APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería.
M.I. Luis Cesar Vázquez Segovia
...
TEMA 1.- ESPACIOS VECTORIALES.
Definición.
Sea V un conjunto no vacío y sea (k, +, *) un campo. Se dice que V es un espaci...
i) CERRADURA
P1 = a1x2 + a1x + b1

; P2 = a2x2 + a2x + b2

P1 + P2 = (a1 +a2)x2 + (a1 +a2)x + (b1 +b2)

se cumple

S R

ii...
α*(a1+a2)x2 + (a1+a2)x + (b1+b2)+ = (αa1x2 + αa1x + αb1) + (αa2x2 + αa2x + αb2)
(αa1+ αa2)x2 + (αa1+ αa2)x + (αb1+ αb2) = ...
2) αū = S; Para todo α K, ū S
α(x1, y1, 0) = (αx1, αy1, 0)
S

Se cumple

S es un subespacio vectorial de V
Ejemplo
Sea п =...
D es un subespacio vectorial.
Espacios Rn
R2 = [(a, b)│a, b R]
R3 = [(a, b, c)│ a, b, c R]
R4 = [(a1, a2, a3, a4)│ a1, a2,...
Sea D = {

│a, b

{

}

,

R}
a

+ b

=

Ejemplo
R2 = [(a, b)│a, b

R]

{(1,0), (1,1), (0,1)}
α(1,0), β(1,1), γ(0,1) = (a,...
1 0

α1

0 0
1

0

+ α2

0
0
+
0
0

1

0

0

2

=

0 0

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=

α1 = 0; α2 = 0

0 0

2

0 0

B es lineal...
Definición
Sea V un espacio vectorial en K. Si B = { 1, 2,...,
dimensión n, lo cual denotamos con dimV = n

n

} es una ba...
A=

AT=

B1 = G1 = {(1, 4, -1), (0, 2, 7)}
Ac =L(G1) = {a(1, 4, -1) + b(0, 2, 7)│a, b
→ elemento genérico

R}
a(1, 4, -1) ...
V; G genera V; linealmente dependiente → Generador
Algoritmo de obtención de bases
P2 = {ax2 + bx + c)│a, b, c

R}

B = {x...
A
( )A = (M B )-1( )B

A
M B = ( )A = ( )B
A
A
(M B ) = (M B )-1

( )A = M B ( )B
A

AT =

3. A =

BAC = {(1, 0, 0), (0 ,1...
f

= (0, 1, -1, 3)

f

= (1, 0, 1, 0)

Es linealmente independiente

ESPACIOS DE FUNCIONES F
Sea el conjunto H = {ex, e-x,...
f1 (x)
f1´ (x)

W=

f 2 (x)
´
f 2 (x)


f



(n-1)
1

(n-1)
2

(x) f




f n (x)
´
f n (x)



(n-1)
(x)  f n (x)

S...
f(x) =

x 2 ; si x < 1
1; si x 1

x2
w = 2x
2

x
1
0

g(x) =

x; si x 2
2

sen x; si x 2

h(x) =

x2

x

2; si x

cos2 x; ...
Propiedades del producto interno.
Sea V un espacio vectorial en C y sea ( │ ) un producto interno en V, entonces
α C.

ū,
...
3=

(0, 1, 0) - (0, 0, 0) - (

4=

4-

v4 w1
w1 w1

1-

0
)(0, 0, 4) = (0, 1, 0)
16

v4 w 2

2-

w2 w2

(1,2,3) (2,0,0)

3...
1/2

=
=

=
1/2

=
=

=3

b) Obtener el ángulo entre
= angcos

y

R( 4 10i)
4
= angcos
3 17
3 17

= 108.86°

Propiedades d...
Determine a partir de V una base ortogonal.
BORT = {

1,

Proyvect

2}

1

2-

2=

2-

1

v 2 v1

=

2=

=

v1 v1

1

Proy...
4
( 1,1,1)
3
7 1 4
=( , , )
3 3 3
2.- Para el producto interno usual en R3, obtener el cumplimiento ortogonal S1 de cada u...
│a, b R} un subespacio de las matrices cuadradas de orden dos en

3.- Sea w =

R con producto interno definido por (A│ B) ...
a)

Obtener el valor de K R tal que
la distancia entre los vectores = (1, 3) y = (k, 4) sea igual a .
b)
Con el vector de ...
1

(2t -1|2t -1) = (4t 2

4t 1)dt =

0

4 3
t - 2t2 + t
3

1
0

4
1
-2+1=
3
3

=

1

1

2

(2 - 12t + 12t |2t -1) = (4t 2 ...
=

2
5

1
4
5

1

+

0
1

2

(p│ ) =

1
0

=

2
5
1

1
4
5

p(x), q(x) P2

p (i )q (i )
i 0

2

W = {ax + bx + c)│a, b, c
...
Definición.
Sea T: V→W una transformación
1)

Se llama recorrido de T al
conjunto
T(v) = { T( )│

V}

2)

Se llama núcleo ...
T(αx, αy, αz) = α( 1, y1)
(αx, αy) = (α 1, αy1)

Cumple

T es una transformación lineal.

a 0

2.- S: P2→D; S(ax2 + bx + c...
Si T: V→W es una transformación lineal entonces T( v) = w
Teorema.
Si T: V→W es una transformación lineal entonces
1) T(v)...
Elemento genérico de T(v)
a(1, 0, 1) + b(0, 1, -1) = (a, b, a-b)
T(v) = {(a, b, a-b)│a, b V }

dim T(v) = 2

b)

Determina...
T

= x2- x + 1;

[x2- x + 1]B = (1, -1, 1)T

T

= x -1;

[x -1]B = (0, 1, -1)T

M(H) =

ÁLGEBRA DE FUNCIONES
Así como exis...
=

M(S*T)(x, y, z) =

=

= (x +z, -y + z)

Propiedades de las operaciones con transformaciones.
1.- Conmutatividad para la...
T

[a + bx] A =
A
M B (T)( )A = [T( )]B

-8

4

4

-12

=

T(a + bx) = (

B

) –(

)x

Ejemplo
3 1

1
1 , su polinomio car...
T(-1 + x) = -8 + 4x
T(2 + 2x) = 4 - 12x

0 b

0 b

2R1 R2

0 0

0 0

;

es base

Otra base de P1 B = {1, x}
Espacios carac...
= (1, 0, 0, 0)T

H

=

H

=

B

= (0, 1, 0, 0)T

H

=

B

= (0, 0, 1, 0)T

H

=

B

B

= (0, 0, 0, 1)T

T( ) = λ( )
T(x, y...
2

1

6

x
0
=
y
0

3

Escalonando:

-2x + y = 0; y = 2x

Solución general: x = K; y = 2k;
λ1 = {(k, 2k)│k R, k ≠ 0}
Para ...
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  1. 1. APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería. M.I. Luis Cesar Vázquez Segovia Grupo: Semestre: 2010-2
  2. 2. TEMA 1.- ESPACIOS VECTORIALES. Definición. Sea V un conjunto no vacío y sea (k, +, *) un campo. Se dice que V es un espacio vectorial sobre k si están definidas dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación por un escalar, tales que: I) II) III) IV) V) VI) VII) VIII) IX) X) La adición asigna a cada pareja ordenada (ū, ) de elementos de V un único elemento ū + V, llamado la suma de ū y . ū, , V: ū+( + ) = (ū+ )+ . ō V tal que ō + = , V. V – V tal que – + = ō ū, α: u+ = + ū La multiplicación por un escalar asigna a cada pareja ordenada (α,v) de elementos de α k y V un único elemento α k llado el producto de α por . α k; ū, V: α(ū+ ) = αū+ α α,β k; V: (α+β) = α + β α,β k; V: α(β ) = (αβ) Si 1 es la unidad de k 1 = , V A los elementos de V se llama vectores y a los de k se les llama escalares. Ejemplo. R3; √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ F,f: R→R √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Pn M2x2 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ I II III IV V VI VII VIII IX X Ejemplo. Sea el conjunto S = {ax2 + ax + b )│a,b R} en R y las leyes de adición y multiplicación por un escalar usuales. Determinar si S es un espacio vectorial.
  3. 3. i) CERRADURA P1 = a1x2 + a1x + b1 ; P2 = a2x2 + a2x + b2 P1 + P2 = (a1 +a2)x2 + (a1 +a2)x + (b1 +b2) se cumple S R ii) ASOCIATIVIDAD P1 + (P2 + P3) = (P1 + P2) + P3 P1 + [(a2 + a3)x2 + (a2 + a3)x + (b2 + b3)] = [(a1 + a2)x2 + (a1 + a2)x + (b1 + b2)] + P3 (a1+a2+a3)x2 + (a1+a2+a3)x + (b1+b2+ b3) = (a1+a2+a3)x2 + (a1+a2+a3)x + (b1+b2+ b3) Se cumple iii) E ELEMENTO IDENTICO ō + P1 = P1 (ex2 + e1x + ei1) + (ax2 + ax + b) = ax2 + ax + b (e + a)x2 + (e + a)x + (ei + b) = ax2 + ax + b e+a=a e+a=a ei + b = b e=0 e=0 ei = 0 (0)x = (0)x2 +(0)x +0 iv) E ELEMENTO INVERSO - + =0 +p=0 (Ix2 + Ix + d) + (ax2 + ax + b) = (0)x2 +(0)x +0 (I + a)x2 + (I + a)x + (d + b) = (0)x2 +(0)x +0 I+a=0 I+a=0 d+ b = 0 I = -a I = -a d = -b - = = ax2 + ax + b v) CONMUTATIVIDAD P1 + P2 = P2 + P 1 (a1+a2)x2 + (a1+a2)x + (b1+b2) = (a2+a1)x2 + (a2+a1)x + (b2+b1) vi) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR αp = S αp = αax2 + αax + αb S Se cumple vii) SUMA DE VECTORES POR UN ESCALAR α(P1 + P2) = αP1 + αP2
  4. 4. α*(a1+a2)x2 + (a1+a2)x + (b1+b2)+ = (αa1x2 + αa1x + αb1) + (αa2x2 + αa2x + αb2) (αa1+ αa2)x2 + (αa1+ αa2)x + (αb1+ αb2) = (αa1+ αa2)x2 + (αa1+ αa2)x + (αb1+ αb2) Se cumple viii) SUMA DE ESCALARES POR UN VECTOR (α + β)p = αp + βp (α + β)a1x2 + (α + β)a1x + (α + β)b1 = (αa1x2 + αa1x + αb1) + (βa1x2 + βa1x + βb1) (αa1+ βa1)x2 + (αa1+ βa1)x + (αb1+ βb1) = (αa1+ βa1)x2 + (αa1+ βa1)x + (αb1+ βb1) Se cumple. ix) α(βp) = (αβ)p α (βax2 + βax + βb) = αβax2 + αβax + αβb αβax2 + αβax + αβb = αβax2 + αβax + αβb Se cumple X) UNIDAD DEL CAMPO 1p = p 1ax2 + 1ax + 1b = ax2 + ax + b Se cumple S es un campo vectorial -DEFINICIÓN DE SUBESPACIO. Sea V un espacio vectorial en K y sea S un subconjunto de V. S es un subespacio de V si es un espacio vectorial en K respecto a la adición y multiplicación por un escalar definidas en V. Teorema Sea V un espacio vectorial en K y sea S un subconjunto de V. S es un subespacio de V si y solo si . 1) ū + = S; Para todo ū, S 2) αū = S; Para todo α K, ū S Demostración V = E3 S = Plano XY S = {(x, y, 0)│x, y R} Determine si S es un subespacio. Solución: 1) ū + = S; Para todo ū, S (x1, y1, 0) + (x2, y2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2,0) S Se cumple
  5. 5. 2) αū = S; Para todo α K, ū S α(x1, y1, 0) = (αx1, αy1, 0) S Se cumple S es un subespacio vectorial de V Ejemplo Sea п = ,(x, y, z)│ x + y -z = 2; x, y, z R} Determinar si п es un espacio vectorial en R con las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar usuales. Solución: x + y -z = 2 ; z = x + y –2 п = , (x, y, x + y -2)│x, y I) 1 1+ = (x1, y1, x1 + y1 -2) ; R} 2 = (x2,y2, x2 + y2 -2) = [x1 + x2, y1 + y2, (x1 + x2) + (y1 + y2) –4] п no es un espacio vectorial. 2 Ejemplo. │a, b Sea el conjunto D = { R} determine si D es un espacio vectorial con las leyes de composición de adición de vectores y multiplicación por un escalar usuales. Solución: i) 1+ ii) 1 = 2= α α 1 a1 0 0 b1 2= a1 a 2 0 0 b1 b 2 D a2 0 0 b2 Se cumple D D Se cumple
  6. 6. D es un subespacio vectorial. Espacios Rn R2 = [(a, b)│a, b R] R3 = [(a, b, c)│ a, b, c R] R4 = [(a1, a2, a3, a4)│ a1, a2, a3, a4 R] Rn = [(a1, a2, a3, ..., an)│ a1, a2, a3, ..., an R´= [a│a R] R] COMBINACIÓN LINEAL. α 1+ β 2 = Definición. Un vector w es una combinación lineal de los vectores 1+ 2 + 3,..., n si puede ser expresado en la forma = α1 1+ α2 2,..., +αn n donde α1,α2,..., αn son escalares. Ejemplo Sea = (3, 4, -2) = α 1+ β 2 = 1(1,2,0) + 1(2,2,1) [(1,2,0), (2,2,-2)] [(1,1,-1), (1,2,0)] (3,4,-2) = α (1,1,-1) + β(1,2,0) (3,4,-2) = (α,α,-α) + (β,2β,0) (3,4,-2) = (α + β, α + 2β,-α) α + β =3 α + 2β = 4 -α = -2 α = 2; β=1 Ejemplo. Sea = (6,7,5) Forma trinómica → = 6i + 7j +5k = 6(1, 0, 0) + 7(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1) Ejemplo
  7. 7. Sea D = { │a, b { } , R} a + b = Ejemplo R2 = [(a, b)│a, b R] {(1,0), (1,1), (0,1)} α(1,0), β(1,1), γ(0,1) = (a, b) (α,0), (β, β), (0, γ) = (a, b) (α + β, β + γ) = (a, b) α+β=a β+γ=b Del 2° renglón β+γ=b ; γ=b-β Del 1° renglón α+β=a ; α=a–β Solución α=a-k β=k γ=b–k β=β k R Definición. Sea S = { 1, 2,..., n} un conjunto de vectores 1) S es linealmente dependiente si existen escalares α1,α2,..., αn, no todos son iguales a cero, tales que α1 1+ α2 2 +... + αn n = ō 2) S es linealmente independiente si la igualdad α1 1+ α2 2 +... + αn n = ō, solo se satisface con α1 = α2 =,..., = αn = 0 Ecuación de dependencia lineal α1 1+ α2 2 +... + αn n = ō B={ 1 0 0 0 Para B , 0 0 0 1 }
  8. 8. 1 0 α1 0 0 1 0 + α2 0 0 + 0 0 1 0 0 2 = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 = α1 = 0; α2 = 0 0 0 2 0 0 B es linealmente independiente 0 0 Bп2 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} Teorema Sea S = { 1, 2,..., n } un conjunto no vacío de vectores de un espacio vectorial V. El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de S, denotado con L(S), es un subespacio de S. S = {(1, 2)} F = L(S) a(1, 2) = (a, 2a) F = {(a, 2a) │a R } Teorema Todo conjunto que contiene al vector ō es linealmente dependiente. Demostración De la ecuación de dependencia lineal α1 1, α2 2,..., αi i,..., αn El conjunto es linealmente dependiente. Definición. Sea V un espacio vectorial en R, y sea G = { 1, dice que G es un generador de V si para todo = α1 1+ α2 2 +... + αn n. n = ō ; αi = R 2,..., n } un conjunto de vectores de V. Se R existen escalares α1,α2,..., αn, tales que, Definición. Se llama base de un espacio vectorial V a un conjunto generador de V que es linealmente independiente. Teorema Sea V un espacio vectorial en K. Si B = { 1, 2,..., otra base de dicho está formada por n vectores. n } es una base de V, entonces cualquier
  9. 9. Definición Sea V un espacio vectorial en K. Si B = { 1, 2,..., dimensión n, lo cual denotamos con dimV = n n } es una base de V se dice que V es de En particular, si V = { }; dimV = 0. Ejemplo R2 = [(a, b)│a, b R] B = {(0, 1), (1, 0)} = (-3, 2) α(0, 1) + β(1, 0) = (-3, 2) (0, α) + (β, 0) = (-3, 2) (β, α) = (-3, 2) → por igualdad de vectores β = -3 y α = 2 Vector de coordenadas ( )B = (α, β) = (2, -3) Definición Sea B = { 1, 2,..., n } una base de un espacio vectorial V en K, y sea V. Si = α1 1+ α2 2 +... + αn n, los escalares α1,α2,..., αn se llaman coordenadas de en la base B, y el vector Kn ( )B = ( α1,α2,..., αn)T se llama vector de coordenadas de en la base B. ESPACIOS ASOCIADOS A UNA MATRIZ. A= Espacio renglón asociado a A G = {(1, 0),(4, 2),(-1, 7)} L(G) = {a(1, 0), b(4, 2), c(-1, 7)│a, b, c 4 R1 R 2 R1 R 3 B = {(1,0), (0,1) } L(B) = {a(1,0) + b(0,1) } AR =L(B) = {(a, b)│a, b R } Espacio columna R} R 2 (1 / 2 ) 7 R 2 R3 dim AR = 2
  10. 10. A= AT= B1 = G1 = {(1, 4, -1), (0, 2, 7)} Ac =L(G1) = {a(1, 4, -1) + b(0, 2, 7)│a, b → elemento genérico R} a(1, 4, -1) + b(0, 2, 7) = (a, 4a + 2b, -a + 7b) Ac = {(a, 4a + 2b, -a + 7b)│a, b Dim Ac = 1 Corolario dim AR = dim Ac Ejemplo R2 = [(a, b)│a, b R] B1 = {(1, 0), (0, 1)}; B2 = {(0, 2), (2, 0)} Obtener los valores de coordenadas del vector = (-2, 3) G ={ , , } Para G β1 + β2 2 0 1 0 0 0 + 0 1 + β3 2 0 2 0 2 + = 3 = 0 0 0 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 =0 1 2 2 3 =0 3 2 2 = k; 1 G es linealmente dependiente. B y G son conjuntos generadores V; B genera V; linealmente independiente → Base 3 k R}
  11. 11. V; G genera V; linealmente dependiente → Generador Algoritmo de obtención de bases P2 = {ax2 + bx + c)│a, b, c R} B = {x2, x, 1} R2 = [(a, b)│a, b R] B = {(1, 0), (0, 1)} 1 0 , } 0 1 Sea el espacio п = {(x, y, z)│x + y -z = 2; x, y, z R} M2x1= { │a, b R} x + y -z = 0 z=x+y B={ п2 = {(x, y, x + y)│ x, y, z R} Matriz de transición M B1 B2 1= α 1 1+ α 2 2= β1 1+ β2 2 2 (1,0) = α1(0,2)+ α2(2,0) (1,0) = (2α2, 2α1 α2(2,0) 2α2 = 1 → α2= ½ 1 2α1 = 0 → α1= 0 = (1,0) = 0(0,2) + ½(2,0) ( 1)B2 = (0, ½)T 2 = (0,1) = β1(0,2) + β2(2,0) 2 β2 = 0 → β2= 0 2 = (0,1) = ½(0,2) + 0(2,0) ( 2)B2 = (½, 0)T = 0 1+ ½ 2 = ½ 1+ 0 1 2 2 (0,1) = (2β2, 2β1) 2β1 = 0 → β1= ½
  12. 12. A ( )A = (M B )-1( )B A M B = ( )A = ( )B A A (M B ) = (M B )-1 ( )A = M B ( )B A AT = 3. A = BAC = {(1, 0, 0), (0 ,1 ,0), (0, 0, 1)} a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (a, b, c) → elemento genérico AC = {(a, b, c)│a, b, c R} Solución: los 3 R Teorema Los espacios que tienen la misma dimensión se llaman isomorfos. R3 = [(a, b, c)│a, b, c R]; P2 = {ax2 + ax + b)│a, b R} dim R3 = 3; BR3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} dim R2 = 2; BR2 = {(x2 + x + 1) F1 (ax2 + bx + c) = (a, b, c) 1.M={ │a, b, c R}; F2 = (a, b, c) dim M =3; BM ={ 2.│a, b R} V={ Solución: BV ={ , A no es base; 3.- } dim V = 2 B no es base; C si es base , , }
  13. 13. f = (0, 1, -1, 3) f = (1, 0, 1, 0) Es linealmente independiente ESPACIOS DE FUNCIONES F Sea el conjunto H = {ex, e-x, e2x} L(H) = {aex + be-x + ce2x a, b, c R} Determine si H es linealmente independiente Wronskiano ex W = ex ex 1)4 ex e x e x x e e e2x e x 2e 2 x = e x (-1)2 e x 4e 2 x 2e 2 x 4e 2 x + e x (-1)3 ex 2e 2 x ex 4e 2 x + e 2 x (- x ex e x W = ex(-4ex -2ex) –e-x(4e3x -2e3x) + e2x(e0+ e0) W = -6e2x –2e2x +2e2x W = -6e2x W≠0 H es linealmente independiente Sea el conjunto de funciones reales de variable real {f1, f2, ..., fn} De la ecuación de dependencia lineal α1f1+ α2f2 +... + αnfn = 0 Para x = x1 α1f(x1) + α2f(x1) +... + αnf(x1) = 0 Para x = x2 β1f(x2) + β2f(x2) +... + βnf(x2) = 0 Para x = xn λ1f(xn) + λ2f(xn) +... + λnf(xn) = 0 Teorema Sea {f1, f2, ..., fn} un conjunto de n funciones de variable real, derivables al menos n-1 veces en el intervalo (a, b); y sea
  14. 14. f1 (x) f1´ (x) W= f 2 (x) ´ f 2 (x)  f  (n-1) 1 (n-1) 2 (x) f   f n (x) ´ f n (x)   (n-1) (x)  f n (x) Si W(x0) ≠ 0 para algún x0 (a, b), entonces el conjunto de funciones es linealmente independiente de dicho intervalo. Si W(x) = 0 no decide. Ejemplo Investigar la dependencia lineal del siguiente conjunto. F = {2sen2x, -cos2x, 3} W(x) = 2 sen 2 x 4 senx cos x cos 2 x 2 cos xsenx 3 0 = 2 2 2 2 4 sen x 4 cos x 2 cos x sen x 0 4senx cos x 2 2 cos xsenx 2 4sen x 4 cos x 2 cos2 x sen 2 x W(x) = 3[4senxcosx (2cos2x -2sen2x) – (-4sen2x + 4cos2x)( 2cosxsenx)] W(x) = 3(0) = 0 → no decide. F = {2sen2x, sen2x -1, 3} α(2sen2x) + β(sen2x –1) + γ(3) = (0) 2sen2x + 0 (2α+ β)sen2x + (3γ –β) = (0) 2sen2x + 0 (2α+ β) = 0 (3γ –β) = 0 α = -k/2 β=k γ = k/3 → α = -β/2 → γ = β/3 β=k Es linealmente dependiente. Nota: 1 regla de correspondencia y W = 0 es linealmente dependiente. Ejemplo Sea el conjunto de funciones, determine si es linealmente dependiente o independiente en el intervalo indicado. D = {h, f, g}
  15. 15. f(x) = x 2 ; si x < 1 1; si x 1 x2 w = 2x 2 x 1 0 g(x) = x; si x 2 2 sen x; si x 2 h(x) = x2 x 2; si x cos2 x; si x 4 4 x2 x 2 2x 1 = 2(-1)4[x(2x + 1) - (x2 + x + 2)] + 2(-1)6[x2 - 2x2] 2 w = 2(2x2 + x - x2 - x -2) + 2(-x2) = 2(x2 - 2) - 2x2 = -4 TEMA II ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Definición Sea V un espacio vectorial en C. Un producto interno en V es una función VXV en C, que asigna a cada pareja ordenada (ū, ) de vectores de V un escalar (ū│ ) C, llamado el producto interno de ū por que satisface las siguientes propiedades: 1) (ū│ ) = (conjugado) 2) (ū│ + ) = (ū│ ) + (ū│ ) 3) (αū│ ) = α(ū│ ) 4) (ū│ ) > 0; ū≠ Ejemplo Sea R2 = [(a, b)│a, b R] y a) f(ū│ ) = [(a1, b1)│(a2, b2)] = a1a2 + b1b2 b) h(ū│ ) = [(a1, b1)│(a2, b2)] = 2a1a2 + b1b2 Determine si f, h son productos internos. 3) (αū│ ) = α(ū│ ) *(αa1, αb1)│(a2, b2)+ = α(2a1a2 + b1b2) 2αa1a2 + αb1b2 se cumple 4) (ū│ ) > 0 [(a1, b1)│(a1, b1)] = 2a12 + b12 > 0 h es producto interno se cumple
  16. 16. Propiedades del producto interno. Sea V un espacio vectorial en C y sea ( │ ) un producto interno en V, entonces α C. ū, Vy 1) (ū│α ) = (ū│ ) 2) (ū│ū) = R+ 3) ( │ū) = 0 = (ū│ ) 4) (ū│ū) = 0 ↔ ū = NORMA DE UN VECTOR = ( │ )1/2; La norma es un número real. Propiedades de una norma. Sí V es un espacio vectorial con producto interno, entonces 1. 2. 3. 4. >0 =0 ↔ = = ; + = ū, V y α C. = Ejemplo Sea un generador de R3,el conjunto G = {(2, 0, 0), (0, 0, 4), (0, 1, 0), (1, 2, 3)}. Determine un conjunto ortogonal a partir de G utilizando el producto escalar ordinario. Gran Shmidt. 1 = 2= 2= 3= 3= 1 = (2, 0, 0) 2- v2 w1 w1 w1 (0, 0, 4) 3- (0,0,4) (2,0,0) (2,0,0) (2,0,0) v3 w1 w1 w1 (0, 1, 0) - = (0, 0, 4) - ( 0 )(2, 0, 0) = (0, 0, 4) 4 v3 w 2 1- w2 w2 (0,1,0) (2,0,0) 4 2 (2, 0, 0) - (0,1,0) (0,0,4) (0,0,4) (0,0,4) (0, 0, 4)
  17. 17. 3= (0, 1, 0) - (0, 0, 0) - ( 4= 4- v4 w1 w1 w1 1- 0 )(0, 0, 4) = (0, 1, 0) 16 v4 w 2 2- w2 w2 (1,2,3) (2,0,0) 3 w3 w3 (1,2,3) (0,0,4) 4= (1, 2, 3) 4= 16 (0, 0, 4) - (1,2,3) (0,1,0) (1, 2, 3) - (1, 0, 0) - (0, 0, 3) - (0, 2, 0) = (0, 0, 0) 4 (2, 0, 0) - v4 w 3 (0,1,0) (0,1,0) (0, 1, 0) G0 = {(2, 0, 0), (0, 0, 4), (0, 1, 0), (0, 0, 0)} BORT = {(2, 0, 0), (0, 0, 4), (0, 1, 0)} BORTN = {(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)} Ejemplo En el espacio vectorial de matrices simétricas de orden 2 se define el siguiente producto a1 b1 a2 b2 b1 interno c1 b2 c2 , BORT = { = a1a2 + 2b1b2 + c1c2 y el conjunto G = { , . Determine un conjunto ortogonal a partir de G , , , . Ejemplo. Para el espacio vectorial C2 se define el producto interno (ū│ ) = 2 xi yi = (x1, x2) = (3-2i, -2i), = (-2-2i, i) i 1 = (y1, y2) C2 donde i es el conjugado de yi. a) Determinar las normas de los vectores = (4+2i, 5 – 6i), = = 1/2 = = =9 ,
  18. 18. 1/2 = = = 1/2 = = =3 b) Obtener el ángulo entre = angcos y R( 4 10i) 4 = angcos 3 17 3 17 = 108.86° Propiedades de la distancia entre dos vectores. Si V es un espacio vectorial con producto interno, entonces 1. d(ū, 2. d(ū, 3. d(ū, 4. d(ū, ū, V. ) 0 ) = 0 y solo si ū = ) = d( , ū) ) d(ū, ) + d( , ) 1/2 = 1/2 = = 1/2 = =8 Teorema de Pitágoras. Sea V un espacio con producto interno y sean ū, 2 = 2 + V. Si ū y son ortogonales, entonces: 2 Teorema Desigualdad de Cauchy-Schwarz Sea V un espacio vectorial en C y sea ( │ ) un producto interno en V, entonces ū, V: 2 ≤ donde es el módulo de . Además, la igualdad se cumple si y solo si son linealmente independientes. Ejemplo 1.- Sea B = { 1, 2} una base de un espacio vectorial.
  19. 19. Determine a partir de V una base ortogonal. BORT = { 1, Proyvect 2} 1 2- 2= 2- 1 v 2 v1 = 2= = v1 v1 1 Proyvect v2 w1 BORT = 1 w1 w1 w1 w1 , w2 w2 w= Bw = {(1, 1, 0), (0, 2, 1)} Ortogonalizado 1 = 2= 1 = (1, 1, 0) 2- v2 w1 w1 w1 = (0, 2, 1) - ( = 1= (0, 2, 1) - (0,2,1) (1,1,0) (1,1,0) (1,1,0) (1, 1, 0) 2 )(1, 1, 0) = (-1, 1,1) 2 BwORT = {(1, 1, 0), (-1, 1, 1)} BwORT = { w= = (0,2, 6) = (0 + } = q ei ei + q e 2 e 2 1 1 (1,1,0) (1,10) + (0,2, 6) 2 2 2 6 1 ) (1,10) + (0 ) 3 3 2 1 1 ( 1,1,1) ( 1,1,1) 3 3 1 ( 1,1,1) 3
  20. 20. 4 ( 1,1,1) 3 7 1 4 =( , , ) 3 3 3 2.- Para el producto interno usual en R3, obtener el cumplimiento ortogonal S1 de cada uno de los subespacios siguientes de R3 y dar una interpretación geométrica de dichos complementos. = (1, 1,0) - a) S1 = {(0,0,z)│z R} = (a, b, c) R3 {(0, 0, z)│(a, b, c)} = 0 zc = 0 c=0 a=k b=t ´ S 1 = {(k, t, 0)│k, t R} b) S2 = {(x, x,0)│x R} = (a, b, c) R3 {(x, x, 0)│(a, b, c)} = 0 ax + bx = 0 x(a +b) = 0 a = -b ; a = -t c=k b=t S ´2 = {(-t, t, k)│t, k R}
  21. 21. │a, b R} un subespacio de las matrices cuadradas de orden dos en 3.- Sea w = R con producto interno definido por (A│ B) = tr(ABT). Obtener la matriz perteneciente a W más próximo a M = Bw = { 1 2 = = , 1 2 } = v2 w1 = w1 w1 │ - 0 5 1 0 0 2 1 0 0 2 =0 =5 = , BwORT = { 1 0 1 0 0 2 0 2 = tr = = ={ - = tr │ 2 w1 = 0 1 1 0 1 0 0 2 } , } 21α + 11β + 5γ = 0 α=- 11 5 kt; 21 21 w = {(b) β = k; γ=t 11 5 kt )x2 +kx + t | k, t R } 21 21 = - ´ 4.- Dado el producto interno en R2 definido por = (u1, u2, u3) y = (v1, v2). = u1v1 - u1v2 - u2v1 + 3u2v2 donde
  22. 22. a) Obtener el valor de K R tal que la distancia entre los vectores = (1, 3) y = (k, 4) sea igual a . b) Con el vector de k obtenido, verificar que los vectores y del inciso anterior cumplan la desigualdad de CauchySchwarz. a) d(ū, ) = = (k-1, 1) 1/2 1/2 = = k 2 2k 1 k+1-k 1 3 1/2 = k 2 4k 6 1/2 2 = k 2 4k 6 ; k 2 4k 4 = 0; ( k-2 )( k-2 ) = 0; k=2 2 b) ≤ (28) 2 ≤ (22)(36) 784 ≤ 792 = 28 = 22 = 36 Es linealmente independiente. 5.- Obtener una base ortogonal del espacio vectorial F de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales a partir de la base B = {1, 2t, 2 - 12t + 12t2} considerando el producto interno = p, q F 1 =1 2= 2t - (2t |1) = (1 |1) = 2t 1 11 (1) = 2t - 1 (1) = 2t – 1 1 = t2 1 = 1 0 =t 1 =1 0 2 2 12t 12t 2 1 3= 2 - 12t + 12t - 3= 12t 12t 2 2t 1 2 - 12t + 12t2 -0 -0 = 2 - 12t + 12t2 11 (1) - 2 2t 1 2t 1 1 (2 - 12t + 12t2 |1) = (2 0 12t 12t 2 )dt = 2t - 6t2 + 4t3 1 = 2- 6 + 4 = 0 0 (2t – 1)
  23. 23. 1 (2t -1|2t -1) = (4t 2 4t 1)dt = 0 4 3 t - 2t2 + t 3 1 0 4 1 -2+1= 3 3 = 1 1 2 (2 - 12t + 12t |2t -1) = (4t 2 24t 2 12t+24t 3 2 12t )dt = (24t 3 36t 2 16t 2)dt 0 = 6t 4 12t 3 8t 2 1 0 2t 0 = 6 -12 + 8 -2 = 0 6.- Sea el sistema de ecuaciones lineales homogéneo y sea W el espacio solución de dicho sistema para el producto interno usual en R3, determinar el complemento ortogonal w , de W y escribir el vector (9, 1, 4) como la suma de un vector de W mas otro de w . -x + 3y -2z = 0 x= 3y – 2z y=y W = {(3k -2t, k, t) │k, t b R} 1 5 0 BwORT = 0 2 5 z = z; z=t 1 2 0 , x = 3k -2t y=k 1 2 0 2 = M ei ei i 1 = M ei ei + M e 2 e 2 = = 2 1 1 2 1 5 1 tr 5 + = 1 2 tr 5 4 1 1 0 5 0 2 2 2 1 1 0 2 0 2 2 1 2 1 0 1 1 1 1 1 0 + 5 0 2 0 2 1 5 1 0 0 2 1 tr 5 + 1 tr 2 2 1 1 0 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 2 1 0
  24. 24. = 2 5 1 4 5 1 + 0 1 2 (p│ ) = 1 0 = 2 5 1 1 4 5 p(x), q(x) P2 p (i )q (i ) i 0 2 W = {ax + bx + c)│a, b, c R} a) Obtener w W = {ax2 + ax + -a)│a x2 x R} P2 = {αx2 + βx + γ)│α, β, γ R} ax 2 ax -a = 0 = γ(-a) + (α + β + γ)(a) + (4α + 2β + γ)(5a) = -γa + αa + βa + γa + 20αa + 10βa + 5γa = a(4α + 2β + γ) = 0 R3 = [(a, b, c)│ a, b, c R] [(3k -2t, k, t) │(a, b, c)] = 0 3ak -2at + kbt + c = 0 k(3a +b) + t(-2a + c) = 0 3a +b = 0 ↔ b = -3a -2a + c = 0 ↔ c = 2a w = {a, -3a, 2a)│a R} TRANSFORMACIONES LINEALES T: R3→R2 T(x, y, z) = (x, y) Definición Si V y W son espacios vectoriales, una función T: V→W recibe el nombre de transformación, los espacios V y W se llaman, respectivamente dominio y codominio de la transformación. Ejemplo T(x, y, z) = (x, y) S(ax2 + bx + c) = T: R3→R2 S: P2→D
  25. 25. Definición. Sea T: V→W una transformación 1) Se llama recorrido de T al conjunto T(v) = { T( )│ V} 2) Se llama núcleo de T al conjunto N(T) = { │T( ) = w} Ejemplo T: R3→R2 definida por T(x, y, z) = (x, y) Dominio: R3 Recorrido: R2 Núcleo: w T(x, y, z) = (0, 0) x = 0; y =0 (x, y) = (0, 0) T(0, 0, z) = (0, 0) N(T) = {(0, 0, z)│z R } Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales en K, una transformación T: V→W es lineal si Vy α K Superposición 1) T( 1 + Homogeneidad 2) T( 2) 1) = T( 1) + T( 2) = αT( 1) Ejemplo Para las siguientes transformaciones determinar si son lineales o no. 1.- T: R3→R2 definida por T(x, y, z) = (x, y) Solución: 1) T( 1 + T( 1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ( 1, y1) + (x2, y2) ( 1 + x2, y1 + y2) = ( 1 + x2, y1 + y2) Cumple 2) T( 1) 2) = T( 1) + T( 2) = αT( 1) 1, 2
  26. 26. T(αx, αy, αz) = α( 1, y1) (αx, αy) = (α 1, αy1) Cumple T es una transformación lineal. a 0 2.- S: P2→D; S(ax2 + bx + c) = 0 c Solución: 1) S( 1 + a2x2 + b2x + c2 a S [(a1 + a2)x2 + (b1 + b2)x + (c1 + c2)] = 1 0 1= a1x2 + b1x + c1; a1 a2 0 0 c1 = c2 a1 a2 0 c1 0 0 c1 + a2 0 0 c2 Cumple c2 S( S(αa1x2 + αb1x + αc1) =α 0 0 c1 = = S( 1) + S( 2) 2= 2) a1 2) a1 0 = αS( 1) 0 c1 0 0 a1 1) c1 Cumple S es una transformación lineal. 3.- F: R2→R2 F(x, y) = (x2, y) 1= ( 1, y1) 1) 2 F( 1 + x2, y1 + y2) = ( x 1 , y1) + ( x 2 , y2) 2 2 [( 1 + x2) 2, y1 + y2] = [ x 1 + x 2 , y1 + y2] 2 F no es una transformación lineal Teorema. 2= (x2, y2) F( 1 + 2) = F( 1) + F( 2)
  27. 27. Si T: V→W es una transformación lineal entonces T( v) = w Teorema. Si T: V→W es una transformación lineal entonces 1) T(v) es un subespacio de W 2) N(T) es un subespacio de T Ejemplo T: R3→M definida por T(a, b, c) = a 1 b b c Teorema. Si T: V→W una transformación lineal. Si B = , 1, 2,..., n} es una base de V, entonces el conjunto T = {T( 1), T( 2),...,T( n)} es un generador de T(v) Teorema. Si V es un espacio de dimensión finita y T: V→W es una transformación lineal, entonces dim V = dim T(v) + dimT(N) Ejemplo Sea la transformación lineal T: R3→R3 definida por T(x, y, z) = (x + 2y -z, x + y, x + y -2z) a) Obtener una base, la dimensión y el recorrido de T(v) Solución: a) Dominio R3 B R 3 = {(1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)} T(1, 0, 0) = (1, 0, 1) T(0, 1, 0) = (2, 1, 1) T(0, 0, 1) = (-1, 1, -2) G T(v) = {(1, 0, 1), (2, 1, 1), (-1, 1, -2)} Generador de T(v) Espacio Renglón 1 0 1 2 1 1 1 1 2 2 R1 R2 1R1 R3 1 0 1 0 1 1 0 1 1 B T(v) = {(1, 0, 1), (0, 1, -1)}
  28. 28. Elemento genérico de T(v) a(1, 0, 1) + b(0, 1, -1) = (a, b, a-b) T(v) = {(a, b, a-b)│a, b V } dim T(v) = 2 b) Determinar la base y la dimensión de N(T) (x + 2y -z, x + y, x + y -2z) = (0, 0, 0) x + 2y –z = 0 x+y=0 x + y -2z = 0 1 2 1 0 1 1 1 1 2 1 R1 R3 0 2 1 1 0 1 2 R2 R3 1 1 1 0 0 1 0 1 0 → x + 2y –z = 0 ….I x + y = 0….II De II y = -z; De I x +2(-z) –z = 0; x = 3z Solución general x = 3t; y = -t; z=t N(T) = {(3t, -t, t)│t R}; B N(T) = {(3, -1, 1)} dim N(T) = 1 dim R3 = dim T(v) + dimN(T) 3 = 2 +1 AH 2 = { , , , 1 } AP 2 = {x2, x, 1} T = x2 + 1; [x2 + 1]B = (1, 0, 1)T T = - x2 + x; [- x2 + x]B = (-1, 1, 0)T
  29. 29. T = x2- x + 1; [x2- x + 1]B = (1, -1, 1)T T = x -1; [x -1]B = (0, 1, -1)T M(H) = ÁLGEBRA DE FUNCIONES Así como existen operadores con funciones, también se tienen operadores con transformaciones. Por ejemplo se tienen entre otras las siguientes: 1.- Adición. Dada las transformaciones cuyo dominio es el mismo. T: U→V y R : U→V Se define como resultado esta operación. (T + R)( ) = T( ) +R( ) M(T + R) = M(T) +M(R) 2.- Multiplicación por un escalar. Dada la transformación T: U→V y α K, se define la operación por medio de: (αT)( ) = αT( ) M(αT) = αM(T) 3.- Composición. Dada las transformaciones T: U→V y R: V→W, se define la transformación S: V→W como resultado de la composición entre las transformaciones de T y R si y sólo si: S( ) =(RoT) S( ) = R[T( )] En terminus de matrices B R 3 = {(1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)} M(T) = S*T(x, y, z) = M(S*T)(x, y, z) M(S)M(T) = M(S*T) M(S) =
  30. 30. = M(S*T)(x, y, z) = = = (x +z, -y + z) Propiedades de las operaciones con transformaciones. 1.- Conmutatividad para la adición. T + S = S +T M(T) + M(S) = M(T + S) 2.- Asociatividad para la adición. (T + S) + R = T + (S + R) [M(T) + M(S)] + M(R) = M(T) + [M(S) + M(R)] 3.- Homogeneidad para el producto por un escalar. α(βT) = (αβ)T; α, β k α*βM(T)+ = (αβ)M(T) 4.- Distributividad entre el producto por un escalar y la adición. (α + β)T = αT + βT ; (α + β)MT = αMT + βMT λ(T + S) = λT + λS ; λ[M(T) + M(S)] = λM(T) + λM(S) [(-8 + 4x)]B = [-8, 4]T [(4 - 12x)]B = [4, -12]T A M B (T) = -8 4 4 -12 ( )A = [a + bx] A a + bx = α(-1 + x) + β(2 + 2x) a + bx = (-α + 2β, αx + 2βx) -α + 2β = a αx + 2βx = b 4β = a + b β= -α + 2( )=a α=
  31. 31. T [a + bx] A = A M B (T)( )A = [T( )]B -8 4 4 -12 = T(a + bx) = ( B ) –( )x Ejemplo 3 1 1 1 , su polinomio característico – λ3 + 5λ2 - 8λ + 4 Sea A = 2 2 2 2 0 – A3 + 5A2 – 8A + 4I = 0 4I = A3 - 5A2 + 8A 4I = A(A2- 5A + 8I) (A-1)4I = (A-1A)(A2- 5A + 8I) 4A-1= A2- 5A + 8I A-1 = (A2- 5A + 8I)( ) det(A - λI) = a- b 0 a- = (a - )( a - )=0 (A - λI)B( )B = [T( )]B λ = a de multiplicidad 2 a- b 0 a- λ = a; x 0 = y 0 0 b del R1 by = 0 → y = 0; x = k 0 0 propio = {(k, 0)│k R, k ≠ 0} Eλ = {(k, 0)│k R} B = {(1, 0)}; P= 1 0 A no es diagonizable
  32. 32. T(-1 + x) = -8 + 4x T(2 + 2x) = 4 - 12x 0 b 0 b 2R1 R2 0 0 0 0 ; es base Otra base de P1 B = {1, x} Espacios característicos BE 1 = {(1, 2)} Eλ1 = {(k, 2k)│k R }; BE 2 = {(1, -3)} Eλ1 = {(t, -3t)│t R }; Matriz diagonalizada P= 1 1 2 3 D = P-1AP ; D → Matriz diagonal. A → Matriz Asociada a la T. P → Matriz diagonalizadora. P-1 = - -3 -1 -2 A = M(T) = D=- 1 2 -1 6 1 -3 -1 2 -1 1 -2 6 2 1 1 1 3 -3 -1 4 -1 -2 =- 8 1 3 =- M(H) ? BM ={ Vect. coord. , , =α , } +β +γ +δ -20 0 0 5 = 4 0 0 -1
  33. 33. = (1, 0, 0, 0)T H = H = B = (0, 1, 0, 0)T H = B = (0, 0, 1, 0)T H = B B = (0, 0, 0, 1)T T( ) = λ( ) T(x, y)= λ(x, y) (2x + y, 6x + y) = (λx, λy) (2x + y - λx, 6x + y - λy) = (0, 0, 0) Por igualdad de vectores 2x + y – λx = 0; (2 - λ)x +y = 0 6x + y – λy = 0; 6x + (1 - λ) = 0 2 1 6 det x 0 = ………. I Ecuación Cartesiana y 0 1 2 1 6 =0 1 (2 )( 1 )–6=0 2 λ - 3λ - 4 = 0……… II Polinomio característico (λ - 4)(λ - 1) = 0 λ1 = 4; λ2 = -1 ………….III Valores característicos propios Vectores propios. Para λ1 = 4; sustitución en I 2 4 1 6 1 4 x 0 = y 0
  34. 34. 2 1 6 x 0 = y 0 3 Escalonando: -2x + y = 0; y = 2x Solución general: x = K; y = 2k; λ1 = {(k, 2k)│k R, k ≠ 0} Para λ2 = -1; sustitución en I 2 ( 1) 1 6 1 ( 1) 3 1 6 2 x 0 = y 0 x 0 = y 0 Escalonando: 3x + y = 0; y = -3x Solución general: x = t; M(H) = A-1 = H-1(A) = AT = A; y = -3t; λ2 = -1 ≠ 0 det A = 1 R2 = {(t, -3t)│t R, t ≠ 0 } R3 H no existe

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