Ecuaciones de segundo grado

1. Metodología para la solución de Ecuaciones de Segundo Grado por Factorización Curso “Algebra y principios de Física” Silvia Hernández Hernández Marzo 2009

4. Método de Factorización La forma común en que se presenta la ecuación de segundo grado, llamada forma canónica es: ax 2 +bx+c=0 donde a, b y c son números reales y a siempre diferente de cero.

7. Segundo ejemplo: 9X 2 - 30X + 25 = 0 El coeficiente de x 2 es: 9 Su raíz cuadrada es 3 El término independientes es: 25 Su raíz cuadrada es 5 El doble producto de (3)(5) es: 30 (coincide con el coeficiente de x); Conclusión: Es un TCP Por lo tanto su factorización será: (3x-5) 2 = 0 3x-5 = 0 3x-5+5=0+5 3x = 5 SOLUCIÓN: x = 5/3

8. Análisis: Al no cumplirse las condiciones para ser un TCP, entonces corresponderá factorizar de diferente manera y se puede hacer de dos formas: a) Primer procedimiento * Multiplicamos el coeficiente de X 2 por el término independiente; es decir a por c. * Buscamos dos números que multiplicados nos den a*c y que sumados sean igual a el coeficiente de X, es decir igual a b. * Reescribimos la ecuación, “descomponiendo” el término de X, en dos términos con los coeficientes igual a los dos números anteriores * Ahora, ese polinomio de cuatro términos lo asociamos separando el 1º y el 2º; y el 3º y 4º. * Factorizamos cada uno de esos términos, extrayendo un factor común * Usamos la propiedad distributiva y obtendremos dos factores * Igualando a cero cada uno, obtendremos las raíces correspondientes. Primer ejemplo: X 2 + 5X - 14 = 0 a=1; c=-14; el producto de ambos es: -14 Dos números que multiplicados den -14 y que sumandos den 5 (coeficiente de x); son: 7 y -2 Reescribimos la ecuación y quedará: x 2 +7x-2x-14 = 0 Asociamos: (x 2 +7x)-(2x+14)=0 (cuidando el manejo de signos) Distribuimos: x(x+7)-2(x+7)=0 Asociamos: (x-2)(x+7) = 0 x-2 = 0 ó x+7=0 Soluciones: x = 2 ó x = -7 Caso 2: Cuando NO se trata de TCP

9. SALA DE MAESTROS COORD. ADMIVA. Segundo ejemplo: 2X 2 + 3X - 27 = 0 (a=2, b=3 y c=-27) El producto de a*c es: -54 Dos números que multiplicados den -54 y que sumandos den 3 (coeficiente de x); son: 9 y -6 Reescribimos la ecuación y quedará: 2x 2 +9x-6x-27 = 0 Asociamos: (2x 2 +9x)-(6x+27)=0 (cuidando el manejo de signos) Distribuimos: 2x(x+9/2)-6(x+9/2)=0 Asociamos: (2x-6)(x+9/2) = 0 2x-6 = 0 ó x+9/2=0 x = 6/2 ó x = -9/2 Soluciones: x = 3 ó x = -9/2

10. b) Segundo procedimiento: completando un TCP PROCEDIMIENTO: Se reescribe la ecuación en la forma ax 2 + bx = c Se divide toda la expresión entre a, para que quede el primer término con coeficiente 1. Se agrega la mitad del coeficiente de x, elevado al cuadrado, y entonces del lado izquierdo tendremos un TCP. Primer ejemplo: X 2 + 5X - 14 = 0 Reescribimos la ecuación: x 2 +5x = 14 Como el coeficiente del primer término ya es 1, no es necesario el segundo paso Sumamos la mitad de 5, elevada al cuadrado: x 2 +5x + (5/2) 2 = 14+ (5/2) 2 Factorizamos el TCP y sumamos los términos del lado derecho: (x+5/2) 2 = 81/4 Extraemos raíz cuadrada de ambos lados: x+5/2 = + 9/2 Despejamos la variable: x = + 9/2 – 5/2 Soluciones: x= 2 ó x= -7

11. Segundo ejemplo: 2X 2 + 3X - 27 = 0 (a=2, b=3 y c=-27) Reescribimos la ecuación: 2x 2 + 3x = 27 Dividimos toda la expresión entre dos: x 2 + 3/2 x = 27/2 Sumamos la mitad de 3/2, elevada al cuadrado: x 2 +3/2x + (3/4) 2 = 27/2+ (3/4) 2 Factorizamos el TCP y desarrollamos poco el 2º término: (x+ 3/4) 2 = 27/2 + 9/16 Sumamos los términos del lado derecho: (x+ 3/4) 2 = 225/16 Extraemos raíz cuadrada de ambos lados: x+3/4 = + 15/4 Despejamos la variable: x = + 15/4 – 3/4 Soluciones: x = 3 ó x = -9/2

13. Ecuaciones de segundo grado incompletas: Caso 4: cuando c = 0 Ejemplo 1: X 2 + 4x = 0 Se factoriza la variable x; x(x+4) = 0 Se resuelve obteniendo la solución: x = 0 ó x = -4 Ejemplo 2: 4x 2 – 12x = 0 Se divide toda la expresión entre 4: x 2 – 3x = 0 Se factoriza la variable x: x(x – 3) = 0 Se resuelve: x = 0 ó x=3