Definición de tensión y Tensor de Tensiones - Resolución del Ejercicio N° 1 de la Guía de Problemas Propuestos

1. Estados de Tensión y
Deformación
Tensor de Tensiones
Ejercicio N° 1 de la Guía de Problemas
Propuestos
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Introducción
Veamos la definición
de Tensión:
Se denomina tensión a la magnitud física que representa la fuerza por unidad de área
en el entorno de un punto material sobre una superficie real o imaginaria de un medio
continuo.
Con el objeto de explicar cómo se transmiten a través de los sólidos las fuerzas externas
aplicadas, es necesario introducir el concepto de tensión, siendo este, el concepto físico
más relevante de la mecánica de los medios continuos, y de la teoría de la elasticidad.
Dependiendo de la orientación del plano en cuestión,
el vector tensión puede no ser perpendicular al
mismo, y puede descomponerse en dos vectores: una
componente normal al plano, llamada tensión
normal (), y otro componente contenida en el plano,
denominada tensión cortante ().

3. Introducción

x
y
z
xy
xz
zx
yx
zy
yz
x
y
z
A
Consideremos el equilibrio de un tetraedro
elemental ABCD:
Conociendo x, y, z, xy, yz, xz la tensión 
que se ejerce sobre un plano que pasa por A,
cuya normal tiene por cosenos directores (l, m,
n) y considerando que…
…si ds es el área de la cara BCD, las áreas de las
caras ACD, ABD y ABC serán respectivamente:
l.ds, m.ds, n.ds…
l.ds
m.ds
n.ds
B
C
D ds
…el equilibrio del tetraedro conduce a
las siguientes ecuaciones:








nml
nml
nml
zyzxzz
zyyxyy
zxyxxx




4. Introducción
z
y
x
A
Consideremos el equilibrio de un tetraedro
elemental ABCD:
… siendo las componentes x, y, z …
x
y
z

… estas relaciones muestran que el conjunto de las
tensiones alrededor de un punto forman un tensor
simétrico:






















n
m
l








z
y
x
zyzxz
zyyxy
zxyxx
… siendo además:
 
 
222
22
222
1
sin
cos
nml
nml zyx
zyx







n (normal al plano BCD)
C
D
B
… donde:


x
y
z
xy
xz
zx
yx
zy
yz
 (proyección
de  sobre la
normal n)
 (proyección
de  sobre el
plano BCD)

5. Introducción
z
y
x
A
…por lo tanto:
El vector  tendrá las siguientes componentes:
x, y, z referidas al la terna x, y, z …
x
y
z

n (normal al plano BCD)
C
D
B


… y las siguientes componentes: ,  referidas
a la normal n y al plano BCD …
Las componentes x, y, z son invariantes para
un determinado estado tensional, pero las , 
dependerán del plano de referencia…
… por lo tanto habrá un plano para el cual, las
tensiones  serán máximas y las tensiones 
mínimas (min = 0) …
… estas direcciones definen las direcciones
principales y las tensiones  correspondientes
serán las tensiones principales.

6. Enunciado
Veamos el siguiente
ejemplo:
Referido a una terna (x, y, z) se ha determinado para un plano cuya normal “n” exterior
tiene los cosenos directores (l, m, n) que las componentes del vector de tensión  son
(x, y, z). Se pide:
Escribir las ecuaciones vectoriales de los vectores “n” y .
Determinar la componente normal  y la tangencial .
Hacer la figura de análisis.
Datos: l = 0,4; m = 0,6; x = 20 MN/m2; y = 100 MN/m2; z = 30 MN/m2

7. Resolución
Definiremos primero el valor del coseno
director “n”:
 22222
11 mlnnml Siendo:   6928,06,04,01 22
 n
…por lo tanto, el vector “n” será:
zyx eeen  6928,06,04,0
 kjin 6928,06,04,0
…y el vector  resulta: k
m
MN
j
m
MN
i
m
MN
 222
3010020

8. Resolución
Determinamos la componente
normal  y la tangencial :
Las determinamos como sigue…
            2
222222
30,1063010020
m
MN
zyx  
     6928,0;600,0;400,030;100;20n 2
78,88
m
MN

    
22
…y siendo:
…calculamos el módulo del vector tensión :
…calculamos su proyección sobre la normal al plano “n” por medio de producto escalar :
2
46,58
m
MN


9. Resolución
…y la figura de
análisis será:
z
y
x
A
x
y
z

n (normal al plano BCD)
C
D
B



10. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

11. Muchas Gracias