 2 4p x x x    
c.  
2
( ) 2 3f x x  f.
2
2 1
( )
3 4
f x x
 
  
 
B. Intersección de la función cuadrática con el eje X
Cuando la gráfica de una función corta al eje X en uno o más puntos, estos puntos reciben el
nombre de raíces reales o ceros de la función. Es decir, las raíces reales de la función cuadrática
  2
f x ax bx c   son los valores x tal que   0f x  . Expresado de otra forma, se deben
encontrar los x que cumplan con que 2
0ax bx c   .
Los coeficientes a , b y c nos proporcionan la información requerida. Para ello, escribe el
trinomio 2
ax bx c  como una expresión factorizada y aplica la propiedad de los números reales
que dice: Si 0a b  entonces 0a  o 0b 
2
0ax bx c  
2
0
bx c
a x
a a
 
    
(Factorizando por a )

7. 7
2 2
2
2 2
0
4 4
bx b b c
a x
a a a a
 
     
 
(Sumando 0 para completar cuadrados)
2 2
2
2 2
0
4 4
bx b b c
x
a a a a
 
     
 
(Ya que a no puede ser 0 por definición)
2 2
2
2 4
b b c
x
a a a
 
   
 
(Igualando cantidades)
2 2
2
4
2 4
b b ac
x
a a
 
  
 
2
4
2 2
b b ac
x
a a

  o
2
4
2 2
b b ac
x
a a

  
Despejando x en ambas ecuaciones y renombrando estos valores como 1x y 2x , obtenemos los valores
buscados
2
1
4
2
b b ac
x
a
  
 o
2
2
4
2
b b ac
x
a
  

Observación:
A la expresión 2
0ax bx c   se le llama ecuación cuadrática y se estudiará a continuación de esta
guía.
Observación:
De los ítems A y B se concluyen que en la función cuadrática
  2
f x ax bx c   , los valores c , 1x y 2x nos indicarán dónde la
parábola corta a los ejes.

8. 8
B.1 El discriminante
Pero ¿Puede haber una parábola que no corte al eje X ? La respuesta es
afirmativa, ya que la parábola no depende del eje X , sino que de los
valores que vaya tomando  f x , respecto de los valores de x .
Si observas, los valores obtenidos en 1x y 2x se presenta la expresión
2
4b ac y el cálculo de 2
4b ac nos lleva a tres situaciones:
1. Si 2
4 0b ac  , entonces  
2
2 2
4 4b ac b ac   y
 
2
2 2
4 4b ac b ac    , entonces se tienen dos valores reales y
distintos y, por lo tanto, 1x y 2x son dos raíces reales y distintas,
lo que geométricamente significa que la parábola corta al eje X
en las coordenadas 1x y 2x .
2. Si 2
4 0b ac  , entonces 2
4 0b ac  , lo que implica que
1 2.x x Es decir, la función tiene una sola raíz, lo que
geométricamente significa que la parábola corta al eje X en solo
una coordenada.
3. Si 2
4 0b ac  , entonces 2
4b ac no tiene valores reales y, por lo
tanto, 1x y 2x son soluciones complejas, lo que geométricamente
significa que la parábola no corta al eje X .
Observación:
2
4b ac se llama discriminante y se simboliza por  , es decir 2
4b ac  

9. 9
Ejemplo
En la función   2
2 5 3f x x x   donde 2a  , 5b  , 3c   , determinemos los puntos de
intersección con el eje X .
Analizando el discriminante, tenemos que:
   
22
4 5 4 2 3 25 24 49b ac           , es decir 0  lo que nos indica que las raíces son
reales y distintas. Calculando estos valores, tenemos:
 2
1
5 494 5 7 2 1
2 4 4 4 2
b b ac
x
a
     
    
 2
2
5 494 5 7 12
3
2 4 4 4
b b ac
x
a
      
     
Por lo tanto, la parábola generada corta al eje X en los puntos  3,0 y
1
,0
2
 
 
 
Ejercicios
1. Dadas las siguientes funciones, analiza el discriminante y determina si su gráfico, es decir, la
parábola corta o no al eje X .
a. 2
( ) 4 4f x x x   c. 2
( ) 2f x x x  e.   21
2
2
f x x x 
b.  
2
( ) 2 1f x x  d.   2
1f x x x   f.   2
6 16f x x x  
2. En las siguientes funciones, determina si las raíces son reales o no.
a. 2
( ) 3 2g x x x   c. 2
( ) 2 1g x x x    e. 2
( ) 3 4g x x x   
b. 2 3
( ) 1
2
g x x x    d. 2
( ) 3 48g x x  f. 23 7 9
( )
5 3 4
g x x x  
3. En las siguientes funciones, analiza su discriminante y comprueba tu conclusión calculando el
valor de las raíces.
a. 2
( )a x x c. 2
( ) 5c x x x   e. 24
( ) 3 1
9
e x x x  
b. 2
( ) 4 3g x x  d. 2
( ) 5 1d x x   f. 21
( ) 2
4
f x x  

10. 10
4. Discute las siguientes situaciones:
a. Si en una función cuadrática   2
f x ax bx c   el discriminante es positivo y además
0c  , ¿qué puedes decir de la concavidad de la parábola que representa?
b. Si una función cuadrática   2
f x ax bx c   es cóncava hacia abajo, pero no
intercepta al eje X , ¿qué signo tendrá siempre el coeficiente c ?
5. Determina qué valor debe tener k en la función   2
2f x x x k   para que la parábola
intercepte al eje X en un solo punto.
Solución:
Como se pide que la parábola intercepte al eje X en un solo punto, entonces se debe tener que
0  . De la función tienes que 1a  , 2b  , c k , luego
2
2 4 1 4 4k k       , es decir 4 4 0k  , lo que implica que 4 4k , es decir 1k  y la
función es   2
2 1f x x x   .
6. Para qué valores de k , la parábola de la función   2
2 2f x kx x   no corta al eje X .
7. Qué valor debe tener k para que la función   2
2( 1) (2 1)f x x k x k     intercepte al eje
X en dos puntos.

11. 11
B.2 Propiedades de las raíces de la función cuadrática
Al sumar o multiplicar las raíces de la función cuadrática se obtienen los siguientes resultados.
Suma de raíces
Si
2
1
4
2
b b ac
x
a
  
 y
2
2
4
2
b b ac
x
a
  
 , entonces sumando obtenemos
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
1 2
4 4
2 2
4 4
2
2
2
b b ac b b ac
x x
a a
b b ac b b ac
x x
a
b
x x
a
b
x x
a
     
  
      
 

 

 
Multiplicación de raíces
Si
2
1
4
2
b b ac
x
a
  
 y
2
2
4
2
b b ac
x
a
  
 , entonces multiplicando obtenemos
  
 
2 2
1 2
2 2
1 2 2
2 2
1 2 2
2 2
1 2 2
1 2 2
1 2
4 4
2 2
4 4
4
4
4
4
4
4
4
b b ac b b ac
x x
a a
b b ac b b ac
x x
a
b b ac
x x
a
b b ac
x x
a
ac
x x
a
c
x x
a
     
  
     
 
 
 
  
 
 
 
Observación:
Estas dos conclusiones serán trabajadas en la guía de ecuación cuadrática

12. 12
III. EJE DE SIMETRÍA
La parábola es simétrica respecto del eje Y o de un eje paralelo al eje Y . Esto significa que este eje
divide a la parábola en partes iguales.
Observación:
El punto medio entre dos valores, por ejemplo 1x y 2x , se determina realizando el cálculo de 1 2
2
x x
Por lo tanto, podemos calcular el eje de simetría de una parábola ocupando los valores determinados por
las raíces de la función. En efecto,
2 2
1 2
4 4
22 2
2 2 4 2
b b ac b b ac
x x b ba a
a a
     

  
  
De esta manera, se puede concluir que el eje de simetría es la
recta perpendicular al eje X ,
2
b
x
a


Ejemplo
En nuestro ejemplo,   2
2 5 3f x x x   donde 2a  , 5b  , 3c   , determinemos el eje de simetría
de la parábola.
Solución
La parábola que representa nuestra función, tiene como eje de simetría la recta
5 5
2 2 2 4
b
x
a
  
  


13. 13
Ejercicios
1. Dadas las siguientes funciones, determina el eje de simetría de sus respectivas parábolas.
a. 2
( )h x x c. 2
( ) 5 2 1g x x x    e. 2
( ) 5 7f x x x   
b. 2
( ) 2f x x x   d. 23 1
( )
4 8
h x x x   f.
2
4 1
( )
2 3 2
x
g x x   
2. Si en la f unción   2
f x ax bx c   , se tiene que 0b  , ¿qué puedes decir del eje de simetría?
3. Analiza los signos de a y b en la función   2
f x ax bx c   , y determina la posición del eje
de simetría.
IV. VÉRTICE DE UNA PARÁBOLA
Otro elemento que podemos determinar de una función cuadrática es el vértice de la parábola que
representa. Si observas, el eje de simetría corta a la parábola en un único punto, que exactamente
corresponde al vértice de la parábola y donde su coordenada en el eje X es
2
b
x
a

 , por lo tanto para
determinar la ordenada del vértice, reemplazamos en   2
f x ax bx c   y obtenemos:
2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2 2 2 4 2 4 2 4
4
b b b b b b b b b
f a b c a c c c
a a a a a a a a
b
c
a
      
              
   

 
De lo anterior, podemos concluir que el
vértice que simbolizamos por V , es el punto
de la parábola
2
,
2 4
b b
V c
a a
  
 
 

14. 14
Ejemplo
En nuestro ejemplo,   2
2 5 3f x x x   donde 2a  , 5b  , 3c   , determinemos el vértice de
la parábola.
Solución
La parábola que representa nuestra función, tiene como vértice el punto
 
22
55 5 25 5 24 25 5 49
, , 3 , 3 , ,
2 4 2 2 4 2 2 2 8 4 8 4 8
b b
V c V V V V
a a
                
                           
Ejercicios
1. Dadas las siguientes funciones, determina el vértice de sus respectivas parábolas.
a. 2
( ) 5 6f x x x   c. 2
( ) 3 2h x x x   e. 2
( ) 8 8 2g x x x   
b. 2
( ) 2g x x x   d. 21
( ) 2
2
f x x x   f. 23
( ) 1
2
h x x x   
2. En las funciones cuadráticas de la forma   2
f x ax , es decir, 0b  y 0c  , determina su
vértice

15. 15
De la definición y con los elementos anteriores has podido determinar que una función representa
geométricamente una parábola, y que podemos graficarla identificando elementos que se presentan en
ella y que se deducen de los coeficientes de la función cuadrática a , b y c . Por otra parte, con los
elementos identificados, si tienes una parábola puedes determinar la función que la genera.
Los ejemplos siguientes ilustran tus aprendizajes.
Graficar una parábola dada su función
Ejemplo
Grafiquemos nuestro ejemplo.
De nuestra función   2
2 5 3f x x x   identificamos:
1. Coeficientes: 2a  , 5b  , 3c  
2. Concavidad: Como 2 0a   , entonces la
parábola es cóncava hacia arriba
3. Intersección con los ejes:
a. Intersección con el eje Y en el punto  0, 3
b. Intersección con el eje X en los puntos  3,0
y
1
,0
2
 
 
 
4. Eje de simetría: El eje de simetría corresponde a la
recta
5
4
x  
5. Vértice de la Parábola: El vértice corresponde al punto
5 49
,
4 8
V
 
  
 
Así, el gráfico corresponde al de nuestra función, donde se encuentran identificados nuestros
elementos calculados.

16. 16
Dada el gráfico de una parábola determinar la función
Ejemplo
Obtengamos la función correspondiente a la
parábola presentada.
De la parábola, podemos identificar que 6c  y
5 1
,
2 4
V
 
  
 
Por otra parte, sabemos que
5
2 2
b
a

 , lo que implica
5
2 5
2
b a a   
es decir, 5b a 
Reemplazando esta igualdad en la coordenada y del
vértice, obtendrás:
 
22
5 1
6
4 4 4
ab
c
a a
  
    , lo que implica
2
25 1
6
4 4
a
a
 
 
Es decir:
25 1 24
4 4
a  
 . Despejando, obtenemos 1a 
Así 1a  , 5b   y como 6c  , la función que genera la parábola es   2
5 6f x x x  

17. 17
Ejercicios
1. Dadas las siguientes funciones, grafique la parábola correspondiente, identificando
coeficientes, concavidad, intersección con los ejes, eje de simetría y vértice.
a. 2
( ) 3 6f x x   d. 21 5
( ) 2
2 3
m x x x   
b. 2 7 5
( )
2 2
g x x x   e. 2
( ) 4 4n x x x   
c. 2 2
( )
9
h x x x    f. 21
( ) 1
2
t x x x  
2. Dadas las siguientes parábolas, determinar con los datos presentados, la función que la genera.
a. b.
c.
3. Determinar el valor de k en la función   2
2 8f x x kx   de tal manera que la parábola
intercepte en un punto al eje X .
4. Calcular el valor de k en la función   2
3f x x kx   para que el vértice sea el punto  2, 1
5. Calcula las raíces de una función cuadrática   2
f x ax bx c   , donde 0b 
6. Si una función cuadrática   2
f x ax bx c   , la parábola es cóncava hacia arriba e intercepta
al eje X en 1x y 2x y además el coeficiente c es positivo, ¿qué ocurre con los signos de las
raíces de la función? ¿y si c fuese negativo?

18. 18
MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA.
Considerando la concavidad, podemos determinar si la función cuadrática presenta un máximo o un
mínimo. Este valor corresponde a la coordenada
2
4
b
y c
a

  del vértice de la parábola. El análisis de la
función   2
f x ax bx c   nos lleva a:
1. Si 0a  entonces la función f tiene un valor máximo para la coordenada
2
b
x
a

 , que
corresponde a
2
2 4
b b
f c
a a
  
  
 
.
Ejemplo
1. La función   2
4 3f x x x   tiene un máximo. En efecto, en la
función 1 0a    , luego la función es cóncava hacia abajo, además
3b  y 4c  , y por lo tanto tiene un máximo para
3 3
2 2
x

 

, que
corresponde a
3 9 9 25
4 4
2 4 4 4
f
 
     
 
2. Si 0a  entonces la función f tiene un valor mínimo para la coordenada
2
b
x
a

 , que
corresponde a
2
2 4
b b
f c
a a
  
  
 
.
Ejemplo
1. La función   2
5 6f x x x   tiene un mínimo. En efecto, en la
función 1 0a   , luego la función es cóncava hacia arriba, además
5b   y 6c  , y por lo tanto tiene un mínimo para
 5 5
2 2
x
 
 
, que corresponde a
5 25 24 25 1
6
2 4 4 4
f
   
    
 

19. 19
APLICACIONES
Las aplicaciones de la función cuadrática son varios. Por ejemplo son utilizadas en algunas disciplinas
como Física, Economía, Biología, Arquitectura, Construcción. Son útiles para describir movimientos con
aceleración constante, trayectoria de proyectiles, ganancias y costos de empresas, variación de la
población de una determinada especie que responde a este tipo de función, y obtener así información sin
necesidad de recurrir a la experimentación.
Ejemplo
1. La altura de un proyectil está dada por   2
9 3h t t t  , donde h ( t ) se mide en kilómetros y t,
que es el tiempo de permanencia del proyectil en el aire, está expresado en minutos.
a. ¿Qué altura lleva a los treinta segundos después del
lanzamiento?
Solución
Como t se mide en minutos entonces 0,5t  .
Reemplazando, se tiene
2
1 1 1
9 3
2 2 2
1 9 3
2 2 4
1 15
2 4
h
h
h
   
     
   
 
  
 
 
 
 
Luego la altura a los 30 segundos será de
15
4
km o lo que es lo mismo 3,75 km.
b. ¿A los cuántos minutos desde el lanzamiento el proyectil alcanza su máxima altura?
Solución
En la función   2
9 3h t t t  , 3 0a    , luego tiene un máximo, además 9b  y 0c 
De esta manera, la función tiene un máximo para
9 3
2 6 2
b
t
a
 
  

Es decir, a los
3
2
minutos, o lo que es lo mismo a los 1,5 minutos alcanza su máxima
altura.

20. 20
c. ¿Cuál es la diferencia de alturas que recorre este proyectil, entre los 90 segundos
transcurridos desde del lanzamiento hasta los veinte segundos antes de volver al suelo?
Solución
Los 90 segundos corresponde a
3
2
minutos, y para saber el valor de t 20 segundos
antes de caer al suelo, debemos calcular las raíces de la función que corresponde a las
coordenadas donde la función se intersecta con el eje X (en la figura vemos que son
0t  y 3t  ), es decir cuando   0h t 
Esto es
 
2
9 3 0
3 3 0
t t
t t
 
 
De donde 1 0t  y 2 3t 
Es decir 20 segundos antes corresponde a
40 2
3' 20'' 2 2
60 3
t      .
Luego debemos calcular la diferencia entre la altura máxima y
2
2
3
t  , es decir
3 8
2 3
h h
   
   
   
Así
3 8 3 9 8 64
9 3 9 3
2 3 2 4 3 9
3 8 54 27 72 64 27 8
2 3 4 3 4 3
3 8 81 32 49
2 3 12 12
h h
h h
h h
       
               
       
        
           
       
   
     
   
Es decir, la diferencia de alturas corresponde a
49
12
km
o lo que es lo mismo 4,08 km aproximadamente.

21. 21
Ejercicios
1. ¿Para cuál(es) de los siguientes valores de x la parábola de función   2
3 5 2f x x x   corta
al eje X ?
I. 0x  II. 2x  III.
1
3
x  
A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y III E. II y III
2. En la figura se muestran dos parábolas de tal manera que una es la simétrica de la otra con
respecto al eje X . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. 0p c 
II. 0m  y 0a 
III.    1 1g f   
A. Sólo III
B. I y II
C. I y III
D. II y III
E. I, II y III
3. Si f y g son dos funciones reales tales que   2
3f p p p  y   2
3g p p p  , entonces el
valor de    3 1f g   es
A. 2 B. 4 C. 8 D. 17 E. 20
4. Respecto del gráfico de la función  24 5y x x   se afirma lo siguiente:
I. Es una parábola con eje de simetría en
5
2
x


II. Intersecta al eje Y en la coordenada 24y  
III. Intersecta al eje X en 3x  y 8x  
Es (son) verdadera(s):
A. Solo I B. I y II C. II y III D. I y III E. I, II y III
5. Se tiene la función real   2
10 4f x kx kx k   , siendo k una constante real. ¿Cuál es el valor
de k si  2 60f  ?
A. 2 B. 3 C. 4 D. -3 E.
15
7
  2
g x ax bx c  
  2
f x mx tx p  

22. 22
6. Considere la parábola 21
( 1)
2
y x  ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I. La parábola se abre hacia arriba
II. Su vértice se encuentra en (1,0)
III. Su eje de simetría es 1x 
A. Solo I B. I y II C. I y III D. II y III E. I, II y III
7. Considere la función   2
2 4 5f x x x   , con x en los números reales. El menor valor que
alcanza la función es
A. 5 B. 3 C. 2 D. 0 E. –1
8. La figura, muestra las gráficas de  f x mx n  y   2
g x ax bx c   . ¿Cuál(es) de las
siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?
I. n c II. 2
4b ac III. 0m  m < 0
A. Solo I
B. Solo II
C. I y II
D. I y III
E. II y III
9. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de la función   2
,f x ax bx c  
con a < 0 y c < 0?
A. D.
B. E.
C.

23. 23
10. En la función   2
4 8 7f x x x   , el vértice de la parábola es:
A. (2,7) B. (1,-11) C. (-1,5) D. (-2,39) E. N.A.
11. Considere la función   2
3 18 14f x x x   . El menor valor que alcanza la función es:
A. 67 B. 3 C. -3 D. -13 E. -22
12. Sea la función cuadrática   2
,f x ax bx c   ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I. Si a > 0, entonces la función tiene un mínimo.
II. Si c = 0, la gráfica de la función NO pasa por el origen.
III. Si b = 0, a < 0 y c > 0, entonces la gráfica de la función NO intersecta al eje X .
A. Sólo I B. Sólo II C. Sólo III D. I y III E.I, II y III
13. La función cuadrática que corresponde a la parábola de la figura es:
A.   2
2 3f x x x  
B.   2
2 3f x x x  
C.   2
3f x x x  
D.   2
2 3f x x x  
E.   2
2 3f x x x  
14. El vértice de la parábola asociada a la función   2
2 3f x x 
A. (0,3) B. (1,3) C. (3,0) D. (3,1) E. (0,0)
15. ¿Cuál de las siguientes funciones representa mejor a la parábola de la figura?
A.    
2
2f x x  
B.   2
4g x x  
C.    
2
2h x x  
D.    
2
2m x x  
E.    
2
2n x x  

24. 24
16. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto de la parábola   2
5 4f x x x   ?
A. Sus ramas se extienden hacia arriba.
B. Intersecta al eje de las ordenadas en el punto (5, 0).
C. No intersecta al eje de las abscisas.
D. Alcanza un valor mínimo.
E. El punto (-2, 9) pertenece a ella.
17. Sea la parábola cuya función es   2
5 5f x x x k   . ¿Para qué valor de k la parábola intersecta
en un solo punto al eje de las abscisas?
A.
5
4
B.
1
2
C.
1
2
 D.
5
4
 E. N. A.
19. Dada la parábola cuya función es   2
3 54f x x x   , ¿cuáles son los puntos de intersección de
la parábola con el eje X ?
A. (6, 0) y (– 9, 0)
B. (0, – 9) y (0, 6)
C. (0, 6) y (0, – 9)
D. (– 6, 0) y (9, 0)
E. (– 9, 0) y (6, 0)
20. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una función cuadrática?
A.      2 2
4 2f x x x x   
B.   3
3 2f t t t  
C.   4f p p 
D.      2
2 2f a a a a   
E.    
2
2 1f m m  
21. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es correcta respecto a la parábola 2
4 1y x x    ?
A. Corta al eje de las abscisas en dos puntos.
B. No corta al eje de las abscisas.
C. Intersecta al eje de las coordenadas en el punto (-1,0).
D. Su concavidad es hacia arriba.
E. El punto (0,2) pertenece a ella.

25. 25
22. Sea la función de números reales   2
3f x x  . ¿Cuál es el conjunto de los números reales t
que satisfacen   1f t  ?
A.  2 B.  2,2 C.  2 D.  4 E. N. A.
23. Respecto del gráfico de la función   2
4 1f x x x   , es correcto afirmar que:
I. Tiene un mínimo valor en el punto de abscisa -2
II. Es simétrico respecto de la recta de ecuación 2y  
III. Intersecta al eje Y en el punto  0,1
A. Sólo I B. Sólo II C. Sólo III D. I y II E. I y III
24. ¿Cuál de be ser el valor de k para que la parábola 2
3y x kx   tenga su vértice en el punto
 2, 1 ?
A. 6 B- 4 C. 3 D. 2 E. 4
25. Si se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, esta sube hasta un cierto punto y luego
empieza a caer. La relación que existe entre el tiempo t , en segundos, que la piedra lleva en el
aire cuando se encuentra a una altura y , viene dada por la ecuación 2
5 20 10y t t    .
¿Cuándo alcanzará el punto más alto?
A. A los 0,5 segundos
B. A 1 segundo
C. A los 1,5 segundos
D. A los 2 segundos
E. A los 5 segundos
26. Dada la función de consumo de combustible respecto de la velocidad   2
80 2C v v v  , donde
la velocidad se expresa en km/h. Determinar a qué velocidad debe ir el auto, para que el
consumo de combustible sea máximo.
A. 20 km/h B. 30 km/h C. 40 km/h D. 50 km/h E. 80 km/h
27. Se arroja una pelota desde el suelo y la altura, en metros, viene dada por 2
5 10y t t   , siendo
t el tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?
A. 10m B. 7,5 m C. 5m D. 2,5m E. 1m